프롤로그 연습문제 풀이¶

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Basic（기초）

B-1. 자연단위계에서의 차원 분석
B-2. 4원벡터의 내적
B-3. 입자 생성의 문턱값
B-4. Lorentz 부스트의 행렬 연산
B-5. 전자-양전자 쌍생성의 운동학
B-6. 지표 축약 연습
B-7. 스케일 감각

Medium（표준）

M-1. 불확정성 원리와 입자수 변화
M-2. 현의 진동과 "입자"
M-3. 반증 가능성과 정밀 일치
M-4. Planck 스케일의 차원 분석

Advanced（발전）

A-1. 동종 입자의 구별 불가능성（장의 양자론에서는 귀결）
A-2. 중력 결합상수의 차원 분석과 재규격화 불가능성

Basic（기초）¶

B-1. 자연단위계에서의 차원 분석¶

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방침: $\hbar = c = 1$ 으로 모든 물리량의 차원을 $[\text{mass}]^n$ 으로 통일해요. $[\hbar] = [E][t] = 1 \Rightarrow [t] = [E]^{-1}$, $c = [\ell]/[t] = 1 \Rightarrow [\ell] = [t]$. 기준은 $[E] = [\text{mass}]$예요.

양	질량 차원 $n$	이유
(a) $E$	$+1$	$[E] = [\text{mass}]$ (정의)
(b) $\ell$	$-1$	$[\ell] = [t] = [E]^{-1}$
(c) $t$	$-1$	$[\hbar] = [E][t] = 1$ 로부터
(d) $p$	$+1$	$[p] = [E]/c = [E] \cdot [\text{mass}]^0 = [\text{mass}]$
(e) $S$	$0$	$[S] = [\hbar] = 1$ 이므로 무차원

검산: $[d^4x] = [t][\ell]^3 = [\text{mass}]^{-4}$ 이므로 $[\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4$ 이어야 해요 (A2에서 사용).

B-2. 4원벡터의 내적¶

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$\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ (mostly minus).

(a) $p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\nu$:

$p_0 = +E, \quad p_1 = -p_x, \quad p_2 = -p_y, \quad p_3 = -p_z$

(b) 불변량:

$p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - |\mathbf{p}|^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2$

(c) 일반 단위계로의 복원:

자연단위계에서 $p^\mu p_\mu = m^2$이에요. $[E] \to [E]/c$ (c로 나눈 형태로 성분을 맞춤)와 $[m] \to mc^2$의 차원을 넣으면:

$\frac{E^2}{c^2} - |\mathbf{p}|^2 = m^2 c^2 \quad\Rightarrow\quad E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4$

이것이 일반적인 상대론적 에너지-운동량 관계예요. $\boxed{E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4}$

검산: 정지 상태 $\mathbf{p} = 0$에서 $E = mc^2$이 돼요. $m = 0$ (광자)에서 $E = |\mathbf{p}|c$이 돼요. 두 극한 모두 기존의 알려진 결과와 일치해요.

B-3. 입자 생성의 문턱값¶

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(a) 불변질량 $\sqrt{s}$:

$p_1^\mu = (E, \mathbf{p}_1), \quad p_2^\mu = (M, \mathbf{0})$ (표적 정지)

$s = (p_1 + p_2)^\mu(p_1 + p_2)_\mu = (E + M)^2 - |\mathbf{p}_1|^2$

$|\mathbf{p}_1|^2 = E^2 - m^2$ 를 대입하면:

$s = (E + M)^2 - (E^2 - m^2) = E^2 + 2EM + M^2 - E^2 + m^2 = m^2 + M^2 + 2EM$

$\boxed{\sqrt{s} = \sqrt{m^2 + M^2 + 2EM}}$

(b) Higgs 생성의 문턱값:

$p + p \to p + p + H$ 에서 문턱값은 $\sqrt{s} = 2m_p + m_H$예요. $m = M = m_p$, $E = m_p + T$ 를 대입하면:

$(2m_p + m_H)^2 = 2m_p^2 + 2(m_p + T)m_p = 2m_p^2 + 2m_p^2 + 2m_p T = 4m_p^2 + 2m_p T$

