제7장 상호작용과 S 행렬 — 장을 어떻게 섞을 것인가¶
지금까지의 줄거리:
제 6 장에서는 전자기장의 양자화에 도전했다. 게이지 자유도라는 새로운 어려움에 직면하고, 게이지 고정이라는 처방을 거쳐, 광자가 2개의 물리적 편광 자유도를 가진 횡파로서 양자화된다는 것을 확인했다. 이로써 자유장의 양자화——스칼라장·Dirac 장·전자기장——이 모두 갖춰졌다.
이 장의 목표
- 자유장의 세계를 떠나, 입자들이 산란하는 「상호작용」을 장의 양자론에 도입한다
- 상호작용 묘사·S 행렬·Dyson 급수·Wick의 정리라는 도구를 손에 넣고, \(\phi^4\) 이론의 2→2 산란진폭을 최저차에서 구체적으로 계산할 수 있게 된다
7.1 왜 상호작용이 필요한가——자유장의 지루한 세계¶
🟡 리나: 제 4 장부터 제 6 장에 걸쳐, 스칼라장·Dirac 장·전자기장을 양자화해 왔어. 하지만 여기까지의 이론에는 중대한 결점이 있어. 뭘까?
🔵 카이: 음……입자가 부딪히지 않는다?
🟡 리나: 맞아. 자유장의 해밀토니안을 떠올려 봐. 스칼라장의 경우는
🟡 리나: 였지(\(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\), 정규순서 처리 완료). 이 \(\hat{H}_0\)는 입자수 연산자 \(\hat{N} \propto \int d^3p\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\)와 교환해——
둘 다 각 운동량 모드의 입자수 연산자 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\)의 (가중) 합이니까, 서로 교환한다는 건 직관적으로도 알 수 있지.
⚪ 메이: 즉, 입자수가 시간 발전해도 변하지 않는다는 거네.
🟡 리나: 그래. 입자수가 보존되니까, 산란도 붕괴도 일어나지 않아. 자유장의 세계에서는 입자가 곧바로 날아갈 뿐이야. 전자와 전자가 가까워져도, 서로를 그냥 통과해 버려. 하지만 현실 세계에서는, 가속기에서 양성자를 충돌시키면 수백 개의 입자가 튀어나오고, 방사성 원자핵은 붕괴해. 이런 현상을 기술하려면, 라그랑지안에 상호작용 항을 추가해야 해. 이 차이를 그림 7.1「자유장과 상호작용장의 시간 발전 비교」에 그림으로 나타냈어.
그림 7.1: 자유장과 상호작용장의 시간 발전 비교. 자유장에서는 각 모드가 독립적으로 진동하며 입자수가 보존되지만, 상호작용장에서는 모드 간에 에너지가 이동하며 입자수가 변할 수 있다.
라그랑지안의 분할——자유 부분과 상호작용 부분¶
🟡 리나: 장을 기술하는 라그랑지안 밀도를, 다음과 같이 2개의 부분으로 나눠 쓸게.
- \(\mathcal{L}_0\): 자유장 부분. 제3~6장에서 다뤄온, 장의 곱이 최대 2개까지인 항(스칼라장이라면 \(\phi^2\)까지, Dirac 장이라면 \(\bar{\psi}\psi\)까지). 정준양자화로 엄밀하게 풀 수 있다.
- \(\mathcal{L}_{\text{int}}\): 상호작용 부분. 입자 간의 힘을 기술한다. 이것이 있으면 엄밀하게는 풀 수 없게 된다.
✅ 이해도 체크: 자유장의 해밀토니안 \(\hat{H}_0\) 하에서 입자수가 보존되는(산란이 일어나지 않는) 것은, 수학적으로는 어떤 조건으로 표현될까요?
답
\([\hat{H}_0,\, \hat{N}] = 0\), 즉 자유 해밀토니안과 입자수 연산자가 교환하는 것으로 표현된다. 이 교환관계가 성립하는 한, 입자수는 시간 발전해도 변화하지 않는다.
🔵 카이: 구체적으로는 어떤 형태인가요?
🟡 리나: 가장 간단한 예로, 실수 스칼라장의 \(\phi^4\) 이론 (파이-포 이론)을 생각해 보자.
여기서 \(\lambda\)는 결합상수 (coupling constant)라고 불리는 매개변수로, 상호작용의 "세기"를 결정해. 자연단위계(\(\hbar = c = 1\))에서는, 작용 \(S = \int d^4x\, \mathcal{L}\)이 무차원이어야 해. 이 조건으로부터 \(\lambda\)의 차원이 결정되는데, 먼저 "차원"을 세는 방법을 정리할게.
자연단위계에서는 \(\hbar = c = 1\)로 놓으니까, 양자역학의 확률진폭에 나타나는 \(e^{iS/\hbar}\)의 지수 \(S/\hbar\)가 무차원이어야 해——지수함수의 어깨에 올라가는 양은 "순수한 수"가 아니면 의미가 없잖아(\(e^{3\text{kg}}\) 같은 건 쓸 수 없지?). \(\hbar = 1\)이니까 \(S\) 자체가 무차원(\([S] = 0\))이 돼. 참고로 \(e^{iS/\hbar}\)는 경로적분이라는 정식화에서 각 경로의 "가중치"로 나타나는데, 자세한 건 나중 장에서 다룰게. 지금은 "작용 \(S\)는 무차원이어야 한다"는 결론만 사용할게.
🔵 카이: 아하, \(e\)의 어깨에 올라가니까 무차원이어야 하는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 다음으로 분산관계 \(E^2 = p^2 + m^2\)(\(c = 1\))에서 \([E] = [p] = [m]\). 또한 \(p = \hbar k\)(\(\hbar = 1\))에서 \([p] = [k]\). 파수 \(k\)는 파장 \(\lambda\)의 역수(\(k = 2\pi/\lambda\))니까 길이의 역수 차원을 가져——즉 \([k] = [1/\text{길이}]\). 이것이 \([m]\)과 같다는 것은, 길이의 차원이 질량의 역수 \([\text{길이}] = [m]^{-1}\)라는 뜻이야. 마찬가지로 \(c = 1\)(\(c = \text{길이}/\text{시간}\))에서 \([\text{시간}] = [\text{길이}] = [m]^{-1}\). 즉 에너지·운동량·질량이 모두 같은 차원이 되고, 길이와 시간은 질량의 역수 차원을 가지게 돼. 따라서 질량만을 기준으로 모든 양의 차원을 나타낼 수 있어.
그래서 편리한 표기법을 도입할게. \([A]\)라고 쓰면 "\(A\)의 질량 차원"——즉 "\(A\)가 질량의 몇 제곱의 차원을 가지는가"를 나타내는 정수(또는 유리수)를 의미해. 예를 들어 \([x^\mu] = -1\)이라고 쓰면 "\(x^\mu\)의 차원은 질량의 \(-1\)제곱(= 질량의 역수)"이라는 뜻이야.
⚪ 메이: 프로그래밍으로 말하면, 모든 물리량을 "질량의 몇 제곱인가"라는 하나의 타입으로 통일적으로 나타내는 감각이네.
🟡 리나: 좋은 비유야. 곱의 질량 차원은 각 인자의 질량 차원의 합이 돼——\([AB] = [A] + [B]\)야. "곱인데 합?"이라고 생각할 수 있지만, 고등학교에서 배운 지수법칙 \(m^a \times m^b = m^{a+b}\)과 같은 거야. \([\cdot]\)은 "질량의 몇 제곱인가"라는 "거듭제곱(지수)"을 나타내는 수니까, 양을 곱하면 "거듭제곱"이 덧셈이 되는 거야. 예를 들어 \([A] = 2\)(A의 차원은 질량\(^2\))와 \([B] = 1\)(\(B\)의 차원은 질량\(^1\))이면, \(AB\)의 차원은 질량\(^2 \times\) 질량\(^1\) = 질량\(^{2+1}\) = 질량\(^3\)이니까 \([AB] = 2 + 1 = 3\). 반대로 몫이면 뺄셈——\([A/B] = [A] - [B] = 2 - 1 = 1\)이야.
이걸 사용해서 순서대로 구해 볼게. - \(d^4x = dx^0\,dx^1\,dx^2\,dx^3\)는 4개 좌표의 미소량의 곱. 각 \(dx^\mu\)는 좌표 \(x^\mu\)와 같은 차원을 가지니까 \([dx^\mu] = [x^\mu] = -1\). 곱의 규칙 \([AB] = [A] + [B]\)를 4번 사용하면 \([d^4x] = [dx^0] + [dx^1] + [dx^2] + [dx^3] = 4 \times (-1) = -4\) - 작용 \(S\)가 무차원(\([S] = 0\))이려면 \([\mathcal{L}] + [d^4x] = 0\), 즉 \([\mathcal{L}] = 4\) - 미분은 길이의 역수니까 \([\partial_\mu] = 1\) - 자유장의 운동항 \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\)의 차원은 \([\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi] = 2(1 + [\phi]) = 4\)에서 \([\phi] = 1\) - \([\lambda \phi^4] = [\lambda] + 4[\phi] = [\lambda] + 4 = 4\)에서 \([\lambda] = 0\)——즉 \(\lambda\)는 무차원
🔵 카이: 헐, \(\lambda\)에 단위가 없군요. 그러면 정말로 "세기"만을 나타내는 순수한 수인 거네요.
🟡 리나: 맞아. \(4!\)로 나누는 것은, 나중 계산에서 조합 인자가 깔끔해지기 위한 관습이야. 구체적으로는, 이 장의 후반에서 2→2 산란을 계산할 때, \(\hat{\phi}^4\)의 전개에서 나오는 \(4! = 24\)가지 조합과 분모의 \(4!\)가 딱 상쇄되거든——거기서 "아하"하고 느낄 거야.
⚪ 메이: \(\lambda\)가 작으면, 상호작용의 효과도 작으니까 근사적으로 다룰 수 있다는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. \(\lambda \ll 1\)일 때, 자유장으로부터의 "어긋남"을 \(\lambda\)의 거듭제곱으로 체계적으로 전개해 나가는 것——이것이 섭동론 (perturbation theory)이야.
✅ 이해도 체크: 라그랑지안 밀도를 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{\text{int}}\)로 분할할 때, \(\mathcal{L}_0\)와 \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)는 각각 어떤 역할을 할까요?
답
\(\mathcal{L}_0\)는 자유장 부분으로, 장의 2차까지의 항으로 이루어지며 정준양자화로 엄밀하게 풀 수 있다. \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)는 상호작용 부분으로, 입자 간의 힘을 기술한다. \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)가 있으면 엄밀해를 얻을 수 없기 때문에, 결합상수가 작을 때 섭동론으로 근사적으로 다룬다.
