第 5 章 等価原理 — 加速と重力の等価性¶
前回までのあらすじ:
第 1 章で Newton の重力モデルの成功と限界を見た。万有引力は「瞬間的な遠隔作用」を仮定しており、光速を超える情報伝達を禁じる特殊相対論と矛盾する。第 2 章では、座標系に依存しない物理法則を書くための道具——テンソル——を導入し、Einstein の重力モデルが「粒子の運動を決める方程式（測地線方程式）」と「時空の形を決める方程式（Einstein 方程式）」の二本柱で構成される設計図を広げた。第 3〜4 章では、その最初のピースとして、光速不変の原理から Lorentz 変換、時間の遅れを導いて特殊相対論の物理を確立し（第 3 章）、続いて添字記法・Minkowski 計量・4 元ベクトル・テンソルという数学の言葉を整備し、\(E = mc^2\) を含む Minkowski 時空という枠組みを構築した（第 4 章）。しかし、この枠組みにはまだ重力が含まれていない。
この章のゴール
- Newton の重力モデルと特殊相対論の矛盾を出発点として、Einstein の「等価原理」を理解する
- エレベーターの思考実験を通じて「重力と加速は局所的に区別できない」ことを納得し、重力赤方偏移を導く
- そして「重力は力ではなく時空の性質である」という発想の転換が、なぜ不可避なのかを理解する
この章の単位系: 重力赤方偏移の定量評価（Pound-Rebka 実験など）で具体的な数値を計算するため、\(c\) を明示する SI 単位系を使う。変換規則は Appendix D.6 を参照。
5.1 矛盾の確認 — Newton 重力はなぜ特殊相対論と両立しないのか¶
🟡 リナ: 第 3〜4 章で、特殊相対論の枠組み — Minkowski 時空と Lorentz 変換 — を学んだわね。でも、あの枠組みには決定的に欠けているものがある。
🔵 カイ: 重力ですよね。第 1 章の最後でも「Newton の重力モデルは特殊相対論と矛盾する」って話がありました。
🟡 リナ: そう。もう一度、矛盾の核心を確認しておきましょう。Newton の万有引力の式を思い出して。
🔵 カイ: \(\mathbf{r}_1(t)\) と \(\mathbf{r}_2(t)\) って、同じ時刻 \(t\) での位置ですよね。
🟡 リナ: そう、そこが問題なの。この式は力を計算するために「同時刻」の位置情報を必要としている。でも第 3 章で学んだように、特殊相対論では同時刻は観測者によって異なる。地球から見た「今」と、地球に対して高速で動いている宇宙船から見た「今」では、太陽と地球の位置関係が違ってくる。
🔵 カイ: あ、同時刻の相対性ですね。じゃあ、どの慣性系の「今」を使って重力を計算すればいいんですか？
🟡 リナ: そこが致命的なの。どれか一つの慣性系を選んでしまったら、「すべての慣性系で物理法則は同じ形」という特殊相対性原理に反してしまう。もっと直感的に言えば、Newton の重力は瞬間的な遠隔作用を仮定しているの。太陽が突然消えたら、Newton のモデルでは地球はその瞬間に軌道を外れる。でも特殊相対論によれば、太陽が消えたという情報は光速でしか伝わらないから、地球がそれを「知る」のは約 8 分後のはず。
🔵 カイ: 重力が光速を超えて伝わるなんて、特殊相対論と真っ向から矛盾しますね。
🟡 リナ: その通り。Newton のモデルの場の方程式 — Poisson 方程式 — を見ると、矛盾の構造がもっとはっきりする。第 1 章で、万有引力 \(\mathbf{F} = -m\,\nabla\Phi\) を通じて重力ポテンシャル \(\Phi\)（単位質量あたりの重力による位置エネルギーを表す量）を導入したわよね。Poisson 方程式は「質量密度 \(\rho\)（単位体積あたりの質量、kg/m\(^3\)）がある場所で \(\Phi\) がどう決まるか」を表す式で、Newton 重力の根幹を成すの。\(\nabla^2\) はラプラシアンと呼ばれる演算子で、具体的には \(\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}\) — ここで \(\partial \Phi / \partial x\) は「\(y, z\) を固定して \(x\) だけ変えたときの \(\Phi\) の変化率」を表す偏微分（高校の \(d/dx\) の多変数版）で、それをもう一度 \(x\) で微分したのが \(\partial^2 \Phi / \partial x^2\)。つまりラプラシアンは各方向の 2 階偏微分を全部足したもので、空間的な「変化の変化」を表す演算子ね。
🔵 カイ: あれ、この式って \(t\) が出てこないですね。左辺は空間の微分だけ？
🟡 リナ: そう、そこが決定的なの。時間微分がないということは、ソース \(\rho\) が変化した瞬間、\(\Phi\) は空間全体で瞬時に変化しなければならない。対照的に、電磁気学の波動方程式には時間微分 \(\partial^2/\partial t^2\) が含まれていて、電磁場の変化は光速 \(c\) で伝播する。重力の理論を特殊相対論と整合させるには、Newton のモデルを根本から作り直す必要がある。
🔵 カイ: でも、どうやって？ 電磁気学みたいに「遅延効果を入れて修正する」だけじゃダメなんですか？
🟡 リナ: 実は、多くの物理学者がそれを試みたの。でもうまくいかなかった。理由は、重力が電磁気力とは本質的に異なる性質を持っているからなの。その違いを理解するために、まず「質量」という概念を掘り下げる必要がある。
✅ 理解度チェック: Newton の万有引力の式が特殊相対論と矛盾する根本的な理由は？
答え
力の計算に「同時刻」の位置情報が必要だが、特殊相対論では同時刻は観測者によって異なる（同時性の相対性）。また Poisson 方程式に時間微分がなく、重力の変化が瞬時に伝わることを仮定しており、光速を超える情報伝達を禁じる特殊相対論と矛盾する。
📝 練習問題:
- Newton 重力と Poisson 方程式 → 問題 B-1. Poisson 方程式と波動方程式の比較
5.2 慣性質量と重力質量 — 2 つの「質量」の不思議な一致¶
🟡 リナ: カイ、「質量」って何だと思う？
🔵 カイ: えーと、物の重さ……じゃなくて、動かしにくさ？
🟡 リナ: 実は、今のカイの答えには2 つの異なる概念が混ざっているの。物理学では、「質量」には 2 つの全く異なる意味がある。
慣性質量 \(m_I\)¶
🟡 リナ: 1 つ目は慣性質量 (inertial mass) \(m_I\)。これは「物体の動かしにくさ」を表す量で、Newton の運動方程式 \(F = m_I\,a\) に登場する。重力とは無関係に、純粋に「加速への抵抗」として定義される量よ。
⚪ メイ: つまり、同じ力を加えたとき、慣性質量が大きい物体ほど加速度が小さくなるのね。
重力質量 \(m_G\)¶
🟡 リナ: 2 つ目は重力質量 (gravitational mass) \(m_G\)。これは「重力場からどれだけ力を受けるか」を表す量で、重力加速度 \(g\) の場所では \(F = m_G\,g\) という力を受ける。
🔵 カイ: 慣性質量は「押したときの動かしにくさ」、重力質量は「重力に引っ張られる強さ」……でも、これって同じものじゃないんですか？
🟡 リナ: 論理的には、この 2 つは全く別の概念なの。電磁気学とのアナロジー (analogy) で考えるとわかりやすいわ。
表 5.1: 電磁気力と重力における力の受け手の比較
| 電磁気力 | 重力 | |
|---|---|---|
| 力の「受け手」 | 電荷 \(q\) | 重力質量 \(m_G\) |
| 場の強さ | 電場 \(E\) | 重力加速度 \(g\) |
| 加速への抵抗 | 慣性質量 \(m_I\) | 慣性質量 \(m_I\) |
⚪ メイ: リナさんの表を見ると、電荷 \(q\) と慣性質量 \(m_I\) は全く無関係な量よね。電子と陽子では比電荷 \(q/m_I\) が全然違う。同じ論理で、重力質量 \(m_G\) も慣性質量 \(m_I\) とは無関係であって構わないはず。
🟡 リナ: その通り。重力場中の物体の運動方程式を書いてみましょう。
🔵 カイ: あ、もし \(m_G/m_I\) が物質によって違ったら、物質ごとに落下の加速度が違うことになる！ 電磁気力では電子と陽子で加速度が全然違うのと同じように。
🟡 リナ: ところが、実験してみると驚くべきことが起きる。\(m_G/m_I\) はすべての物質で同じ値になるの。
実験的検証¶
🟡 リナ: この等価性を検証する実験は、19 世紀末の Eötvös (エトヴェシュ) のねじれ振子 (torsion pendulum) 実験に始まり、現代ではとんでもない精度に達している。ねじれ振子というのは、細いワイヤーで吊るした棒の両端に異なる物質をつけて、重力と遠心力のバランスのわずかな違いをワイヤーのねじれとして検出する装置よ。1994 年の Su (スー) らの実験では、Beryllium (ベリリウム) と Copper (銅) という原子番号も密度も全く異なる物質を使って、\(m_G/m_I\) の値がどれだけ物質によって異なるかを測定したの。その差を定量化する指標が Eötvös パラメータ \(\eta\) よ。
ここで \(A\) = Beryllium、\(B\) = Copper よ。
🔵 カイ: 分子が物質 A と B の \(m_G/m_I\) の差で、分母がその平均……つまり、もし \(m_G/m_I\) がすべての物質で同じなら \(\eta = 0\) になるんですね。でも、なんで平均で割るんですか？