$T = \frac{(2m_p + m_H)^2 - 4m_p^2}{2m_p} = \frac{4m_p^2 + 4m_p m_H + m_H^2 - 4m_p^2}{2m_p} = 2m_H + \frac{m_H^2}{2m_p}$

수치 대입 ($m_p = 0.938\ \mathrm{GeV}$, $m_H = 125\ \mathrm{GeV}$):

$T_{\mathrm{thr}} = 2(125) + \frac{125^2}{2 \times 0.938} = 250 + \frac{15625}{1.876} \approx 250 + 8329 \approx 8579\ \mathrm{GeV}$

$\boxed{T_{\mathrm{thr}} \approx 8.58\ \mathrm{TeV}}$

검산: 비대칭 충돌에서는 문턱 에너지가 대칭 충돌(질량중심계)에 비해 자릿수 단위로 커지는 현상을 정량적으로 확인할 수 있어요. LHC의 13 TeV 질량중심계 충돌은 대칭 충돌 방식이므로, Higgs(125 GeV) 생성에 필요한 8.58 TeV 고정 표적 방식보다 훨씬 낮은 에너지로 같은 물리를 실현할 수 있어요. 이것이 대향 빔 충돌의 장점이에요.

B-4. Lorentz 부스트의 행렬 연산¶

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(a) $\gamma$ 계산:

$\beta = 3/5, \quad \beta^2 = 9/25, \quad 1 - \beta^2 = 16/25$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{16/25}} = \frac{5}{4}$

$\boxed{\gamma = 5/4}$

(b) 부스트 후의 4원운동량:

$\gamma = 5/4, \quad \gamma\beta = (5/4)(3/5) = 3/4$

$p^\mu = (5m, 3m, 0, 0)$ 에 작용:

$p'^0 = \gamma p^0 - \gamma\beta p^1 = (5/4)(5m) - (3/4)(3m) = 25m/4 - 9m/4 = 16m/4 = 4m$

$p'^1 = -\gamma\beta p^0 + \gamma p^1 = -(3/4)(5m) + (5/4)(3m) = -15m/4 + 15m/4 = 0$

$p'^2 = 0, \quad p'^3 = 0$

$\boxed{p'^\mu = (4m, 0, 0, 0)}$

(c) 로렌츠 불변량의 보존:

$p^\mu p_\mu = (5m)^2 - (3m)^2 - 0 - 0 = 25m^2 - 9m^2 = 16m^2$

$p'^\mu p'_\mu = (4m)^2 - 0 - 0 - 0 = 16m^2$

양쪽이 일치해요: $\boxed{p^\mu p_\mu = p'^\mu p'_\mu = 16m^2}$.

물리적 의미: $p'^\mu = (4m, 0, 0, 0)$ 는 정지계에서의 4원운동량이에요. 즉, 이 부스트는 입자의 정지계로의 변환이에요(입자의 속도 $v = p^1/p^0 \cdot c = 3c/5$ 와 같아요). 정지 질량은 $4m$ 이고, $m_{\mathrm{rest}}^2 = 16m^2$ 는 불변량과 일치해요.

B-5. 전자-양전자 쌍생성의 운동학¶

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(a) 불변질량:

광자 $k^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)$ (질량 0), 원자핵 $P_N^\mu = (M, \mathbf{0})$.

$s = (k + P_N)^\mu(k + P_N)_\mu = (E_\gamma + M)^2 - E_\gamma^2$

전개: $E_\gamma^2 + 2E_\gamma M + M^2 - E_\gamma^2 = 2E_\gamma M + M^2$

$\boxed{\sqrt{s} = \sqrt{M^2 + 2E_\gamma M}}$

(b) 문턱 조건 $\sqrt{s} = M + 2m_e$:

$M^2 + 2E_\gamma M = (M + 2m_e)^2 = M^2 + 4Mm_e + 4m_e^2$

$E_\gamma^{\min} = \frac{4Mm_e + 4m_e^2}{2M} = 2m_e + \frac{2m_e^2}{M}$

$M \gg m_e$ 근사: $\boxed{E_\gamma^{\min} \approx 2m_e}$

(c) 수치:

$M \to \infty$ 극한에서 $E_\gamma^{\min} = 2m_e = 2 \times 0.511 = 1.022\ \mathrm{MeV}$

$\boxed{E_\gamma^{\min} \approx 1.022\ \mathrm{MeV}}$

물리적 의미: 원자핵은 "되튐 상대"로서 운동량 보존을 만족시키기 위해서만 존재해요. 질량이 충분히 크면 사실상 에너지를 가져가지 않기 때문에, 광자의 에너지가 정확히 전자-양전자의 정지 에너지 $2m_e c^2$일 때 쌍생성이 일어나요. 진공 중(상대 없음)에서는 운동량 보존의 요구 때문에 쌍생성이 불가능해요.

B-6. 지표 축약 연습¶

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(a) $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}$:

$\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = \delta^\mu{}_\mu = 4$ (시공간의 차원)

$\boxed{\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = 4}$

(b) $\partial_\mu x^\mu$:

$\partial_\mu x^\mu = \partial_\mu x^\nu \cdot \delta^\mu_\nu = \delta^\mu_\mu = 4$

또는 명시적으로 쓰면: $\partial_0 x^0 + \partial_1 x^1 + \partial_2 x^2 + \partial_3 x^3 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

$\boxed{\partial_\mu x^\mu = 4}$

(c) 달랑베르 연산자 $\Box\phi$:

$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu = \eta^{00}\partial_0^2 + \eta^{11}\partial_1^2 + \eta^{22}\partial_2^2 + \eta^{33}\partial_3^2 = \partial_0^2 - \partial_1^2 - \partial_2^2 - \partial_3^2$

$\boxed{\Box\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^0)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^1)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^2)^2} - \frac{\partial^2\phi}{\partial(x^3)^2}}$

또는 $\Box = \partial_t^2 - \nabla^2$ (자연단위계 $c = 1$, $x^0 = t$).

검산: 클라인-고든 방정식 $(\Box + m^2)\phi = 0$은 평면파 $\phi = e^{-ip \cdot x}$에 대해 $(-p^\mu p_\mu + m^2) = 0$ 즉 $p^\mu p_\mu = m^2$ (질량 껍질 조건)으로 귀결돼요.

B-7. 스케일 감각¶

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스케일	값	eV 환산
(a) $m_e c^2$	$0.511\ \mathrm{MeV}$	$5.11 \times 10^5\ \mathrm{eV}$
(b) $m_H c^2$	$125\ \mathrm{GeV}$	$1.25 \times 10^{11}\ \mathrm{eV}$
(c) CMB 광자	$k_B T \approx 8.617 \times 10^{-5} \times 2.725$	$\approx 2.35 \times 10^{-4}\ \mathrm{eV}$
(d) LHC	$13\ \mathrm{TeV}$	$1.3 \times 10^{13}\ \mathrm{eV}$

큰 순서:

$\boxed{\text{LHC}\ (10^{13}) > m_H\ (10^{11}) > m_e\ (10^{5.7}) > \text{CMB}\ (10^{-3.6})}$

범위: 최고 $10^{13}$ eV와 최저 $10^{-4}$ eV로 약 17자릿수의 차이가 있어요. 이것만으로도 본문에서 언급된 "40자릿수"에는 미치지 못해요. 40자릿수의 차이는, 예를 들어 플랑크 스케일($10^{28}$ eV, S4 참조)과 중성자의 붕괴 상수($10^{-25}$ eV 정도의 에너지 분해능)를 포함하면 도달할 수 있어요.

Medium（표준）¶

M-1. 불확정성 원리와 입자수 변화¶

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(a) 임계 길이 $\Delta x_c$:

상대론적으로 생각하면, 운동량의 불확정성은 $\Delta p \gtrsim \hbar/\Delta x$이에요. 이에 따른 에너지의 불확정성은 $\Delta E \gtrsim c\Delta p \gtrsim \hbar c/\Delta x$ (초상대론적 영역)이에요.

