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第 4 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 同時刻交換関係の値の読み取り

同時刻交換関係

\[ [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] = i\,\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

を用いて、以下の各量を求めよ。

(a) \(\mathbf{x} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{y} = (4, 5, 6)\) のとき、\([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) の値。

(b) \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) を空間全体で \(\mathbf{y}\) について積分した値、すなわち

\[ \int d^3y\, [\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})] \]

を求めよ。

(c) \([\hat{\pi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]\) を \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}),\, \hat{\pi}(t, \mathbf{y})]\) で表せ。

ヒント

(a) \(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\) のとき Dirac (ディラック) のデルタ関数はゼロ。(b) デルタ関数の基本性質 \(\int d^3y\, f(\mathbf{y})\,\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = f(\mathbf{x})\) を使う。(c) 交換子の反対称性 \([A, B] = -[B, A]\) を思い出す。

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B-2. 生成・消滅演算子の交換関係の計算

交換関係

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}), \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

を用いて、以下を計算せよ。

(a) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{q}}]\)

(b) \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\)

(c) \([\hat{a}_{\mathbf{p}},\, (\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger)^2]\)

ヒント

交換子の公式 \([A, BC] = [A, B]C + B[A, C]\) を繰り返し使う。量子力学で数演算子 \(\hat{n} = a^\dagger a\) と \(a\), \(a^\dagger\) の交換関係を計算したのと同じ手順。

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B-3. 消滅演算子の真空への作用

真空状態の定義 \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\)（すべての \(\mathbf{p}\)）と 1 粒子状態の定義 \(|\mathbf{q}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\) を用いて、以下を計算せよ。

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |\mathbf{q}\rangle\)

(b) \(\langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle\)

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}} |0\rangle\)

ヒント

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger |0\rangle\) を交換関係で \(\hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle + [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] |0\rangle\) に分解する。(b) (a) の結果を使い、\(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}\) が \((\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle)^\dagger\) であることに注意。

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B-4. Fourier 変換の直交性の確認

Fourier 変換の直交性

\[ \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}} = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) \]

を用いて、以下を計算せよ。

(a) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{x}}\) を \(\delta^{(3)}\) で表せ。

(b) \(\displaystyle \int \frac{d^3x}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\, e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{x}}\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) を \(\delta^{(3)}\) で表せ。

(c) \(\displaystyle \int d^3x\, \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, e^{i\mathbf{p}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{y})} f(\mathbf{x})\) を計算せよ。ただし \(f(\mathbf{x})\) は任意のなめらかな関数。

ヒント

(a) 指数部を \(e^{i(\mathbf{p}-(-\mathbf{q}))\cdot\mathbf{x}}\) と見なす。(b) 指数法則で指数部をまとめる。(c) まず \(\mathbf{x}\) 積分と \(\mathbf{p}\) 積分の順序を考え、デルタ関数の定義を使う。

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B-5. \(\omega_{\mathbf{p}}\) の具体的な計算

エネルギー-運動量関係

\[ \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} \]

を用いて、以下の場合の \(\omega_{\mathbf{p}}\) を求めよ（自然単位系 \(\hbar = c = 1\)）。

(a) \(\mathbf{p} = \mathbf{0}\)（静止モード）

(b) \(|\mathbf{p}| = m\)

(c) \(|\mathbf{p}| \gg m\)（超相対論的極限）。\(\omega_{\mathbf{p}}\) を \(|\mathbf{p}|\) の最低次で近似せよ。

(d) \(m = 0\)（質量ゼロの場合）

ヒント

(a) \(|\mathbf{p}| = 0\) を代入するだけ。(c) \(\sqrt{p^2 + m^2} = |p|\sqrt{1 + m^2/p^2}\) と書いて、\(m/|p| \ll 1\) で Taylor (テイラー) 展開する。

