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부록 G 연습문제 풀이

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목차

Medium（표준）

Medium（표준）

M-1. \(\delta\sqrt{-g}\) 의 유도

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방침: 계량의 기본 관계 \(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) 의 양변을 변분하여 \(g^{\mu\nu}\) 와 \(g_{\mu\nu}\) 의 변분의 관계를 얻고, 다음으로 Jacobi 공식 \(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) 과 조합하여 \(\delta\sqrt{-g}\) 를 구해요.

단계 1: \(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) 의 유도

\(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) 의 양변을 변분해요. 우변은 상수 텐서이므로 \(\delta(\delta^\mu_\nu) = 0\):

\(\delta(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu}) = (\delta g^{\mu\alpha})g_{\alpha\nu} + g^{\mu\alpha}(\delta g_{\alpha\nu}) = 0\)

양변에 \(g^{\nu\beta}\) 를 곱하여 \(\alpha, \nu\) 의 축약을 정리하면:

\(g^{\nu\beta}g_{\alpha\nu}\delta g^{\mu\alpha} + g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = 0\)

\(\delta^\beta_\alpha \delta g^{\mu\alpha} + g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = 0\)

\(\delta g^{\mu\beta} = -g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu}\)

양변에 \(g_{\mu\beta}\) 를 곱하여 축약하면:

\(g_{\mu\beta}\delta g^{\mu\beta} = -g_{\mu\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = -\delta^\alpha_\beta g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\nu} = -g^{\nu\alpha}\delta g_{\alpha\nu}\)

지표를 바꿔 쓰면:

\(\boxed{g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}}\)

단계 2: \(\delta\sqrt{-g}\) 의 유도

Jacobi 공식에 의해:

\(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

\(\sqrt{-g} = (-g)^{1/2}\) 이므로 연쇄 법칙에 의해:

\(\delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}(-g)^{-1/2} \cdot \delta(-g) = -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = -\frac{1}{2\sqrt{-g}} \cdot g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

\(g < 0\) (로렌츠 계량)이므로 \(g = -(-g) = -(\sqrt{-g})^2\). 따라서 \(g/\sqrt{-g} = -\sqrt{-g}\):

\(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}(-\sqrt{-g})g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\)

단계 1의 결과 \(g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\) 를 대입하면:

\(\boxed{\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}}\)

검산: \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)\) 인 평탄 시공간에서는 \(g = -1\), \(\sqrt{-g} = 1\) 이에요. 평탄 시공간으로부터의 편차 \(g_{\mu\nu} \to \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\) 를 고려하면 \(\delta g_{\mu\nu} = h_{\mu\nu}\) 이고, 유도한 공식 \(\delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) 로부터 \(\delta\sqrt{-g} \approx \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu} = \frac{1}{2}h\) (여기서 \(h \equiv \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}\) 는 섭동의 대각합)가 돼요. 이는 약한 중력장 전개에서의 알려진 결과와 일치해요.

M-2. Einstein-Hilbert의 Newton 극한

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방침: 약한 중력장·저속·정적의 3가지 조건을 순서대로 부과하여, Einstein 방정식의 \(00\) 성분으로부터 Newton의 포아송 방정식을 유도해요.

스텝 1: 에너지-운동량 텐서의 \(00\) 성분

비상대론적인 물질에서는 에너지 밀도 \(\rho c^2\)가 운동량 밀도보다 훨씬 커요. 따라서 \(T^{\mu\nu}\)의 지배적 성분은:

\(T^{00} \approx \rho c^2, \qquad T^{0i} \approx 0, \qquad T^{ij} \approx 0\)

첨자를 내리면(\(g_{00} \approx \eta_{00} = -1\)), \(T_{00} = g_{0\mu}g_{0\nu}T^{\mu\nu} \approx \rho c^2\)이에요.

트레이스는:

\(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \approx \eta^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = -T_{00} + T_{ii} \approx -\rho c^2\)

스텝 2: Einstein 방정식의 변환

Einstein 방정식 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)의 양변에 \(g^{\mu\nu}\)를 축약하면:

\(R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T \quad\Rightarrow\quad R = -\frac{8\pi G}{c^4}T\)

이것을 원래 방정식에 대입하여 정리하면 트레이스 반전 형태:

\(R_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)\)

스텝 3: \(00\) 성분

\(R_{00} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx \frac{8\pi G}{c^4}\left(\rho c^2 - \frac{1}{2}(-1)(-\rho c^2)\right) = \frac{8\pi G}{c^4} \cdot \frac{\rho c^2}{2} = \frac{4\pi G \rho}{c^2}\)

스텝 4: \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)과 \(h_{00} = -2\Phi/c^2\)의 대입

