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프롤로그 연습문제 풀이

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 광자의 에너지 계산

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(a) 나트륨의 노란 빛

방침: \(E = h\nu\) 에 직접 대입해요.

\[ E = h\nu = (6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}) \times (5.09 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}) \]
\[ E = 6.63 \times 5.09 \times 10^{-34+14}\ \mathrm{J} = 33.75 \times 10^{-20}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 3.38 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}} \]

(b) 적색 레이저（\(\lambda = 633\ \mathrm{nm}\)）

방침: \(\nu = c/\lambda\) 로 진동수로 변환한 뒤 \(E = h\nu = hc/\lambda\) 를 계산해요.

\[ \lambda = 633\ \mathrm{nm} = 633 \times 10^{-9}\ \mathrm{m} = 6.33 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} \]
\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})}{6.33 \times 10^{-7}} \]
\[ E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.33 \times 10^{-7}} = 3.14 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 3.14 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}} \]

(c) 휴대전화의 전파（\(\nu = 2.0 \times 10^{9}\ \mathrm{Hz}\)）

\[ E = h\nu = (6.63 \times 10^{-34})(2.0 \times 10^{9}) = 13.26 \times 10^{-25}\ \mathrm{J} \]
\[ \boxed{E \approx 1.33 \times 10^{-24}\ \mathrm{J}} \]

검산: 진동수의 크기 순서는 (a) > (b) > (c) 이며, 에너지도 그 순서대로 커요. 가시광선의 에너지는 \(10^{-19}\ \mathrm{J}\) 정도의 크기이고, 전파는 \(10^{-24}\ \mathrm{J}\) 정도의 크기로, 물리적으로 타당해요.

B-2. 확률진폭과 확률의 관계

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(a) \(\phi^*\)

\(\phi = 3 + 4i\) 의 복소켤레는 \(i\) 를 \(-i\) 로 치환하면

\[ \boxed{\phi^* = 3 - 4i} \]

(b) \(|\phi|^2 = \phi^* \phi\)

\[ |\phi|^2 = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ \boxed{|\phi|^2 = 25} \]

(c) \(|\phi|^2\) 를 \(A\) 와 \(\theta\) 로 표현하기

\(\phi = Ae^{i\theta}\) 일 때, \(\phi^* = Ae^{-i\theta}\)（\(A > 0\) 은 실수）이므로,

\[ |\phi|^2 = \phi^*\phi = Ae^{-i\theta} \cdot Ae^{i\theta} = A^2 e^{0} = A^2 \]
\[ \boxed{|\phi|^2 = A^2} \]

검산: (b)에 대해 \(|\phi| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) 이므로 \(|\phi|^2 = 25\). ✓ (c)는 위상 \(\theta\) 에 의존하지 않는다는 것이 확인되며, 확률이 위상의 절댓값에 의존하지 않는다는 양자역학의 기본적 성질과 일치해요.

B-3. 간섭항의 계산

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(a) \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) 의 전개

\[ |\phi_1 + \phi_2|^2 = (\phi_1^* + \phi_2^*)(\phi_1 + \phi_2) \]
\[ = |\phi_1|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 + |\phi_2|^2 \]

각 항을 계산해요. \(\phi_1 = e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = e^{i\beta}\) 이므로:

  • \(|\phi_1|^2 = e^{-i\alpha}e^{i\alpha} = 1\)
  • \(|\phi_2|^2 = e^{-i\beta}e^{i\beta} = 1\)
  • \(\phi_1^*\phi_2 = e^{-i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\beta - \alpha)}\)
  • \(\phi_2^*\phi_1 = e^{-i\beta}e^{i\alpha} = e^{i(\alpha - \beta)}\)

간섭항의 합:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = e^{i(\beta-\alpha)} + e^{-i(\beta-\alpha)} = 2\cos(\alpha - \beta) \]

따라서,

\[ \boxed{|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos(\alpha - \beta)} \]

(b) \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\)

\[ \boxed{|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1 + 1 = 2} \]

(c) 간섭항을 위상차 \(\delta = \alpha - \beta\) 로 나타내기

\[ |\phi_1 + \phi_2|^2 - (|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2) = (2 + 2\cos\delta) - 2 \]
\[ \boxed{\text{간섭항} = 2\cos\delta} \]

(d) 특수한 경우

  • \(\delta = 0\)（동위상）：\(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos 0 = 2 + 2 = \boxed{4}\)
  • \(\delta = \pi\)（역위상）：\(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 2 + 2\cos\pi = 2 - 2 = \boxed{0}\)

검산: \(\delta = 0\) 일 때 \(\phi_1 = \phi_2 = e^{i\alpha}\) 이므로 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = |2e^{i\alpha}|^2 = 4\). ✓ \(\delta = \pi\) 일 때 \(\phi_2 = e^{i(\alpha-\pi)} = -e^{i\alpha} = -\phi_1\) 이므로 \(|\phi_1 + \phi_2|^2 = 0\). ✓