\(\phi^4\) 상호작용은 무엇을 하는가¶
🔵 카이: \(\phi^4\)라는 건, 장을 4번 곱하는 것뿐이잖아요. 그게 "입자가 부딪히는 것"이 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 장 \(\hat{\phi}\)를 생성·소멸 연산자로 전개하면, 모식적으로 \(\hat{\phi} \sim \hat{a} + \hat{a}^\dagger\)였지. 그러니까 \(\hat{\phi}^4\)에는
같은 항이 포함돼. 실제로는 각 연산자가 다른 운동량 라벨을 갖고 있어서, 예를 들어 \(\hat{a}_{\mathbf{p}_3}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}_4}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}_1}\, \hat{a}_{\mathbf{p}_2}\)는 "운동량 \(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\)의 입자를 소멸시키고, 운동량 \(\mathbf{p}_3, \mathbf{p}_4\)의 입자를 생성한다"——즉 2입자 산란을 기술하고 있어. 대표적인 조합과 대응하는 물리 과정을 표 7.1「\(\hat{\phi}^4\)에 포함된 대표적인 연산자 조합과 대응하는 물리 과정」에 정리했어.
표 7.1: \(\hat{\phi}^4\)에 포함된 대표적인 연산자 조합과 대응하는 물리 과정
| 연산자 형태 | 물리 과정 | 입자수 변화 |
|---|---|---|
| \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\) | 2→2 산란 | \(\Delta N = 0\) |
| \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\) | 1→3 분열 | \(\Delta N = +2\) |
| \(\hat{a}^\dagger\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\) | 3→1 융합 | \(\Delta N = -2\) |
| \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\) | 0→4 진공에서 4입자 생성 | \(\Delta N = +4\) |
| \(\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\,\hat{a}\) | 4→0 진공으로 4입자 소멸 | \(\Delta N = -4\) |
🔵 카이: 아하, 생성·소멸 연산자의 조합이 입자의 출입을 나타내는군요. 그런데 \(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}\) 같은 "3개 생성하고 1개 소멸"하는 항도 있잖아요? 그건 1입자가 3입자로 분열한다는 건가요? 하지만 1개의 입자가 갑자기 3개가 되면, 에너지 보존에 위배될 것 같은데……
🟡 리나: 맞아, 원리적으로는 그런 과정도 \(\hat{H}_{\text{int}}\)에 포함돼 있어. 다만 실제로 일어나는지 여부는 에너지·운동량 보존으로 제한돼. 예를 들어 질량 \(m\)의 입자 1개가 질량 \(m\)의 입자 3개로 분열하려면, 최소한 \(3m\)의 에너지가 필요한데, 정지하고 있는 입자의 에너지는 \(m\)밖에 없어——그래서 자유 공간에서는 일어나지 않아. 다만 가상 과정(중간 상태)으로서는 허용되는 경우가 있어. 오늘은 2→2 산란에 집중하지만, 입자수가 변하는 과정을 허용하는 것이 장의 양자론의 본질적인 특징이야.
🔵 카이: 근데 잠깐만요. 입자수를 바꾸는 항이 해밀토니안에 들어 있다면, 아까 본 \([\hat{H}_0, \hat{N}] = 0\)은 더 이상 성립하지 않는 거 아닌가요……?
🟡 리나: 바로 그래. \(\hat{H}_{\text{int}}\)가 입자수를 바꾸는 연산자를 포함하니까 \([\hat{H}, \hat{N}] \neq 0\)이 돼. 입자수가 변하는 과정이 허용되는 거야. 하지만 문제가 있어. 상호작용이 있는 해밀토니안 \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'\)는 더 이상 대각화할 수 없어. 즉 엄밀해를 얻을 수 없게 돼.
🔵 카이: 엄밀하게 풀 수 없으니까 근사할 수밖에 없는데……그런데 \(\lambda\)가 작다는 게, 구체적으로 얼마나 작으면 근사를 신뢰할 수 있나요? \(\lambda = 0.1\)이면 괜찮지만 \(\lambda = 0.5\)면 안 된다든지, 그런 기준이 있나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 엄밀한 기준은 문제에 따라 다르지만, 기본적인 기준은 "\(n\)차 보정이 \((n-1)\)차에 비해 충분히 작은 것"이 필요해. \(\phi^4\) 이론에서는 \(\lambda\)가 무차원이니까, \(\lambda \ll 1\)이면 고차 항은 \(\lambda^n\)으로 급속히 작아져서, 처음 몇 차수에서 좋은 근사가 돼. 반대로 \(\lambda \gg 1\)이면 섭동론은 붕괴해——QCD의 저에너지 영역이 바로 그래서, 다른 방법(격자 계산 등)이 필요해.
⚪ 메이: 즉, 섭동론을 쓸 수 있는 조건은 "\(\lambda\)가 작을 것"——구체적으로는 고차 항이 이전 차수에 비해 무시할 수 있을 정도로 작아지는 것이네.
🟡 리나: 맞아. 하지만 오늘은 우선 \(\lambda \ll 1\)인 경우에 집중하자. 섭동론을 사용해서 근사적으로 계산하는 방법을 지금부터 구축해 나갈게. 그러려면 먼저, 상호작용 묘사라는 새로운 틀을 도입해야 해——그 안에서, 상호작용 해밀토니안 \(\hat{H}'\)의 구체적인 형태(특히 라그랑지안과의 부호 관계 \(\hat{H}' = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}}\))도 유도할게.
✅ 이해도 체크: \(\phi^4\) 이론의 결합상수 \(\lambda\)의 질량 차원은 얼마일까요? (힌트: 자연단위계에서 \([\mathcal{L}] = 4\), \([\phi] = 1\)을 사용)
답
\([\lambda/4! \cdot \phi^4] = [\lambda] + 4[\phi] = [\lambda] + 4 = 4\)에서 \([\lambda] = 0\). 즉 \(\lambda\)는 무차원이다. 이러한 상호작용을 marginal(주변적)이라고 부른다.
7.2 상호작용 묘사——연산자와 상태의 "역할 분담"¶
🟡 리나: 섭동 계산을 진행하기 위해, 새로운 "묘사"를 도입할게. 「양자역학」편 제 13 장에서 배운 묘사 이야기를 기억해?
🔵 카이: 슈뢰딩거 묘사는 상태가 시간 발전하고 연산자는 고정, 하이젠베르크 묘사는 그 반대……였죠. 슈뢰딩거 방정식 \(i\frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle\)이 상태를 움직이는 게 슈뢰딩거 묘사이고, "기댓값 \(\langle\psi|\hat{O}|\psi\rangle\)은 같으니까, 상태를 고정하고 대신 연산자를 시간 변화시켜도 물리는 바뀌지 않을 거야"——그렇게 생각해서 시간 발전을 연산자 쪽으로 옮긴 게 하이젠베르크 묘사. 세 번째 "상호작용 묘사"는 「양자역학」편 제 13 장에서 배웠지만, 그때는 개념 소개만 하고 구체적인 계산에는 사용하지 않았죠.
🟡 리나: 맞아. 여기서 그 세 번째 선택지——상호작용 묘사 (interaction picture), 별명 디랙 묘사——를 본격적으로 사용할 거야. 「양자역학」편 제 13 장에서 도입한 개념을, 장의 양자론의 산란 문제에 응용하는 거야.
해밀토니안의 분할과 묘사의 정의¶
🟡 리나: 출발점은 해밀토니안을 2개로 나누는 것이야.
여기서 \(\hat{H}' = -\int d^3x\, \mathcal{L}_{\text{int}}\)가 상호작용 해밀토니안이야(이 부호의 유래는 바로 아래에서 유도할게). 주의할 점은, \(\hat{H}'\)는 슈뢰딩거 묘사의 상호작용 해밀토니안이라는 거야. 슈뢰딩거 묘사에서는 연산자(장을 포함)가 시간에 의존하지 않는 상수니까, \(\hat{H}'\)도 시간에 의존하지 않아. 나중에 나오는 \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\)는 그것을 상호작용 묘사로 옮긴 것——즉 \(\hat{H}_0\)로 "회전"시켜서 시간 의존성을 갖게 한 거야.
🔵 카이: 왜 마이너스가 붙나요? 라그랑지안과 해밀토니안이 부호가 반대가 되나요?
🟡 리나: 제 3 장에서 배웠듯이, 해밀토니안 밀도는 르장드르 변환——독립변수를 "속도" \(\dot{\phi}\)에서 "운동량" \(\pi\)로 바꾸는 조작——으로 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\)로 정의돼. 여기서 \(\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{\phi}\)는 정준운동량 밀도——장의 "속도" \(\dot{\phi}\)에 대한 라그랑지안의 응답을 측정하는 양으로, 입자역학의 \(p = \partial L/\partial\dot{q}\)의 장 이론 버전이야. \(L\)과 \(H\)의 부호가 반대가 되는 건, 이 르장드르 변환의 구조——\(H = p\dot{q} - L\)——에서 오는 거야. 여기에 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{\text{int}}\)를 대입하면
여기서 \(\pi\dot{\phi} - \mathcal{L}_0 = \mathcal{H}_0\)로 쓸 수 있는 건, \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)가 \(\dot{\phi}\)를 포함하지 않을 때, 정준운동량이 \(\pi = \partial\mathcal{L}_0/\partial\dot{\phi}\)로 자유장만으로 결정되기 때문이야.
🔵 카이: 아, \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)에는 시간미분 \(\dot{\phi}\)가 들어 있지 않으니까, 정준운동량에는 영향을 주지 않는 거군요.
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 확인해 보자. \(\phi^4\) 이론의 \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)에는 \(\dot{\phi}\)가 포함되어 있지 않으니까, \(\pi = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{\phi} = \partial(\mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{\text{int}})/\partial\dot{\phi} = \partial\mathcal{L}_0/\partial\dot{\phi} = \dot{\phi}\)가 돼. 즉 \(\pi\)와 \(\dot{\phi}\)의 관계가 상호작용의 유무로 변하지 않으므로, \(\pi\dot{\phi} - \mathcal{L}_0\)는 바로 자유장의 해밀토니안 밀도 \(\mathcal{H}_0\) 그 자체가 되는 거야.
따라서 \(\mathcal{H}_{\text{int}} = -\mathcal{L}_{\text{int}}\). 해밀토니안은 해밀토니안 밀도의 공간 적분이니까 \(\hat{H}' = \int d^3x\, \mathcal{H}_{\text{int}} = -\int d^3x\, \mathcal{L}_{\text{int}}\)가 돼. \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)가 \(\dot{\phi}\)를 포함하는 경우에는 이 분리가 깔끔하게 되지 않지만, \(\phi^4\) 이론의 상호작용 항 \(-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)는 \(\dot{\phi}\)를 포함하지 않으니까, 이 조건을 만족하고 있어.
⚪ 메이: 그렇구나, \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)에 마이너스를 붙여서 공간 적분한 것이 \(\hat{H}'\)가 되는 거네.
