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Appendix D 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 整数の加法群

整数の加法 \((\mathbb{Z}, +)\) が群の4つの条件を満たすことを確認せよ。

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B-2. 正の実数の乗法群

正の実数全体と掛け算 \((\mathbb{R}^+, \times)\) が群をなすことを確認せよ。単位元と逆元は何か？

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B-3. 整数の乗法は群でない

整数全体の集合 \(\mathbb{Z}\) に通常の乗法 \(\times\) を演算として定めた \((\mathbb{Z}, \times)\) が群にならないことを、群の公理（閉包性・結合律・単位元・逆元）を一つずつ確認しながら示せ。

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B-4. \(U(1)\) の群条件

\(U(1)\) の元 \(e^{i\theta}\) が群の条件を満たすことを確認せよ。

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B-5. 3 次元 \(z\) 軸回転

3 次元空間における \(z\) 軸まわりの回転行列は

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\\sin\theta & \cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

で与えられる。\(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2) = R_z(\theta_1 + \theta_2)\) が成り立つことを、行列の積を具体的に計算して示せ。

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B-6. Pauli 行列の交換関係 \([\sigma_1, \sigma_2]\)

Pauli 行列 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) について、\([\sigma_1, \sigma_2] = 2i\sigma_3\) を行列の積を計算して確認せよ。

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B-7. Pauli 行列の交換関係（全組）

\([\sigma_2, \sigma_3]\) と \([\sigma_3, \sigma_1]\) も計算し、\([\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\) が全ての組み合わせで成り立つことを確認せよ。

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B-8. 交換関係の反対称性

\([A, B] = -[B, A]\)（交換関係の反対称性）を定義から示せ。

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B-9. スピン 1/2 の固有値と固有ベクトル

スピン \(1/2\) の粒子の状態は2成分のベクトル \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\) で表される。\(\sigma_3\) の固有値と固有ベクトルを求め、「スピン上向き」「スピン下向き」に対応することを確認せよ。

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Medium（標準）

M-1. \(SU(2)\) の元の指数関数表示

\(2 \times 2\) の行列 \(U = e^{i\theta\sigma_3/2}\) を具体的に計算せよ（\(e^{iA} = I + iA + (iA)^2/2! + \cdots\) を使う。\(\sigma_3\) は対角行列なので簡単）。\(U^\dagger U = I\) と \(\det U = 1\) を確認せよ。

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M-2. Jacobi 恒等式（Pauli 行列で確認）

Pauli 行列 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) を用いて、Jacobi 恒等式

\[ [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 \]

が成り立つことを、\(A = \sigma_1,\; B = \sigma_2,\; C = \sigma_3\) の場合に具体的に計算して確認せよ。

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M-3. \(SU(N)\) のパラメータ数

\(SU(N)\) のパラメータ数が \(N^2 - 1\) であることを、「\(N \times N\) ユニタリ行列のパラメータ数 \(N^2\) から \(\det = 1\) の条件で1つ引く」という議論で示せ。\(N = 2, 3\) の場合を確認せよ。

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