B-4. 탄환과 전자의 확률 분포

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(a) 탄환의 경우: \(x = 0\)

\[ P_1(0) = e^{-(0-a)^2} = e^{-a^2}, \quad P_2(0) = e^{-(0+a)^2} = e^{-a^2} \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{탄환}}(0) = P_1(0) + P_2(0) = 2e^{-a^2}} \]

(b) 전자의 경우: \(x = 0\)

확률진폭을 계산해요:

\[ \phi_1(0) = e^{-(0-a)^2/2} = e^{-a^2/2}, \quad \phi_2(0) = e^{-(0+a)^2/2} = e^{-a^2/2} \]
\[ P_{12}^{\text{전자}}(0) = |\phi_1(0) + \phi_2(0)|^2 = (e^{-a^2/2} + e^{-a^2/2})^2 = (2e^{-a^2/2})^2 \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{전자}}(0) = 4e^{-a^2}} \]

(c) 비교

\[ P_{12}^{\text{전자}}(0) = 4e^{-a^2}, \quad P_{12}^{\text{탄환}}(0) = 2e^{-a^2} \]
\[ \frac{P_{12}^{\text{전자}}(0)}{P_{12}^{\text{탄환}}(0)} = \frac{4e^{-a^2}}{2e^{-a^2}} = 2 \]
\[ \boxed{P_{12}^{\text{전자}}(0) = 2 \times P_{12}^{\text{탄환}}(0) > P_{12}^{\text{탄환}}(0)} \]

전자의 경우가 더 커요. 이는 \(x = 0\) (두 슬릿의 중간점)에서 확률진폭이 동위상으로 겹쳐 보강 간섭이 일어나기 때문이에요.

검산: \(|\phi_1|^2 = (e^{-a^2/2})^2 = e^{-a^2} = P_1(0)\) 이므로 문제의 설정과 일치해요. ✓

B-5. 복소수의 극형식과 Euler(오일러)의 공식

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(a) \(e^{i\pi}\)

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = \boxed{-1} \]

(b) \(e^{i\pi/2}\)

\[ e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = \boxed{i} \]

(c) \(e^{i\pi/4}\) 의 실수부와 허수부

\[ e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \boxed{\text{실수부} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \text{허수부} = \frac{\sqrt{2}}{2}} \]

(d) \(|e^{i\theta}|^2\)

\[ |e^{i\theta}|^2 = e^{-i\theta} \cdot e^{i\theta} = e^{0} = 1 \]

또는 \(|e^{i\theta}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)이에요.

\[ \boxed{|e^{i\theta}|^2 = 1 \quad (\theta \text{ 에 무관})} \]

검산: (a)는 유명한 Euler의 등식 \(e^{i\pi} + 1 = 0\)이에요. (d)는 단위원 위의 점의 절댓값이 1인 것에 대응해요. ✓

B-6. 파동의 세기와 간섭

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(a) \(h_1 + h_2\) 를 곱의 형태로

합차 공식 \(\cos P + \cos Q = 2\cos\!\left(\frac{P+Q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{P-Q}{2}\right)\) 을 사용해요.

\(P = \omega t\), \(Q = \omega t + \delta\) 로 놓으면:

\[ h_1 + h_2 = A(\cos\omega t + \cos(\omega t + \delta)) \]
\[ = 2A\cos\!\left(\frac{\omega t + \omega t + \delta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\omega t - (\omega t + \delta)}{2}\right) \]
\[ \boxed{h_1 + h_2 = 2A\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)\cos\!\left(\omega t + \frac{\delta}{2}\right)} \]

(b) \(\delta = 0\) 일 때

\[ h_1 + h_2 = 2A\cos(0)\cos(\omega t) = 2A\cos(\omega t) \]

진폭은 \(\boxed{2A}\)

(c) \(\delta = \pi\) 일 때

\[ h_1 + h_2 = 2A\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = 2A \cdot 0 \cdot \cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \]
\[ \boxed{h_1 + h_2 = 0} \]

검산: (b) 동위상인 파동은 보강 간섭하여 진폭이 2배가 돼요. (c) 역위상인 파동은 완전히 상쇄 간섭해요. 물리적으로 타당해요. ✓

B-7. 에너지의 불연속성 — 계단 비유를 수치로

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(a) 바닥 상태와 제1 들뜬 상태의 에너지

\[ E_1 = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{1^2} = \boxed{-13.6\ \mathrm{eV}} \]
\[ E_2 = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{2^2} = -\frac{13.6}{4}\ \mathrm{eV} = \boxed{-3.4\ \mathrm{eV}} \]

(b) 방출되는 광자의 에너지

\[ \Delta E = E_2 - E_1 = (-3.4) - (-13.6) = \boxed{10.2\ \mathrm{eV}} \]

(c) 광자의 진동수

먼저 eV를 J로 변환해요:

\[ \Delta E = 10.2\ \mathrm{eV} \times 1.60 \times 10^{-19}\ \mathrm{J/eV} = 16.32 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1.632 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \]
\[ \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{1.632 \times 10^{-18}}{6.63 \times 10^{-34}} = 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz} \]
\[ \boxed{\nu \approx 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}} \]

(d) 가시광선 범위에 포함되는가

가시광선의 진동수 범위는 \(4.3 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) ~ \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\)예요.

