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부록 B 연습문제

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목차

Basic（기초）

Medium（표준）

Advanced（발전）

Basic（기초）

B-1. 텐서곱 \(S \otimes T\) 의 기본

\(V\) 를 2차원 선형공간, 기저를 \(e_1, e_2\) 로 하자. \(S = 3e_1 - e_2\), \(T = e_1 + 4e_2\) 일 때, 텐서곱 \(S \otimes T\) 를 \(T^2(V)\) 의 기저 \(\{e_i \otimes e_j\}\) 로 전개하세요.

힌트

분배법칙 \((a e_1 + b e_2) \otimes (c e_1 + d e_2) = ac\,e_1 \otimes e_1 + ad\,e_1 \otimes e_2 + bc\,e_2 \otimes e_1 + bd\,e_2 \otimes e_2\) 를 사용해요.

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B-2. 텐서곱의 비가환성

\(V\) 를 2차원 선형공간, 기저를 \(e_1, e_2\) 로 하자. \(S = 3e_1 - e_2\), \(T = e_1 + 4e_2\) 일 때, \(T \otimes S\) 를 \(T^2(V)\) 의 기저로 전개하고, \(S \otimes T\) 와 \(T \otimes S\) 가 다르다는 것을 확인하세요.

힌트

텐서곱은 일반적으로 비가환이에요: \(S \otimes T \neq T \otimes S\). \(e_1 \otimes e_2\) 와 \(e_2 \otimes e_1\) 의 계수를 비교하세요.

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B-3. 텐서의 선형결합

\(T^2(V)\)（\(V\)는 2차원）의 원소 \(P = 2\,e_1 \otimes e_1 - 3\,e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 + 5\,e_2 \otimes e_2\)와 \(Q = -e_1 \otimes e_1 + 4\,e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1 + 2\,e_2 \otimes e_2\)에 대해, \(P + Q\) 및 \(2P - Q\)를 각각 구하세요.

힌트

같은 기저 \(e_i \otimes e_j\)의 계수끼리 더하고 빼면 돼요. 보통의 벡터의 선형결합과 같은 연산이에요.

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B-4. 텐서 공간의 차원

\(V\) 가 4차원일 때, \(T^2(V)\) 의 차원과 \(T^3(V)\) 의 차원을 각각 구하세요.

힌트

\(V\) 가 \(n\) 차원일 때, \(T^r(V)\) 의 차원은 \(n^r\) 이에요.

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B-5. Einstein 합의 전개

아인슈타인(Einstein)의 축약 표기법을 사용한 식 \(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) 에서, \(V\) 가 3차원(\(i, j = 1, 2, 3\))일 때, 이 식을 \(\Sigma\) 기호를 사용한 명시적인 이중합의 형태로 써 보세요. 또한, 전개했을 때 몇 개의 항이 나타나는지 답하세요.

힌트

\(S = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} S^{ij}\,e_i \otimes e_j\) 로 쓰고, \(i\) 와 \(j\) 의 모든 조합을 세면 돼요.

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B-6. Einstein 규약의 위반

Einstein 축약 표기법의 규약에 위반하는 것을 고르세요.

  • (a) \(A^i B^j\,e_i \otimes e_j\)
  • (b) \(A^i B^i C^i\)
  • (c) \(S^{ij}\,T_{jk}\)
  • (d) \(A^i B_j\)
  • (e) \(S^{ij}\,e_i \otimes e_i\)
힌트

규약의 규칙: (1) 같은 첨자가 위와 아래에 1번씩 나타나면 합을 취해요, (2) 같은 첨자가 하나의 항에 3번 이상 나타나면 안 돼요, (3) 합을 취하지 않는 첨자(자유 첨자)는 각 항에서 일치해야 해요.

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B-7. 성분으로부터 텐서를 복원

\(T^2(V)\)（\(V\)는 2차원）의 원소 \(S\)의 성분이 \(S^{11} = 2,\; S^{12} = -1,\; S^{21} = 0,\; S^{22} = 3\)일 때, \(S\)를 기저 \(e_i \otimes e_j\)를 사용하여 명시적으로 써 보세요.

힌트

\(S = S^{ij}\,e_i \otimes e_j\)의 축약을 전개하고, 성분의 값을 대입해요.

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B-8. 1계와 2계의 텐서곱

\(V\)를 2차원 선형공간이라 하자. \(A = 2e_1 + e_2 \in T^1(V)\)와 \(S = e_1 \otimes e_2 - 3\,e_2 \otimes e_1 \in T^2(V)\)의 텐서곱 \(A \otimes S\)를 \(T^3(V)\)의 기저로 전개하세요.

힌트

\(A \otimes S\)는 \(T^1(V)\)의 원소와 \(T^2(V)\)의 원소의 텐서곱이므로 \(T^{1+2}(V) = T^3(V)\)의 원소예요. 분배법칙을 사용하여 전개해요.