에너지가 $mc^2$를 초과하는 조건:

$\frac{\hbar c}{\Delta x} \gtrsim mc^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta x \lesssim \frac{\hbar}{mc}$

우변은 Compton 파장 $\lambda_C = \hbar/(mc)$ 그 자체예요:

$\boxed{\Delta x_c = \lambda_C = \frac{\hbar}{mc}}$

(b) 입자 수 변화의 필연성:

$\Delta x < \lambda_C$에서는 $\Delta E > mc^2$가 되어, 에너지 불확정성의 범위 내에서 질량 $m$인 입자-반입자 쌍을 가상적으로 생성할 수 있어요 ($E = mc^2$만큼의 에너지가 요동으로서 허용돼요). 이것이 "진공의 요동"이며, 진공이 장의 바닥상태로서 동적으로 요동치는 모습이에요.

1입자 양자역학(Schrödinger 방정식)에서는 입자의 수가 보존되는 상수로 취급되지만, $\Delta x < \lambda_C$ 영역에서는 이 전제가 붕괴하여, 새로운 입자 쌍의 생성·소멸을 기술할 수 있는 틀이 필요해요 → 장의 양자론.

(c) 전자의 Compton 파장:

$\lambda_C = \frac{\hbar c}{m_e c^2} = \frac{197\ \mathrm{MeV}\cdot\mathrm{fm}}{0.511\ \mathrm{MeV}} \approx 386\ \mathrm{fm} = 3.86 \times 10^{-13}\ \mathrm{m}$

$\boxed{\lambda_C \approx 386\ \mathrm{fm}}$

비교와 결론:

원자 스케일($\sim 10^5\ \mathrm{fm} = 0.1\ \mathrm{nm}$): $\Delta x \gg \lambda_C$이므로 입자 수의 요동은 무시 가능 → 통상적인 양자역학으로 기술할 수 있어요
원자핵 스케일($\sim$ 수 fm): $\Delta x \lesssim \lambda_C$이므로 입자 수의 요동이 본질적 → 장의 양자론이 필요해요

이 경계가, 양자역학에서 장의 양자론으로의 전환이 필연적이 되는 물리적 임계값이에요.

검산: $\lambda_C$는 "전자와 전자기파가 같은 에너지를 갖는 길이 스케일"이라고도 말할 수 있어요. COMPTON 산란 공식 $\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos\theta)$가 $\lambda_C$를 그대로 사용한다는 점에서, 실험과 직결된 양임을 알 수 있어요.

M-2. 현의 진동과 "입자"¶

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(a) d'Alembert 방정식:

$\mu\partial_t^2\phi = T\partial_x^2\phi \quad\Rightarrow\quad \partial_t^2\phi - \frac{T}{\mu}\partial_x^2\phi = 0$

$v = \sqrt{T/\mu}$ 로 놓으면:

$\partial_t^2\phi - v^2\partial_x^2\phi = 0$

1+1 차원의 d'Alembert 연산자 $\Box = \partial_t^2 - v^2\partial_x^2$ ($c$를 $v$로 치환한 것)를 사용하면:

$\boxed{\Box\phi = 0}$

(b) 양 끝이 고정된 현의 해:

$\phi(0,t) = \phi(L,t) = 0$ 의 경계 조건으로부터, 공간 방향은 $\sin(n\pi x/L)$ 형태예요:

$\phi(x,t) = \sum_{n=1}^\infty q_n(t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

$\Box\phi = 0$ 에 대입하면 각 모드는 조화 진동자가 돼요:

$\ddot{q}_n(t) + \omega_n^2 q_n(t) = 0, \qquad \omega_n = \frac{n\pi v}{L}$

$\boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots}$

(c) 장의 양자론의 원형으로서의 유추:

현의 각 진동 모드 $n$은 독립적인 1차원 조화 진동자예요. 조화 진동자를 양자화하면, 제 $n$ 모드의 에너지 준위는 $E_n = \hbar\omega_n(N_n + 1/2)$ 이고, $N_n$은 "해당 모드에 존재하는 여기 양자의 수"예요.