\(\nu \approx 2.46 \times 10^{15}\ \mathrm{Hz}\)는 이 범위의 상한 \(7.5 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\)보다 커요.

\[ \boxed{\text{가시광선 범위에 포함되지 않는다 (자외선에 해당한다).}} \]

검산: 수소의 라이먼 계열(\(n \geq 2 \to n = 1\))은 자외선 영역임이 알려져 있으며, 결과는 타당해요. 파장을 확인하면 \(\lambda = c/\nu = 3.00 \times 10^8 / 2.46 \times 10^{15} \approx 122\ \mathrm{nm}\)으로, 이는 라이먼-\(\alpha\) 선(121.6 nm)과 일치해요. ✓

B-8. 확률진폭의 중첩 — 수치 예제

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(a) \(P_1 = |\phi_1|^2\)

\[ P_1 = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 = \boxed{\frac{1}{3}} \]

(b) \(P_2 = |\phi_2|^2\)

\[ P_2 = \left|\sqrt{\frac{2}{3}}\, e^{i\pi/3}\right|^2 = \frac{2}{3} \cdot |e^{i\pi/3}|^2 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \boxed{\frac{2}{3}} \]

(c) 규격화 조건의 확인

\[ P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \quad \checkmark \]
\[ \boxed{P_1 + P_2 = 1 \text{ 이 성립해요.}} \]

(d) \(\phi_2\) 의 실수부와 허수부

\[ \phi_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\, e^{i\pi/3} = \sqrt{\frac{2}{3}}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ \boxed{\text{실수부} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad \text{허수부} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}} \]

검산: \(|\phi_2|^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)。✓

Medium（표준）

M-1. 고전 확률과 양자 확률의 비교

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(a) 탄환에서 \(P_{12} = P_1 + P_2\)가 성립하는 이유

탄환은 거시적인 입자이며, 이중 슬릿을 통과할 때 반드시 어느 한쪽 구멍만을 통과해요. 구멍 1을 통과하는 사건과 구멍 2를 통과하는 사건은 배반사건(동시에 일어나지 않는 사건)이에요. 따라서 고전적인 확률의 덧셈 정리가 그대로 적용될 수 있어서,

\[ P_{12}(x) = P_1(x) + P_2(x) \]

가 성립해요. 탄환이 한쪽 구멍을 통과할 때, 다른 쪽 구멍이 열려 있는지 여부는 탄환의 궤도에 영향을 주지 않기 때문에, 각 구멍으로부터의 확률 분포는 독립적으로 더할 수 있어요.

(b) 전자에서 \(P_{12} \neq P_1 + P_2\)가 되는 이유

전자의 경우, 각 구멍을 통과하는 과정에 대해 확률진폭(복소수) \(\phi_1(x)\), \(\phi_2(x)\)가 할당돼요. 양자역학의 규칙에서는 구별 불가능한 경로의 확률진폭을 먼저 더한 후에 절댓값의 제곱을 취해요:

\[ P_{12}(x) = |\phi_1(x) + \phi_2(x)|^2 \]

이를 전개하면:

\[ P_{12} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \underbrace{\phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1}_{\text{간섭항}} \]
\[ = P_1 + P_2 + 2\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2) \]

간섭항 \(2\,\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\)는 일반적으로 0이 아니기 때문에, \(P_{12} \neq P_1 + P_2\)가 돼요. 이 간섭항은 위치 \(x\)에 따라 양수도 음수도 될 수 있어서, 스크린 위에 밝고 어두운 줄무늬(간섭 패턴)를 만들어요. 전자는 하나씩 입자로 검출되지만, 많은 수의 전자를 축적하면 이 간섭 패턴이 통계적으로 나타나요.

(c) 확률진폭이 실수로 한정된 경우

실수인 경우에도 간섭항은 나타나요. \(\phi_1, \phi_2\)가 실수일 때:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2 \]

이것은 반드시 0이 아니므로, 간섭 자체는 일어나요.

그러나 중대한 제한이 생겨요. 실수 확률진폭의 경우, 두 진폭의 "위상차"는 \(0\)(같은 부호: \(\phi_1\phi_2 > 0\))이거나 \(\pi\)(다른 부호: \(\phi_1\phi_2 < 0\))의 2가지 값만 취할 수 있어요. 따라서 간섭항은 \(+2|\phi_1||\phi_2|\)(보강 간섭)이거나 \(-2|\phi_1||\phi_2|\)(상쇄 간섭)의 2가지뿐이어서, 위상차가 연속적으로 변화하는 매끄러운 간섭 패턴을 재현할 수 없어요.