🟡 리나: 맞아. 그러면 상호작용 묘사의 정의를 말할게. 이 묘사에서는:
- 연산자는 자유 해밀토니안 \(\hat{H}_0\)로 시간 발전한다
- 상태는 상호작용 해밀토니안 \(\hat{H}_I(t)\)로 시간 발전한다
구체적으로는, 상호작용 묘사의 연산자를
로 정의해(\(\hat{O}_S\)는 슈뢰딩거 묘사의 연산자로, 시간에 의존하지 않는 상수 연산자야. 자연단위계 \(\hbar = 1\) 사용).
⚪ 메이: 하이젠베르크 묘사에서는 \(\hat{O}_H(t) = e^{i\hat{H} t}\, \hat{O}_S\, e^{-i\hat{H} t}\)였으니까, 전체 해밀토니안 \(\hat{H}\) 대신 자유 부분 \(\hat{H}_0\)만으로 발전시키고 있는 거네.
🟡 리나: 맞아.
연산자의 운동방정식¶
✅ 이해도 체크: 상호작용 묘사의 연산자 \(\hat{O}_I(t)\)의 정의식 (7.2)는 하이젠베르크 묘사의 연산자 정의와 어디가 다른가요?
답
하이젠베르크 묘사에서는 전체 해밀토니안 \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'\)로 연산자를 시간 발전시키는(\(\hat{O}_H(t) = e^{i\hat{H}t}\hat{O}_S e^{-i\hat{H}t}\)) 반면, 상호작용 묘사에서는 자유 부분 \(\hat{H}_0\)만으로 시간 발전시킨다(\(\hat{O}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{O}_S e^{-i\hat{H}_0 t}\)).
🟡 리나: 식 (7.2)를 시간으로 미분해 보자.
즉
🔵 카이: 어라, 우변에는 \(\hat{H}_0\)밖에 안 나와요. 상호작용 \(\hat{H}'\)는 어디로 간 거예요?
🟡 리나: 좋은 의문이야. 상호작용의 효과는 상태 쪽에 밀어 넣어지는 거야. 식 (7.3)이 의미하는 것은, 상호작용 묘사의 장 연산자 \(\hat{\phi}_I(x)\)는 자유장의 운동방정식을 따른다는 거야. 그러니까 제 4 장에서 배운 모드 전개
여기서 주의할 점은, 이 장부터 모드 전개의 규약을 변경한다는 거야. 제4장에서는 분모를 \((2\pi)^{3/2}\)로 해서 \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)로 했었지만, 산란 문제에서는 분모를 \((2\pi)^3\)으로 해서
로 하는 규약이 더 표준적이고, 공변적 정규화와의 궁합도 좋아. \((2\pi)^3\) 인자가 모드 전개의 분모에 흡수되는지 교환관계에 나타나는지의 차이일 뿐, 물리적 결과는 바뀌지 않아. 이후 이 규약을 사용할게.
이 모드 전개가 그대로 쓸 수 있어. 교환관계도, 전파함수도, 모두 자유장의 결과가 그대로 유용되는 거야.
⚪ 메이: 즉, 연산자에 관해서는 지금까지 배운 것이 전부 그대로 쓸 수 있는 거네. 엄청 편리해.
🔵 카이: 저기, 아까 규약을 변경한다고 했는데, 이후 계산에서는 어느 쪽 규약을 쓰나요? 혼란될 것 같아서……
🟡 리나: 미안, 확실히 해둘게. 이 장 이후로는 식 (7.4)와 (7.4a)의 규약——모드 전개의 분모가 \((2\pi)^3\), 교환관계가 \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)——을 일관되게 사용해. 제4장의 규약(분모 \((2\pi)^{3/2}\), 교환관계에 \((2\pi)^3\)이 안 붙는 것)은 더 이상 사용하지 않으니까 안심해.
✅ 이해도 체크: 상호작용 묘사의 장 연산자 \(\hat{\phi}_I(x)\)가 자유장의 모드 전개를 그대로 쓸 수 있는 이유는 무엇인가요?
답
상호작용 묘사의 연산자 운동방정식 (7.3)의 우변에는 \(\hat{H}_0\)만 나타나기 때문에, \(\hat{\phi}_I(x)\)는 자유장의 운동방정식(클라인-고든 방정식)을 따른다. 따라서 자유장에서 유도한 모드 전개·교환관계·전파함수가 모두 그대로 적용된다.
상태의 시간 발전——\(\hat{H}_I(t)\)가 구동한다¶
🟡 리나: 그러면, 상호작용의 효과는 어디에 나타나는가. 상호작용 묘사의 상태 \(|\psi_I(t)\rangle\)를
로 정의해(\(|\psi(t)\rangle_S\)는 슈뢰딩거 묘사의 상태). 이 상태의 운동방정식을 유도할게. 식 (7.5)를 시간 미분하면
우변을 곱의 미분으로 전개해. \(\hat{H}_0\)는 시간에 의존하지 않으니까 \(\frac{d}{dt}e^{i\hat{H}_0 t} = i\hat{H}_0\, e^{i\hat{H}_0 t}\)이야. 여기에 좌변의 \(i\)를 곱하면 \(i \times i\hat{H}_0 = -\hat{H}_0\)이니까
슈뢰딩거 방정식 \(i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle_S = \hat{H}\, |\psi(t)\rangle_S = (\hat{H}_0 + \hat{H}')\, |\psi(t)\rangle_S\)를 대입하면
여기서 \(|\psi(t)\rangle_S = e^{-i\hat{H}_0 t}\, |\psi_I(t)\rangle\)를 대입하면
단
🔵 카이: 오오, 상태의 시간 발전은 상호작용 해밀토니안 \(\hat{H}_I(t)\)만으로 결정되는 거군요! 상호작용이 없으면(\(\hat{H}' = 0\)이면) 상태는 변화하지 않아요.
🟡 리나: 맞아. 3가지 묘사를 표로 정리해 둘게.
표 7.2: 슈뢰딩거·하이젠베르크·상호작용 묘사의 비교
| 묘사 | 연산자의 시간 발전 | 상태의 시간 발전 |
|---|---|---|
| 슈뢰딩거 | 없음 | \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'\)로 발전 |
| 하이젠베르크 | \(\hat{H}\)로 발전 | 없음 |
| 상호작용 | \(\hat{H}_0\)로 발전 | \(\hat{H}_I(t)\)로 발전 |
⚪ 메이: 연산자는 자유장으로 다룰 수 있고, 상태의 변화는 상호작용만이 구동한다. 즉 상호작용이 없으면 상태는 일절 변화하지 않는다——산란 문제를 다루기에 딱 맞는 정식화네.
✅ 이해도 체크: 상호작용 묘사에서, 연산자의 시간 발전을 지배하는 것은 무엇인가요? 상태의 시간 발전을 지배하는 것은 무엇인가요?
답
연산자는 자유 해밀토니안 \(\hat{H}_0\)로 시간 발전한다. 상태는 상호작용 해밀토니안 \(\hat{H}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 t}\hat{H}'e^{-i\hat{H}_0 t}\)로 시간 발전한다.
📝 연습문제:
- 상호작용 묘사의 연산자 운동방정식 유도 → 문제 M-1. 상호작용 묘사에서 상태의 운동방정식 유도
7.3 S 행렬의 정의——산란의 "입구"와 "출구"를 연결한다¶
🟡 리나: 다음으로, 산란 실험을 정식화하자. 전형적인 산란 실험은 3단계로 나뉘어.
- \(t \to -\infty\): 입자는 충분히 떨어져 있어서, 자유 입자로 기술할 수 있다 (초기 상태 \(|i\rangle\))
- 유한 시간: 입자가 충돌하고, 상호작용 \(\hat{H}_I\)가 작용한다
- \(t \to +\infty\): 반응 후의 입자가 다시 떨어져서, 자유 입자로 기술할 수 있다 (종상태 \(|f\rangle\))
🔵 카이: 초기 상태도 종상태도 자유 입자군요. 상호작용이 작용하는 건 "도중"뿐이에요.
🟡 리나: 맞아. 그림 7.2「산란 실험의 3단계와 S 행렬」에 이 3단계 구조를 그림으로 나타냈어(그림의 \(\hat{U}_I\)와 \(\hat{S}\)는 바로 뒤에서 정의할게). 상호작용 묘사에서는 상태가 \(\hat{H}_I\)로 시간 발전해. 직관적으로, \(t \to \pm\infty\)에서 입자가 충분히 떨어져 있으면 상호작용의 효과는 무시할 수 있고, 상태는 "동결"돼. 이 동결된 상태가 바로 자유 입자의 상태——\(\hat{H}_0\)의 고유상태——인 거야.
그림 7.2: 산란 실험의 3단계와 S 행렬. 먼 과거(\(t \to -\infty\))와 먼 미래(\(t \to +\infty\))에서는 입자가 자유(\(\hat{H}_0\)의 고유상태)이고, 유한 시간에 상호작용 \(\hat{H}_I(t)\)가 작용한다. S 연산자 \(\hat{S} = \hat{U}_I(+\infty, -\infty)\)가 초기 상태와 종상태를 연결한다.
🔵 카이: 그런데, \(\hat{H}_I(t)\)의 식을 보면, \(t \to \pm\infty\)에서 자동으로 0이 되는 것처럼 보이지 않는데요……
🟡 리나: 날카로운 지적이야. 엄밀하게는, 상호작용을 \(e^{-\varepsilon|t|}\hat{H}_I(t)\)(\(\varepsilon > 0\)은 미소량)처럼 무한한 과거·미래에서 천천히 "끄는" 조작——단열적 전환 (adiabatic switching)이라고 불리는——을 가정하고 있어. \(e^{-\varepsilon|t|}\)는 \(t = 0\) 부근에서는 1에 가깝지만, \(|t| \to \infty\)에서는 0으로 감쇠해——즉 먼 과거·미래에서 상호작용이 "꺼져 있다"는 것을 수학적으로 표현하고 있는 거야.
