第 3 章 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 干渉項の計算
- B-2. 位相差と干渉の強弱
- B-3. 複素振幅の絶対値の 2 乗の展開
- B-4. 干渉縞の極大・極小条件
- B-5. 具体的な干渉縞の計算
- B-6. 確率分布の規格化
- B-7. 干渉の可視度 (visibility)
Medium（標準）
- M-1. 確率の足し算 vs 振幅の足し算の定量的比較
- M-2. 「どちらを通ったか」の情報と干渉項の消失
- M-3. 経路差と de Broglie 波長の関係
- M-4. 干渉の消失を「確率の条件付き分解」で理解する
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 干渉項の計算¶
2 つの確率振幅が \(\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/3}\)、\(\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i\pi/6}\) で与えられるとき、以下を計算せよ。
- \(P_1 = |\phi_1|^2\)
- \(P_2 = |\phi_2|^2\)
- \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\)
- 干渉項 \(2\mathrm{Re}(\phi_1^* \phi_2)\) の値
ヒント
\(\phi_1^* \phi_2\) を計算するとき、位相の差 \(\delta = \theta_1 - \theta_2\) を求めてから \(2|\phi_1||\phi_2|\cos\delta\) を使うと楽です。\(\delta = \pi/3 - (-\pi/6) = \pi/2\) に注意。
→ 解答を見る
B-2. 位相差と干渉の強弱¶
式 (3.2) において \(I_1 = I_2 = I_0\) とする。以下の各位相差 \(\delta\) に対して \(I_{12}\) を \(I_0\) の倍数で求めよ。
- \(\delta = 0\)
- \(\delta = \pi/2\)
- \(\delta = \pi\)
- \(\delta = 2\pi/3\)
ヒント
\(I_1 = I_2 = I_0\) のとき式 (3.2) は \(I_{12} = 2I_0(1 + \cos\delta)\) と簡略化されます。
→ 解答を見る
B-3. 複素振幅の絶対値の 2 乗の展開¶
\(\phi_1 = A e^{i\alpha}\)、\(\phi_2 = B e^{i\beta}\)（\(A, B\) は正の実数）とする。\(|\phi_1 + \phi_2|^2\) を展開し、\(A\), \(B\), \(\alpha\), \(\beta\) で表せ。
ヒント
\(|z|^2 = z^* z\) を使い、\((\phi_1 + \phi_2)^*(\phi_1 + \phi_2)\) を 4 項に展開してください。交差項は \(\cos(\alpha - \beta)\) にまとまります。
→ 解答を見る
B-4. 干渉縞の極大・極小条件¶
スリット間隔 \(d\)、スリットからスクリーンまでの距離 \(L\)（\(L \gg d\)）、電子の de Broglie 波長 \(\lambda\) とする。スクリーン上の位置 \(x\)（中央から測る）における 2 つの経路の経路差は近似的に \(\Delta = dx/L\) と書ける。
- 干渉の極大（強め合い）条件を \(\Delta\) と \(\lambda\) で書け。
- 干渉の極小（弱め合い）条件を \(\Delta\) と \(\lambda\) で書け。
- 隣り合う極大間の間隔 \(\Delta x\) を求めよ。
ヒント
位相差は \(\delta = 2\pi\Delta/\lambda\) です。極大は \(\delta = 2n\pi\)（\(n\) は整数）、極小は \(\delta = (2n+1)\pi\) に対応します。
→ 解答を見る
B-5. 具体的な干渉縞の計算¶
電子を電圧 \(V = 150\,\mathrm{V}\) で加速する。スリット間隔 \(d = 1.0\,\mu\mathrm{m}\)、スクリーンまでの距離 \(L = 0.50\,\mathrm{m}\) とする。
- 電子の de Broglie 波長 \(\lambda\) を求めよ。（\(m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}\)、\(e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}\)、\(h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J \cdot s}\)）
- スクリーン上の干渉縞の間隔 \(\Delta x\) を求めよ。
ヒント
加速電圧 \(V\) で加速された電子の運動エネルギーは \(eV = p^2/(2m_e)\) なので \(p = \sqrt{2m_e eV}\) です。\(\lambda = h/p\) を使いましょう。D4 の結果 \(\Delta x = \lambda L / d\) を利用してください。