복소수의 경우에는 위상차 \(\delta\)가 \(0\)에서 \(2\pi\)까지 연속적으로 변할 수 있어서, 간섭항 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\)는 \(-2|\phi_1||\phi_2|\)에서 \(+2|\phi_1||\phi_2|\)까지 매끄럽게 변해요. 이를 통해 실험에서 관측되는 연속적인 간섭 무늬를 올바르게 기술할 수 있어요.

M-2. 광량자 가설과 광전효과

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(a) 최대 운동에너지 \(K_{\max}\)

광자 1개의 에너지 \(h\nu\)가 금속 내의 전자에 전달돼요. 전자가 금속 표면에서 탈출하는 데 최소한으로 필요한 에너지가 일함수 \(W\)예요. 에너지 보존 법칙에 의해:

\[ h\nu = W + K_{\max} \]
\[ \boxed{K_{\max} = h\nu - W} \]

(b) 문턱 진동수 \(\nu_0\)

전자가 겨우 방출되는 조건은 \(K_{\max} = 0\)이므로:

\[ h\nu_0 - W = 0 \]
\[ \boxed{\nu_0 = \frac{W}{h}} \]

(c) 고전론과의 모순

고전적인 파동론에서는 빛의 에너지가 진폭의 제곱(즉, 강도)에 비례하며 진동수에는 의존하지 않아요. 따라서 고전론의 전제는:

"빛의 강도를 높이면, 진동수에 관계없이, 전자에 임의의 크기의 에너지를 줄 수 있다"

라는 것이에요. 그러나 실험에서는 \(\nu < \nu_0\)인 빛은 아무리 강도를 높여도 전자를 방출하지 않아요. 이는 빛의 에너지가 \(h\nu\)라는 불연속적인 단위(광자)로 전자에 전달되기 때문이며, 1개의 광자 에너지 \(h\nu\)가 \(W\)에 미치지 못하면, 광자를 아무리 많이 쏘아도 (각 광자가 독립적으로 전자와 상호작용하기 때문에) 1개의 전자를 탈출시킬 수 없어요. 이것이 고전적인 "에너지는 연속적으로 축적된다"라는 전제와 모순돼요.

(d) 수치 계산

광자의 에너지:

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{400 \times 10^{-9}} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{4.00 \times 10^{-7}} = 4.97 \times 10^{-19}\ \mathrm{J} \]

eV로 변환:

\[ E = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.60 \times 10^{-19}}\ \mathrm{eV} \approx 3.11\ \mathrm{eV} \]

최대 운동에너지:

\[ K_{\max} = E - W = 3.11 - 2.3 = \boxed{0.8\ \mathrm{eV}} \]

검산: 파장 400 nm는 보라색 빛으로, 에너지는 약 3.1 eV예요. 일함수 2.3 eV는 세슘 등의 금속에 가까운 값이에요. \(K_{\max} \approx 0.8\ \mathrm{eV}\)는 타당한 값이에요. ✓

M-3. 물리학의 모델과 반증 가능성

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(a) Newton 역학이 "가설"이라는 것의 의미

Newton 역학이 "가설"이라는 것은, 그것이 자연의 "진리"가 아니라 "현시점에서 실험과 모순되지 않는 최선의 모델"에 불과하다는 뜻이에요. 실험으로 반증되면, 더 나은 모델로 대체돼요.

  • 성공한 영역: 천체의 운동(행성의 궤도, 달의 운동 등). Newton의 운동 방정식과 만유인력의 법칙으로 행성의 위치를 높은 정밀도로 예측할 수 있어요. 해왕성의 발견은 Newton 역학의 예측에 기반한 것이었어요.

  • 실패한 영역: 원자 스케일의 현상. 예를 들어, 수소 원자의 스펙트럼 선의 불연속성이나, 전자의 이중 슬릿 실험에서의 간섭 패턴은 Newton 역학으로는 설명할 수 없어요. 또한, 수성의 근일점 이동의 정밀한 값도 Newton 역학으로는 재현할 수 없으며, 일반 상대론이 필요해요.

(b) 양자역학을 "가설"이라고 부르는 이유

양자역학은 100년 이상에 걸쳐, 원자물리학, 고체물리학, 소립자물리학 등 모든 실험에서 예측이 올바르다는 것이 확인되어 왔어요. 그럼에도 불구하고 "가설"이라고 부르는 이유는 다음과 같아요:

양자역학과 일반 상대론(중력의 모델)은 각각의 적용 범위에서는 매우 정확하지만, 양자를 동시에 적용해야 하는 상황(블랙홀의 중심, 우주의 시작 등, 극도로 작은 스케일에서 중력이 강한 영역)에서는 서로 모순돼요. 양자를 통합하는 "양자 중력" 모델은 아직 발견되지 않았어요. 따라서 양자역학은 현재의 형태로는 불완전할 가능성이 있으며, 장래에 더 포괄적인 모델의 근사로 자리매김될 가능성이 있어요. 아무리 성공적이더라도, 원리적으로 반증될 가능성을 배제할 수 없는 이상 "가설"이에요.