문제에서 인정한 \(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)을 사용해요:

\(-\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00} = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

\(h_{00} = -2\Phi/c^2\)를 대입하면:

\(-\frac{1}{2}\nabla^2\!\left(-\frac{2\Phi}{c^2}\right) = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

\(\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi = \frac{4\pi G\rho}{c^2}\)

\(\boxed{\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho}\)

보충(\(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)의 유래): 계량의 signature \((-,+,+,+)\)에서 약한 장·정적 조건의 크리스토펠 기호를 계산하면 \(\Gamma^i_{00} \approx -\frac{1}{2}\partial_i h_{00}\)이 되고, \(R_{00} \approx \partial_i\Gamma^i_{00} = -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\)을 얻어요. 문제에서는 이 결과를 인정한 위에서, Einstein 방정식의 \(00\) 성분과 결합하여 Poisson 방정식을 유도하는 것이 본 문제의 핵심이에요.

검산: 진공(\(\rho = 0\))에서 \(\Phi = -GM/r\)로 놓으면 \(\nabla^2\Phi = 0\)(\(r \neq 0\))이 되어 포아송 방정식의 우변과 정합해요. 질량 분포가 있는 영역에서는 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho > 0\)이고, \(\Phi\)는 인력 퍼텐셜(\(\Phi < 0\))로서 중력을 올바르게 재현해요.

M-3. 우주상수항의 변분

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방침: 작용 \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x + S_M\) 을 \(g^{\mu\nu}\)로 변분해요. \(R\) 부분의 변분은 본문 G.2에서 계산이 끝났으므로, 추가된 \(-2\Lambda\sqrt{-g}\) 의 변분만 계산해요.

단계 1: \(-2\Lambda\sqrt{-g}\) 의 변분

\(\Lambda\) 는 상수이므로:

\(\delta(-2\Lambda\sqrt{-g}) = -2\Lambda \cdot \delta\sqrt{-g}\)

문제 G.1의 결과 \(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\) 를 대입하면:

\(\delta(-2\Lambda\sqrt{-g}) = -2\Lambda \cdot \left(-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\right) = \Lambda\,g_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\)

단계 2: 변분의 통합

본문 G.3의 결과 \(\delta(R\sqrt{-g}) = (R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\) (경계항은 제거한 것)와 합치면:

\(\delta S_{EH+\Lambda} = \frac{c^4}{16\pi G}\int\left[\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) + \Lambda g_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x\)

물질의 작용 \(S_M\) 의 변분으로부터 \(T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_M}{\delta g^{\mu\nu}}\) 를 정의하면:

\(\delta S_M = -\frac{1}{2}\int T_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x\)

단계 3: 전체 작용의 변분 \(\delta S = 0\)

\(\delta S = \frac{c^4}{16\pi G}\int\left[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} - \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x = 0\)

\(\delta g^{\mu\nu}\) 가 임의적이므로, 피적분 함수의 계수가 영이 되어야 해요:

\(\boxed{R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}}\)

이것이 우주 상수가 포함된 아인슈타인 방정식이에요.

물리적 의미의 검산:

진공(\(T_{\mu\nu} = 0\))에서 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = 0\). 대각합(trace)을 취하면 \(-R + 4\Lambda = 0\), 즉 \(R = 4\Lambda\). 이를 대입하면 \(R_{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu}\) 로, 이는 드 시터 시공간(\(\Lambda > 0\)) 또는 반드 시터 시공간(\(\Lambda < 0\))이에요. 실제 우주에서 \(\Lambda \approx 10^{-52}\ \mathrm{m}^{-2}\) (관측값)는 암흑 에너지의 유력한 후보예요.

별해(\(\Lambda\)를 에너지-운동량 텐서로 간주하는 형태): \(\Lambda g_{\mu\nu}\)를 우변으로 이항하면:

\(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} - \frac{\Lambda c^4}{8\pi G}g_{\mu\nu}\right) = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{\mu\nu} + T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}\right)\)

여기서 \(T^{(\Lambda)}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}g_{\mu\nu}\) 는 진공의 에너지-운동량 텐서로 해석할 수 있어요. 정지 좌표계에서의 \(T_{00}\) 성분(\(g_{00} = -1\))으로부터 읽으면, 에너지 밀도는 \(\rho_\Lambda c^2 = \frac{\Lambda c^4}{8\pi G}\) (즉 질량 밀도 \(\rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G}\))이에요. 공간 성분 \(T_{ij} = p\,g_{ij}\) 로부터 압력 \(p_\Lambda = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} = -\rho_\Lambda c^2\) (음의 압력)이에요. 상태 방정식 \(w \equiv p/(\rho c^2) = -1\). 이것이 「암흑 에너지」의 본체예요.