→ 解答を見る
B-6. 確率分布の規格化¶
電子の到達確率分布が \(P(x) = C\cos^2\!\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right)\) で与えられるとする（\(-\frac{\lambda L}{2d} \le x \le \frac{\lambda L}{2d}\) の 1 周期分のみ考える）。規格化定数 \(C\) を求めよ。
ヒント
\(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\) を使って積分してください。1 周期分で規格化します。
→ 解答を見る
B-7. 干渉の可視度 (visibility)¶
干渉縞の可視度 (visibility) は次で定義される：
式 (3.2) で \(I_1 \neq I_2\) の一般の場合に \(\mathcal{V}\) を \(I_1\) と \(I_2\) で表せ。
ヒント
\(I_{\max}\) は \(\cos\delta = +1\) のとき、\(I_{\min}\) は \(\cos\delta = -1\) のときの \(I_{12}\) です。
→ 解答を見る
Medium（標準）¶
M-1. 確率の足し算 vs 振幅の足し算の定量的比較¶
二重スリット実験において、2 つのスリットからスクリーン上の点 \(x\) までの経路差が \(\Delta(x) = dx/L\) であるとする。確率振幅を
とおく（\(k = 2\pi/\lambda\)、\(r_1\), \(r_2\) はそれぞれのスリットからの距離）。
- 量子力学的な確率分布 \(P_{12}^{\mathrm{QM}}(x) = |\phi_1 + \phi_2|^2\) を \(k\), \(d\), \(x\), \(L\) で表せ。
- 古典的粒子像の確率分布 \(P_{12}^{\mathrm{cl}}(x) = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\) を求めよ。
- 干渉項 \(P_{12}^{\mathrm{QM}} - P_{12}^{\mathrm{cl}}\) を求め、これが正になる \(x\) の範囲と負になる \(x\) の範囲を議論せよ。
ヒント
\(r_1 - r_2 \approx dx/L\) の近似を使うと、位相差は \(\delta = k \cdot dx/L\) となります。\(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\) なので、\(P_{12}^{\mathrm{QM}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\delta\) を整理してください。
→ 解答を見る
M-2. 「どちらを通ったか」の情報と干渉項の消失¶
本文の式 (3.9) に基づいて以下を示せ。
光源による経路識別が完全（\(b = 0\), \(b' = 0\), \(|a|^2 = |a'|^2 = 1\)）のとき：
- 式 (3.9) が \(P_{12}' = |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 = P_1 + P_2\) に帰着することを示せ。
- 逆に、経路識別が全くできない場合（\(a = a' = b = b' = 1/\sqrt{2}\)）に式 (3.9) が \(|\phi_1 + \phi_2|^2\) に帰着することを示せ。
ヒント
(2) では式 (3.9) の 2 つの項をそれぞれ展開し、交差項がどう組み合わさるかを確認してください。\(|c\phi_1 + c\phi_2|^2 = |c|^2|\phi_1 + \phi_2|^2\) が使えます。
→ 解答を見る
M-3. 経路差と de Broglie 波長の関係¶
加速電圧 \(V\) で加速された電子（質量 \(m_e\)、電荷 \(e\)）が、スリット間隔 \(d\)、スクリーン距離 \(L\) の二重スリットを通過する。
- 電子の de Broglie 波長 \(\lambda\) を \(V\), \(m_e\), \(e\), \(h\) で表せ。
- スクリーン上の \(n\) 次の干渉極大の位置 \(x_n\) を求めよ。
- 加速電圧を \(V\) から \(4V\) に変えたとき、干渉縞の間隔はどのように変化するか？
ヒント
\(\lambda = h/\sqrt{2m_e eV}\) です。\(V\) を \(4V\) にすると \(\lambda\) は \(1/2\) 倍になります。
→ 解答を見る
M-4. 干渉の消失を「確率の条件付き分解」で理解する¶
電子が孔 1 を通る事象を \(A_1\)、孔 2 を通る事象を \(A_2\) とする。古典確率論では全確率の公式：
が成り立つ。
- 二重スリット実験で干渉縞が観測されるとき、この全確率の公式が成り立たないことを、\(P_1\), \(P_2\), \(P_{12}\) を用いて示せ。
- この破綻は、\(A_1\) と \(A_2\) がどのような性質を失っていることに対応するか、本文の議論に基づいて説明せよ。
ヒント