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B-6. 場の演算子のエルミート性の確認

実スカラー場のモード展開

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

のエルミート共役 \(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) を計算し、\(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x}) = \hat{\phi}(\mathbf{x})\) が成り立つことを示せ。

ヒント

エルミート共役を取ると \(\hat{a}_{\mathbf{p}} \to \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\)、\(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \to e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\)（\(\mathbf{x}\) は実数）。得られた式で積分変数を \(\mathbf{p} \to -\mathbf{p}\) に置換し、\(\omega_{\mathbf{p}} = \omega_{-\mathbf{p}}\) を使う。

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B-7. 共役運動量密度のモード展開の導出

場のモード展開（時間依存性を含む形）

\[ \hat{\phi}(t, \mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)}\right) \]

に対して、共役運動量密度 \(\hat{\pi}(t, \mathbf{x}) = \partial_0 \hat{\phi}(t, \mathbf{x})\) を計算し、式 (4.12) を導け。

ヒント

\(\partial_0 e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t} = -i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{-i\omega_{\mathbf{p}} t}\) と \(\partial_0 e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t} = +i\omega_{\mathbf{p}}\, e^{+i\omega_{\mathbf{p}} t}\) を使って時間微分を実行する。\(t = 0\) での表式と比較する。

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B-8. 離散→連続の対応の確認

体積 \(V = L^3\) の箱に入れた場合、運動量は離散化され \(\mathbf{p} = \frac{2\pi}{L}\mathbf{n}\)（\(\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3\)）となる。このとき以下の対応を確認せよ。

(a) 連続極限 \(L \to \infty\) で \(\displaystyle\sum_{\mathbf{n}} \to \int \frac{V\, d^3p}{(2\pi)^3}\) となることを示せ。

(b) 離散的な交換関係 \([\hat{a}_{\mathbf{n}}, \hat{a}_{\mathbf{m}}^\dagger] = \delta_{\mathbf{n}, \mathbf{m}}\) から、連続極限で \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q})\) が再現されるためには、\(\hat{a}_{\mathbf{p}}\) と \(\hat{a}_{\mathbf{n}}\) の間にどのようなスケーリング関係が必要か？

ヒント

(a) 離散和を Riemann (リーマン) 和と見なす。隣り合う運動量の間隔は \(\Delta p = 2\pi/L\)。(b) \(\delta_{\mathbf{n},\mathbf{m}} \to \frac{(2\pi)^3}{V}\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})\) の関係を使い、\(\hat{a}_{\mathbf{p}} = \sqrt{V/(2\pi)^3}\, \hat{a}_{\mathbf{n}}\) のような関係を導く。

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Medium（標準）

M-1. 同時刻交換関係からの生成・消滅演算子の交換関係の導出

場のモード展開 (4.11) と (4.12) を同時刻交換関係 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\) に代入し、生成・消滅演算子の交換関係

\[ [\hat{a}_{\mathbf{p}},\, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger,\, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 \]

が必要であることを示せ。

具体的には、\([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})] = 0\) を成り立たせるために、\([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\) に対してどのような条件が課されるかを導出せよ。

ヒント

\([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})]\) を展開すると、\([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}]\) と \([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]\) を含む項が現れる。Fourier 変換の直交性を使って、任意の \(\mathbf{p}, \mathbf{q}\) に対して交換子がゼロになる条件を抽出する。\([\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = ([\hat{a}_{\mathbf{q}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}])^\dagger\) の関係も使える。

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M-2. Hamiltonian の生成・消滅演算子による表現

Klein-Gordon 場の Hamiltonian

\[ H = \int d^3x\, \mathcal{H} = \int d^3x\, \left[\frac{1}{2}\hat{\pi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat{\phi})^2 + \frac{1}{2}m^2\hat{\phi}^2\right] \]

にモード展開 (4.11), (4.12) を代入し、以下の形に書き直せ。

\[ H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2}\,\delta^{(3)}(\mathbf{0})\right) \]

