プロローグ 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 太陽-地球間の重力の計算
- B-2. 陽子間の重力と Coulomb 力の比
- B-3. 2 次元ポテンシャルの勾配
- B-4. 天体ごとの相対論判定基準
- B-5. Schwarzschild 半径の導出
- B-6. Schwarzschild 半径での判定基準
- B-7. 慣性質量と重力質量の等価条件
- B-8. 偏微分の基礎計算
- B-9. 勾配ベクトルと等温線
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 太陽-地球間の重力の計算¶
Newton の万有引力 \(F = Gm_1 m_2/r^2\) において、太陽（質量 \(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg）と地球（質量 \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg）の間の重力の大きさを計算せよ。太陽–地球間の距離は \(r \approx 1.5 \times 10^{11}\) m とする。
ヒント
数値を \(F = G M_\odot M_\oplus / r^2\) に代入するだけ。桁数が多いので、指数部分を先にまとめると計算しやすい。
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B-2. 陽子間の重力と Coulomb 力の比¶
陽子 2 個の間の重力と Coulomb (クーロン) 力の比 \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}}\) を、具体的な数値を代入して計算せよ。\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27}\) kg, \(e \approx 1.60 \times 10^{-19}\) C, \(1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) を用いよ。
ヒント
\(F_{\text{grav}} = G m_p^2 / r^2\), \(F_{\text{em}} = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\)。比を取ると \(r^2\) が約分される。
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B-3. 2 次元ポテンシャルの勾配¶
2 次元のポテンシャル \(\Phi(x, y) = x^2 + 4y^2\) について、以下の問いに答えよ。
(a) 勾配 \(\nabla\Phi = (\partial\Phi/\partial x,\;\partial\Phi/\partial y)\) を求めよ。
(b) 点 \((1, 1)\) における勾配ベクトルの方向と大きさを求めよ。
(c) この点で物体に働く力 \(\boldsymbol{F} = -m\nabla\Phi\) はどの方向を向くか、等ポテンシャル線（\(\Phi = \text{const}\) の曲線）との関係で説明せよ。
ヒント
(a) 各変数で偏微分するだけ。(b) ベクトルの大きさは \(|\nabla\Phi| = \sqrt{(\partial\Phi/\partial x)^2 + (\partial\Phi/\partial y)^2}\)。(c) 勾配ベクトルは等ポテンシャル線に対してどの方向を向くか？
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B-4. 天体ごとの相対論判定基準¶
判定基準 \(\Phi_{\text{rel}} = GM/(Rc^2)\) を、以下の天体について計算せよ。
(a) 太陽（\(M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg, \(R_\odot \approx 7.0 \times 10^{8}\) m）
(b) 中性子星 (neutron star)（\(M \approx 1.4\,M_\odot\), \(R \approx 10\) km）
それぞれの結果を有効数字 1 桁で表し、Newton のモデルがどの程度信頼できるか議論せよ。
ヒント
\(c \approx 3.0 \times 10^8\) m/s を用い、まず分子 \(GM\) を計算してから \(Rc^2\) で割れ。
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B-5. Schwarzschild 半径の導出¶
脱出速度 (escape velocity) \(v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/R}\) を用いて、\(v_{\text{esc}} = c\) となるような半径 \(R_s\) を \(M\), \(G\), \(c\) で表せ。この \(R_s\) は Schwarzschild (シュヴァルツシルト) 半径と呼ばれる。
ヒント
\(v_{\text{esc}} = c\) を代入して \(R\) について解けばよい。
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B-6. Schwarzschild 半径での判定基準¶
問題 B-5. Schwarzschild 半径の導出 で求めた Schwarzschild 半径 \(R_s\) を用いて、判定基準 \(GM/(Rc^2)\) を \(R = R_s\) のときに計算し、ブラックホールに対応する値を確認せよ。
ヒント
\(R_s\) の式を \(GM/(Rc^2)\) に代入せよ。
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B-7. 慣性質量と重力質量の等価条件¶
慣性質量 (inertial mass) \(m_i\) と重力質量 (gravitational mass) \(m_g\) を区別して、一様な重力場 \(\mathbf{g}\) 中の運動方程式を
と書く。物体 A（\(m_i^{(A)},\; m_g^{(A)}\)）と物体 B（\(m_i^{(B)},\; m_g^{(B)}\)）が同じ加速度で落下するための条件を、\(m_i\) と \(m_g\) の比を用いて表せ。
ヒント
各物体の加速度 \(\ddot{\boldsymbol{x}} = (m_g/m_i)\,\mathbf{g}\) を書き下し、両者が等しくなる条件を考えよ。
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B-8. 偏微分の基礎計算¶