🔵 카이: "천천히"가 포인트인 거군요. 급하게 켜고 끄면 안 되는 이유는……
🟡 리나: 맞아, "천천히"가 포인트인데, 만약 상호작용을 급하게 켜고 끄면 문제가 생겨. 푸리에 변환의 성질을 떠올려 봐——빛의 펄스를 짧게 할수록 포함되는 진동수의 폭이 넓어지잖아(@chapter:qm/appendix_c). 같은 원리로, 상호작용을 급하게 켜고 끄면(지속 시간 \(\Delta t\)가 짧으면) 계에 주입되는 에너지 폭 \(\Delta E\)가 커지는 거야. 이것은 푸리에 변환의 대역폭 관계——@chapter:qm/appendix_c에서 배운 "펄스의 지속 시간 \(\Delta t\)가 짧을수록 포함되는 진동수 폭 \(\Delta\omega\)가 넓어진다"는 성질(\(\Delta\omega \cdot \Delta t \gtrsim 1\))——에서 오는 거야. 자연단위계(\(\hbar = 1\))에서는 \(E = \hbar\omega = \omega\)이니까, 이것은 그대로 \(\Delta E \cdot \Delta t \gtrsim 1\)로 쓸 수 있어. \(\Delta E\)가 입자의 질량 \(m\)을 넘으면(자연단위계에서는 \(E = m\)이 입자 1개를 만드는 데 필요한 최소 에너지였지) 그 잉여 에너지로 새로운 입자가 생성되어 버려. 충분히 천천히(단열적으로) 전환하면 \(\Delta E \approx 0\)이 되어, 계는 자유 입자 상태에서 매끄럽게 상호작용하는 상태로 이행할 수 있어. 최종적으로 \(\varepsilon \to 0\)의 극한을 취해. 이 처방 덕분에, \(t \to \pm\infty\)의 상태를 자유 입자로 다룰 수 있는 거야. 엄밀한 정당화는 고급 주제이니까, 지금은 "그런 약속이 있다"고 생각해 줘.
시간 발전 연산자 \(\hat{U}_I\)¶
🟡 리나: 상호작용 묘사의 상태의 시간 발전을, 연산자 \(\hat{U}_I(t, t_0)\)로 쓸게.
식 (7.6)에 대입하면, \(\hat{U}_I\)는
을 만족해.
S 연산자의 정의¶
🟡 리나: S 행렬(S-matrix)의 S는 "scattering"의 머리글자야. S 연산자 \(\hat{S}\)는, \(t_0 \to -\infty\), \(t \to +\infty\)의 극한을 취한 시간 발전 연산자로 정의돼.
산란진폭은
로 주어져. 여기서 \(|i\rangle\), \(|f\rangle\)는 자유 입자의 상태——\(\hat{H}_0\)의 고유상태——야.
🔵 카이: \(|\langle f|\hat{S}|i\rangle|^2\)이 전이 확률이군요. 양자역학에서 배운 페르미의 황금률의 일반화 같은 느낌인가요?
🟡 리나: 바로 그래. 페르미의 황금률은 S 행렬의 최저차 근사에서 유도되는 거야. 장의 양자론에서는 입자수가 변하는 과정까지 포함해서, 모든 것이 \(\hat{S}\)에 집약돼.
🔵 카이: 어라, 초기 상태 \(|i\rangle\)와 종상태 \(|f\rangle\)가 같은——즉 산란이 일어나지 않는 경우는 어떻게 되나요? \(|\langle f|\hat{S}|i\rangle|^2\)에는 "아무것도 일어나지 않는" 확률도 포함되잖아요.
🟡 리나: 좋은 질문이야. 산란이 일어나지 않는 부분을 분리하기 위해, \(\hat{S}\)를
로 쓰는 경우가 많아. \(\mathbb{1}\)은 "아무것도 일어나지 않는" 부분, \(i\hat{T}\)가 상호작용에 의한 전이를 기술하는 부분이야. \(i\)를 붙이는 건 관습인데, 이렇게 해두면 나중에 불변진폭 \(\mathcal{M}\)을 정의할 때, \(\langle f|i\hat{T}|i\rangle = i\mathcal{M} \times (\text{델타함수})\)로 쓸 수 있어서, \(\hat{S}^{(1)}\)의 결과 \(-i\lambda \times (\text{델타함수})\)에서 직접 \(\mathcal{M} = -\lambda\)를 읽을 수 있어——이 장의 마지막에서 실제로 확인할 거야. 실제로 측정하는 산란 단면적은 \(\hat{T}\)의 행렬요소로부터 계산돼.
✅ 이해도 체크: S 연산자를 \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\)로 분해하는 이유는 무엇인가요?
답
\(\mathbb{1}\)은 산란이 일어나지 않는(초기 상태와 종상태가 같은) 부분을 나타내고, \(i\hat{T}\)가 상호작용에 의한 실제 전이를 기술한다. 산란 단면적 등 실험에서 측정하는 양은 \(\hat{T}\)의 행렬요소로부터 계산되므로, "아무것도 일어나지 않는" 기여를 분리해 두면 편리하다.
✅ 이해도 체크: S 연산자의 정의 \(\hat{S} = \hat{U}_I(+\infty, -\infty)\)에서, \(|i\rangle\)와 \(|f\rangle\)는 어느 해밀토니안의 고유상태인가요?
답
자유 해밀토니안 \(\hat{H}_0\)의 고유상태. 산란의 전후에서는 입자가 충분히 떨어져 있어서 상호작용이 작용하지 않으므로, 자유 입자로 기술할 수 있다.
7.4 Dyson 급수——S 행렬을 섭동적으로 전개한다¶
🟡 리나: \(\hat{U}_I(t, t_0)\)를 구체적으로 구해 보자. 식 (7.9)를 변형하면 \(\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_I(t, t_0) = -i\hat{H}_I(t)\hat{U}_I(t, t_0)\)이니까, 양변을 \(t_0\)부터 \(t\)까지 적분하면
초기조건 \(\hat{U}_I(t_0, t_0) = 1\)을 사용하면
이것은 우변에 아직 \(\hat{U}_I\)가 남아 있어——즉 구하고 싶은 양이 적분 안에 들어가 있어. 이런 방정식을 적분방정식이라고 불러. 대수방정식 \(x = 1 + 0.1x\)라면 이항해서 \(x = 1/0.9\)로 풀 수 있지만, "\(f(t) = 1 + \int(\cdots f \cdots)\)"처럼 미지함수가 적분 안에 갇혀 있으면, \(f\)를 좌변으로 "이항"하려 해도 적분 기호 안에 갇혀 있어서 꺼낼 수 없어——그래서 축차대입으로 근사해 나가는 거야.
🔵 카이: 양자역학의 섭동론에서도 비슷한 식을 봤어요. 축차대입으로 전개하는 거죠? 그런데, 무한히 대입하면 수렴하나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. \(\hat{H}_I\)는 결합상수 \(\lambda\)에 비례하니까, \(n\)번 대입한 항은 \(\lambda^n\)에 비례해. \(\lambda \ll 1\)이면 고차 항일수록 작아지므로, 유한 차수에서 끊어도 좋은 근사를 얻을 수 있어. 이것이 섭동론의 기본적인 생각이야. 그러면 구체적으로, 우변의 \(\hat{U}_I(t_1, t_0)\)에 식 (7.13) 자체를 대입해 나갈게.
0차: \(\hat{U}_I^{(0)} = 1\)
1차: 우변의 \(\hat{U}_I\)에 0차를 대입
2차: 우변의 \(\hat{U}_I\)에 1차를 대입
🔵 카이: 2차 항에서, 적분의 상한이 \(t\)가 아니라 \(t_1\)이 된 이유는 뭔가요?
🟡 리나: 축차대입의 구조에서 오는 거야. \(t_1\)에서의 상호작용 "안에" 다시 \(t_2\)에서의 상호작용을 대입하고 있으니까, \(t_2\)는 반드시 \(t_1\)보다 앞——즉 \(t_2 < t_1\)이라는 시간 순서가 자동으로 보장되는 거야.
⚪ 메이: 아하, "\(t_2\)에서의 상호작용이 먼저, \(t_1\)에서의 상호작용이 나중"이라는 인과적 순서가 적분 상한에 반영되어 있는 거구나.
🟡 리나: 역시 메이. 여기서 중요한 트릭을 사용할게. 적분 영역을 \(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\)로 제한하는 대신에, 시간순서곱 \(T\)를 도입해서 적분 범위를 자유롭게 하는 거야.
시간순서곱 \(T\)의 정의¶
🟡 리나: 보존 장의 연산자에 대한 시간순서곱 (time-ordered product) \(T\)를 정의할게.
즉, 시각이 늦은 연산자를 항상 왼쪽에 놓는다. \(t_1 = t_2\)인 경우에는, 보존 장에서는 동시각·다른 공간점의 장이 교환하므로(제 4 장에서 배운 등시각 교환관계 \([\hat{\phi}(t,\mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t,\mathbf{y})] = 0\)), 어느 쪽 순서든 같은 결과가 돼.
🔵 카이: 왜 오른쪽이 "먼저"인 건가요?
🟡 리나: 「양자역학」편 제 13 장에서 배웠듯이, 연산자는 오른쪽에서부터 상태에 작용하잖아. \(\hat{A}(t_1)\hat{B}(t_2)|i\rangle\)라고 쓸 때, 먼저 오른쪽 끝의 \(\hat{B}(t_2)\)가 \(|i\rangle\)에 작용하고, 그 결과에 \(\hat{A}(t_1)\)이 작용해. 그러니까 "먼저 일어난 것(\(t_2\)가 먼저)을 먼저 적용하려면", 먼저 일어난 연산자를 오른쪽에 놓아야 해. 시간순서곱은 이 인과적 순서——원인이 먼저이고 결과가 나중——를 자동으로 내장하고 있는 거야.
🔵 카이: 페르미온의 경우는 어떻게 되나요? 반교환관계가 있으니까 뭔가 달라질 것 같은데……
🟡 리나: 좋은 감이야. 제 5 장에서 배웠듯이, 페르미온의 장은 반교환관계 \(\{\hat{\psi}, \hat{\psi}\} \neq 0\)를 만족하니까, 연산자를 교환할 때마다 마이너스 부호가 붙어. 그래서 시간순서곱에서도 교환 1번마다 \((-1)\)이 나와. 페르미온의 시간순서곱의 정식 정의는, QED의 산란을 계산하는 제 8 장 이후에서 다시 설명할게. 지금은 보존의 스칼라장에 집중하니까, 부호 걱정은 없어.
✅ 이해도 체크: 시간순서곱 \(T\)에서 "시각이 늦은 연산자를 왼쪽에 놓는" 이유는 무엇인가요? 물리적 의미를 설명해 보세요.
답
연산자는 오른쪽에서부터 상태에 작용하므로, 오른쪽에 있는 연산자가 먼저 작용한다. 시간순서곱에서는 "먼저 일어난 상호작용을 먼저 적용하도록" 배열함으로써, 인과율——원인이 먼저이고 결과가 나중——을 자연스럽게 내장한다.
시간순서곱을 사용한 Dyson 급수¶
🟡 리나: 시간순서곱을 사용하면, 2차 항은 다음과 같이 다시 쓸 수 있어.