各ステップで、Fourier 変換の直交性 (4.15) と交換関係 (4.13) をどこで使ったかを明記すること。

ヒント

\(\hat{\pi}^2\)、\((\nabla\hat{\phi})^2\)、\(m^2\hat{\phi}^2\) の 3 項をそれぞれモード展開で書き下す。\(\nabla\) が \(e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\) に作用すると \(i\mathbf{p}\) が出る。\(\mathbf{x}\) 積分で Fourier の直交性を使うと \(\delta^{(3)}(\mathbf{p} \pm \mathbf{q})\) が現れ、\(\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{-\mathbf{p}}\) 型の項と \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}}\) 型の項に分かれる。前者が 3 つの寄与を合わせるとキャンセルすることを確認する。

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M-3. 零点エネルギーと正規順序

(a) 標準問題 S2 の結果で、\(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) の項が物理的にどのような問題を引き起こすかを説明せよ。特に、真空のエネルギー \(\langle 0 | H | 0 \rangle\) を計算し、それが発散することを示せ。

(b) 正規順序 (normal ordering) \(:\!\hat{O}\!:\) を「すべての生成演算子を消滅演算子の左に並べ替える操作」と定義する。正規順序を用いた Hamiltonian

\[ :\!H\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\, \omega_{\mathbf{p}}\, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} \]

に対して、\(\langle 0 | :\!H\!: | 0 \rangle = 0\) となることを示せ。

(c) 正規順序は零点エネルギーの絶対値を除去するが、零点エネルギーの差は物理的に観測可能である。この主張を Casimir (カシミール) 効果の文脈で簡潔に説明せよ。

ヒント

(a) \(\hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0\) を使い、\(\langle 0 | \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} | 0 \rangle = 0\) だが \(\frac{1}{2}\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) の項は残る。\(\delta^{(3)}(\mathbf{0})\) は箱の体積 \(V/(2\pi)^3\) に対応し、さらに \(\omega_{\mathbf{p}}\) の積分が紫外発散する。(c) 境界条件の有無で許されるモードが変わり、零点エネルギーの差が有限な力として現れる。

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M-4. 複素スカラー場の量子化と粒子・反粒子

複素スカラー場の Lagrangian 密度

\[ \mathcal{L} = (\partial_\mu \phi^*)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^* \phi \]

を考える。

(a) \(\phi\) と \(\phi^*\) を独立な場として扱い、それぞれの共役運動量密度 \(\pi_\phi\), \(\pi_{\phi^*}\) を求めよ。

(b) 複素スカラー場のモード展開は、2 種類の生成・消滅演算子 \(\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) と \(\hat{b}_{\mathbf{p}}, \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) を用いて

\[ \hat{\phi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left(\hat{a}_{\mathbf{p}}\,e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right) \]

と書ける。\(\hat{\phi}^\dagger(\mathbf{x})\) を \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) と \(\hat{b}_{\mathbf{p}}\) で表せ。

(c) \(\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger\) が生成する粒子と \(\hat{b}_{\mathbf{p}}^\dagger\) が生成する粒子の物理的な違いを、第 3 章で学んだ \(U(1)\) 対称性 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\) に対応する Noether (ネーター) 電荷の符号の観点から説明せよ。

ヒント

(a) \(\pi_\phi = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 \phi)\) を計算する。\(\phi\) と \(\phi^*\) は独立変数として微分する。(b) \(\hat{\phi}\) のエルミート共役を取ればよい。実スカラー場と異なり、\(\hat{\phi}^\dagger \neq \hat{\phi}\) であることに注意。(c) Noether 電荷 \(Q = i\int d^3x\, (\phi^* \dot{\phi} - \dot{\phi}^* \phi)\) を生成・消滅演算子で書き直すと、\(\hat{a}^\dagger \hat{a}\) と \(\hat{b}^\dagger \hat{b}\) に異なる符号がつく。