(c) 반증 가능성이란

반증 가능성 (falsifiability)이란, 어떤 주장에 대해 "어떤 관측 결과가 얻어지면 그 주장이 틀렸다고 판정할 수 있는가"가 명확하게 정의될 수 있는 성질을 말해요. 과학적 가설은 반증 가능해야 해요.

"내일 날씨는 맑거나 비가 오거나 흐릴 것이다"라는 주장은, 생각할 수 있는 모든 날씨 상태를 포괄하고 있기 때문에, 어떤 관측 결과가 얻어지더라도 모순되지 않아요. 맑아도 비가 와도 흐려도, 이 주장은 "맞는" 것이 돼요. 반증할 방법이 존재하지 않기 때문에, 이 주장은 반증 가능하지 않으며, 과학적 예측으로서의 가치를 갖지 않아요.

M-4. Einstein의 이중성 — 창시자와 비판자

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(a) 창시자로서의 근거

1905년의 광양자 가설：

당시 빛은 Maxwell의 전자기학에 의해 파동임이 확립되어 있었어요. 그러나 광전 효과(금속에 빛을 쬐면 전자가 튀어나오는 현상)에서, 방출되는 전자의 에너지가 빛의 세기가 아닌 진동수에 의존한다는 실험 사실은 파동론으로는 설명할 수 없었어요. Einstein은 빛이 진동수 \(\nu\)에 비례하는 에너지 \(E = h\nu\)를 가진 입자(광양자, 후에 광자라 불림)의 모임이라고 제안했어요. 이를 통해 광전 효과를 정량적으로 설명하고, 빛의 입자성을 확립했어요.

1917년의 유도 방출 예언：

Einstein은 열평형 상태에 있는 원자와 복사장의 통계역학적 고찰로부터, 빛의 흡수와 자발 방출에 더하여, 유도 방출(외부의 광자에 의해 유발되어, 같은 진동수·같은 방향·같은 위상의 광자가 방출되는 과정)이 존재하지 않으면 Planck의 흑체 복사 공식과 정합하지 않음을 보였어요. 이 유도 방출은 모든 광자가 정렬된 상태를 만들어내는 메커니즘이며, 1960년에 실현된 레이저 (LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)의 동작 원리 그 자체예요.

(b) 비판자가 된 이유

1920년대에 완성된 양자역학의 핵심은, "측정하기 전까지 물리량은 확정된 값을 갖지 않는다", "예언할 수 있는 것은 확률뿐이다"라는 확률적·비결정론적 세계관이에요. Einstein은 이 세계관을 근본적으로 받아들이지 않았어요.

"신은 주사위를 던지지 않는다 (Gott würfelt nicht)"라는 말은, Einstein이 자연의 근저에는 결정론적 법칙이 있어야 한다는 신념을 표명한 것이에요. Einstein은 양자역학이 올바른 실험 예측을 제공한다는 것은 인정하면서도, 그것은 "불완전한" 기술이며, 측정 전부터 물리량의 값을 결정하고 있는 더 깊은(결정론적인) 모델이 존재해야 한다고 생각했어요. 확률이 나타나는 것은 우리가 아직 모르는 변수(숨은 변수)를 무시하고 있기 때문에 불과하다는 것이 Einstein의 입장이었어요.

(c) EPR 역설과 Bell의 정리

Einstein은 1935년의 EPR 논문에서 양자역학의 불완전성을 주장했어요. 떨어진 두 입자의 상관(양자 얽힘)에서, 한쪽의 측정 결과가 다른 쪽을 순간적으로 결정하는 것처럼 보이는 것으로부터, 측정 전부터 값이 정해져 있는 숨은 변수가 존재해야 한다고 논했어요. 1964년, Bell은 이 숨은 변수의 가정으로부터 도출되는 통계적 제약으로서 Bell의 부등식을 유도했어요. 만약 숨은 변수가 존재한다면, 측정 결과의 상관은 이 부등식을 만족해야 해요. 그 후의 실험(Aspect 실험 (1982) 등)에 의해 Bell의 부등식이 깨지는 것이 확인되었고, Einstein이 상정한 국소적 숨은 변수 모델은 부정되었어요. (197자)

M-5. 확률진폭의 간섭 — 정량적 분석

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(a) 합성 확률 \(P_{12}(x)\)

\[ \phi_1 + \phi_2 = Ae^{ikr_1} + Ae^{ikr_2} = Ae^{ikr_1}\left(1 + e^{ik(r_2 - r_1)}\right) \]

절댓값의 제곱을 취하면:

\[ P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2 = A^2 \left|1 + e^{-ik\Delta r}\right|^2 \]

여기서 \(\Delta r = r_1 - r_2\)로 정의했으므로 \(r_2 - r_1 = -\Delta r\)이에요.