🟡 リナ: 差だけだと、\(m_G/m_I\) の値自体が大きいか小さいかで数値の意味が変わってしまうでしょう？ 平均値で割って無次元化（単位のない純粋な数にすること）で、「全体に対してどれだけずれているか」という割合になるの。こうすれば異なる物質の組み合わせや異なる実験同士を直接比較できる。そして実験結果は誤差の範囲内でゼロと一致しているから、\(m_G = m_I\) の普遍性が確認されたということよ。
🔵 カイ: \(10^{-12}\)……1 兆分の 1！？ でも、もし将来もっと精度を上げたら \(m_G \neq m_I\) だと分かる可能性もあるんですか？
🟡 リナ: 現時点では誤差の範囲内で完全にゼロと一致しているわ。2017 年の MICROSCOPE (マイクロスコープ) 衛星実験では \(\eta < 10^{-14}\) まで到達し、2022 年の最終結果では \(\eta < 10^{-15}\) にまで精度が向上している。もし将来ゼロからのずれが見つかれば、一般相対論を超える新しい物理の発見になる — だからこそ実験が続けられているの。歴史的な流れを表にまとめておくわ。
表 5.2: \(m_G/m_I\) の等価性に関する実験精度の歴史
| 年 | 実験 | 精度（Eötvös パラメータ \(\eta\)） | 手法 |
|---|---|---|---|
| 1889 | Eötvös | \(\sim 10^{-9}\) | ねじれ振子 |
| 1964 | Roll-Krotkov-Dicke | \(\sim 10^{-11}\) | ねじれ振子（改良版） |
| 1994 | Su et al. | \(< 10^{-12}\) | ねじれ振子（Be-Cu） |
| 2017 | MICROSCOPE | \(< 10^{-14}\) | 衛星（微小重力環境） |
| 2022 | MICROSCOPE（最終） | \(< 10^{-15}\) | 衛星（データ全解析） |
⚪ メイ: つまり、\(m_G = m_I\) は物理学で最も精密に検証されたモデルの前提の一つということね。
🟡 リナ: そう。そしてこの「偶然の一致」に、Einstein は途方もなく深い意味を見出したの。
✅ 理解度チェック: 慣性質量 \(m_I\) と重力質量 \(m_G\) の違いを一言で述べてください。
答え
慣性質量は「加速への抵抗」（\(F = m_I a\)）、重力質量は「重力場から受ける力の強さ」（\(F = m_G g\)）。論理的には別概念だが、実験的に \(10^{-15}\) 以上の精度で等しいことが確認されている（MICROSCOPE 衛星, 2022）。
📝 練習問題:
- 慣性質量と重力質量・Eötvös パラメータ → 問題 B-2. 慣性質量と重力質量による落下加速度, 問題 B-3. Eötvös パラメータの線形近似, 問題 M-1. 異なる物質の自由落下エレベーター実験
5.3 等価原理 — Einstein の「生涯で最も幸せな考え」¶
エレベーターの思考実験¶
🟡 リナ: 1907 年、Bern (ベルン) の特許局で働いていた Einstein は、後にこう回想しているわ。
「家の屋根から自由落下している観測者にとって — 少なくとも彼のごく近傍では — 重力場は存在しない。」
🔵 カイ: 屋根から落ちてる人にとって重力がない？ どういうことですか？
🟡 リナ: こう考えてみて。エレベーターのケーブルが切れて、エレベーターが自由落下しているとする。中にいる人がポケットから鍵を取り出して手を離したら、どうなる？
🔵 カイ: えーと……鍵もエレベーターも同じ加速度 \(g\) で落ちてるから、鍵は手を離した位置にそのまま浮かんで見える！
🟡 リナ: そう。鉄の鍵でも木のボールでも羽毛でも、すべて同じ加速度で落ちるから、エレベーターの中ではすべてが浮かんでいるように見える。まるで重力がないかのように。
🔵 カイ: すべてが浮かぶのって、すごいですね。でもなんで全部同じように浮かぶんだろう……鉄の鍵と羽毛で質量が全然違うのに。
🟡 リナ: いい疑問ね。これが成り立つのは、前のセクションで確認した \(m_G = m_I\) のおかげなの。\(m_G = m_I\) だからこそ、すべての物体が同じ加速度で落ちる。もし物質によって落下加速度が違ったら、鍵は浮かばずに床にぶつかるか天井に飛んでいく — 自由落下系で重力が「消える」のは、この等価性あってこそなのよ。
⚪ メイ: つまり、\(m_G = m_I\) が成り立つからこそ、自由落下するだけですべての物体の重力が同時に消えるのね。物質の種類に関係なく。
🟡 リナ: 現代版の例を挙げると、国際宇宙ステーション (ISS) がそうね。地上約 400 km でも地球の重力は地表の約 90%ある。でも ISS も宇宙飛行士も同じ加速度で地球に向かって自由落下しているから、中ではふわふわ浮いて見える。
🔵 カイ: じゃあ、宇宙飛行士が「無重力」って言ってるのは、実は「自由落下中」ってことなんですね。
🟡 リナ: その通り。さて、ここからが核心よ。今は「自由落下すると重力が消える」話をしたけど、逆に、加速すると重力が現れるという状況を考えてみて。
加速するロケットとの区別¶
🟡 リナ: 宇宙空間に浮かぶロケットが、エンジンを噴射して上向きに加速度 \(g\) で加速しているとする（図 5.1「加速ロケット内の擬似重力」）。ロケットの中にいる人は、足元に向かって引っ張られるような力を感じる。図に描いたように、ボールを手から離せば床に向かって「落ちる」し、バネ秤で体重を測れば \(mg\) を示す — 地球の上と全く同じ値よ。
図 5.1: 加速ロケット内の擬似重力。加速するロケット内では、ボールは床に向かって「落ち」、バネ秤は体重 \(mg\) を示す。ロケット内の人には地上と同じ「重力」が感じられる。
🔵 カイ: 地球の上に立っているのと全く同じ感覚……
🟡 リナ: ここで問題。窓の外が見えない状況で、次の 2 つを区別できるかしら？
- 状況 A: ロケットが惑星の表面に静止していて、重力加速度 \(g\) を感じている
- 状況 B: ロケットが宇宙空間で加速度 \(g\) で上向きに加速している
🟡 リナ: 図 5.2「エレベーターの思考実験」を見て。3 つの状況を並べて比較しているわ。(a) がさっき話した自由落下の状況、(b) が地表に静止、(c) が今のロケットの状況よ。(b) と (c) が局所的に区別できないというのが等価原理の核心なの。
図 5.2: エレベーターの思考実験。(a) 自由落下中 — すべてが浮かび、重力が「消えた」ように見える。(b) 地表に静止 — 重力を感じる。(c) 宇宙空間で加速するロケット — 擬似重力を感じる。等価原理により、(b) と (c) は局所的に区別できない。
⚪ メイ: ボールを落としても、バネ秤で測っても、水面を観察しても、どちらの状況でも同じ結果になる。局所的には区別できない。
🟡 リナ: これが等価原理 (equivalence principle) の核心よ。
等価原理 (equivalence principle)
一様な重力場（どこでも同じ強さ・同じ方向の重力場）の中に静止している系と、重力のない空間で一様に加速している系は、局所的には物理的に区別できない。
同等の言い方をすると：自由落下する系は、局所的には慣性系と等価である。
🔵 カイ: 「局所的には」ってどういう意味ですか？ なぜ「完全に」じゃないんですか？
🟡 リナ: いい質問ね。重力場は一般に場所によって強さも方向も変わるでしょう？ 地球の重力は地球の中心に向かっているから、東京とブラジルでは方向が違うし、高い場所ほど弱い。「局所的」というのは、十分に小さな領域・短い時間の範囲では、重力場が「一様」（どこでも同じ強さ・同じ方向）に見えるから、加速と区別できない——という意味よ。
⚪ メイ: 逆に言えば、広い範囲を見ると重力場の不均一さが見えてきて、加速とは区別できるようになる——ということね。
🟡 リナ: その通り。その「広い範囲で見えてくる違い」が潮汐力で、このあとのセクションで詳しく扱うわ。今は「等価原理はあくまで狭い範囲での話」とだけ覚えておいて。
座標変換で重力を消す — 数式で確認¶
図 5.3: 自由落下座標系で重力を消す。左 — 一様重力場 \(\vec{g}\)（鉛直下向き、\(-y\) 方向）の中の粒子群。各粒子に重力（オレンジ矢印、すべて下向き）と粒子間力（点線）が働く。右 — 自由落下座標系 \(S'\) に乗り換えると重力が消え、粒子間力だけが残る。
🔵 カイ: 等価原理が成り立つって、数式でも確認できるんですか？
🟡 リナ: いい質問ね。実際に確認してみましょう。図 5.3「自由落下座標系で重力を消す」 のように、一様重力場の中の粒子群を考えて、自由落下座標系に乗り換えたら本当に重力が消えるか見てみるわ。図の左側では各粒子にオレンジ色の矢印で示した重力が下向きに働いていて、粒子間には点線で示した別の力（電気力やバネの力など）もある。右側が自由落下系に乗り換えた後の姿よ。
🔵 カイ: 左側が「地面に立っている人から見た世界」で、右側が「一緒に落ちている人から見た世界」ってことですね。
🟡 リナ: その通り。等価原理は「局所的に」成り立つ話だったわよね。だから、十分に小さな領域を考えて、その中では重力場が一様（どこでも同じ \(\mathbf{g}\)）と見なせる状況を設定するわ。\(N\) 個の粒子がこの一様な重力場 \(\mathbf{g}\) の中にあるとする。この中から 1 つの粒子（注目粒子）に着目して、その運動方程式を書くわ。注目粒子の位置を \(\vec{x}\)、残りの \(N-1\) 個の粒子の位置を \(\vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_{N-1}\) と番号付けるわね。和の添字 \(p\) はこの \(1\) から \(N-1\) を走るの。