장의 양자론에서는, 장 $\phi(x,t)$를 "현"으로, 진동 모드 $n$을 "운동량 $\mathbf{k}$"로 1대1 대응시켜 봐요:

현	장의 양자론
현 전체 $\phi(x,t)$	스칼라장 $\phi(x)$
진동 모드 $n$	운동량 모드 $\mathbf{k}$
모드 진동수 $\omega_n = n\pi v/L$	$\omega_\mathbf{k} = \sqrt{
모드 양자수 $N_n$	입자 수 $N_\mathbf{k}$
모드의 에너지 $\hbar\omega_n(N_n + 1/2)$	모드의 에너지 $\omega_\mathbf{k}(N_\mathbf{k} + 1/2)$

본문과의 대응: "장의 진동 모드가 입자이다"라는 리나의 설명은, 바로 현의 각 진동 모드가 조화 진동자이며, 그 여기 양자($N_n$)가 입자에 대응한다는 것이에요. 끈 이론(「양자중력 문제에의 도전」편)에서는, 나아가 이 진동 모드가 "다양한 입자 종류(질량·스핀이 다른 입자)"에 대응한다는 대담한 확장을 해요.

M-3. 반증 가능성과 정밀 일치¶

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(a) 최저차 항의 수치:

$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{1}{2\pi \times 137.036} = \frac{1}{861.02} \approx 1.1614 \times 10^{-3}$

$\boxed{\alpha/(2\pi) \approx 0.001161}$（유효숫자 4자리）

실험값 $a_e \approx 0.001160$ 과 일치하는 부분:

최저차 항 $0.001161$과 실험값 $0.001160$은 첫째 자리 $1.16 \times 10^{-3}$까지 일치해요. Schwinger (1948)가 손 계산으로 구한 이 최저차 항만으로도 실험값의 99.9% 이상을 재현할 수 있어요.

(b) 더 높은 차수의 항을 계산하는 의의 (반증 가능성의 관점):

최저차 항만으로도 이미 실험값의 대부분을 설명할 수 있지만, 그것으로 "QED가 옳다"고 확정된 것은 아니에요. 실험 측정의 정밀도가 올라가면, 더 높은 차수의 항（$\alpha^2$, $\alpha^3$, …）의 기여가 소수점 아래 더 깊은 자릿수에 나타나요. 만약 고차 항의 예측이 실험값과 어긋나면, QED 모델이 어떤 미지의 물리적 효과（예를 들어 미발견 입자의 루프 기여）를 놓치고 있다는 증거가 되며, 모델의 수정이나 확장이 필요해져요. 반대로 모든 차수에서 계속 일치하면, QED의 신뢰도는 그 정밀도의 자릿수까지 보증돼요. "계산할 수 있다 → 예측할 수 있다 → 검증할 수 있다 → 모델의 신뢰도가 올라가거나 기각된다"——이 반증 가능성이야말로 QED를 단순한 철학적 주장이 아닌 과학으로 성립시키고 있어요.

(c) 가상 시나리오 (15번째 자릿수에서 불일치)에 대한 응답:

"틀렸다"가 아니라 "적용 한계가 보였다"로 해석해야 해요. Newton 역학이 상대론이나 양자역학의 등장 이후에도 저속·거시적 스케일에서 완전히 유효한 것처럼, QED도 측정된 자릿수의 범위에서는 유효해요. 15번째 자릿수에서 불일치가 나타났다 하더라도, 그것은 QED 전체의 기각이 아니라 "더 깊은 이론（예를 들어 표준 모형, 나아가 대통일 이론, 더 나아가 양자 중력）의 효과가 그 정밀도에서 보이기 시작했다"는 것을 의미해요. 본문의 과학철학적 입장은 "모델은 항상 유효 범위가 붙은 가설이며, 정밀도가 올라갈수록 더 근본적인 이론으로의 계단이 보인다"는 것으로, 15번째 자릿수에서의 불일치는 바로 그 과정의 일환이에요.

M-4. Planck 스케일의 차원 분석¶

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(a) Planck 질량의 도출:

$M_P = G^a \hbar^b c^d$ 로 놓고, 차원 $[M_P] = \mathrm{kg}$ 으로부터 지수를 결정해요.