\[ \left|1 + e^{-ik\Delta r}\right|^2 = (1 + e^{ik\Delta r})(1 + e^{-ik\Delta r}) = 1 + e^{ik\Delta r} + e^{-ik\Delta r} + 1 \]
\[ = 2 + 2\cos(k\Delta r) \]

따라서:

\[ \boxed{P_{12}(x) = 2A^2\left[1 + \cos(k\Delta r(x))\right] = 4A^2\cos^2\!\left(\frac{k\Delta r(x)}{2}\right)} \]

별해 (직접 전개):

\[ P_{12} = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 + \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 \]
\[ = A^2 + A^2 + A^2 e^{-ikr_1}e^{ikr_2} + A^2 e^{-ikr_2}e^{ikr_1} \]
\[ = 2A^2 + A^2\left(e^{ik(r_2-r_1)} + e^{-ik(r_2-r_1)}\right) = 2A^2 + 2A^2\cos(k(r_2-r_1)) \]
\[ = 2A^2(1 + \cos(k\Delta r)) \quad (\text{여기서 } r_2 - r_1 = -\Delta r \text{이므로 } \cos(k(r_2-r_1)) = \cos(k\Delta r)) \]

결과는 동일해요.

(b) 최댓값의 조건

\(P_{12}\)가 최대가 되는 것은 \(\cos(k\Delta r) = 1\)일 때, 즉:

\[ k\Delta r = 2n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
\[ \boxed{\Delta r = \frac{2n\pi}{k} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

이때:

\[ \boxed{P_{12}^{\max} = 2A^2(1 + 1) = 4A^2} \]

(c) 최솟값 \(0\)의 조건

\(P_{12} = 0\)이 되는 것은 \(\cos(k\Delta r) = -1\)일 때, 즉:

\[ k\Delta r = (2n+1)\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]
\[ \boxed{\Delta r = \frac{(2n+1)\pi}{k} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

(d) \(\lambda = 2\pi/k\)를 이용한 표현

\(k = 2\pi/\lambda\)이므로 \(2\pi/k = \lambda\)이에요.

보강 간섭(최대)의 조건:

\[ \Delta r = \frac{2n\pi}{k} = n\lambda \]
\[ \boxed{\Delta r = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

상쇄 간섭(최소)의 조건:

\[ \Delta r = \frac{(2n+1)\pi}{k} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \]
\[ \boxed{\Delta r = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)} \]

검산: 경로차가 파장의 정수배일 때 보강 간섭, 반정수배일 때 상쇄 간섭이에요. 이는 고전적인 파동의 간섭 조건과 일치해요. 또한 \(P_{12}^{\max} = 4A^2 = 4 \times |\phi_1|^2\)이며, 각 슬릿으로부터의 확률 \(A^2\)의 4배예요. 이는 진폭이 2배가 되므로 확률이 4배가 되는 것에 대응해요. ✓

Advanced（발전）

A-1. 복소 확률진폭의 불가결성

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(a) 실수인 경우의 기하학적 조건

\(\phi_1\), \(\phi_2\)가 모두 실수인 경우, 규격화 조건은:

\[ |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = \phi_1^2 + \phi_2^2 = 1 \]

이것은 \((\phi_1, \phi_2)\) 평면에서의 단위원 위의 점을 나타내요. 즉, \((|\phi_1|, |\phi_2|)\)는 제1사분면에서의 단위원 위의 점(\(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\), \(|\phi_1| \geq 0\), \(|\phi_2| \geq 0\))을 만족해요.

다만 \(\phi_1, \phi_2\) 자체는 부호를 가질 수 있으므로, 자유도는 각도 매개변수 1개(\(\phi_1 = \cos\theta\), \(\phi_2 = \pm\sin\theta\)와 같이 쓸 수 있음)에 더해 각 진폭의 부호(\(+\) 또는 \(-\))의 선택뿐이에요.

(b) 복소수인 경우의 자유도 증가

복소수인 경우, \(\phi_1 = |\phi_1|e^{i\alpha}\), \(\phi_2 = |\phi_2|e^{i\beta}\)로 쓸 수 있어요. 독립적인 실수 매개변수를 세면:

  • \(|\phi_1|\): 규격화 조건 \(|\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = 1\)에 의해, \(|\phi_1|\)이 정해지면 \(|\phi_2|\)도 정해짐 → 1 매개변수
  • \(\alpha\): 1 매개변수
  • \(\beta\): 1 매개변수

합계 3 매개변수. 다만, 전체 위상 \(e^{i\gamma}\)(\(\phi_1 \to \phi_1 e^{i\gamma}\), \(\phi_2 \to \phi_2 e^{i\gamma}\))는 물리적으로 관측 불가능하므로, 1 매개변수분을 빼요.

따라서 물리적으로 독립적인 매개변수는 \(3 - 1 = 2\)개예요.

