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Appendix D 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 整数の加法群

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\((\mathbb{Z}, +)\) について：

  1. 閉包性: 整数 \(a, b\) に対して \(a + b\) は整数 ✓
  2. 結合律: \((a + b) + c = a + (b + c)\) ✓（加法の結合律）
  3. 単位元: \(0\)（\(a + 0 = 0 + a = a\)）✓
  4. 逆元: \(a\) の逆元は \(-a\)（\(a + (-a) = 0\)）✓

4 つの条件を全て満たすので、\((\mathbb{Z}, +)\) は群。

B-2. 正の実数の乗法群

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\((\mathbb{R}^+, \times)\) について：

  1. 閉包性: 正の実数 \(a, b\) に対して \(a \times b\) は正の実数 ✓
  2. 結合律: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) ✓
  3. 単位元: \(1\)（\(a \times 1 = 1 \times a = a\)）✓
  4. 逆元: \(a\) の逆元は \(1/a\)（\(a \times (1/a) = 1\)）。\(a > 0\) なら \(1/a > 0\) ✓

4 つの条件を全て満たすので、\((\mathbb{R}^+, \times)\) は群。

B-3. 整数の乗法は群でない

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\((\mathbb{Z}, \times)\) について：

  1. 閉包性: ✓（整数×整数＝整数）
  2. 結合律: ✓
  3. 単位元: \(1\) ✓
  4. 逆元: \(a = 2\) の逆元は \(1/2\) だが、\(1/2 \notin \mathbb{Z}\)。✗

逆元の条件が破れているので、\((\mathbb{Z}, \times)\) は群ではない。（\(a = \pm 1\) だけが逆元を持つ）

B-4. \(U(1)\) の群条件

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\(U(1) = \{e^{i\theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\}\) と掛け算について：

  1. 閉包性: \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \in U(1)\) ✓
  2. 結合律: 複素数の掛け算の結合律から自明 ✓
  3. 単位元: \(e^{i \cdot 0} = 1\) ✓
  4. 逆元: \((e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta} \in U(1)\) ✓

B-5. 3 次元 \(z\) 軸回転

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\(R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

\(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2)\) を計算する。左上の \(2 \times 2\) ブロックに注目：

\(\begin{pmatrix}\cos\theta_1 & -\sin\theta_1\\\sin\theta_1 & \cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2 & -\sin\theta_2\\\sin\theta_2 & \cos\theta_2\end{pmatrix}\)

\((1,1)\) 成分：\(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

\((1,2)\) 成分：\(-\cos\theta_1\sin\theta_2 - \sin\theta_1\cos\theta_2 = -\sin(\theta_1 + \theta_2)\)

\((2,1)\) 成分：\(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 = \sin(\theta_1 + \theta_2)\)

\((2,2)\) 成分：\(-\sin\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2 = \cos(\theta_1 + \theta_2)\)

したがって \(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) ✓

B-6. Pauli 行列の交換関係 \([\sigma_1, \sigma_2]\)

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\(\sigma_1\sigma_2 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\)

\(\sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}\)

\([\sigma_1, \sigma_2] = \sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}2i&0\\0&-2i\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = 2i\sigma_3\) ✓

B-7. Pauli 行列の交換関係（全組）

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\([\sigma_2, \sigma_3]\):

\(\sigma_2\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_3\sigma_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_2, \sigma_3] = \begin{pmatrix}0&2i\\2i&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_1\) ✓

\([\sigma_3, \sigma_1]\):

\(\sigma_3\sigma_1 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)

\(\sigma_1\sigma_3 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)

\([\sigma_3, \sigma_1] = \begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} = 2i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} = 2i\sigma_2\) ✓

まとめ：\([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) が全ての巡回的な組み合わせで成り立つ。

B-8. 交換関係の反対称性

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定義から：

\([A, B] = AB - BA\)

\([B, A] = BA - AB = -(AB - BA) = -[A, B]\)

したがって \([A, B] = -[B, A]\)。特に \([A, A] = -[A, A]\) より \([A, A] = 0\)。

B-9. スピン 1/2 の固有値と固有ベクトル

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\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)

固有値方程式 \(\sigma_3 |\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle\)：

\(\det(\sigma_3 - \lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda) = 0\)

固有値：\(\lambda = +1, -1\)

\(\lambda = +1\)：\(\sigma_3 |\psi\rangle = |\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \equiv |\uparrow\rangle\)（スピン上向き）

\(\lambda = -1\)：\(\sigma_3 |\psi\rangle = -|\psi\rangle\) → \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \equiv |\downarrow\rangle\)（スピン下向き）

\(\sigma_3/2\) の固有値は \(\pm 1/2\)（\(\hbar\) 単位）で、スピン \(1/2\) の「上向き」「下向き」に対応する。

Medium（標準）

M-1. \(SU(2)\) の元の指数関数表示

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\(\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) は対角行列なので：

\(\frac{i\theta\sigma_3}{2} = \begin{pmatrix}i\theta/2&0\\0&-i\theta/2\end{pmatrix}\)

対角行列の指数関数は各成分の指数関数：

\(U = e^{i\theta\sigma_3/2} = \begin{pmatrix}e^{i\theta/2}&0\\0&e^{-i\theta/2}\end{pmatrix}\)

ユニタリ性の確認:

\(U^\dagger = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}\)

\(U^\dagger U = \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2} \cdot e^{i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\) ✓

行列式の確認:

\(\det U = e^{i\theta/2} \cdot e^{-i\theta/2} = e^0 = 1\) ✓

M-2. Jacobi 恒等式（Pauli 行列で確認）

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\(A = \sigma_1, B = \sigma_2, C = \sigma_3\) として：

\([A, [B, C]] = [\sigma_1, 2i\sigma_1] = 2i[\sigma_1, \sigma_1] = 0\)

\([B, [C, A]] = [\sigma_2, 2i\sigma_2] = 2i[\sigma_2, \sigma_2] = 0\)

\([C, [A, B]] = [\sigma_3, 2i\sigma_3] = 2i[\sigma_3, \sigma_3] = 0\)

\(0 + 0 + 0 = 0\) ✓

（この場合は各項が個別にゼロになるが、一般にはそうとは限らない。3 項の和がゼロになることが Jacobi 恒等式。）

M-3. \(SU(N)\) のパラメータ数

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\(N \times N\) のユニタリ行列 \(U\)（\(U^\dagger U = I\)）のパラメータ数を数える。

\(N \times N\) の複素行列は \(2N^2\) 個の実パラメータを持つ。ユニタリ条件 \(U^\dagger U = I\) は \(N^2\) 個の実条件（\(N \times N\) のエルミート行列の独立成分数）を課す。したがってユニタリ行列 \(U(N)\) のパラメータ数は \(2N^2 - N^2 = N^2\)。

\(SU(N)\) はさらに \(\det U = 1\) の条件（1 つの実条件）を課すので：

\(\dim SU(N) = N^2 - 1\)

確認： - \(N = 2\)：\(4 - 1 = 3\)（\(SU(2)\) は 3 パラメータ）✓ - \(N = 3\)：\(9 - 1 = 8\)（\(SU(3)\) は 8 パラメータ）✓