차원 표:

$[G] = \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}, \quad [\hbar] = \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}, \quad [c] = \mathrm{m\,s^{-1}}$

$[G^a \hbar^b c^d] = \mathrm{m}^{3a+2b+d}\,\mathrm{kg}^{-a+b}\,\mathrm{s}^{-2a-b-d}$

$\mathrm{kg}$ 만의 차원: $3a + 2b + d = 0$, $-a + b = 1$, $-2a - b - d = 0$

제2식에서 $b = 1 + a$. 제1식에 대입: $3a + 2(1 + a) + d = 0 \Rightarrow d = -5a - 2$. 제3식에 대입: $-2a - (1 + a) - (-5a - 2) = 0 \Rightarrow 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1/2$. 따라서 $b = 1/2$, $d = 1/2$.

$\boxed{M_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}}$

(b) Planck 길이와 Planck 시간:

동일한 절차로 (혹은 차원 관계로부터 직접 도출):

$\boxed{\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}, \qquad t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}}$

관계식: $\ell_P = c \cdot t_P$, $\ell_P = \hbar/(M_P c)$ (Planck 질량의 Compton 파장), $t_P = \ell_P/c$.

(c) 수치:

$M_P = \sqrt{\frac{1.055 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{\frac{3.165 \times 10^{-26}}{6.674 \times 10^{-11}}} = \sqrt{4.74 \times 10^{-16}} \approx 2.18 \times 10^{-8}\ \mathrm{kg}$
$\ell_P = \sqrt{\frac{1.055 \times 10^{-34} \times 6.674 \times 10^{-11}}{(3.0 \times 10^8)^3}} = \sqrt{\frac{7.04 \times 10^{-45}}{2.7 \times 10^{25}}} = \sqrt{2.61 \times 10^{-70}} \approx 1.62 \times 10^{-35}\ \mathrm{m}$
$t_P = \ell_P/c = \frac{1.62 \times 10^{-35}}{3.0 \times 10^8} \approx 5.39 \times 10^{-44}\ \mathrm{s}$

$\boxed{M_P \approx 2.18 \times 10^{-8}\ \mathrm{kg}, \quad \ell_P \approx 1.62 \times 10^{-35}\ \mathrm{m}, \quad t_P \approx 5.39 \times 10^{-44}\ \mathrm{s}}$

(d) GeV 환산과 LHC와의 비교:

$M_P c^2 = 2.18 \times 10^{-8} \times (3.0 \times 10^8)^2 = 2.18 \times 10^{-8} \times 9.0 \times 10^{16} = 1.96 \times 10^9\ \mathrm{J}$

$\frac{1.96 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \approx 1.22 \times 10^{19}\ \mathrm{eV} = 1.22 \times 10^{10}\ \mathrm{GeV}$

$\boxed{M_P c^2 \approx 1.22 \times 10^{19}\ \mathrm{GeV} = 1.22 \times 10^{16}\ \mathrm{TeV}}$

LHC(13 TeV)와의 비:

$\frac{M_P c^2}{\sqrt{s}_{\mathrm{LHC}}} = \frac{1.22 \times 10^{16}}{13} \approx 10^{15}$

논의 (100자 내외):

Planck 스케일은 LHC의 약 $10^{15}$배에 해당해요. 장의 양자론에 중력을 소박하게 결합시키면, 중력의 결합 세기는 에너지가 올라감에 따라 강해지며 Planck 스케일 부근에서 섭동 전개가 파탄해요. 이 에너지 영역에 실험으로 직접 도달할 전망은 없으며, 이론 자체의 무모순성으로부터 추적해 나갈 수밖에 없어요.

Advanced（발전）¶

A-1. 동종 입자의 구별 불가능성（장의 양자론에서는 귀결）¶

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(a) 양자역학에서의 취급 (공리):

양자역학에서는 동종 입자(예를 들어 2개의 전자)의 파동함수가 "입자 1과 2의 위치를 교환해도 물리적으로 구별할 수 없다"는 요청으로부터, 보손은 대칭, 페르미온은 반대칭이어야 한다고 해요. 이것은 대칭화 공리 (symmetrization postulate)로서, 파동함수의 구성 단계에서 수동으로 부과돼요. 즉, 양자역학에서는 2입자 파동함수를 구축할 때 $|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle + \epsilon |\psi_2\rangle \otimes |\psi_1\rangle$ ($\epsilon = +1$ 보손, $\epsilon = -1$ 페르미온)과 같이 대칭화/반대칭화하는 것이 공리적으로 요구돼요.