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Advanced（発展）

A-1. 1 次元 Casimir 効果の定量的計算

質量ゼロ (\(m = 0\)) のスカラー場を 1 次元空間で考え、\(x = 0\) と \(x = L\) に完全反射壁（Dirichlet (ディリクレ) 境界条件 \(\hat{\phi}(0) = \hat{\phi}(L) = 0\)）を置く。

(a) 壁の間で許される運動量モードは \(p_n = n\pi/L\)（\(n = 1, 2, 3, \ldots\)）であることを示せ。

(b) 壁の間の零点エネルギーは形式的に

\[ E(L) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n = \frac{\pi}{2L}\sum_{n=1}^{\infty} n \]

と書ける。この発散する和をゼータ関数正則化 (zeta function regularization) を用いて有限の値に置き換えよ。具体的には、Riemann (リーマン) ゼータ関数 \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) の \(s = -1\) への解析接続 \(\zeta(-1) = -1/12\) を利用せよ。

(c) 得られた Casimir エネルギーから壁の間に働く力 \(F = -dE/dL\) を求め、その力が引力か斥力かを判定せよ。

(d) （発展的考察）この計算では紫外発散を正則化によって処理した。物理的に、なぜ発散部分を捨てて有限部分だけを取り出すことが正当化されるのかを、「境界条件の有無による零点エネルギーの差」の観点から論じよ。

ヒント

(a) Dirichlet 境界条件から \(\sin(p_n x)\) の形のモードのみが許される。(b) \(\sum n\) を \(\sum n^{-s}\) に置き換え、\(s = -1\) を代入する。(c) \(E(L) = -\pi/(24L)\) を \(L\) で微分する。(d) 壁がない場合の零点エネルギー（連続モード）と壁がある場合の零点エネルギー（離散モード）の差を考え、発散部分がキャンセルすることを議論する。指数関数的なカットオフ \(e^{-\epsilon n}\) を導入して明示的に確認してもよい。

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A-2. 場の交換関係の Lorentz 不変性と因果律

正準量子化では時間を特別扱いして同時刻交換関係を課したが、最終的に得られる理論は Lorentz (ローレンツ) 不変でなければならない。この問題では、場の交換関係の因果律的構造を調べる。

(a) 2 点の時空間隔 \(x - y\) が空間的（\((x - y)^2 < 0\)）のとき、適切な Lorentz 変換によって \(x^0 = y^0\)（同時刻）にできることを示せ。

(b) 実スカラー場の等時刻交換関係 \([\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})] = 0\) を利用して、空間的に離れた 2 点では

\[ [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \qquad \text{for } (x-y)^2 < 0 \]

が成り立つことを論じよ。これが微小因果律 (microcausality) と呼ばれる条件であることを説明せよ。

(c) もし Klein-Gordon 場をボース統計（交換関係）ではなくフェルミ統計（反交換関係）で量子化しようとすると、微小因果律が破れることを示せ。

（ヒント: 反交換関係 \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) を計算し、空間的に離れた 2 点でゼロにならないことを確認する。）

この結果は、スピン-統計定理 (spin-statistics theorem)——整数スピンの場はボース統計、半整数スピンの場はフェルミ統計に従う——の一側面を示している。

ヒント

(a) 空間的間隔では \(|\Delta \mathbf{x}| > |\Delta t|\) なので、ブースト速度 \(v = \Delta t / |\Delta \mathbf{x}| < 1\) の Lorentz 変換で同時刻にできる。一般相対論 第 2 章の Lorentz 変換の議論も参照。(b) 空間的間隔なら同時刻の慣性系が存在し、そこでの交換関係がゼロ。Lorentz 不変なスカラー場の交換関係は座標系によらない。(c) 反交換関係を使うと \(\{\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\phi}(\mathbf{y})\}\) に \([\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger]_+\) からの寄与が残り、空間的分離でもゼロにならない。

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