\((t_1, t_2)\)의 적분 영역을 정사각형 \([t_0, t] \times [t_0, t]\)으로 생각해 봐. 축차대입에서 얻은 것은 \(t_2 \le t_1\)인 영역(정사각형의 위쪽 삼각형)뿐이야. 그러면 아래쪽 삼각형(\(t_1 \le t_2\))에서는 어떻게 되는가. 이 영역에서는 \(T[\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)] = \hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\)(시각이 늦은 쪽을 왼쪽에 놓는다). 즉 아래쪽 삼각형의 적분은
여기서 적분변수의 이름을 \(t_1 \leftrightarrow t_2\)로 바꿀게. 이것은 이중적분 \(\int\int dt_1\,dt_2\, (\cdots)\) 안에서 "\(t_1\)이라 불렀던 것을 \(t_2\)로, \(t_2\)라 불렀던 것을 \(t_1\)로" 일제히 이름을 바꾸는 조작이야. 적분변수는 더미변수——\(\int_0^1 dx\, f(x)\)와 \(\int_0^1 dy\, f(y)\)가 같은 값인 것과 마찬가지——이니까, 두 변수를 동시에 교환해도 적분값은 변하지 않아.
🔵 카이: 음, 그건 \(x\)로 쓴 식을 \(y\)로 다시 쓰는 것과 같은 건가요?
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 봐 보자. 원래 아래쪽 삼각형의 적분 영역은 "\(t_0 \le t_1 \le t\) 이고 \(t_1 \le t_2 \le t\)"였어. 이름을 교환하면, 원래의 \(t_1\)이 새로운 \(t_2\)가 되고, 원래의 \(t_2\)가 새로운 \(t_1\)이 되니까, 조건은 "\(t_0 \le t_2 \le t\) 이고 \(t_2 \le t_1 \le t\)"——즉 \(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\)(위쪽 삼각형)으로 바뀌어. 피적분함수도 \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\)이 \(\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\)로 바뀌어(이름이 바뀌었을 뿐이야!).
🔵 카이: 잠깐만요. 연산자의 순서가 \(\hat{H}_I(t_2)\hat{H}_I(t_1)\)에서 \(\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\)로 바뀌었잖아요? 연산자는 교환하지 않는데, 마음대로 바꿔도 되나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 여기서는 연산자의 순서를 "바꾼" 게 아니라, 이름을 바꿨을 뿐이야. 먼저 보통 숫자로 감각을 잡아 보자. \(\int_0^1 dx\, f(x) = \int_0^1 dy\, f(y)\)라고 쓸 수 있지——적분변수는 "더미"니까, 이름을 바꿔도 값은 변하지 않아. 2변수에서도 마찬가지로, 예를 들어 \(\int_0^1 dx\int_0^1 dy\, x^2 y\)를 생각해 봐. \(x \leftrightarrow y\)로 이름을 바꾸면 \(\int_0^1 dy\int_0^1 dx\, y^2 x\)가 되지만, 이것은 원래 적분과 같은 값이야(둘 다 \(1/6\)). 피적분함수의 "형태"가 \(x^2 y\)에서 \(y^2 x\)로 바뀐 것처럼 보이지만, 적분변수의 이름도 동시에 바뀌었으니까 전체로서는 아무것도 변하지 않은 거야.
연산자의 경우도 마찬가지야. 원래 식에서 "\(t_2\) 시각에 일어난 상호작용이 왼쪽, \(t_1\) 시각에 일어난 상호작용이 오른쪽"이었던 것이, 이름을 교환한 후에는 "새로운 \(t_1\)(= 원래의 \(t_2\)) 시각에 일어난 상호작용이 왼쪽, 새로운 \(t_2\)(= 원래의 \(t_1\)) 시각에 일어난 상호작용이 오른쪽"——물리적 내용은 아무것도 변하지 않은 거야.
⚪ 메이: 즉 "이름표를 바꿔 붙인" 것뿐이고, 연산자의 물리적 배열 순서는 변하지 않은 거네.
🟡 리나: 맞아. 변수명을 바꾼 결과, 아래쪽 삼각형의 적분은 "\(t_0 \le t_2 \le t_1 \le t\)의 영역에서 \(\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\)를 적분한다"——이것은 위쪽 삼각형의 적분과 완전히 같은 형태야. 그러니까 정사각형 전체의 적분은 위쪽 삼각형의 2배. 역으로 말하면, 정사각형 전체로 적분하고 \(1/2\)를 곱하면 원래 위쪽 삼각형의 적분과 같아져.
🔵 카이: 왜 \(1/2\)가 붙나요?
🟡 리나: 좋은 질문이야. 우변의 이중적분은 \(t_1 > t_2\)인 영역과 \(t_2 > t_1\)인 영역 모두를 포함하고 있어. 하지만 시간순서곱 덕분에, 어느 영역에서든 결과는 같아——\(t_1 > t_2\)이면 \(\hat{H}_I(t_1)\hat{H}_I(t_2)\)가 그대로 나오고, \(t_2 > t_1\)이면 바꿔서 같은 형태가 돼. 그래서 전체 영역의 적분은 제한 영역의 2배가 되는 거야. 2로 나눠서 원래대로 돌리는 거지.
🔵 카이: 그러면 3차에서는 \(3! = 6\)으로 나누고……\(n\)차에서는 \(n!\)로 나눈다는 건가요?
🟡 리나: 맞아. \(n\)개의 시각 변수의 순열이 \(n!\)가지 있으니까, 전체 영역으로 확장하면 \(n!\)배가 돼. 그것을 보정하는 게 \(1/n!\)이야. 이렇게 해서 얻어지는 것이 Dyson 급수 (Dyson series)야.
🔵 카이: \(T\exp\)이라는 건, 보통의 지수함수와는 다른 건가요?
🟡 리나: 우변처럼 전개했을 때, 각 항에 시간순서곱 \(T\)가 걸려 있다——그것이 \(T\exp\)의 정의야. 연산자는 일반적으로 교환하지 않으니까, 보통의 \(\exp\)와는 결과가 달라. 그림 7.3「Dyson 급수」에 Dyson 급수의 구조를 그림으로 나타냈어.
그림 7.3: Dyson 급수——S 행렬의 섭동 전개. \(n\)차 항은 상호작용이 \(n\)번 일어나는 과정에 대응하며, \((-i)^n/n!\)의 계수와 시간순서곱 \(T\)가 각 항에 붙는다. 차수가 올라갈수록 정밀도가 향상된다.
🟡 리나: 그리고 S 연산자는, \(t_0 \to -\infty\), \(t \to +\infty\)의 극한을 취해서
로런츠 불변인 형태로 쓰면, \(\hat{H}_I(t) = -\int d^3x\, \mathcal{L}_{\text{int}}(\hat{\phi}_I(x))\)를 사용해서
이니까
⚪ 메이: 식 (7.18)은 4차원 적분이고, \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)가 스칼라, \(d^4x\)도 로런츠 불변인 측도이니까, 전체적으로 로런츠 불변인 형태가 되어 있네.
✅ 이해도 체크: Dyson 급수의 \(n\)차 항에 \(1/n!\)가 붙는 이유를, 시간순서곱의 성질로부터 설명해 보세요.
답
\(n\)개의 시각 변수 \(t_1, \ldots, t_n\)의 적분을 전체 영역 \([t_0, t]^n\)에 걸쳐 수행하면, 시간순서곱 덕분에 \(n!\)가지 순서 모두가 같은 값을 준다. 따라서 전체 영역의 적분은 제한 영역(\(t_1 > t_2 > \cdots > t_n\))의 적분의 \(n!\)배가 된다. 원래 축차대입에서 얻어지는 것은 제한 영역의 적분이므로, 전체 영역으로 확장할 때 \(1/n!\)로 나눠야 한다.
7.5 Wick의 정리——시간순서곱을 "수축"으로 분해한다¶
🟡 리나: Dyson 급수의 각 항에는 장 연산자의 시간순서곱이 나타나. 예를 들어 \(\phi^4\) 이론의 최저차(\(n=1\))에서는
같은 곱을 계산해야 해. 하지만 장 연산자는 각각 생성·소멸 연산자의 합이니까, 그대로 전개하면 방대한 항이 나와. 이것을 체계적으로 정리하는 도구가 Wick의 정리 (Wick's theorem)야.
정규순서곱 \(:\!:\)의 복습¶
🟡 리나: 먼저 정규순서곱 (normal ordering) \(:\!\hat{A}\hat{B}\!:\)을 떠올려 봐. 제 4 장에서 진공 에너지 문제를 해결하기 위해 도입한 조작이야. "생성 연산자 \(\hat{a}^\dagger\)를 모두 왼쪽으로, 소멸 연산자 \(\hat{a}\)를 모두 오른쪽으로 배열한다"——예를 들어 \(:\!\hat{a}_k \hat{a}_{k'}^\dagger\!: \;= \hat{a}_{k'}^\dagger \hat{a}_k\)처럼, 순서를 바꿀 뿐(보존의 경우 부호는 변하지 않아).
정규순서곱의 중요한 성질은
왜냐하면, 오른쪽 끝에는 반드시 소멸 연산자가 있으니까 \(\hat{a}|0\rangle = 0\)으로 오른쪽에서 진공을 없애든지, 왼쪽 끝에는 반드시 생성 연산자가 있으니까 \(\langle 0|\hat{a}^\dagger = 0\)으로 왼쪽에서 진공을 없애든지, 어느 쪽이든 반드시 일어나니까.
🔵 카이: 정규순서곱의 진공 기댓값은 0. 간단하네요.
수축 (contraction)의 정의¶
🟡 리나: 다음으로, 2개의 장 연산자의 수축 (contraction)을 정의할게. 이것은 시간순서곱과 정규순서곱의 "차이"로 정의돼.
🔵 카이: 시간순서곱에서 정규순서곱을 뺀 것……? 그건 뭐가 되나요?
🟡 리나: 양변의 진공 기댓값을 취해 봐. 식 (7.19)에서 정규순서곱의 진공 기댓값은 0이니까
우변은——제 4 장에서 계산한 파인만 전파함수 (Feynman propagator) \(D_F(x - y)\) 그 자체야. 여기까지는 "진공 기댓값이 \(D_F\)와 같다"는 것뿐이지만, 실은 수축 자체가 연산자가 아닌 단순한 c-수(보통의 수)로, \(D_F(x-y)\)와 같아. 왜 그렇게 되는지 바로 아래에서 보여줄 텐데, 먼저 결론을 써 둘게.
운동량 공간에서는
⚪ 메이: 그렇구나, 수축의 진공 기댓값을 취하면 정규순서곱이 사라지고, 시간순서곱의 진공 기댓값만 남는다——그게 제4장에서 본 전파함수였구나.
🔵 카이: 오오! 수축 = 파인만 전파함수. 이건 외우기 쉽네요. 그런데, 왜 수축이 연산자가 아니라 그냥 "수"가 되는 건가요? 장 연산자끼리의 차이인데.
🟡 리나: 좋은 질문이야. 장을 양의 진동수 부분과 음의 진동수 부분으로 나눌게.