⚪ メイ: \(m_G = m_I\) が確認されているから、両方とも同じ \(m\) と書けるのよね。
🟡 リナ: そう。左辺の \(m\) は慣性質量、右辺の \(m\mathbf{g}\) の \(m\) は重力質量だけど、等しいから同じ記号で書ける。運動方程式はこうなるわ：
右辺は 2 つの部分からなるの。第 1 項 \(m\mathbf{g}\) が一様重力場（地球の重力のような外場）による力で、全粒子に共通よ。粒子同士の間にも重力は働くけど、粒子の質量が小さければ外場 \(\mathbf{g}\) に比べて圧倒的に弱いから、ここでは無視するわ。したがって第 2 項の \(\vec{F}(\vec{x} - \vec{x}_p)\) には重力は含まれておらず、残りの粒子から受ける重力以外の力（電気力やバネの力など）の合計を表しているの。ここでは簡単のため、\(\vec{F}\) は相対位置 \(\vec{x} - \vec{x}_p\) だけで決まる力とするわ。例えば Coulomb 力なら \(\vec{F} \propto (\vec{x} - \vec{x}_p)/|\vec{x} - \vec{x}_p|^3\) のような形ね。つまり重力の効果は \(m\mathbf{g}\) に全部入っていて、\(\vec{F}\) には含まれていないの。
🟡 リナ: 自由落下する座標系に乗り換えてみましょう。座標変換は、
🔵 カイ: あ、\(\frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) って高校の等加速度運動の公式 \(x = \frac{1}{2}gt^2\) ですね！
⚪ メイ: つまり \(\vec{x}'\) は「自由落下する観測者から見た位置」ということね。
🔵 カイ: なるほど。でも座標変換って各粒子の位置 \(\vec{x}\) を \(\vec{x}'\) に変えるだけですよね？ 粒子間の力 \(\vec{F}(\vec{x} - \vec{x}_p)\) の形は変わらないんですか？
🟡 リナ: そう、実はそこがポイントなの。この新しい座標で加速度を計算してみましょう。\(\vec{x}' = \vec{x} - \frac{1}{2}\mathbf{g}\,t^2\) の両辺を \(t\) で 1 回微分すると \(\frac{d\vec{x}'}{dt} = \frac{d\vec{x}}{dt} - \mathbf{g}\,t\)、もう 1 回微分すると（\(\mathbf{g}\) は定数だから）、
ここで \(t' = t\) だから \(dt' = dt\) で、微分の変数は変わらないわ。
つまり \(\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = \frac{d^2\vec{x}'}{dt'^2} + \mathbf{g}\) ね。これを元の運動方程式の左辺 \(m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\) に代入すると、
🔵 カイ: あれ、右辺の力の引数が \(\vec{x} - \vec{x}_p\) のままですけど、新しい座標 \(\vec{x}'\) で書き直さなくていいんですか？
🟡 リナ: いい質問。実は \(\vec{x}' - \vec{x}'_p = (\vec{x} - \tfrac{1}{2}\mathbf{g}t^2) - (\vec{x}_p - \tfrac{1}{2}\mathbf{g}t^2) = \vec{x} - \vec{x}_p\) だから、粒子間の相対位置は座標変換で変わらないの。すべての粒子に同じ \(\tfrac{1}{2}\mathbf{g}t^2\) を引いているだけだからね。つまり \(\vec{F}(\vec{x} - \vec{x}_p) = \vec{F}(\vec{x}' - \vec{x}'_p)\) と書き換えられる。そうすると左辺の \(m\,\mathbf{g}\) と右辺の \(m\,\mathbf{g}\) が打ち消し合って、
🔵 カイ: 重力の項がきれいに消えた！
⚪ メイ: つまり、自由落下する座標系に乗り換えるだけで、重力のない空間の運動方程式と全く同じ形になるのね。
🟡 リナ: その通り。自由落下する座標系では、重力が完全に消えて、粒子間の力だけが残る。
🔵 カイ: でも待ってください。この座標変換って、すべての粒子に対して同時に重力を消してくれるんですか？ 粒子ごとに質量が違うのに。
🟡 リナ: いい質問ね。さっきの計算を見返してみて。\(m\mathbf{g}\) が消えたのは、左辺の \(m\)（慣性質量）と右辺の \(m\)（重力質量）が等しいからよ。質量 \(m\) の値自体は約分で消えてしまうから、どの粒子でも同じ座標変換で重力が消える。逆に言えば、もし \(m_G \neq m_I\) だったら粒子ごとに落下加速度が異なるから、1 つの座標変換ではすべての粒子の重力を同時に消せない——等価原理の成立は \(m_G = m_I\) に完全に依存しているの。
⚪ メイ: つまり、等価原理と \(m_G = m_I\) はセットで成り立っているのね。片方が崩れればもう片方も崩れる。
🟡 リナ: その通り。
✅ 理解度チェック: 等価原理を一言で述べてください。
答え
一様な重力場の中に静止している系と、重力のない空間で一様に加速している系は、局所的には物理的に区別できない。同等に、自由落下する系は局所的に慣性系と等価である。
📝 練習問題:
- 自由落下座標変換・等価原理の数式的確認 → 問題 B-4. 自由落下座標への変換における速度と加速度, 問題 B-5. \(m_I \neq m_G\) の場合の自由落下座標変換, 問題 M-2. 多粒子系での等価原理
5.4 潮汐力 — 等価原理の限界¶
🔵 カイ: じゃあ、自由落下すれば重力は完全に消えるんですか？ なんか話がうますぎる気が……
🟡 リナ: いい直感ね。実は、等価原理には重要な限界がある。それを教えてくれるのが潮汐力 (tidal force) よ。
🟡 リナ: 地球に向かって自由落下する 2 つのボールを考えて。2 つを水平方向に並べて落とすとする。地球の重力はどちらも地球の中心に向かって引っ張る。でも 2 つのボールは水平方向にずれた位置にあるから、それぞれの重力ベクトルは地球の中心に向かう — つまり完全な平行ではなく、少しだけ互いの方を向いているの（図 5.4「一様場と非一様場での潮汐力」 の (b) を見て — 2 本の矢印が中心に向かって収束しているのが分かるわね）。だから時間が経つと、2 つのボールは互いに近づいていく。
図 5.4: 一様場と非一様場での潮汐力。(a) 一様な重力場では 2 つの粒子は平行に落下し、相対加速度はゼロ。(b) 非一様な場（球対称）では粒子が中心に向かって収束し、相対加速度が生じる。これが潮汐力。
🔵 カイ: 水平方向だと近づくんですね。じゃあ、上下に並べて落としたらどうなるんですか？
🟡 リナ: 2 つのボールを上下に並べて落とすと、下のボールは地球に近いからわずかに強い重力を受け、上のボールはわずかに弱い。Newton の万有引力は距離の 2 乗に反比例するから、地球の中心に近い方が加速度が大きいの。だから下のボールの方が速く落ちて、時間が経つと 2 つは互いに離れていく。
⚪ メイ: つまり水平方向では「収束」、上下方向では「発散」ね。
🟡 リナ: 図 5.4「一様場と非一様場での潮汐力」 がまさにその対比を示しているわ。(a) の一様場では粒子が平行に落下して相対加速度はゼロ — これが等価原理で消せる成分。(b) の非一様場（球対称）では水平方向に離れた粒子が中心に向かって収束しているのが見えるでしょう？ これが消せない成分、つまり潮汐力よ。
🟡 リナ: 重力場の非一様性が方向によって異なる効果を生む——これが潮汐力の本質よ。
🔵 カイ: 自由落下してるのに、ボール同士の距離が変わる……これは「重力が消えた」とは言えないですよね？
🟡 リナ: そう。海の潮の満ち引きも同じ原理よ（図 5.5「月の重力不均一性と海の潮汐」）。月に近い側と遠い側で月の重力の強さが違うから、海面が月の方向に引き伸ばされるの。
🔵 カイ: 月に近い側が引っ張られるのは分かるけど、反対側でも膨らむのはなぜですか？
🟡 リナ: いい疑問ね。さっき等価原理で学んだことを思い出して — 自由落下する系では重力が消えるのだったわよね。地球全体は月の重力で月に向かって加速されている — つまり地球の中心は月に向かって自由落下しているの。「落ちている」と言っても、横向きの速度があるから月にぶつからずに周り続けている — 軌道運動も自由落下の一種よ（ISS と同じね）。だから地球と一緒に動く系（地球中心の系）に乗ると、さっきのエレベーターと同じ理屈で、地球中心での月の重力はちょうど「自由落下の加速度」として消える。
🔵 カイ: 地球の中心が自由落下しているから、そこでは月の重力が消える……でも地球は大きいから、中心から離れた場所では消えきらないってことですか？
🟡 リナ: その通り。消えるのはあくまで地球中心での値だけで、残るのは「その場所での月の重力」と「地球中心での月の重力」の差——これが潮汐力よ。