실수인 경우: \(|\phi_1|\)(1 매개변수, 규격화로 구속)과 각 부호의 선택. 실질적으로는 \(\phi_1 = \cos\theta\), \(\phi_2 = \sin\theta\)로 쓰면 1 매개변수(\(\theta\)). 부호의 자유도를 포함하더라도 위상차는 \(0\) 또는 \(\pi\)의 이산값밖에 취할 수 없으므로, 연속 매개변수로는 1개예요.

복소수인 경우의 물리적 자유도는 2개(예를 들어 \(|\phi_1|\)과 상대 위상 \(\alpha - \beta\))예요.

\[ \boxed{\text{자유도는 1개 증가한다(상대 위상 } \alpha - \beta \text{가 새로운 연속적 자유도로 추가된다).}} \]

(c) 실수인 경우의 간섭 패턴에 대한 제한

실수인 확률진폭의 경우, 간섭항은:

\[ \phi_1^*\phi_2 + \phi_2^*\phi_1 = 2\phi_1\phi_2 \]

위치 \(x\)의 각 점에서 \(\phi_1(x)\)과 \(\phi_2(x)\)는 실수값을 취하므로, 그 곱 \(\phi_1(x)\phi_2(x)\)의 부호는 둘이 같은 부호이면 양, 다른 부호이면 음이 돼요. 즉 간섭항은:

\[ 2\phi_1\phi_2 = \pm 2|\phi_1||\phi_2| \]

의 2가지 값밖에 취할 수 없어요(각 점에서 보강 간섭인지 상쇄 간섭인지의 양자택일).

한편, 실험에서 관측되는 간섭무늬는 위치 \(x\)에 따라 확률이 \(\cos\) 함수처럼 매끄럽게 변화하는 연속적인 패턴이에요. 복소수인 확률진폭에서는 위상차 \(\delta(x) = k(r_1(x) - r_2(x))\)가 위치 \(x\)와 함께 연속적으로 변화하고, 간섭항은 \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta(x)\)가 되어 \(-2|\phi_1||\phi_2|\)에서 \(+2|\phi_1||\phi_2|\)까지 매끄럽게 변해요.

실수인 경우는 간섭항이 급격하게 부호를 바꾸는 불연속적인(또는 영을 사이에 두고 이산적으로 전환되는) 패턴밖에 만들 수 없어서, 실험에서 관측되는 매끄러운 \(\cos\)형 간섭무늬를 재현하는 것은 불가능해요.

(d) 물리적 의의 정리

양자역학에서 확률진폭이 복소수인 것의 물리적 의의는 연속적인 위상이라는 자유도를 갖는 데 있어요. 복소수의 위상은 \(0\)에서 \(2\pi\)까지 연속적으로 변화할 수 있고, 이에 의해 두 경로의 확률진폭 간섭이 \(\cos\delta\)를 통해 매끄럽게 보강에서 상쇄까지 변화해요. 이 연속적인 위상의 자유도가, 실험에서 관측되는 매끄러운 간섭무늬, 시간 발전에서의 위상 회전(\(e^{-iEt/\hbar}\)), 그리고 양자 얽힘에서의 비고전적 상관을 가능하게 해요. 실수에서는 위상차가 \(0\) 또는 \(\pi\)의 이산값으로 제한되어 양자역학의 풍부한 예측을 재현할 수 없어요. (200자)

A-2. 광양자 가설에서 유도 방출로 — Einstein 논리의 연쇄

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(a) Boltzmann 분포의 극한

\[ \frac{N_2}{N_1} = \exp\!\left(-\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right) \]

\(T \to \infty\) 일 때:

\[ \frac{E_2 - E_1}{k_B T} \to 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{N_2}{N_1} \to e^0 = 1 \]
\[ \boxed{T \to \infty: \quad N_2/N_1 \to 1} \]

물리적 의미: 고온 극한에서는 열에너지 \(k_B T\)가 에너지 차이 \(E_2 - E_1\)에 비해 충분히 크기 때문에, 바닥상태와 들뜬상태가 거의 동일하게 점유돼요(등분배).

\(T \to 0\) 일 때:

\[ \frac{E_2 - E_1}{k_B T} \to +\infty \quad \Longrightarrow \quad \frac{N_2}{N_1} \to e^{-\infty} = 0 \]
\[ \boxed{T \to 0: \quad N_2/N_1 \to 0} \]

물리적 의미: 절대영도에서는 모든 원자가 최저 에너지 상태(바닥상태)로 떨어지고, 들뜬상태의 점유수는 0이 돼요.