(b) 보손의 구별 불가능성의 자동적 도출:

교환관계 $[\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}] = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} - \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1} = 0$ 으로부터:

$\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2} = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}$

진공에 작용시키면:

$|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}|0\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_2}\hat{a}^\dagger_{\mathbf{p}_1}|0\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle$

$\boxed{|\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\rangle = |\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1\rangle}$

(c) 페르미온의 반대칭성과 Pauli 배타 원리:

반교환관계 $\{\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}, \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\} = \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2} + \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1} = 0$ 으로부터:

$\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2} = -\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}$

따라서 2페르미온 상태는:

$|\mathbf{p}_1 s_1, \mathbf{p}_2 s_2\rangle = \hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}|0\rangle = -\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_2,s_2}\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p}_1,s_1}|0\rangle = -|\mathbf{p}_2 s_2, \mathbf{p}_1 s_1\rangle$

교환에 대해 반대칭이에요. 더 나아가 $\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_2$, $s_1 = s_2$ 인 경우, 반교환관계 $\{A, A\} = 2A^2 = 0 \Rightarrow A^2 = 0$ 으로부터:

$(\hat{b}^\dagger_{\mathbf{p},s})^2|0\rangle = 0$

$\boxed{\text{같은 양자 상태에 2개의 페르미온은 존재할 수 없다 (Pauli 배타 원리)}}$

(d) 세계관의 전환 (300자 정도):

양자역학에서는 2입자 파동함수를 만들 때 대칭화/반대칭화를 "수동으로 부과"하는 것이 요구되었어요. 이것이 대칭화 공리이며, 공리란 "그렇게 가정하면 실험과 맞는다"는 잠정적 요청이에요. 장의 양자론에서는 입자가 독립적인 실체가 아니라 장의 양자적 들뜸이며, 같은 장의 같은 모드에서 생성된 들뜸 양자는 생성된 순간부터 구별할 방법이 없어요. 생성 연산자의 교환관계(보손)/반교환관계(페르미온)라는 대수적 구조를 장의 양자화 틀에 내장하는 것만으로, 대칭성·반대칭성·Pauli 배타 원리가 귀결로서 자동적으로 도출돼요. 공리가 정리로 격하되는 이 전환은 "입자가 본질적 실체"에서 "장이 본질적 실체"로의 세계관 변화를 정량적으로 보여줘요. 나아가 스핀-통계 정리에 의해, 어떤 장을 교환관계로 양자화하고 어떤 장을 반교환관계로 양자화할지도 장의 Lorentz 성질로부터 결정돼요.

A-2. 중력 결합상수의 차원 분석과 재규격화 불가능성¶

→ 문제로 돌아가기

(a) QED의 결합상수 $e$의 차원:

$\mathcal{L}_{\mathrm{int}} = -e\,\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\,A_\mu$의 각 인자:

$[\bar{\psi}\psi] = [\psi]^2 = [\text{mass}]^{3}$
$[\gamma^\mu] = [\text{mass}]^0$ (무차원 상수 행렬)
$[A_\mu] = [\text{mass}]^1$

따라서 $[\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu] = [\text{mass}]^{3+0+1} = [\text{mass}]^4$. $[\mathcal{L}] = [\text{mass}]^4$이므로:

$[e] = [\text{mass}]^{4-4} = [\text{mass}]^0$

$\boxed{[e] = 0 \quad(\text{무차원})}$

(b) 중력상수 $G$와 $\kappa$의 차원:

Einstein-Hilbert 작용 $S_{\mathrm{EH}} = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x\sqrt{-g}\,R$에서, $[d^4x] = [\text{mass}]^{-4}$, $[R] = [\text{mass}]^2$, $[\sqrt{-g}] = [\text{mass}]^0$, $[S] = 0$:

