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Appendix A 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 偏微分の基本計算

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B-2. \(1/r\) の偏微分

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\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \boxed{-\frac{x}{r^3}}\]

B-3. 混合偏微分の可換性

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\[\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y\]
\[\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^x \cos y}\]

B-4. 勾配と等高線

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点 \((1, 2)\)：\(\nabla\Phi = \boxed{(2, 4)}\)

等高線 \(\Phi = x^2 + y^2 = C\) は原点中心の円。点 \((1, 2)\) での接線方向は \((-2, 1)\)（法線に垂直）。\(\nabla\Phi \cdot (-2, 1) = -4 + 4 = 0\)。確かに垂直。

B-5. 温度分布の勾配

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点 \((1, 1)\)：\(\nabla T = (-2, -8)\)。温度が最も急に上がる方向は \(\nabla T\) の方向 = \(\boxed{(-2, -8)}\) の方向（つまり原点に向かう方向）。

B-6. 線形ベクトル場の発散

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B-7. 2 乗ベクトル場の発散

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B-8. 回転場の発散

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湧き出しなし。この場は純粋な「渦」。

B-9. 回転場の rot

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\(z\) 方向に一様な渦を持つ。

B-10. \((yz, xz, xy)\) の rot

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渦なし（保存場）。

B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) の確認

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\[\nabla \times (2x, 2y, 2z) = \left(\frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z},\; \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x},\; \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y}\right) = \boxed{(0, 0, 0)}\]

B-12. 一様磁場のベクトルポテンシャル

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一様磁場。

B-13. \(x^2 - y^2\) のラプラシアン

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Laplace 方程式を満たす（調和関数）。

B-14. \(e^x \cos y\) のラプラシアン

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\[\nabla^2\Phi = e^x\cos y - e^x\cos y = \boxed{0} \quad \checkmark\]

B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) のラプラシアン

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\[\boxed{\nabla^2 f = -(k^2+l^2)f}\]

B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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\(\nabla \cdot (z-y, x-z, y-x) = 0 + 0 + 0 = \boxed{0} \quad \checkmark\)

B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

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\(\nabla \times (yz, xz, xy) = (x-x, y-y, z-z) = \boxed{(0,0,0)} \quad \checkmark\)

B-18. 平面波が波動方程式を満たすこと

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波動方程式に代入：\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(\boxed{v = \omega/k}\)

B-19. 複素指数波が波動方程式を満たすこと

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\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(v = \omega/k\)。\(\boxed{\checkmark}\)

B-20. 偏微分方程式の分類

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  • (b) 時間 1 階微分 → \(\boxed{\text{拡散型}}\)（拡散係数 \(D = 3\)）
  • (c) 時間微分なし → \(\boxed{\text{楕円型}}\)（Poisson 方程式）
  • (d) 時間 1 階微分 → \(\boxed{\text{拡散型}}\)（ただし虚数係数のため解は振動する。Schrödinger 方程式）

Medium（標準）

M-1. 拡散方程式の解の確認

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拡散方程式に代入：\(-\alpha = D(-k^2)\) → \(\boxed{\alpha = Dk^2}\)

M-2. 重力ポテンシャルの勾配

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\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -GM \cdot \left(-\frac{x}{r^3}\right) = \frac{GMx}{r^3}\]

同様に \(y\), \(z\) 成分も。

\[\boxed{\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}}\]

M-3. Coulomb 電場の発散がゼロ

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\[\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-4. \(1/r\) のラプラシアン

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\[\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2} \cdot 0 = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-5. d'Alembert 解 \(g(x - vt)\)

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\[\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u) \cdot 1 = g'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\]
\[\frac{\partial f}{\partial t} = g'(u) \cdot (-v) = -vg'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \quad \boxed{\checkmark}\]

M-6. 定在波の分解

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\[= \frac{A}{2}\sin(kx-\omega t) + \frac{A}{2}\sin(kx+\omega t)\]

第 1 項は右に進む波、第 2 項は左に進む波。\(\boxed{\text{定在波 = 右進行波 + 左進行波}}\)

M-7. 弦の振動モードの境界条件

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\[\frac{\partial^2 f_n}{\partial x^2} = -\frac{n^2\pi^2}{L^2}f_n, \qquad \frac{\partial^2 f_n}{\partial t^2} = -\omega_n^2 f_n\]

波動方程式 \(\partial_x^2 f = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f\) より：

\[-\frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{1}{v^2}(-\omega_n^2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}}\]

境界条件：\(f_n(0,t) = A_n\sin(0)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓、\(f_n(L,t) = A_n\sin(n\pi)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓

Advanced（発展）

A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) の恒等式

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\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \partial_x E_x\), \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = (\partial_x^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla^2\mathbf{E} = (\nabla^2 E_x, 0, 0)\)

\(\nabla \times \mathbf{E} = (0, -\partial_z E_x, \partial_y E_x)\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = (\partial_x^2 E_x - \nabla^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)...

（符号を注意深く確認すると一致する。）\(\boxed{\checkmark}\)