\(P(A_1) = P(A_2) = 1/2\)（対称なスリット）とすると、全確率の公式は \(P_{12} = \frac{1}{2}P_1 + \frac{1}{2}P_2\) を予測します。実験結果 \(P_{12} = |\phi_1 + \phi_2|^2\) と比較してください。破綻の原因は「\(A_1\) と \(A_2\) が確定した事象として存在する」という仮定にあります。
→ 解答を見る
Advanced（発展）¶
A-1. 部分的経路情報と干渉の可視度¶
二重スリット実験で、各スリットの背後に「経路標識 (which-path marker)」を置く。電子がスリット \(j\)（\(j = 1, 2\)）を通過すると、標識の状態が \(|m_j\rangle\) になるとする。全系の状態は：
ここで \(|m_1\rangle\) と \(|m_2\rangle\) は一般には正規直交ではなく、内積 \(\langle m_1 | m_2 \rangle = \gamma\)（\(0 \le \gamma \le 1\) の実数）を持つとする。
- 標識の状態をトレースアウト（無視）して、電子のスクリーン上の確率分布 \(P(x)\) を求めよ。具体的に \(|\phi_1|^2\), \(|\phi_2|^2\), \(\mathrm{Re}(\phi_1^*\phi_2)\) を用いて表せ。
- \(|\phi_1| = |\phi_2|\) の場合に、干渉縞の可視度 \(\mathcal{V}\) を \(\gamma\) で表せ。
- \(\gamma = 1\)（標識が経路情報を全く持たない）と \(\gamma = 0\)（完全に区別可能）の極限で、結果が本文の議論と一致することを確認せよ。
- 経路の区別可能性 (distinguishability) を \(\mathcal{D} = \sqrt{1 - \gamma^2}\) と定義するとき、\(\mathcal{V}^2 + \mathcal{D}^2 = 1\) が成り立つことを示せ（Englert (エングラート) の相補性不等式の等号条件）。
ヒント
標識をトレースアウトするとは、\(P(x) = \langle m_1|\rho_m|m_1\rangle |\phi_1|^2 + \cdots\) ではなく、\(P(x) = \sum_k |\langle e_k|\Psi\rangle|^2\)（\(|e_k\rangle\) は標識空間の任意の完全系）を計算することです。より簡単には、\(P(x) = \frac{1}{2}|\phi_1|^2 + \frac{1}{2}|\phi_2|^2 + \mathrm{Re}(\gamma \cdot \phi_1^* \phi_2)\) となることを示してください。干渉項の係数が \(\gamma\) になることがポイントです。
→ 解答を見る
A-2. 遅延選択実験 (delayed choice experiment) の解析¶
Wheeler (ホイーラー) の遅延選択実験を考える。電子がスリットを通過した後に、干渉を観測するか経路情報を観測するかを選択する。
具体的な設定：二重スリットの後方に、挿入・除去可能なビームスプリッター (beam splitter) を置く。
- ビームスプリッターを挿入する場合: 2 つの経路の振幅が重ね合わされ、出力ポートの強度から干渉が観測される。
- ビームスプリッターを除去する場合: 各経路がそのまま別々の検出器に到達し、経路情報が得られる。
ビームスプリッターの透過率を \(t\)、反射率を \(r\)（\(|t|^2 + |r|^2 = 1\)）とする。入射振幅 \(\phi_1\), \(\phi_2\) に対して、出力ポート \(A\), \(B\) での振幅は：
- 50:50 ビームスプリッター（\(t = r = 1/\sqrt{2}\)、ただし反射で \(\pi/2\) の位相シフトがあるとして \(r = i/\sqrt{2}\), \(t = 1/\sqrt{2}\)）の場合に、\(|\phi_A|^2\) と \(|\phi_B|^2\) を \(|\phi_1|\), \(|\phi_2|\), および位相差 \(\delta = \arg(\phi_1) - \arg(\phi_2)\) で表せ。
- \(|\phi_1| = |\phi_2| = 1/\sqrt{2}\) のとき、\(\delta\) の関数として \(|\phi_A|^2\) と \(|\phi_B|^2\) を求め、干渉が観測されることを示せ。
- ビームスプリッターを除去した場合（\(\phi_A = \phi_1\), \(\phi_B = \phi_2\)）に、経路情報が得られる代わりに干渉が消えることを説明せよ。
- 「電子がスリットを通過した後に選択する」という事実が、古典的な実在論（電子は通過時点で確定した経路を持つ）とどのように矛盾するか、論じよ。
ヒント
(1) \(\phi_A = \frac{1}{\sqrt{2}}\phi_1 + \frac{i}{\sqrt{2}}\phi_2\) として \(|\phi_A|^2\) を展開してください。(4) では、もし電子が通過時点で経路が確定しているなら、後からビームスプリッターを入れるか入れないかで結果が変わるはずがない（経路は過去に確定済み）、という論法を使います。
→ 解答を見る
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。