$0 = [G]^{-1} \cdot [\text{mass}]^{-4} \cdot [\text{mass}]^2 \quad\Rightarrow\quad [G]^{-1} = [\text{mass}]^{2}$

$\boxed{[G] = [\text{mass}]^{-2}}$

$\kappa = \sqrt{32\pi G}$:

$\boxed{[\kappa] = [G]^{1/2} = [\text{mass}]^{-1}}$

(c) 재규격화 분류:

결합상수	질량 차원 $\delta$	분류
$e$ (QED)	$0$	재규격화 가능 (renormalizable)
$G$ (중력)	$-2$	재규격화 불가능 (non-renormalizable)
$\kappa$ (중력의 선형화 결합)	$-1$	재규격화 불가능

(d) 왜 중력의 양자화에 장의 양자론을 넘어서는 틀이 필요한가 (300자 내외):

재규격화 불가능한 이론($\delta < 0$)에서는 각 루프 차수마다 새로운 유형의 발산(더 높은 운동량 차수의 발산)이 나타나며, 이를 흡수하기 위해 무한히 많은 종류의 반대항(counterterm)이 필요해요. 유한 개의 매개변수로는 제어할 수 없으므로 예측력이 상실돼요. 양자중력에서 $[G] = [\text{mass}]^{-2}$가 되는 근본 원인은 중력이 "시공간 자체의 기하학"을 기술하기 때문에, 고차원의 양(Ricci 텐서의 고계 미분)이 결합상수와 합쳐져 발산을 양산하는 데 있어요. 본문에서 리나가 "점입자를 유한한 크기를 가진 끈으로 대체한다"고 설명한 끈이론의 아이디어는 이 UV 발산 자체를 구조적으로 완화해요. 끈의 크기($\sim \ell_s$)가 고운동량($\mathbf{k} \gg 1/\ell_s$)에서의 상호작용을 softening하여, 재규격화 불가능성이라는 장의 양자론의 벽을 우회해요. 이것이 중력의 양자화에 장의 양자론을 넘어서는 틀이 필요한 핵심적인 이유예요.

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양	질량 차원 \(n\)	이유
(a) \(E\)	\(+1\)	\([E] = [\text{mass}]\) (정의)
(b) \(\ell\)	\(-1\)	\([\ell] = [t] = [E]^{-1}\)
(c) \(t\)	\(-1\)	\([\hbar] = [E][t] = 1\) 로부터
(d) \(p\)	\(+1\)	\([p] = [E]/c = [E] \cdot [\text{mass}]^0 = [\text{mass}]\)
(e) \(S\)	\(0\)	\([S] = [\hbar] = 1\) 이므로 무차원

스케일	값	eV 환산
(a) \(m_e c^2\)	\(0.511\ \mathrm{MeV}\)	\(5.11 \times 10^5\ \mathrm{eV}\)
(b) \(m_H c^2\)	\(125\ \mathrm{GeV}\)	\(1.25 \times 10^{11}\ \mathrm{eV}\)
(c) CMB 광자	\(k_B T \approx 8.617 \times 10^{-5} \times 2.725\)	\(\approx 2.35 \times 10^{-4}\ \mathrm{eV}\)
(d) LHC	\(13\ \mathrm{TeV}\)	\(1.3 \times 10^{13}\ \mathrm{eV}\)

현	장의 양자론
현 전체 \(\phi(x,t)\)	스칼라장 \(\phi(x)\)
진동 모드 \(n\)	운동량 모드 \(\mathbf{k}\)
모드 진동수 \(\omega_n = n\pi v/L\)	$\omega_\mathbf{k} = \sqrt{
모드 양자수 \(N_n\)	입자 수 \(N_\mathbf{k}\)
모드의 에너지 \(\hbar\omega_n(N_n + 1/2)\)	모드의 에너지 \(\omega_\mathbf{k}(N_\mathbf{k} + 1/2)\)

결합상수	질량 차원 \(\delta\)	분류
\(e\) (QED)	\(0\)	재규격화 가능 (renormalizable)
\(G\) (중력)	\(-2\)	재규격화 불가능 (non-renormalizable)
\(\kappa\) (중력의 선형화 결합)	\(-1\)	재규격화 불가능