図 5.5: 月の重力不均一性と海の潮汐。(a) 月の重力は距離の 2 乗に反比例するので、月に近い側ほど強く働く（青矢印）。(b) 地球中心での重力を差し引いた残り（赤矢印）が潮汐力で、月側と反対側の両方で外向きになるため、海面は月の方向に伸びた楕円状に膨らむ。地球が自転すると 1 日に 2 回の満潮・干潮が生じる。
🟡 リナ: 図 5.5「月の重力不均一性と海の潮汐」 の (a) を見て — 月の重力（青矢印）は月に近い側ほど強い。(b) では地球中心での重力を差し引いた残り（赤矢印）を示しているわ。月に近い側では月の重力が地球中心より強いから、差は月の方を向く（外向き）。反対側では月の重力が地球中心より弱いから、差は月と反対方向を向く — つまりこちらも外向きになるの。
⚪ メイ: だから月側と反対側の両方で外向きに膨らんで、楕円状になるのね。
🟡 リナ: そう。地球が自転してこの楕円の下を通過するから、1 日に約 2 回の満潮と約 2 回の干潮が繰り返されるのよ。
🔵 カイ: あー、「差」で考えるんですね。反対側は月の重力が平均より弱いから、差し引くと月と逆向きに残る——だから反対側も外に膨らむのか。でも待ってください、潮汐力って「重力そのもの」じゃなくて「重力の場所ごとの違い」が本質ってことですか？ それって、一様な重力場なら潮汐力はゼロになるってこと？
🟡 リナ: その通り。一様な重力場ではどこでも同じ力だから、差はゼロ——潮汐力は生じない。さっきの 図 5.4「一様場と非一様場での潮汐力」 の (a) がまさにその状況よ。
🟡 リナ: 等価原理で消せるのは、あくまで局所的な一様重力場の成分だけ。重力場の非一様性 — 場所によって強さや方向が変わること — から生じる潮汐力は、自由落下しても消えない。
⚪ メイ: だから等価原理は「十分に小さな領域で、十分に短い時間の間だけ」成り立つのね。
🟡 リナ: そう。このような系を局所慣性系 (local inertial frame) と呼ぶの。第 2 章で「慣性系」を「加速も回転もしていない座標系」と紹介したわよね。局所慣性系はその拡張版で、重力場がある場合でも、任意の時空の点の近傍で自由落下する座標系を取れば、その小さな領域の中では特殊相対論が成り立つ — つまり局所的に「加速も回転もしていない座標系」になるの。さっきの ISS の例で言えば、ISS の中の小さな実験室が局所慣性系ね。でも、時空全体をカバーする単一の慣性系は、一般には存在しない。
🔵 カイ: 「十分に小さな」ってどのくらいなんですか？
🟡 リナ: 状況によるわ。地球表面のような弱い重力場なら、かなり広い領域で等価原理が良い近似になる。でも Black hole (ブラックホール) の近くのように重力場の変化が急激な場所では、非常に小さな領域でしか成り立たない。
✅ 理解度チェック: 等価原理で消せるのは重力場のどの成分でしょうか？ 消せないのは何でしょうか？
答え
消せるのは局所的な一様重力場の成分。消せないのは重力場の非一様性（場所による強さや方向の違い）から生じる潮汐力。
📝 練習問題:
- 潮汐力と等価原理の限界 → 問題 M-3. 潮汐力と等価原理の局所性
5.5 重力赤方偏移 — 等価原理の定量的な帰結¶
図 5.6: 重力赤方偏移。重力場中を上昇する光は振動数が低下する（赤方偏移）。
🟡 リナ: 等価原理が単なる哲学的な主張ではなく、定量的な予測を生むことを見せましょう。図 5.6「重力赤方偏移」 にこれから導く結論を先に示しておいたわ — 重力場中を上昇する光は振動数が下がる（赤方偏移する）。なぜそうなるのか、ここから「重力赤方偏移 (gravitational redshift)」として一歩ずつ導いていくわ。
思考実験の設定¶
🟡 リナ: 地球の表面に高さ \(H\) の塔が立っている。地面から塔の頂上に向かって光を発射する。この光の振動数がどう変わるかを考えるの。
🔵 カイ: 光の振動数が変わる？ 光速は一定なのに？
🟡 リナ: どの場所でも局所的に測った光速は \(c\) で一定だけど、波の基本式 \(c = \lambda\nu\)（光速＝波長 × 振動数）を思い出して。光速 \(c\) が一定に固定されている以上、振動数 \(\nu\) が下がれば波長 \(\lambda\) が伸びるしかない — 光速自体は変わらないの。音で例えると、救急車が遠ざかるとき音速は変わらないけどサイレンの音が低く聞こえるでしょう？ あれと同じで、波の速さが一定でも振動数だけが変わることがありうるの。ただし音と光では Doppler 効果の仕組みが違う（音には媒質があるけど光にはない）から、あくまで「速さ一定でも振動数は変わりうる」という点だけのアナロジーよ。「なぜ変わるのか」の答えは実は深くて、最終的には「場所によって時計の進み方が違うから」に行き着くんだけど、それはこのセクションの最後で改めて説明するわ。まずは等価原理を使って、振動数がどれだけ変わるかを定量的に導いてみましょう。
等価原理による導出¶
🟡 リナ: 等価原理によれば、自由落下する系は局所的に慣性系と等価。だから、自由落下する系の中では特殊相対論がそのまま使える。重力赤方偏移を導きたいのだけど、重力場の中で直接計算するのは難しい。そこで戦略はこう — 等価原理を使って「重力場の問題」を「加速系の問題」に置き換え、慣性系で使い慣れた特殊相対論の道具（Doppler 効果）で解くの。
🟡 リナ: こう設定するわ。光が発射される瞬間に、光源のすぐそばで自由落下を始める観測者を考えるの — つまり地面からジャンプして足を離すイメージね。「光が発射される瞬間に」始めるのがポイントよ。なぜなら、その瞬間にこの観測者と光源は同じ場所で同じ速度（ゼロ）だから、発射の瞬間に光源に対して静止した状態で自由落下が始まるの。もし自由落下の開始が早すぎたり遅すぎたりすると、発射の瞬間に観測者と光源の間に相対速度が生じてしまい、余計な Doppler 効果が混ざってしまう。さて、前のセクションで確認したように、自由落下する系では重力が消える。重力が消えた系は「力が働いていない系」だから、それはまさに慣性系よね。つまり等価原理により、この自由落下する観測者は局所慣性系にいると言える。慣性系にいるなら特殊相対論が使えるわ。すると、自由落下する観測者から見ると、塔の頂上にいる受信者は上向きに加速して自分から遠ざかっていくように見える。自由落下系から見れば地面も塔も一緒に上向きに加速していくからね。
⚪ メイ: つまり、光が発射された瞬間には自由落下系と地面は同じ速度だけど、光が頂上に届くまでの間に塔全体が加速するから、受信者は光源から遠ざかる速度を持ってしまう——ということね。
🔵 カイ: あ、受信者が遠ざかっていくなら、救急車のサイレンが遠ざかると音が低くなるのと同じで、Doppler 効果で振動数が下がりそうですね！
🟡 リナ: その通り。光が地面から塔の頂上まで届くのにかかる時間は \(\Delta t \approx H/c\) よ。
🔵 カイ: なぜ「\(\approx\)」なんですか？ 正確に \(H/c\) じゃないんですか？
🟡 リナ: 自由落下系から見ると受信者は加速しているから、光が出発してから届くまでの間に受信者の位置が少しずれるの。でもそのずれは \(\frac{1}{2}g(H/c)^2\) 程度で、\(H\) に比べた割合は
（\(H = 22.5\,\mathrm{m}\) の場合）と圧倒的に小さい。だから \(\Delta t = H/c\) として問題ないわ（厳密な議論は第 6 章で行うわ）。
🟡 リナ: 光が発射された瞬間に自由落下を始めた観測者から見ると、この間に頂上の受信者は上向きに加速し続けている。Doppler 効果で重要なのは光が受信される瞬間の受信者の速度だから、\(\Delta t \approx H/c\) 後の受信者の速度を求めればいいわ。等加速度運動だから、
これが受信の瞬間に受信者が光源から遠ざかる向きに持っている速度よ。
🔵 カイ: あ、受信者が光源から遠ざかるから、Doppler (ドップラー) 効果で振動数が下がる！
🟡 リナ: その通り。ここで特殊相対論の Doppler 効果を使うわ。光源と受信者が互いに一定速度 \(v\)（\(v > 0\)）で遠ざかっている場合、受信者が受け取る光の振動数がどうなるかを導出するの。最終結果を先に見せておくと、こうなるわ：
怖がらなくて大丈夫、今から一歩ずつ導くから。
🔵 カイ: お願いします！ どうやって導出するんですか？
🟡 リナ: 受信者の静止系（慣性系）で考えるのが一番すっきりするの。なぜかというと、受信者の系で計算すれば「波の山が届く間隔」がそのまま受信者が測る周期になるから、最後に座標変換する手間がないのよ。では始めるわね。受信者の系では光源が速度 \(v\) で一様に遠ざかっている。光源自身の静止系では、光源は周期 \(T_0 = 1/\nu_{\text{発射}}\) ごとに波の山を出す（\(\nu_{\text{発射}}\) は光源の静止系で測った振動数よ）。でも受信者の系から見ると光源の時計は \(1/\gamma\) 倍ゆっくり進む（時間の遅れ）から、受信者の系の座標時間では波の山は \(\gamma T_0\) ごとに出るの。
🔵 カイ: 動いている光源の時計がゆっくり進むから、山が出る間隔が長くなるんですね。
🟡 リナ: そう。さらに、光源は受信者から遠ざかっているから、次の山が出る位置は前の山より \(v \cdot \gamma T_0\) だけ遠い。この余分な距離を光が光速 \(c\) で走るのに \(v\gamma T_0/c\) だけ余計にかかる。だから受信者が測る山の到着間隔は：
⚪ メイ: 受信者の系で計算しているから、これがそのまま受信者の固有時間での到着間隔ね。座標変換の必要がない。
🟡 リナ: その通り。振動数は周期の逆数だから：