偏微分の計算練習。以下の関数について、指定された偏微分を求めよ。
(a) \(f(x, y) = 3x^2 y + 2y^3\) に対して、\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) と \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ。
(b) \(g(x, y, z) = x^2 y z^3\) に対して、\(\dfrac{\partial g}{\partial x}\)、\(\dfrac{\partial g}{\partial y}\)、\(\dfrac{\partial g}{\partial z}\) を求めよ。
(c) \(h(r, \theta) = r^2 \cos\theta\) に対して、\(\dfrac{\partial h}{\partial r}\) と \(\dfrac{\partial h}{\partial \theta}\) を求めよ。
ヒント
偏微分では、微分する変数以外はすべて定数として扱う。たとえば \(\partial(3x^2 y)/\partial x\) では \(y\) を定数と見なして \(x\) で微分する。
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B-9. 勾配ベクトルと等温線¶
偏微分と勾配の関係。2 変数の関数 \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) は、ある平面上の温度分布を表しているとする。
(a) \(\dfrac{\partial T}{\partial x}\) と \(\dfrac{\partial T}{\partial y}\) を求めよ。
(b) 点 \((1, 2)\) における \(\partial T/\partial x\) と \(\partial T/\partial y\) の値をそれぞれ計算し、その物理的意味（「\(x\) 方向に少し動いたら温度がどう変わるか」）を言葉で説明せよ。
(c) 勾配ベクトル \(\nabla T = (\partial T/\partial x,\;\partial T/\partial y)\) を点 \((1, 2)\) で計算し、このベクトルが等温線（\(T = \text{const.}\) の曲線）に対してどの方向を向くか答えよ。
ヒント
(b) 数値を代入するだけ。符号に注意——負なら「その方向に進むと温度が下がる」。(c) 勾配ベクトルは等温線に対して常に垂直で、温度が最も急に上がる方向を向く。
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Medium（標準）¶
M-1. 重力の 4 つの性質の定量評価¶
重力の 4 つの基本的な性質（普遍性、遮蔽不可能、長距離力、極端に弱い）を踏まえて、以下の問いに答えよ。
(a) 原子・分子のスケール（\(\sim 10^{-10}\) m）で重力が無視できる理由を、電磁気力との強さの比を用いて定量的に説明せよ。
(b) にもかかわらず、銀河団（\(\sim 10^{23}\) m）のスケールで重力が支配的になる理由を、4 つの性質のうちどれが本質的かを明示して説明せよ。
ヒント
(a) では本文中の \(F_{\text{grav}}/F_{\text{em}} \sim 10^{-36}\) を活用せよ。(b) では電磁気力が大スケールで中和される理由と、重力が中和されない理由を対比せよ。
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M-2. Newton から GR への移行の段階¶
本文中の表に挙げられた天体（地球、太陽、白色矮星 (white dwarf)、中性子星、ブラックホール）について、\(GM/(Rc^2)\) の値が大きくなるにつれて、Newton のモデルからのずれがどのように顕在化するかを、具体的な観測現象（水星の近日点移動、GPS の時刻補正、事象の地平面 (event horizon) の形成など）と対応づけて論じよ（5〜8 文程度）。
ヒント
\(GM/(Rc^2)\) の値の大きさに応じて、「Newton で十分」→「微小な補正が必要」→「Newton が完全に破綻」という段階を整理せよ。
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M-3. 測地線と等価原理の関係¶
Einstein の一般相対論では「重力は力ではなく時空の曲がりである」と解釈される。この解釈において、慣性質量と重力質量の等価性（\(m_i = m_g\)）が「説明のつかない偶然の一致」ではなくなる理由を、「すべての物体は曲がった時空の中を測地線 (geodesic) に沿って運動する」という視点から 3〜5 文で説明せよ。
ヒント
測地線は時空の幾何学だけで決まり、運動する物体の質量や組成に依存しないことに着目せよ。
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Advanced（発展）¶
A-1. GPS 衛星の重力的時間のずれ¶
GPS 衛星は高度約 \(h \approx 2.0 \times 10^{4}\) km の円軌道を周回している。地球の質量を \(M_\oplus \approx 6.0 \times 10^{24}\) kg、地球の半径を \(R_\oplus \approx 6.4 \times 10^{3}\) km とする。
(a) 地表と衛星軌道における重力ポテンシャルの差 \(\Delta\Phi = \Phi(R_\oplus + h) - \Phi(R_\oplus)\) を求めよ。
(b) 一般相対論によれば、重力ポテンシャルの差 \(\Delta\Phi\) がある場所の間では、時間の進み方に相対的なずれが生じる。その割合は近似的に
で与えられる（\(\Delta\tau/\tau > 0\) なら衛星の時計が速く進む）。この式を用いて、衛星の時計が地上の時計に対して 1 日あたり何マイクロ秒 (\(\mu\)s) 速く進むかを見積もれ。
(c) (b) の結果を用いて、この時刻ずれを補正しなかった場合に 1 日あたり生じる位置誤差の大きさを概算せよ。
ヒント
(a) \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\) を用いて 2 点の差を取れ。(b) 1 日 \(= 86400\) 秒を掛けよ。(c) 光速 \(c\) と時刻ずれの積が距離誤差の目安になる。なお、本問では特殊相対論的効果（衛星の運動による時間の遅れ）は無視している。
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