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Medium（표준）

M-1. 분해 가능 텐서의 조건

\(V\)를 2차원 선형공간, 기저를 \(e_1, e_2\)로 해요. \(T^2(V)\)의 원소 \(W = a\,e_1 \otimes e_1 + b\,e_1 \otimes e_2 + c\,e_2 \otimes e_1 + d\,e_2 \otimes e_2\)가 분해 가능 텐서(즉, \(W = S \otimes T\), \(S, T \in V\))이기 위한 필요충분조건이 \(ad - bc = 0\)임을 보이세요.

힌트

\(S = \alpha e_1 + \beta e_2\), \(T = \gamma e_1 + \delta e_2\)로 놓고 \(S \otimes T\)를 전개하면 \(a = \alpha\gamma,\; b = \alpha\delta,\; c = \beta\gamma,\; d = \beta\delta\)가 되므로 \(ad\)와 \(bc\)를 비교해요. 역방향(\(ad = bc\)이면 분해 가능)도 보여야 해요.

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M-2. 쌍선형 사상의 성분 표시

\(V\)를 2차원 선형공간, 기저를 \(e_1, e_2\)로 해요. \(\binom{0}{2}\) 텐서 \(f\)의 성분이 \(f_{11}=2, f_{12}=1, f_{21}=1, f_{22}=3\)일 때, 다음에 답하세요.

(a) 일반적인 벡터 \(\vec{A} = A^1 e_1 + A^2 e_2\)와 \(\vec{B} = B^1 e_1 + B^2 e_2\)에 대한 \(f(\vec{A}, \vec{B})\)를, 다중선형성을 이용하여 성분 \(A^i, B^j, f_{ij}\)로 나타내세요.

(b) \(\vec{A} = e_1 - 2e_2\), \(\vec{B} = 3e_1 + e_2\)일 때, \(f(\vec{A}, \vec{B})\)의 값을 구하세요.

(c) 이 \(f\)에 대해 \(f(\vec{A}, \vec{B}) = f(\vec{B}, \vec{A})\)가 임의의 \(\vec{A}, \vec{B}\)에 대해 성립함을, 성분을 이용하여 확인하세요.

힌트

(a)에서는 식 (B.7)과 마찬가지로 \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\)를 유도해요. (c)에서는 \(f_{ij} = f_{ji}\)임을 확인해요.

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M-3. 텐서곱에 의한 계수의 덧셈

\(T^r(V)\)의 원소와 \(T^m(V)\)의 원소의 텐서곱이 \(T^{r+m}(V)\)의 원소가 되는 것을 성분 표시를 이용하여 보이세요. 즉, \(S = S^{i_1 \cdots i_r}\,e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \in T^r(V)\)와 \(T = T^{j_1 \cdots j_m}\,e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_m} \in T^m(V)\)에 대해, \(S \otimes T\)가 \(r + m\)개의 위 첨자를 가지는 성분으로 표현되는 것을 보이세요.

힌트

텐서곱의 분배법칙과 스칼라의 추출 (B.1)–(B.3)을 사용하여 \(S \otimes T\)를 전개하고, 기저가 \(e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_r} \otimes e_{j_1} \otimes \cdots \otimes e_{j_m}\)의 형태가 되는 것을 확인하세요.

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M-4. \(T^0(V)\)와 스칼라

\(V\)를 \(n\)차원 선형공간이라 해요. \(T^0(V)\)를 "0계 반변 텐서 공간"으로 정의할 때, \(T^0(V)\)의 차원은 \(n^0 = 1\)이 돼요. \(T^0(V)\)의 원소가 스칼라(실수)에 대응함을 설명하고, 임의의 \(T^r(V)\)의 원소 \(S\)와 스칼라 \(\lambda \in T^0(V)\)의 텐서곱 \(\lambda \otimes S\)가 \(T^r(V)\)의 원소(\(S\)의 스칼라배 \(\lambda S\))와 일치함을 텐서곱의 법칙 (B.1)을 이용하여 보이세요.

힌트

\(T^0(V)\)는 기저가 "빈 텐서곱" 1개뿐인 1차원 공간이며, 실수체 \(\mathbb{R}\)와 동일시할 수 있어요. \(\lambda \otimes S\)에 (B.1)을 적용하세요.

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M-5. 단순한 \(S \otimes T\) 의 전개

\(V\) 를 2차원 선형공간, 기저를 \(e_1, e_2\) 로 하자. \(S = e_1 + 2e_2\), \(T = 3e_1 - e_2\) 일 때, \(S \otimes T\) 를 \(T^2(V)\) 의 기저로 전개하세요.

힌트

분배법칙을 사용하여 \((e_1 + 2e_2) \otimes (3e_1 - e_2)\) 를 전개해요.

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M-6. 3차원 공간의 텐서 공간의 차원

\(T^2(V)\)（\(V\)는 3차원）의 차원은 얼마인가요? 또한 \(T^3(V)\)의 차원은 얼마인가요?

힌트

\(V\)가 \(n\)차원일 때 \(T^r(V)\)의 차원은 \(n^r\)이에요. \(n = 3\)을 대입해요.