ここに \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) を代入するわ。\(1-v^2/c^2 = (1-v/c)(1+v/c)\) だから \(\gamma = 1/\sqrt{(1-v/c)(1+v/c)}\)。したがって：
\(\frac{\sqrt{1+v/c}}{1+v/c} = \frac{\sqrt{1+v/c}}{(\sqrt{1+v/c})^2} = \frac{1}{\sqrt{1+v/c}}\) だから：
🔵 カイ: おお、きれいに出ました！ 受信者の系で最初から計算すると、座標変換の面倒がなくてすっきりしますね。
⚪ メイ: ポイントは「受信者の系で計算すれば、到着間隔がそのまま受信者の固有時間での値になる」ということね。光源の系で計算してから変換しようとすると、どの時間間隔をどう変換するかで混乱しやすいから。
🟡 リナ: さて、この等速運動の Doppler 公式を今回の問題に使うわ。「受信者は加速しているのに等速の公式を使っていいの？」と思うかもしれないけど、振動数を測るというのは「波の山が何回届くか」を数えることでしょう？ 1 回の山が届く間（時間にして \(\Delta t_{\text{wave}} \sim 1/\nu\)）に受信者の速度がほとんど変わらなければ、その 1 回の山の受信は等速運動と同じ状況と見なせるの。つまり、Doppler 効果で振動数が決まるのは光が受信される瞬間の受信者の速度だけなのよ。加速の効果が問題になるのは、この \(\Delta t_{\text{wave}}\) の間に受信者の速度がどれだけ変わるか。その速度変化は \(g \cdot \Delta t_{\text{wave}} = g/\nu\) で、受信速度 \(v = gH/c\) に対する比は \(\frac{g/\nu}{v} = \frac{g}{\nu \cdot gH/c} = \frac{c}{\nu H}\)。ガンマ線（\(\nu \sim 10^{18}\,\mathrm{Hz}\)）で \(H = 22.5\,\mathrm{m}\) なら \(\sim 10^{-11}\) 程度で、\(1\) に比べて圧倒的に小さいから、光が 1 波長分届く間に受信者の速度はほとんど変わらず、等速運動の Doppler 公式を適用して問題ないわ。
🟡 リナ: 今回の問題では \(v/c = gH/c^2\) で、これは非常に小さい量よ（後で見るように \(\sim 10^{-15}\)）。だから \(v/c \ll 1\) の近似を使って式を簡単にできるわ。まず基本的な近似公式を確認しておきましょう。
これは \((1 + \epsilon/2)^2 = 1 + \epsilon + \epsilon^2/4 \approx 1 + \epsilon\) から分かるわ。
🔵 カイ: \(\epsilon\) が小さいとき、\(\epsilon^2/4\) は無視できるから成り立つんですね。
🟡 リナ: そう。次に \(\sqrt{(1-x)/(1+x)}\) を \(x \ll 1\) のとき近似するわ。ステップを 3 つに分けるわね。
ステップ 1: \(1/(1+x) \approx 1 - x\)。これは \((1+x)(1-x) = 1 - x^2 \approx 1\)（\(x^2\) を無視）から、両辺を \((1+x)\) で割れば \(1-x \approx 1/(1+x)\) が得られるわ。
ステップ 2: \(\frac{1-x}{1+x} = (1-x) \cdot \frac{1}{1+x} \approx (1-x)(1-x) = (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \approx 1 - 2x\)。\(x^2\) は \(x \ll 1\) だから無視したの。
ステップ 3: 平方根を取る。\(\epsilon = -2x\) として \(\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \epsilon/2\) を使えば、
⚪ メイ: つまり 3 ステップで \(\sqrt{(1-x)/(1+x)} \approx 1 - x\) が出るのね。\(1/(1+x) \approx 1-x\) がすべての出発点になっていると。
🔵 カイ: なるほど、全部さっきの \(\sqrt{1+\epsilon} \approx 1 + \epsilon/2\) に帰着するんですね。でも、この近似って \(v/c\) が大きくなったらどのくらいずれるんですか？ 今回は \(10^{-15}\) だから全然問題ないだろうけど。
🟡 リナ: その通り。\(x = v/c\) を戻せば、
となる。直感的には、受信者が光源から遠ざかっているぶん、波の山が届く間隔が長くなる — 音の Doppler 効果と同じ仕組みね。ここに \(v = gH/c\) を代入すると、頂上で受け取る振動数 \(\nu_{\text{頂上}}\) と地面で発射した振動数 \(\nu_{\text{地面}}\) の関係は、
⚪ メイ: つまり \(\nu_{\text{頂上}} < \nu_{\text{地面}}\)。頂上で受け取る光の振動数は、地面で発射したときより低くなっている。振動数が下がるということは波長が長くなる — 赤い方にずれるのね。
🟡 リナ: その通り。波長が長くなる＝赤い方にずれるから、これを赤方偏移と呼ぶの。振動数の相対的な変化量を書くと、
マイナスは振動数が下がることを意味する。改めて 図 5.6「重力赤方偏移」 を見てみて — 赤い波（頂上側）が振動数の低下を示しているのが、まさにこの式の表現よ。
エネルギー保存から見る — もう一つの視点¶
🔵 カイ: 光もエネルギーを持つから重力の影響を受けるはずですよね。でも光速は一定だから、速度が遅くなるわけじゃない。じゃあ光のエネルギーはどこに行くんですか？
🟡 リナ: いい疑問ね。量子論によれば、光子 1 個のエネルギーは振動数 \(\nu\) に比例するの。比例定数を Planck (プランク) 定数 \(h\) と書くわ。\(h \approx 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J{\cdot}s}\) という非常に小さな値で、単位の \(\mathrm{J{\cdot}s}\)（ジュール秒）は「エネルギー × 時間」の次元を持つ定数よ。
これは高校物理の光電効果のところで出てくる式ね。光電効果の実験で「光の振動数が高いほど飛び出す電子のエネルギーが大きい」ことが確認されていて、その比例定数がまさに \(h\) なの。この教科書では量子論を本格的に扱うのはまだ先だけど、ここでは「光のエネルギーは振動数に比例する」という実験事実だけを使うわ。つまり、振動数が下がれば光子のエネルギーも下がる。
🔵 カイ: あ、じゃあ振動数が減る＝エネルギーが減るってことですね！ 光は速度を落とせないから、代わりに振動数を落としてエネルギーを失うのか。
🟡 リナ: ここで、第 4 章で学んだ質量とエネルギーの等価性 \(E = mc^2\) の発想を拡張するわ。エネルギー \(E\) を持つ光子に対して、形式的に \(m_{\text{eff}} = E/c^2 = h\nu/c^2\) という「等価質量」を割り当ててみるの。
🔵 カイ: えっ、光子って質量ゼロですよね？ 質量を割り当てていいんですか？
🟡 リナ: いい指摘ね。光子の静止質量はゼロだから、これは厳密な意味での「質量」ではないの。ただ、等価原理を思い出して — 重力場の中に静止している系と加速系は区別できないのだから、加速系で光子のエネルギーが変わるなら（Doppler 効果で実際に変わったわよね）、重力場中でも同じだけ変わるはず。つまり光子も重力ポテンシャルの影響を受ける。その効果を Newton 的に表現するなら、\(E/c^2 = h\nu/c^2\) を「重力的な重さ」と見立てることができるの。これは厳密な導出ではなく、さっきの等価原理の方法で既に得た結果を「エネルギー保存」の言葉で再解釈する便宜的な見方よ。「同じ答えが出ることの直感的な確認」と思ってね。この「見立て」で、重力ポテンシャルの差 \(gH\) のぶんだけエネルギーを失うと考えてみて。
🟡 リナ: Newton 的に考えるなら、光子が高さ \(H\)（正の値）を登るとき、重力は下向きに \(m_{\text{eff}}\,g\) の力で引っ張るから、上向きに \(H\) だけ移動すると仕事は \(-m_{\text{eff}}\,g\,H\)（力と移動方向が逆だからマイナス）。つまりエネルギーの変化量は
マイナスだから、エネルギーが減っている——つまり光子は重力ポテンシャルを登るぶんだけエネルギーを失うの。ここで \(m_{\text{eff}} = h\nu/c^2\) の \(\nu\) には地面での振動数を使っているわ。厳密には登る途中で振動数が変わるから \(m_{\text{eff}}\) も変わるけど、その変化量は \(gH/c^2 \sim 10^{-15}\) 程度。つまり \(m_{\text{eff}}\) の変化は元の値の \(10^{-15}\) 倍しかないから、\(\Delta E\) の計算に入る補正は \((gH/c^2)^2 \sim 10^{-30}\) のオーダーで、完全に無視できるの。
🔵 カイ: なるほど、登る途中で振動数が変わる影響は無視できるほど小さいと。