모드 전개 (7.4)를 보면, \(e^{-ip\cdot x}\) 항(\(\hat{a}\)를 포함)과 \(e^{+ip\cdot x}\) 항(\(\hat{a}^\dagger\)를 포함)의 2종류가 있지. 전자를 \(\hat{\phi}^+(x)\), 후자를 \(\hat{\phi}^-(x)\)라고 불러. 구체적으로는
제 6 장에서 광자의 장을 \(A^{\mu(+)}\)(소멸 연산자를 포함하는 양의 진동수 부분)과 \(A^{\mu(-)}\)(생성 연산자를 포함하는 음의 진동수 부분)으로 나눈 것과 같은 표기야. 기호가 직관에 반할 수 있으니까, 정리해 둘게.
| 기호 | 포함하는 연산자 | 평면파 형태 | 이름의 유래 |
|---|---|---|---|
| \(\hat{\phi}^+(x)\) | 소멸 \(\hat{a}\) | \(e^{-i\omega t}\)(양의 진동수) | 양의 진동수 부분 |
| \(\hat{\phi}^-(x)\) | 생성 \(\hat{a}^\dagger\) | \(e^{+i\omega t}\)(음의 진동수) | 음의 진동수 부분 |
즉 "\(+/-\)는 생성·소멸이 아니라, 평면파 \(e^{-iEt}\)로 썼을 때의 \(E\)의 부호"——\(e^{-i\omega t}\)는 양의 에너지 \(E = \omega > 0\)의 파이니까 \(\hat{\phi}^+\), \(e^{+i\omega t}\)는 형식적으로 음의 에너지의 파이니까 \(\hat{\phi}^-\)야. 이 분해는 나중에 "행렬요소의 계산"에서도 사용할 거야.
🔵 카이: 아하, \(+\)가 소멸이고 \(-\)가 생성이라니 외우기 어렵지만, "\(e\)의 어깨 부호"로 생각하면 맥이 통하는군요.
🟡 리나: 맞아. 구체적으로 \(t_1 > t_2\)인 경우를 봐 보자. 시간순서곱은 정의에 의해 \(T[\hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)] = \hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)\)이고, 이것을 전개하면
한편, 정규순서곱은 생성 연산자(\(\hat{\phi}^-\))를 모두 왼쪽으로 모으니까, 각 항을 보면: - \(\hat{\phi}^+_1\hat{\phi}^+_2\): 소멸×소멸 → 그대로 - \(\hat{\phi}^+_1\hat{\phi}^-_2\): 소멸×생성 → 생성을 왼쪽으로 이동해서 \(\hat{\phi}^-_2\hat{\phi}^+_1\)으로 - \(\hat{\phi}^-_1\hat{\phi}^+_2\): 생성×소멸 → 이미 생성이 왼쪽 → 그대로 - \(\hat{\phi}^-_1\hat{\phi}^-_2\): 생성×생성 → 그대로
따라서
차이를 구하면, 바뀐 것은 두 번째 항뿐:
⚪ 메이: 차이가 교환자 \([\hat{\phi}^+(x_1), \hat{\phi}^-(x_2)]\)로 귀결되는구나. 그리고 이것이 c-수가 되는 이유는……
🟡 리나: 맞아, 자유장의 교환관계 \([\hat{a}_k, \hat{a}_{k'}^\dagger] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')\)가 델타함수(수)였잖아(제 4 장). \([\hat{\phi}^+(x_1), \hat{\phi}^-(x_2)]\)는 이 교환관계를 운동량으로 적분한 것이니까, 결과도 c-수가 돼. \(t_2 > t_1\)인 경우도 마찬가지로 \([\hat{\phi}^+(x_2), \hat{\phi}^-(x_1)]\)이 나오고, 둘을 합치면 파인만 전파함수 \(D_F(x_1 - x_2)\)와 일치해. 즉 \(D_F(x-y) = \theta(x^0-y^0)[\hat{\phi}^+(x), \hat{\phi}^-(y)] + \theta(y^0-x^0)[\hat{\phi}^+(y), \hat{\phi}^-(x)]\)로 쓸 수 있어. \(\theta\)는 계단함수로, 시간의 전후 관계에 따라 어느 쪽 교환자를 사용할지 선택하고 있어.
⚪ 메이: 그렇구나, 교환관계 자체가 c-수이니까, 그것을 적분해도 c-수 그대로——그래서 수축은 연산자가 아니라 파인만 전파함수라는 "수"가 되는 거구나. 그리고 \(\theta\) 함수(계단함수로, 인수가 양이면 1, 음이면 0)가 시간순서곱의 "경우 나눔"을 정확히 나타내고 있는 거네.
✅ 이해도 체크: 두 장 연산자의 "수축"이 연산자가 아닌 c-수(보통의 수)가 되는 이유는 무엇인가요?
답
수축은 시간순서곱과 정규순서곱의 차이로 정의된다. 장을 \(\hat{\phi} = \hat{\phi}^+ + \hat{\phi}^-\)로 나누면, 이 차이는 생성·소멸 연산자의 교환자 \([\hat{\phi}^+(x), \hat{\phi}^-(y)]\)로 귀결된다. 자유장의 교환관계 \([\hat{a}_k, \hat{a}_{k'}^\dagger] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\)가 델타함수(수)이므로, 수축도 c-수가 되며, 파인만 전파함수 \(D_F(x-y)\)와 같다.
Wick의 정리의 주장¶
🟡 리나: 드디어 Wick의 정리를 진술할게.
Wick의 정리: 장 연산자의 시간순서곱은, 정규순서곱과 모든 가능한 수축의 합과 같다.
식으로 쓰면, \(n\)개의 장의 시간순서곱은
🔵 카이: "모든 가능한 수축"이라는 건, 구체적으로 어떤 건가요?
🟡 리나: 4개의 장으로 구체적으로 보여줄게. 이하, \(\hat{\phi}_i \equiv \hat{\phi}(x_i)\)로 약기할게. 먼저 식을 보고, 그 다음에 읽는 법을 설명할게.
표 7.3: Wick의 정리에서 4-장 전개 구조
| 수축 쌍수 | 항의 수 | 구조 | 진공 기댓값 |
|---|---|---|---|
| 0쌍 | 1 | \(:\!\hat{\phi}_1\hat{\phi}_2\hat{\phi}_3\hat{\phi}_4\!:\) | 0 |
| 1쌍 | \(\binom{4}{2} = 6\) | \(D_F \times :\!\hat{\phi}\hat{\phi}\!:\) | 0 |
| 2쌍(완전 수축) | 3 | \(D_F \times D_F\)(c-수) | 살아남음 |
⚪ 메이: 정리하면: - 제1행: 수축 없음(정규순서곱 그 자체) - 제2~3행: 1쌍 수축(\(\binom{4}{2} = 6\)가지). 수축되지 않은 장은 정규순서곱 안에 남는다 - 제4행: 2쌍 수축(3가지). 모든 장이 수축되어, 남는 연산자가 없다
🟡 리나: 그리고 가장 중요한 것은, 진공 기댓값을 취하면, 모든 장이 수축된 항(완전 수축)만 살아남는다는 것이야.
🔵 카이: 정규순서곱의 진공 기댓값은 0이니까, 불완전한 수축 항도 전부 사라져요! 남는 건 전파함수의 곱뿐이에요.
🟡 리나: 이것이 Wick의 정리의 위력이야. 복잡한 연산자의 곱이, 파인만 전파함수라는 "수"의 곱으로 귀결돼. 식 (7.25)의 3개 항은, 각각 "(1,2)(3,4)" "(1,3)(2,4)" "(1,4)(2,3)"이라는 짝짓기에 대응하고 있어. 그림 7.4「Wick의 정리에서 4-장의 수축 패턴」에서 시각적으로 확인해 봐.
그림 7.4: Wick의 정리에서 4-장의 수축 패턴. 4개의 장의 완전 수축은 3가지. 진공 기댓값에서는 완전 수축만 살아남으며, 파인만 전파함수의 곱으로 귀결된다.
✅ 이해도 체크: 6개의 장 \(\hat{\phi}(x_1)\cdots\hat{\phi}(x_6)\)의 시간순서곱의 진공 기댓값에는 몇 가지의 완전 수축이 기여할까요?
답
6개의 장을 3쌍으로 나누는 방법의 수. 첫 번째 장의 짝 상대는 5가지, 다음은 3가지, 마지막은 1가지. 따라서 \(5 \times 3 \times 1 = 15\)가지. 일반적으로 \(2n\)개의 장에 대해서는 \((2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots 3 \cdot 1\)가지.
📝 연습문제:
- 4개의 장에 대한 Wick의 정리의 귀납적 유도 → 문제 M-4. 정규 순서와 Wick의 정리 (2개 장의 경우)
7.6 \(\phi^4\) 이론의 2→2 산란——최저차 계산¶
🟡 리나: 지금까지의 도구를 사용해서, 드디어 구체적인 산란진폭을 계산할게. \(\phi^4\) 이론에서 2입자가 산란하는 과정
의 최저차 진폭을 구하자.
S 행렬의 1차 항¶
🟡 리나: \(\phi^4\) 이론의 상호작용 라그랑지안 밀도는 \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4\)야. 로런츠 불변 형태의 Dyson 급수 (7.18)을 사용하면, 1차 항은 \(\hat{S}^{(1)} = i\int d^4x\, \mathcal{L}_{\text{int}}\)이니까
(해밀토니안 형식 (7.17)에서 출발해도 같은 결과가 나와. \(\hat{H}_I(t) = -\int d^3x\,\mathcal{L}_{\text{int}}(\hat{\phi}_I) = +\frac{\lambda}{4!}\int d^3x\,\hat{\phi}_I^4\)이니까, \(-i\int dt\,\hat{H}_I(t) = -\frac{i\lambda}{4!}\int d^4x\,\hat{\phi}_I^4\)으로 일치해)
(Dyson 급수 (7.18)의 1차 항에는 원래 \(T\)가 걸리지만, 여기서는 4개의 장이 모두 같은 시공점 \(x\)에 있어. 같은 시각·같은 점의 보존 장은 서로 교환하니까, \(T\)로 재배열해도 결과는 변하지 않아——생략할 수 있어. 참고로, 같은 점에서의 장의 곱에는 연산자 순서의 미묘한 문제가 있지만, 이번 같은 tree-level 계산에서는 영향을 주지 않아)
🔵 카이: 이것이 "상호작용이 1번만 일어나는" 기여군요.
🟡 리나: 그래. 산란진폭은
행렬요소의 계산¶
🟡 리나: 장 연산자 \(\hat{\phi}_I(x)\)의 모드 전개 (7.4)를 대입해서, \(\hat{\phi}_I(x)^4\) 안에서 "2개 소멸 + 2개 생성"의 항을 골라야 해.