(b) 평형 조건으로부터 \(\rho(\nu)\)를 구하기

열평형 조건:

\[ B'\rho(\nu) N_1 = A N_2 + B\rho(\nu) N_2 \]

\(\rho(\nu)\)에 대해 풀면:

\[ B'\rho(\nu) N_1 - B\rho(\nu) N_2 = A N_2 \]
\[ \rho(\nu)(B' N_1 - B N_2) = A N_2 \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A N_2}{B' N_1 - B N_2} = \frac{A}{B'(N_1/N_2) - B} \]

Boltzmann 분포 \(N_1/N_2 = \exp\!\left(\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right)\)를 대입해요. \(E_2 - E_1 = h\nu\)이므로:

\[ \boxed{\rho(\nu) = \frac{A}{B'\, e^{h\nu/(k_B T)} - B}} \]

(c) Planck의 공식과의 비교

Planck의 흑체복사 공식:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

(b)의 결과와 비교해요. 양쪽이 모든 온도 \(T\)에서 일치하려면, 분모의 구조가 일치해야 해요.

(b)의 결과의 분모는 \(B' e^{h\nu/(k_BT)} - B\)이고, Planck의 공식의 분모(\(A\)로 나눈 형태로 만들면)는 \((A \cdot c^3/(8\pi h\nu^3))(e^{h\nu/(k_BT)} - 1)\)에 대응해요.

직접 비교하기 위해 (b)를 다시 쓰면:

\[ \rho(\nu) = \frac{A/B}{(B'/B)\, e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

Planck의 공식:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3/c^3}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} \]

양쪽이 모든 \(T\)에서 일치하려면:

  1. 분모에서 \(e^{h\nu/(k_BT)}\)의 계수가 일치: \(B'/B = 1\), 즉
\[ \boxed{B' = B} \]
  1. 분자가 일치:
\[ \frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \]
\[ \boxed{\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}} \]

검산(\(T \to \infty\) 극한): \(T \to \infty\)에서는 \(e^{h\nu/(k_BT)} \approx 1 + h\nu/(k_BT)\)이므로:

(b)의 결과: \(\rho(\nu) \approx \frac{A}{B'(1 + h\nu/(k_BT)) - B} = \frac{A}{(B'-B) + B' h\nu/(k_BT)}\)

\(B' = B\)일 때: \(\rho(\nu) \approx \frac{A}{B \cdot h\nu/(k_BT)} = \frac{A k_B T}{B h\nu}\)

Planck의 공식: \(\rho(\nu) \approx \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{k_BT}{h\nu} = \frac{8\pi\nu^2 k_BT}{c^3}\)

이것은 Rayleigh-Jeans 법칙이며, \(A/B = 8\pi h\nu^3/c^3\)과 정합해요. ✓

(d) 유도방출이 존재하지 않는 경우 (\(B = 0\))

\(B = 0\)으로 놓으면, 평형 조건은:

\[ B'\rho(\nu) N_1 = A N_2 \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A N_2}{B' N_1} = \frac{A}{B'} \cdot \frac{N_2}{N_1} = \frac{A}{B'}\, e^{-h\nu/(k_BT)} \]
\[ \rho(\nu) = \frac{A}{B'}\, e^{-h\nu/(k_B T)} \]

이것은 Wien의 복사법칙의 형태이며, Planck의 공식:

\[ \rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_BT)} - 1} \]

과 모순돼요. 구체적으로는:

  1. \(\nu^3\) 인자가 빠져 있어요. \(B = 0\)의 결과에서 \(\rho(\nu)\)의 진동수 의존성은 \(e^{-h\nu/(k_BT)}\)뿐이고, Planck의 공식에 포함된 \(\nu^3\)의 앞인자가 없어요(\(A/B'\)가 \(\nu\)에 의존하지 않는다고 가정한 경우).

  2. 저진동수(고온) 극한에서 불일치해요. \(h\nu \ll k_BT\)일 때, \(B = 0\)의 결과는 \(\rho(\nu) \approx A/B'\)(상수)가 되지만, Planck의 공식(및 실험으로 확인된 Rayleigh-Jeans 법칙)은 \(\rho(\nu) \propto \nu^2 T\)가 돼요.

  3. 분모의 구조가 달라요. Planck의 공식의 분모는 \(e^{h\nu/(k_BT)} - 1\)이지만, \(B = 0\)인 경우는 단순한 지수함수 \(e^{-h\nu/(k_BT)}\)이며, \(-1\) 항이 나타나지 않아요.

따라서, 유도방출(\(B \neq 0\))은 열평형의 요청으로부터 논리적으로 필연적이에요. Planck의 흑체복사 공식이 실험적으로 올바른 이상, 흡수와 자발방출만으로는 열평형을 실현할 수 없으며, 유도방출이 존재하지 않으면 원자와 복사장 사이의 세부균형(detailed balance)이 성립하지 않아요. Einstein은 열역학적 정합성의 요청만으로부터, 유도방출이라는 새로운 물리 과정의 존재를 연역적으로 이끌어낸 것이에요.

검산: \(B = 0\)의 결과 \(\rho \propto e^{-h\nu/(k_BT)}\)는 Wien의 복사법칙에 대응하며, 이것은 고진동수(\(h\nu \gg k_BT\))에서만 Planck의 공식의 좋은 근사임이 알려져 있어요. 저진동수에서는 파탄하므로, \(B = 0\)은 일반적으로는 성립하지 않아요. ✓