🟡 リナ: \(E = h\nu\) で \(h\) は定数だから、振動数が \(\nu\) から \(\nu + \Delta\nu\) に変わればエネルギーも \(E + \Delta E = h(\nu + \Delta\nu)\) になる。元の \(E = h\nu\) を引けば \(\Delta E = h\,\Delta\nu\)。両辺を \(E = h\nu\) で割ると？
🔵 カイ: えーと、\(\Delta E / E = h\,\Delta\nu / (h\nu)\) で、\(h\) が約分されて……
⚪ メイ: \(\Delta E / E = \Delta\nu/\nu\) ね。エネルギーの変化率と振動数の変化率が等しくなる。
🟡 リナ: そう。つまり、光子が高さ \(H\) を登ることで失うエネルギー \(\Delta E = -(h\nu/c^2)\,gH\) は、そのまま振動数の変化 \(\Delta\nu = \Delta E / h\) に対応するの。ここで \(\nu\) は地面で発射したときの振動数、\(\Delta\nu = \nu_{\text{頂上}} - \nu_{\text{地面}}\) は振動数の変化量よ（頂上で下がるからマイナスになる）。さっきの \(\Delta E = -(h\nu/c^2)\,gH\) を \(E = h\nu\) で割ると、
🔵 カイ: あれ、等価原理で導いた式と全く同じ！ これって偶然ですか？ 全然違うアプローチなのに同じ答えになるのが不思議なんですけど……
🟡 リナ: 偶然じゃないのよ。これは同じ現象を 2 つの視点から見ているということ。等価原理（自由落下系での Doppler 効果）とエネルギー保存（光子のエネルギーが重力ポテンシャルで変わる）は、重力赤方偏移という同じ結論を指している。
🔵 カイ: つまり、2 つの導出が一致するのは「等価原理が正しいなら、エネルギー保存もこの形になるはず」ってことですか。整合性のチェックになっているんですね。
ただし「光子が重力で加速する」という描像には注意
このエネルギー保存の議論は便利な暗記法として使えるけど、厳密には：
- 光子は質量 0。「光子が重力加速度を受ける」のは古典粒子のアナロジーに過ぎない
- 一般相対論の正しい描像は「重力は力ではなく時空の曲率」で、光子は曲がった時空中の測地線（null geodesic、ヌル測地線）を進むだけ
- 赤方偏移の本質は「場所によって時計の進み方が違う」こと。振動数は単位時間あたりの振動回数だから、時計の遅れがそのまま振動数の違いに現れる
振動数の低下・エネルギーの低下・時間の遅れ — これらは同じ一つの現象（時空の幾何学）を別の言葉で表したもの。この章の後半と第 6 章以降で、この視点を深めていくわ。
🔵 カイ: じゃあ逆に、塔の頂上から地面に向けて光を送ったら？
🟡 リナ: 対称性から、その場合は振動数が上がる（青方偏移）。一般に、重力ポテンシャルが低い場所（地面）から高い場所（頂上）に光を送ると赤方偏移、逆向きなら青方偏移よ。
🟡 リナ: これが重力赤方偏移 (gravitational redshift) と呼ばれる現象よ。
実験的検証¶
🔵 カイ: この効果って、実際に測れるんですか？
🟡 リナ: 測れるわ。1960 年に Pound (パウンド) と Rebka (レブカ) が Harvard (ハーバード) 大学の物理学棟の塔（高さ約 22.5 m）を使って測定に成功したの。鍵になったのは Mössbauer (メスバウアー) 効果 — 結晶中の原子核が反跳なしにガンマ線を放出・吸収する現象で、これを使うと極めて鋭い振動数のガンマ線を作れるの。振動数が鋭いからこそ、\(10^{-15}\) レベルの微小な振動数変化を検出できたのよ。
🔵 カイ: \(10^{-15}\) って、具体的にどのくらいの効果なんですか？
🟡 リナ: さっきの式で計算してみましょう。\(g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}\)、\(H = 22.5\,\mathrm{m}\) として \(gH/c^2 \approx 10 \times 22.5 \,/\, (3 \times 10^8)^2 \approx 2.5 \times 10^{-15}\)。1000 兆分の 2.5 という微小な効果よ。
⚪ メイ: それを実際に測れたのは、Mössbauer 効果で振動数が極めて鋭いガンマ線を使えたからなのね。
🟡 リナ: そう。Pound-Rebka の実験結果は理論予測と約 10% の精度で一致し、その後の改良実験（Pound-Snider, 1965）では 1% 以内の精度で確認されたわ。
重力赤方偏移が意味すること — 時計の進み方が違う¶
🟡 リナ: 重力赤方偏移には、もっと深い意味があるの。光の振動数は「1 秒間に何回振動するか」だから、一種の時計と見なせる。振動数が変わるということは、場所によって時計の進み方が違うということ。
🔵 カイ: えっ、場所によって時間の進み方が違う？ でも第 3 章で学んだ「運動する時計はゆっくり進む」とは違う話ですよね？ あれは速度のせいだったけど、今は動いてないのに……
🟡 リナ: いい区別ね。特殊相対論の時間の遅れは相対速度が原因だけど、今の話は重力ポテンシャルの違いが原因。重力ポテンシャルが高い場所（塔の頂上）の時計は、低い場所（地面）の時計より速く進む。これが重力による時間の遅れで、特殊相対論の効果とは独立に存在するの。
🟡 リナ: 身近な応用例を挙げると、GPS 衛星の時刻補正にもこの効果が組み込まれているの。衛星は地上より重力ポテンシャルが高い場所にあるから、衛星の時計は地上の時計より速く進む。実際には衛星の軌道速度による特殊相対論的な時間の遅れ（逆向きの効果）もあるけど、重力による効果の方が大きくて、合わせて補正しないと位置の測定に 1 日あたり数 km の誤差が出る。詳しくは練習問題で計算してみてね。
⚪ メイ: 重力赤方偏移が日常の技術に直結しているのね。
✅ 理解度チェック: 重力赤方偏移とは何でしょうか？ また、それは「時間の進み方」にどう関係するでしょうか？
答え
重力ポテンシャルが低い場所から高い場所に光を送ると、光の振動数が低下する（赤方偏移する）現象。\(\Delta\nu/\nu \approx -gH/c^2\)。逆に高い場所から低い場所に送ると振動数は上がる（青方偏移）。光の振動数は一種の時計と見なせるため、これは場所によって時計の進み方が異なることを意味する。重力ポテンシャルが高い場所（例：塔の頂上やGPS衛星）の時計は、低い場所（地面）の時計より速く進む。
📝 練習問題:
5.6 重力は力ではなく時空の性質 — 発想の大転換¶
大域的な Lorentz 系は存在しない¶
🟡 リナ: 重力赤方偏移の存在は、実は非常に深い問題を突きつけるの。
🟡 リナ: 第 3 章で学んだ Lorentz 系 — 計量が \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) という形をとる座標系 — では、同じ場所に静止している 2 つの時計は同じ速さで時を刻むはず。でも重力赤方偏移は、塔の上の時計と地面の時計が異なる速さで時を刻むことを示している。
🔵 カイ: あれ、それっておかしくないですか？ Lorentz 系なら静止してる時計は全部同じ速さで進むはずなのに、塔の上と地面で違うって……矛盾してません？
🟡 リナ: その通り、矛盾するの（図 5.7「大域的 Lorentz 系が存在しない理由」）。Lorentz 系の計量 \(ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) で、静止している時計（\(dx = dy = dz = 0\)）を考えてみて。
図 5.7: 大域的 Lorentz 系が存在しない理由。左: 平坦な時空では、異なる場所に静止した 2 つの時計が同じ速さで時を刻む（大域的 Lorentz 系が存在）。右: 重力場中では、地面の時計（ポテンシャルが低い）は塔の頂上の時計より遅く進む。この時計の進み方の違いは、時空全体をカバーする単一の Lorentz 系が存在しないことを意味する。
🟡 リナ: 第 4 章で学んだように、固有時間 \(d\tau\)（時計自身が刻む時間）は時空間隔から定義されるの。第 4 章では \(c = 1\) の自然単位系を使っていたから \(d\tau^2 = -ds^2\) と書いていたわ。この章では \(c\) を明示する SI 単位系だから、次元を合わせて \(c^2 d\tau^2 = -ds^2\) と書くの（左辺に \(c^2\) を掛けて長さの 2 乗の次元に揃えているだけよ）。静止している時計（\(dx = dy = dz = 0\)）で確認してみましょう。\(ds^2 = -c^2 dt^2\) だから \(-ds^2 = c^2 dt^2\)。つまり \(c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2\)、すなわち \(d\tau = dt\) になる。
🔵 カイ: つまり Lorentz 系なら、静止している時計はどの場所でも座標時間 \(t\) と同じ速さで進むってことですね。
🟡 リナ: そう。ところが、さっき導いた重力赤方偏移を思い出して。塔の頂上と地面で光の振動数が違う。ここで、光の振動を「時計」として使うことを考えてみて — 例えば「光が 1 回振動するたびに 1 目盛り進む時計」を作ったとする。地面で発射した光の振動数が \(\nu_{\text{地面}}\) なら、地面の時計は 1 秒間に \(\nu_{\text{地面}}\) 回カチカチ進む。同じ光が頂上に届くと振動数は \(\nu_{\text{頂上}} < \nu_{\text{地面}}\) に下がっている。でも頂上にいる人が自分の手元で同じ種類の光源を使って時計を作れば、その振動数は \(\nu_{\text{地面}}\) と同じ値になるはず（同じ物理法則で同じ光源を作っているから）。つまり頂上の「手元の時計」は地面から届いた光より速くカチカチ進む — これは頂上の時計が地面の時計より速く進んでいることを意味するの。