🔵 카이: 전부 전개하면 대단할 것 같은데……
🟡 리나: 하지만, Wick의 정리 덕분에 체계적으로 할 수 있어. 다만 이번에는 외선(초기·종상태의 입자)이 있으니까, 조금 더 정성스럽게 해 보자.
\(\hat{\phi}_I(x)\)를, 「수축 (contraction)의 정의」에서 도입한 양의 진동수 부분 \(\hat{\phi}^+(x)\)(소멸 연산자 \(\hat{a}_k\)와 \(e^{-ik\cdot x}\)를 포함하는 부분)과 음의 진동수 부분 \(\hat{\phi}^-(x)\)(생성 연산자 \(\hat{a}_k^\dagger\)와 \(e^{+ik\cdot x}\)를 포함하는 부분)으로 나눌게.
\(\hat{\phi}^+(x)\)가 초기 상태의 입자를 "흡수"하고, \(\hat{\phi}^-(x)\)가 종상태의 입자를 "방출"해. \(\hat{\phi}^4 = (\hat{\phi}^+ + \hat{\phi}^-)^4\)를 전개했을 때, 2개의 입사 입자를 소멸시키고 2개의 산란 입자를 생성하는 항은 \((\hat{\phi}^-)^2 (\hat{\phi}^+)^2\) 형태를 하고 있어.
🔵 카이: 4개의 장에서 2개를 소멸에, 2개를 생성에 선택하는……몇 가지가 되나요?
🟡 리나: 4개에서 2개를 \(\hat{\phi}^+\)(소멸)로 선택하는 방법이 \(\binom{4}{2} = 6\)가지. 게다가, 선택된 2개의 \(\hat{\phi}^+\) 중 "어느 것이 \(p_1\)을 흡수하고, 어느 것이 \(p_2\)를 흡수하는가"로 \(2! = 2\)가지. 마찬가지로, 2개의 \(\hat{\phi}^-\) 중 "어느 것이 \(p_3\)을 방출하고, 어느 것이 \(p_4\)를 방출하는가"로 \(2! = 2\)가지. 합쳐서 \(\binom{4}{2} \times 2! \times 2! = 6 \times 2 \times 2 = 24 = 4!\)가지.
⚪ 메이: \(4!\)가지——즉 분모의 \(4!\)와 딱 상쇄되는 거네.
🔵 카이: 앗, \(4!\)가 나왔다! 분모의 \(4!\)와 딱 상쇄되는 거군요!
🟡 리나: 바로 그래! 이것이 \(1/4!\)를 처음에 넣어 두는 이유야.
🟡 리나: 자, 식 (7.27)의 행렬요소를 계산하기 전에, 상태의 정규화에 대해 정리해 둘게. 제4장에서는 \(|\mathbf{p}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger|0\rangle\)이라는 정규화를 사용했었지만, 이대로면 산란진폭 계산에서 \(\sqrt{2\omega}\) 인자가 여기저기 남아서 번잡해져. 게다가, 다른 관성계(로런츠 변환 후)에서 계산하면 식의 형태가 바뀌어 버려——상대론적 이론으로서는 불편하지. 그래서 산란 문제에서는 공변적 정규화 (Lorentz-invariant normalization)를 사용하는 것이 표준적이야. 상태를
로 정의해(여기서 \(|p\rangle\)라고 쓸 때의 \(p\)는 4원운동량이지만, 생성 연산자의 라벨은 3원운동량 \(\mathbf{p}\)야. 질량 껍질 조건 \(p^0 = \omega_{\mathbf{p}}\)로 4원운동량이 결정되니까, \(|p\rangle\)와 \(|\mathbf{p}\rangle\)는 같은 상태를 가리키고 있어).
🔵 카이: \(\sqrt{2\omega_p}\)를 일부러 곱하는 건, 뭔가 좋은 점이 있기 때문이겠죠?
🟡 리나: 맞아. 왜 \(\sqrt{2\omega_p}\)인지는, 2가지 이유를 순서대로 설명할게. 먼저 결론만 말하면, 이렇게 하면 내적이 로런츠 불변인 형태가 돼. 실제로 계산해 보면, 식 (7.4a)의 규약 \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)를 사용하면
(\(\delta^{(3)}\)이 \(\mathbf{p} = \mathbf{q}\)를 강제하므로 \(\omega_q = \omega_p\)).
이 형태는 어떤 관성계에서 계산해도 같아. 이후 이 장에서는, 별도의 언급 없이 \(|p\rangle\)라고 쓰면 공변적 정규화를 의미할게. 기호 변경점을 정리하면: 제4장의 \(|\mathbf{p}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger|0\rangle\)에 대해, 이 장 이후는 \(|p\rangle = \sqrt{2\omega_p}\,\hat{a}_p^\dagger|0\rangle\)을 사용해——\(\sqrt{2\omega_p}\) 인자가 붙어 있는 점만 다른 거야.
🔵 카이: 왜 공변적 정규화가 편리한 건가요?
🟡 리나: 2가지 이유가 있어.
먼저 물리적 이유——이것은 약간 고급이니까, 지금은 "이런 동기가 있다" 정도로 들어 줘. 보통의 정규화 \(\langle p|q\rangle = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)에서는, 로런츠 변환(관성계를 바꾸는 조작)을 하면 내적의 형태가 바뀌어 버려. 왜냐하면, 상대론에서는 질량 껍질 조건 \(E = \omega_p = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)에 의해 \(E\)와 \(\mathbf{p}\)가 독립이 아니니까, 로런츠 변환하면 3차원 운동량 공간의 "체적 요소" \(d^3p\) 자체가 바뀌어 버리거든.
🔵 카이: 에? \(d^3p\)가 바뀐다고요? 적분 변수를 바꾸는 것뿐인데?
🟡 리나: 예를 들어, 어떤 관성계에서 \(p_x\) 방향으로 폭 \(\Delta p_x\)의 작은 상자를 생각해 봐. 다른 관성계로 부스트하면, \(E\)와 \(p_x\)가 섞이니까, 같은 입자 집합이 차지하는 \(\Delta p_x'\)는 원래의 \(\Delta p_x\)와 달라져——질량 껍질 조건으로 \(E\)가 \(\mathbf{p}\)에 묶여 있으니까, \(\mathbf{p}\)만의 체적이 변하는 거야. 마치 지도의 투영법을 바꾸면 면적이 왜곡되는 것과 비슷해. 구체적으로는 \(d^3p/(2\omega_p)\)라는 조합만이 로런츠 불변이 됨을 보일 수 있어(증명은 제 8 장에서 할게).
⚪ 메이: 델타함수 \(\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\)는 \(\int d^3p\,\delta^{(3)} = 1\)을 만족하니까, \(d^3p\)와 "역수" 관계에 있어——즉 \(d^3p/(2\omega_p)\)가 불변이면, \(2\omega_p \cdot \delta^{(3)}\)도 불변인 조합이 되는 거구나.
🟡 리나: 맞아. 그래서 상태에 \(\sqrt{2\omega_p}\)를 곱해서 정규화해 두면, 내적이 자동으로 로런츠 불변인 형태가 돼——"상대론적 이론에서는 \(\sqrt{2\omega_p}\)를 붙이는 것이 자연스럽다"고 기억해 둬.
🔵 카이: 아하, 상대론과 정합하기 위한 약속인 거군요.
🟡 리나: 맞아. 다음으로 계산상의 이유——이쪽은 구체적으로 확인할 수 있어. 공변적 정규화의 상태에 소멸 연산자를 작용시켜 보자. 교환관계 (7.4a) \([\hat{a}_k, \hat{a}_p^\dagger] = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{p})\)와 \(\hat{a}_k|0\rangle = 0\)을 사용하면
처럼 \(\sqrt{2\omega_p}\)와 \((2\pi)^3\)이 나와. 한편, 모드 전개 (7.4)의 \(\hat{\phi}^+(x)\)에는 \(1/[(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}]\)가 포함되어 있어. \(\hat{\phi}^+(x)\)를 \(|p\rangle_{\text{cov}}\)에 작용시키면 $$ \hat{\phi}^+(x)|p\rangle_{\text{cov}} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_k}}\, e^{-ik\cdot x}\, \hat{a}k|p\rangle|0\rangle $$}} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{\sqrt{2\omega_p}(2\pi)^3}{\sqrt{2\omega_k}}\, e^{-ik\cdot x}\,\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{p})|0\rangle = e^{-ip\cdot x
🔵 카이: 와, 깔끔하게 사라져요! \(\sqrt{2\omega}\)도 \((2\pi)^3\)도 전부 상쇄되고, 그냥 위상 \(e^{-ip\cdot x}\)만 남는 거군요.
🟡 리나: 맞아. \(\delta^{(3)}\)으로 \(k = p\)에 고정되면 \(\sqrt{2\omega_p}/\sqrt{2\omega_k} = 1\)이 되고, \((2\pi)^3\)도 분모와 상쇄돼서, 깔끔하게 위상인자 \(e^{-ip\cdot x}\)만 남아. 마찬가지로 \({}_{{\text{cov}}}\langle p_3|\hat{\phi}^-(x) = \langle 0|\, e^{ip_3\cdot x}\)가 돼. 4개의 장 각각에 대해 이 상쇄가 일어나니까, 행렬요소는——아까 셌던 \(4! = 24\)가지 조합분을 합쳐서——
가 되어, 정규화 인자가 모두 사라지고, 위상인자만 남아. (여기서 등호가 성립하는 이유는, \(\hat{\phi}^4\)의 전개에서 "정확히 2개 소멸 + 2개 생성" 이외의 항——예를 들어 4개 모두 소멸하는 항 등——은 \(\langle p_3, p_4|\)와 \(|p_1, p_2\rangle\) 사이에 끼우면 입자수가 맞지 않아 0이 되기 때문이야)
⚪ 메이: 즉, 공변적 정규화를 사용하면 번거로운 \(\sqrt{2\omega}\) 인자가 자동으로 사라져서, 계산이 깔끔해지는 거네.
4원운동량 보존의 출현¶
🟡 리나: 이것을 식 (7.27)에 대입해서 \(d^4x\) 적분을 수행하면
이니까 식 (7.27)은 \(-\frac{i\lambda}{4!} \times 4! \times (2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1+p_2-p_3-p_4) = -i\lambda\,(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1+p_2-p_3-p_4)\)가 돼. \(1/4!\)와 조합 인자 \(4!\)가 깔끔하게 상쇄됐지.
🔵 카이: 델타함수가 나왔어요! 이건……
🟡 리나: 4원운동량 보존이야. 에너지와 운동량이 모두 보존돼. 상호작용이 시공의 각 점에서 국소적으로 일어나——즉 \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)가 시공 좌표 \(x\)에 명시적으로 의존하지 않기 때문에——\(e^{i(\Delta p)\cdot x}\)를 전체 시공에서 적분하면 델타함수가 나오는 거야. 공간 방향의 적분 \(\int d^3x\, e^{i\Delta\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)가 3차원 운동량 보존을, 시간 방향의 적분 \(\int dt\, e^{i\Delta E\, t}\)가 에너지 보존을 만들어.