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M-7. 반대칭 텐서의 비분해성

\(e_1 \otimes e_2 - e_2 \otimes e_1\) 이 분해 가능 텐서（\(S \otimes T\) 의 형태）로 쓸 수 없음을 보여주세요.

힌트

\(a = 0, b = 1, c = -1, d = 0\) 으로 놓으면 \(ad - bc = 0 - (-1) = 1 \neq 0\). 문제 B.9의 결과를 이용해요.

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M-8. 단위 쌍선형 형식의 평가

\(\binom{0}{2}\) 텐서 \(f\)가 \(f(e_1, e_1) = 1\), \(f(e_1, e_2) = 0\), \(f(e_2, e_1) = 0\), \(f(e_2, e_2) = 1\)을 만족할 때, \(\vec{A} = 3e_1 + 2e_2\), \(\vec{B} = -e_1 + 4e_2\)에 대한 \(f(\vec{A}, \vec{B})\)를 구하세요.

힌트

\(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^i B^j f_{ij}\)에 성분을 대입해요. \(f_{ij} = \delta_{ij}\) (단위행렬)인 것에 주목하세요.

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Advanced（발전）

A-1. 대칭·반대칭 분해

\(W^{(S)} := \frac{1}{2}(W^{ij} + W^{ji})\,e_i \otimes e_j, \qquad W^{(A)} := \frac{1}{2}(W^{ij} - W^{ji})\,e_i \otimes e_j\)

로 정의해요.

(a) 임의의 \(W \in T^2(V)\)가 \(W = W^{(S)} + W^{(A)}\)로 유일하게 분해됨을 보이세요.

(b) 대칭 텐서 전체의 집합 \(\mathrm{Sym}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = W^{ji}\}\)와 반대칭 텐서 전체의 집합 \(\mathrm{Alt}^2(V) = \{W \in T^2(V) \mid W^{ij} = -W^{ji}\}\)가 각각 \(T^2(V)\)의 부분공간임을 보이고, \(V\)가 \(n\) 차원일 때 \(\mathrm{Sym}^2(V)\)와 \(\mathrm{Alt}^2(V)\)의 차원을 구하세요.

(c) 계량 텐서 \(g_{\mu\nu}\)가 대칭 텐서인 것(\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\))과 전자기장 텐서(패러데이 텐서) \(F_{\mu\nu}\)가 반대칭 텐서인 것(\(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\))을 바탕으로, 4차원 시공간(\(n = 4\))에서 \(g_{\mu\nu}\)의 독립 성분의 수와 \(F_{\mu\nu}\)의 독립 성분의 수를 각각 구하세요. 그 합이 \(n^2\)과 일치함을 확인하세요.

힌트

(b) \(\mathrm{Sym}^2(V)\)의 차원은 \(\frac{n(n+1)}{2}\), \(\mathrm{Alt}^2(V)\)의 차원은 \(\frac{n(n-1)}{2}\)이에요. (c) \(n = 4\)를 대입해요.

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A-2. 쌍대공간에 의한 텐서 표현

(a) \(V^*\) 와 \(V^*\) 의 텐서곱 공간 \(V^* \otimes V^*\) 의 기저와 차원을 써 내려 보세요.

(b) \(\binom{0}{2}\) 텐서 \(f\)（벡터를 2개 받아 실수를 반환하는 쌍선형 사상）의 성분 \(f_{ij} = f(e_i, e_j)\) 를 이용하여, \(f\) 를 \(V^* \otimes V^*\) 의 원소로서

\(f = f_{ij}\,e^i \otimes e^j\)

와 같이 나타낼 수 있음을, 임의의 벡터 \(\vec{A} = A^k e_k\), \(\vec{B} = B^l e_l\) 에 대해 \(f(\vec{A}, \vec{B}) = A^k B^l f_{kl}\) 이 재현됨을 확인함으로써 보이세요. 여기서 \((e^i \otimes e^j)(\vec{A}, \vec{B}) := e^i(\vec{A})\,e^j(\vec{B})\) 로 정의해요.

(c) 이 결과를 바탕으로, \(\binom{0}{2}\) 텐서의 공간이 \(V^* \otimes V^*\) 와 동형임을, 그리고 \(\binom{0}{N}\) 텐서의 공간이 \(\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{N}\) 과 동형임을 논하세요. 본문 B.11절의 「두 가지 접근법의 연결」이 어떻게 일반화되는지 설명하세요.

힌트

(b) \(f_{ij}\,e^i \otimes e^j\) 에 \((\vec{A}, \vec{B})\) 를 대입하고, \(e^i(\vec{A}) = A^i\)（쌍대기저의 정의）를 사용하세요. (c) 반변 텐서 공간 \(T^r(V) = V \otimes \cdots \otimes V\) 와의 대비로, 공변 텐서 공간 \(T_N(V) = V^* \otimes \cdots \otimes V^*\) 를 구성하는 논의를 진행하세요.

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