🔵 カイ: あ、なるほど。地面から来た光が「遅く」見えるのは、頂上の時計の方が速く進んでいるからなんですね。
🟡 リナ: その通り。つまり同じ座標時間 \(dt\) の間に刻む固有時間 \(d\tau\) が場所によって異なるの。でも今見たように、Lorentz 系では \(d\tau = dt\) でどの場所でも同じはず。これは矛盾よね。だから重力場の中には、地球の表面全体をカバーするような大域的な Lorentz 系は存在しないの。塔の上と地面の両方を同時にカバーする単一の Lorentz 系は組めない。
⚪ メイ: 重力赤方偏移という一つの観測事実から、特殊相対論の枠組みだけでは重力を扱えないことが論理的に帰結するのね。
🔵 カイ: じゃあ、特殊相対論はもう使えないんですか？
🟡 リナ: 大域的には使えない。でも局所的には使える。等価原理が教えてくれたように、自由落下する系 — 局所慣性系 — の中では、十分に小さな領域で特殊相対論がそのまま成り立つ。
曲がった面とのアナロジー¶
🟡 リナ: ここで、とても重要なアナロジーを紹介するわ。地球の表面を考えてみて。
🔵 カイ: 球面ですね。
🟡 リナ: 球面は曲がっているけど、足元の地面は平らに見えるでしょう？ 十分に小さな領域を見れば、球面は平面に近似できる。でも地球全体を 1 枚の平面で覆うことはできない — 地図を作ると必ず歪みが生じる。
⚪ メイ: つまり、球面を 1 枚の平面で覆えないのと同じように、重力場のある時空を 1 つの Lorentz 系で覆えない——でも足元だけ見れば平面に近似できるように、局所的には特殊相対論が使える、ということね。
🟡 リナ: まさにそう。Einstein はこのアナロジーを真剣に受け取ったの。重力場のある時空は球面のように「曲がって」いて、十分に小さな領域では「平ら」（Minkowski 的）に見える。でも時空全体を単一の Lorentz 系でカバーすることはできない。そしてここが Einstein の天才的な飛躍よ。
図 5.8: 球面上の平行移動と曲率。球面上でベクトルを「平行に」保ちながら \(N \to A \to B \to N\) と一周すると \(90°\) 回転して戻る。平坦な空間では回転しない。回転角が曲率を反映する。
🟡 リナ: 図 5.8「球面上の平行移動と曲率」 を見て。北極 \(N\) に立って南を向いている矢印を想像して。この矢印を「その場で向きを変えずに」赤道上の点 \(A\) までまっすぐ運ぶ。次に赤道に沿って点 \(B\) まで運ぶ。最後に \(B\) から北極 \(N\) に戻る。平坦な紙の上なら、矢印は元の向きに戻るはずよね。でも球面上では、戻ってきた矢印が \(90°\) 回転しているの。
🔵 カイ: 「向きを変えずに運ぶ」って、具体的にはどういう操作ですか？
🟡 リナ: 直感的には「進行方向に対して左右に傾けない」ということ。具体的に追ってみましょう。北極で南を向いている矢印を、経線に沿って赤道まで運ぶ — 進行方向（南）に対して左右に傾けないから、矢印はずっと南を向いたまま赤道に着く。次に赤道に沿って \(90°\) 東に運ぶ — 今度の進行方向は東だから、矢印を東西に傾けなければよい。南向きの矢印は進行方向（東）に対して右 \(90°\) を向いている。傾けずに運ぶから、ずっと進行方向の右 \(90°\)、つまり南を向いたまま。最後にそこから経線に沿って北極に戻る — 進行方向は北だから、矢印を左右に傾けない。「進行方向に対して右 \(90°\)」を保ったまま運ばれるの。ここで大事なのは、経線に沿って北に進むとき、「東西南北」の方角自体が場所によって変わるということ。赤道上の出発点では「北」は北極の方向、「右 \(90°\)」は南だった。でも北極に到着すると、あなたが歩いてきた経線の方向が「南」になる。つまり北極での「進行方向」は、出発した経線（0° の経線）から見て 90°E の方角から来た方向。その右 \(90°\) は……0° の経線に沿った「南」ではなく、90°E から見て右、つまり西を向くことになるの。言葉だけだと混乱するかもしれないから、地球儀で実際に指を使って追ってみて。北極で 0° の経線と 90°E の経線が交わる角度を確認すると、矢印が \(90°\) 回転していることが実感できるわ。だから北極に戻ると、矢印は西を向いている。出発時は南を向いていたのに \(90°\) 回転してしまった！ 平坦な面なら「平行移動」は自明で元に戻るけど、曲がった面では経路によって結果が変わる。この操作を平行移動 (parallel transport) と呼ぶの。そして「一周したら向きが変わる」度合いが、面の曲がり具合 — 曲率 — を反映している。これは後の章で数学的に定式化するわ。
🔵 カイ: なるほど……「曲がっている」ことを、その面の上にいる人が面の外に出なくても検出できるんですね。一周させて向きが変わるかどうかを調べればいい。
🟡 リナ: その通り。これが「内在的な曲率」の考え方よ。面の外側から眺めなくても、面の上の操作だけで曲がりを検出できる。
潮汐力と曲率の対応¶
🟡 リナ: さっき潮汐力の話をしたわよね。自由落下する 2 つの粒子が、重力場の非一様性のせいで互いに近づいたり離れたりする。
🟡 リナ: 実は、曲がった面の幾何学でも全く同じことが起きるの。球面の上で、赤道上の 2 点から出発して北に向かって「まっすぐ」歩く 2 人を想像して。
🔵 カイ: 球面の上で「まっすぐ」ってどういう意味ですか？ 球面自体が曲がってるのに。
🟡 リナ: いい質問。左にも右にも曲がらず、その面の上で最短距離を結ぶ経路のことよ — これを測地線 (geodesic) と呼ぶの。球面上の測地線は大円になる。大円というのは、球の中心を通る平面で球面を切ったときにできる円のこと — 地球儀の経線や赤道がその例ね。
🔵 カイ: なぜ大円が最短経路になるんですか？
🟡 リナ: 身近な例で考えてみて。東京からニューヨークに行くとき、地図上でまっすぐ線を引くと太平洋を横断するルートに見えるけど、実際の飛行機は北極圏を通るルートを飛ぶの。地球儀の上で糸をピンと張ってみると、北寄りのルートの方が短いことが分かる。糸をピンと張った経路が大円の弧になるのよ。球面上では「まっすぐ」が平面上の直線とは違う形になるの。
🔵 カイ: へぇ、飛行機の大圏ルートって、そういう意味だったんですね。
🟡 リナ: さて、赤道上の 2 点から北に向かって測地線に沿って歩く 2 人を考えてみて。例えば 0° の経線（ロンドンを通る経線）と 90°E の経線（東南アジアを通る経線）に沿って歩く 2 人ね。赤道上では 2 人の間隔は地球の円周の 4 分の 1 だけど、北に進むにつれて経線同士の間隔は狭まっていき、北極では 2 本の経線が 1 点に集まる。地球儀で確認してみて — 赤道では等間隔に並んでいる経線が、北極では全部 1 点に集まるでしょう？ 経線はまさに測地線（大円）だから、これが「曲がった面では平行線が交わる」ことの具体例よ。もし手元に地球儀があれば、実際に 2 本の経線を指で辿ってみると実感できるわ。
🔵 カイ: あ、確かに！ 平面なら平行線はずっと平行なのに、球面だと交わってしまう。
⚪ メイ: それって潮汐力と同じ構造ね。自由落下する 2 つの粒子が互いに近づく——球面上の 2 本の測地線が北極に向かって収束する。
🟡 リナ: Einstein はこの対応を見抜いたの。
表 5.3: 重力現象と曲がった時空の幾何学的対応
| 重力の世界 | 曲がった面の幾何学 |
|---|---|
| 自由落下する粒子の経路 | 曲がった時空の測地線 |
| 潮汐力による粒子間の相対加速度 | 曲率による測地線の収束・発散 |
| 局所的に重力を消せる（等価原理） | 局所的に平面に見える |
| 大域的には消せない（潮汐力） | 大域的には平面で覆えない |
🟡 リナ: そう。つまり、重力の効果は時空の曲率として記述できるの。
✅ 理解度チェック: 潮汐力（自由落下する粒子間の相対加速度）は、曲がった時空の幾何学では何に対応するでしょうか？
答え
曲率による測地線の収束・発散に対応する。球面上で最初は平行に進む2本の測地線（大円）が北極に向かって収束するのと同様に、曲がった時空では自由落下する粒子の経路（測地線）が曲率のために互いに近づいたり離れたりする。
発想の大転換 — 自由落下こそが「慣性運動」¶
🟡 リナ: ここで、Newton 力学と一般相対論の発想の違いを明確にしておきましょう。
🟡 リナ: Newton 力学では、地球の表面に静止している人が「慣性系」にいると考え、落下するリンゴに「重力という力が働いている」と解釈する。
🔵 カイ: それが普通の考え方ですよね。
🟡 リナ: でも一般相対論では逆なの。落下するリンゴの方が慣性運動をしていて、地球の表面に立っている人の方が、地面に押し上げられて加速していると解釈する。この発想の転換を表にまとめてみるわ。
表 5.4: Newton 力学と一般相対論における「重力」の解釈の比較
| Newton 力学 | 一般相対論 | |
|---|---|---|
| 重力の正体 | 物体間に働く「力」 | 時空の曲率（幾何学的性質） |
| 慣性運動 | 力がかからず等速直線運動 | 自由落下（測地線に沿った運動） |
| 落下するリンゴ | 重力という力で加速されている | 慣性運動をしている（力は受けていない） |