⚪ 메이: 즉 뇌터의 정리——시공의 병진 대칭성이 운동량 보존을 이끈다——가 산란진폭 안에 델타함수로서 구체적으로 나타나는 거네.
🟡 리나: 바로 그래. 이것은 제 3 장에서 배운 뇌터의 정리——시공의 병진 대칭성이 운동량 보존을 이끈다——가, 산란진폭 계산에서 구체적으로 작동하는 예야. \(\delta^{(4)}\)의 4성분이 시공 4방향의 병진 대칭성과 1대 1로 대응하고 있고, 이론의 대칭성이 실험에서 측정 가능한 산란진폭에 직결되고 있어. 즉 대칭성의 귀결은, 보존량으로서뿐만 아니라, "허용되는 산란 과정"을 선별하는 규칙으로서도 나타나는 거야. 역으로 말하면, 외부 퍼텐셜이 있어서 공간의 균일성이 깨진다면, 대응하는 방향의 델타함수가 사라지고 운동량은 보존되지 않게 돼.
🔵 카이: 아하, 대칭성 → 보존법칙 → 델타함수라는 흐름이, 계산 결과에 그대로 보이는 거군요.
✅ 이해도 체크: 산란진폭 계산에서 4원운동량 보존의 델타함수 \(\delta^{(4)}(p_1+p_2-p_3-p_4)\)가 출현하는 것은, 어떤 수학적 조작의 결과인가요?
답
상호작용이 시공의 각 점에서 국소적으로 일어나기 때문에, 위상인자 \(e^{i(p_3+p_4-p_1-p_2)\cdot x}\)를 전체 시공에 걸쳐 \(d^4x\) 적분한다. 이 적분이 \((2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1+p_2-p_3-p_4)\)를 주어, 4원운동량 보존이 자연스럽게 출현한다.
최종 결과: 산란진폭¶
🟡 리나: 이상을 정리하면, 공변적 정규화 덕분에 \(\sqrt{2\omega}\) 인자가 모두 상쇄되고, 식 (7.27)에 \(4! \times (2\pi)^4\delta^{(4)}\)를 대입해서 \(1/4!\)와 상쇄시키면, S 행렬의 요소는
식 (7.12)의 분해 \(\hat{S} = \mathbb{1} + i\hat{T}\)를 사용하면, \(\hat{T}\)의 행렬요소에서 운동량 보존의 델타함수를 빼내어 불변진폭 \(\mathcal{M}\)을 정의해.
식 (7.29)에서, 초기 상태와 종상태가 다른(\((p_1, p_2) \neq (p_3, p_4)\)) 산란 과정을 생각하고 있으니까 \(\langle f|\mathbb{1}|i\rangle = 0\)이 되어, \(\langle f|\hat{S}^{(1)}|i\rangle = \langle f|i\hat{T}^{(1)}|i\rangle\)로 쓸 수 있어. 비교하면
🔵 카이: 에? 결과가 이렇게 간단한 건가요!? 산란진폭이 그냥 상수 \(-\lambda\)라고요? 그런데, 이러면 산란 각도에 상관없이 같은 확률로 흩어진다는 건데요. 현실의 산란 실험에서도 그런가요?
🟡 리나: \(\phi^4\) 이론의 최저차에서는 그렇게 돼. 운동량에도 각도에도 의존하지 않는——등방적 산란. 이것은 \(\phi^4\)의 꼭짓점이 장을 4개 "한 점에서" 결합시킬 뿐이고, 내부의 전파함수(propagator)가 나타나지 않기 때문이야. 참고로 \(\phi^4\) 이론 자체는 현실의 소립자를 직접 기술하는 것이 아니라, 장의 양자론의 구조를 배우기 위한 "연습용 모델"(toy model)이야. 현실의 전자 산란(QED)에서는 광자의 전파함수가 들어가니까, 최저차에서도 각도 의존성이 나와. 즉, 최저차에서 각도 의존성이 나오느냐 안 나오느냐는 "내부선이 있느냐 없느냐"로 결정돼. 그것은 제 8 장 이후에서 볼 거야.
⚪ 메이: 그렇구나, \(\phi^4\)는 꼭짓점 1개로 완결되니까 내부선이 없어서 상수 \(-\lambda\)가 되는 거구나. QED에서는 내부선이 들어가서 각도가 효력을 발휘한다——다음 장 이후가 기대돼.
🔵 카이: 결과가 이렇게 간단하면, 다음 차수에서는 더 복잡해질 것 같은데요. ……아, 그런데 잠깐만요. 다음 차수에서는 내부에 전파함수가 들어가서 각도 의존성이 나오잖아요? 그런데 그러면, 내부 운동량을 적분할 때 뭔가 발산할 것 같은 느낌인데……괜찮은 건가요?
🟡 리나: 좋은 직관이야. 실은 다음 차수 이후에서는, 내부 운동량을 적분할 때 자외 발산(적분이 무한대가 되는 것)이 실제로 일어나. 그것을 체계적으로 처리하는 방법이 재규격화 (renormalization)로, 나중 장에서 본격적으로 다룰 거야. 지금은 "발산은 일어나지만, 물리적으로 의미 있는 유한한 답을 끌어내는 처방이 있다"고 기억해 둬.
🟡 리나: 자, 이번에 얻은 결과를 그림으로 그리면, 4개의 외선이 한 점에서 만나는 "×" 형태의 다이어그램이 돼(그림 7.5「φ⁴ 이론의 최저차 2체 산란 꼭짓점」). 이것이 가장 단순한 파인만 다이어그램 중 하나야. 다음 제 8 장에서, 다이어그램의 "그림"과 "수식"의 대응 규칙——파인만 규칙——을 체계적으로 구축할 거야.
그림 7.5: φ⁴ 이론의 최저차 2체 산란 꼭짓점. \(\phi^4\) 이론의 최저차 다이어그램. 4개의 외선이 한 점에서 만나며, 산란진폭은 상수 \(\mathcal{M} = -\lambda\)가 된다.
✅ 이해도 체크: \(\phi^4\) 이론의 2→2 산란에서, 최저차 진폭 \(\mathcal{M} = -\lambda\)가 운동량에 의존하지 않는 이유를 물리적으로 설명해 보세요.
답
최저차에서는 상호작용이 시공의 1점에서 1번만 일어난다(꼭짓점이 1개). 내부를 전파하는 가상 입자가 없으므로, 전파함수 \(i/(p^2 - m^2 + i\varepsilon)\)가 나타나지 않아, 운동량 이전에 대한 의존성이 생기지 않는다. 결합상수 \(\lambda\)만이 진폭을 결정한다.
📝 연습문제:
- \(\phi^3\) 이론의 2→2 최저차 진폭과 파인만 전파함수 → 문제 B-3. 시간순서곱의 구체적 계산
- \(\phi^4\) 이론 2→2 산란의 2차 다이어그램 세기 → 문제 M-3. \(\phi^4\) 이론의 2→2 산란진폭 (최저차)
7.7 이 장의 정리¶
🟡 리나: 오늘 내용을 돌아보자.
- 상호작용의 필요성: 자유장에서는 입자수가 보존되어, 산란도 붕괴도 일어나지 않는다. \(\mathcal{L}_{\text{int}}\)를 추가해야 비로소 현실의 물리를 기술할 수 있다.
- 상호작용 묘사: 연산자는 \(\hat{H}_0\)로(자유장으로서) 발전하고, 상태는 \(\hat{H}_I(t)\)로 발전한다. 자유장의 도구가 그대로 사용 가능하다.
- S 행렬과 Dyson 급수: 산란의 모든 정보는 \(\hat{S} = T\exp\!\left[i\int d^4x\, \mathcal{L}_{\text{int}}\right]\)에 집약된다(로런츠 불변 형태). 이것을 결합상수의 거듭제곱으로 전개한 것(Dyson 급수)을 사용해, 산란진폭을 체계적으로 계산할 수 있다.
- Wick의 정리: 시간순서곱을 정규순서곱＋수축(= 파인만 전파함수)의 합으로 분해한다. 진공 기댓값에서는 완전 수축만 살아남는다.
- \(\phi^4\)의 2→2 산란: 최저차에서 \(\mathcal{M} = -\lambda\). 4원운동량 보존이 델타함수로서 자연스럽게 출현한다.
🔵 카이: 자유장의 세계에서, 드디어 입자가 부딪히는 세계로 들어왔군요. Wick의 정리로, 저 복잡한 연산자 계산이 "짝짓기의 조합"으로 귀결되는 건 감동이었어요. 그런데, 짝짓기 수가 장이 늘어나면 폭발적으로 증가하잖아요? 아까 이해도 체크에서 6개의 장이면 15가지였지만, 8개면 더……
⚪ 메이: 8개면 \(7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105\)가지네.
🔵 카이: 역시! Dyson 급수의 고차 항에서는 장이 점점 늘어나니까, 전부 써 내려가는 건 현실적이지 않을 것 같아요. 실제 계산에서는 어떻게 정리하나요?
🟡 리나: 바로 그 문제를 해결하는 것이, 다음 장에서 배울 파인만 다이어그램이야. 수축의 패턴을 "그림"에 대응시킴으로써, 어떤 항이 물리적으로 같은 기여를 주는지 한눈에 알 수 있게 돼.
⚪ 메이: 조합의 폭발을 "그림의 분류"로 제어하는 거구나. 기대돼.
다음 장 예고¶
제 8 장 파인만 다이어그램 — 그림에서 수식으로의 번역
Wick의 정리에서 얻어지는 수축 패턴을 "다이어그램"으로 시각화하고, 꼭짓점·내부선·외부선에 대응하는 수학적 규칙——파인만 규칙——을 체계적으로 구축한다. \(\phi^4\) 이론과 QED 각각의 파인만 규칙을 유도하고, 산란진폭의 계산이 "그림을 그려서 번역하는" 것만으로 끝나는 상쾌함을 체험하자.
참고문헌¶
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제16–17장 「Propagators and Green's functions / Propagators and fields」(파인만 전파함수의 배경)
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제18장 「The S-matrix」
- Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (Lancaster & Blundell) 제19장 「Expanding the S-matrix: Feynman diagrams」
- Quantum Field Theory (David Tong, Cambridge lecture notes) 제3장 「Interacting Fields」
- Quantum Field Theory and the Standard Model (Schwartz) 제4장 「Old-Fashioned Perturbation Theory」
- 坂本眞人『場の量子論 II — ファインマングラフとくりこみを中心にして』 제2장 「相互作用場と漸近場」
- 坂本眞人『場の量子論 II — ファインマングラフとくりこみを中心にして』 제9장 「揺動展開とウィックの定理」
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