| 地面に立つ人 | 慣性系にいる（力のつり合い） | 地面に押されて加速されている |
| 体重計が示す値 | 重力と抗力のつり合い | 測地線からの逸れ（加速度）の検出 |
🔵 カイ: えっ、僕が今地面に立っているのは「加速している」状態なんですか？
🟡 リナ: そう。地面が足の裏を押し上げているから、あなたは自由落下（＝慣性運動）から逸れている。体重計が示す値は、あなたが慣性運動から逸れている度合いを測っているの。
🔵 カイ: でも加速しているなら、速度がどんどん変わるはずですよね？ 僕はずっと同じ場所にいるのに……
🟡 リナ: いい疑問ね。まず身体的な感覚から考えてみて。あなたが椅子に座っているとき、お尻に椅子の力を感じるでしょう？
🔵 カイ: はい、感じます。
🟡 リナ: もし自由落下していたら——ISS の中にいたら——その力はゼロになる。つまり「力を感じている」こと自体が、自由落下（＝慣性運動）から逸れている証拠なの。一般相対論では、この「力を感じているかどうか」が加速の判定基準よ。
🔵 カイ: なるほど……「空間的に動いているか」じゃなくて「力を感じているか」で加速を判定するんですね。でも、「加速」って普通は速度が変わることですよね？ 力を感じているだけで速度が変わらないのに「加速」と呼ぶのは、言葉の意味を変えてませんか？
🟡 リナ: するどいわね。実は、ここで「速度が変わらない」と思っているのは空間的に見た場合の話よ。第 4 章で学んだ時空図を思い出して — あなたは空間的には静止していても、時間方向には常に進んでいるでしょう？ 時空図の上では、静止している人も「時間軸に沿って上に伸びる経路（世界線）」を描いているの。
🔵 カイ: あ、そうか。時空図では「静止」していても世界線は上に伸びていく。その世界線が「まっすぐ」かどうかが問題になるんですね。
🟡 リナ: その通り。自由落下する物体の世界線は測地線（曲がった時空の中で最も自然なまっすぐな道）になっているけど、地面に立っている人は地面に押されて測地線から逸れ続けている。この「測地線から逸れている」ことが、一般相対論での「加速」の正確な意味なの。加速度計（体重計）が値を示すのは、まさにこの逸れを検出しているからよ。
🔵 カイ: うーん……空間的には動いてないけど、時空の中では「まっすぐな道」から逸れ続けている、ということですか。正直まだ直感的にはピンと来ないけど、「力を感じている＝測地線から逸れている」という判定基準は分かりました。じゃあ逆に、自由落下している人は「力を感じない」から測地線の上にいる——つまり加速度計がゼロを示すことが「慣性運動の証拠」になるんですね。
⚪ メイ: つまり、Newton 力学では「力のつり合いで静止＝慣性系」だったのが、一般相対論では「力を感じない＝慣性運動（測地線）」に判定基準が変わったのね。体重計は「重力の大きさ」ではなく「測地線からどれだけ逸れているか」を測る装置と再解釈できる。
🟡 リナ: その通り。Newton 力学と一般相対論では「何が自然な運動か」の基準が逆転しているのよ。
✅ 理解度チェック: Newton 力学と一般相対論で「重力」の解釈はどう異なるでしょうか？
答え
Newton 力学では重力は物体に働く「力」であり、地面に静止している人が慣性系にいると考える。一般相対論では重力は力ではなく時空の曲率であり、自由落下する物体こそが慣性運動（測地線運動）をしていて、地面に立っている人は地面に押し上げられて加速している状態と解釈する。
🟡 リナ: つまり、重力は「力」ではなく、時空の幾何学的性質。物体は曲がった時空の中で最も「まっすぐな」経路 — 測地線 — を辿っているだけで、「力」に引っ張られているわけではない。これが Einstein の革命的な洞察よ。Wheeler (ホイーラー) はこれを見事に要約しているわ：
John Wheeler
時空は物質にどう動くかを教え、物質は時空にどう曲がるかを教える。
🔵 カイ: 重力が「力」じゃなくて「時空の曲がり」……正直まだ半信半疑です。Newton の \(F = mg\) で何百年もうまくいってたのに、それが全部「見かけ」だったなんて。でも、確かに等価原理で重力を消せること、潮汐力が曲率と対応すること、大域的な Lorentz 系が存在しないこと——全部つながって「重力 = 時空の曲がり」に行き着くのは分かりました。でも「曲がっている」って、どうやって数値で測るんですか？ 球面なら半径で曲がり具合が決まるけど、時空の曲がりには「半径」なんてないですよね？
⚪ メイ: 確かに、「曲がっている」と言うからには、それを定量的に表す数学が必要よね。
🟡 リナ: いい質問ね。それがまさにこれからの旅よ。曲がった時空を記述する数学 — Riemann 幾何学 — を学び、最終的に Einstein の場の方程式にたどり着く。でもその前に、次章では「曲がった空間をどう記述するか」という数学的な道具立てを準備するわ。
🔵 カイ: 楽しみです。「曲がり具合を数値で表す方法」が分かれば、もっと納得できそうな気がします。
✅ 理解度チェック: 一般相対論では、地面に立っている人と自由落下するリンゴのどちらが「慣性運動」をしているでしょうか？
答え
自由落下するリンゴの方が慣性運動（測地線に沿った運動）をしている。地面に立っている人は、地面に押し上げられて自由落下から逸れている（加速している）状態。
📝 練習問題:
- Newton vs 一般相対論の解釈・測地線 → 問題 M-6. Newton 力学と一般相対論の解釈の転換
5.7 この章のまとめ¶
🟡 リナ: 今日学んだことを整理しましょう。
-
Newton 重力と特殊相対論の矛盾: Newton の重力は瞬間的な遠隔作用を仮定しており、光速を超える情報伝達を禁じる特殊相対論と両立しない。
-
慣性質量と重力質量: 論理的には別概念だが、実験的に \(10^{-15}\) 以上の精度で等しいことが確認されている（MICROSCOPE 衛星, 2022）。この等価性のおかげで、すべての物体は同じ加速度で落下する。
-
等価原理: 重力場の中に静止している系と、重力のない空間で加速している系は、局所的に区別できない。自由落下する系は局所慣性系と等価。
-
重力赤方偏移: 等価原理から、重力ポテンシャルが低い場所から高い場所に送った光の振動数が \(\Delta\nu/\nu \approx -gH/c^2\) だけ下がることが導かれる。これは場所によって時間の進み方が異なることを意味する。
-
重力は時空の性質: 大域的な Lorentz 系が存在しないこと、潮汐力と曲率の対応から、重力は「力」ではなく「時空の曲率」として記述されるべきだという結論に至る。
次章予告¶
この章で「重力は時空の曲がりである」という物理的アイデアに到達した。しかし、曲がった空間の「距離」や「角度」をどう測ればよいのか、まだ具体的な数学の道具がない。次の第 6 章では、極座標や球面座標といった曲線座標を出発点に、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) を導入する。座標の取り方が変わっても距離が変わらないとはどういうことか——Riemann 幾何学への第一歩を踏み出そう。
参考文献¶
- Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Addison-Wesley. Chapter 6.
- Hobson, M. P., Efstathiou, G. P. & Lasenby, A. N. (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press.
- Schutz, B. F. (2022). A First Course in General Relativity, 3rd ed. Cambridge University Press. Chapter 5.
- 佐藤勝彦 (1996).『相対性理論』岩波書店. 第 3 章「特殊相対性論の限界と等価原理」.
- Tong, D. (2019). General Relativity. University of Cambridge Lecture Notes. Chapter 1.
- Rovelli, C. (2016). Reality Is Not What It Seems: The Journey to Quantum Gravity. Penguin. Chapter 5.
- Pound, R. V. & Rebka, G. A. (1960). "Apparent Weight of Photons." Physical Review Letters, 4(7), 337–341.
- Touboul, P. et al. [MICROSCOPE Collaboration] (2017). "MICROSCOPE Mission: First Results of a Space Test of the Equivalence Principle." Physical Review Letters, 119(23), 231101.
- Touboul, P. et al. [MICROSCOPE Collaboration] (2022). "MICROSCOPE Mission: Final Results of the Test of the Equivalence Principle." Physical Review Letters, 129(12), 121102.
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。