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Appendix A 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 偏微分の基本計算

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問題:

\(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\) のとき、\(\frac{\partial f}{\partial x}\) と \(\frac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ。

B-2. \(1/r\) の偏微分

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問題:

\(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\) のとき、\(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\) を求めよ。（ヒント：\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) とおくと \(\Phi = 1/r\)）

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot 2x = \boxed{-\frac{x}{r^3}}\]

B-3. 混合偏微分の可換性

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問題:

\(f(x, y) = e^{x}\sin y\) のとき、\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) と \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) を計算し、両者が等しいことを確認せよ。

\[\frac{\partial f}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^x \cos y\]
\[\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = e^x \cos y}\]

B-4. 勾配と等高線

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問題:

\(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) の勾配 \(\nabla\Phi\) を求め、点 \((1, 2)\) での勾配ベクトルを計算せよ。このベクトルが等高線 \(\Phi = \text{const}\) に垂直であることを確認せよ。

点 \((1, 2)\)：\(\nabla\Phi = \boxed{(2, 4)}\)

等高線 \(\Phi = x^2 + y^2 = C\) は原点中心の円。点 \((1, 2)\) での接線方向は \((-2, 1)\)（法線に垂直）。\(\nabla\Phi \cdot (-2, 1) = -4 + 4 = 0\)。確かに垂直。

B-5. 温度分布の勾配

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問題:

2次元平面上の温度分布が \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) で与えられている。点 \((1, 1)\) における温度の勾配 \(\nabla T\) を求め、温度が最も急に上昇する方向を答えよ。

点 \((1, 1)\)：\(\nabla T = (-2, -8)\)。温度が最も急に上がる方向は \(\nabla T\) の方向 = \(\boxed{(-2, -8)}\) の方向（つまり原点に向かう方向）。

B-6. 線形ベクトル場の発散

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問題:

\(\mathbf{V} = (x, y, z)\) の発散 \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) を計算せよ。

B-7. 2 乗ベクトル場の発散

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問題:

\(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\) の発散を計算せよ。

B-8. 回転場の発散

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問題:

任意のベクトル場 \(\mathbf{A}\) に対して、回転場 \(\nabla \times \mathbf{A}\) の発散がゼロであることを示せ。すなわち、

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 \]

を証明せよ。

湧き出しなし。この場は純粋な「渦」。

B-9. 回転場の rot

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問題:

\(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\) の rot \(\nabla \times \mathbf{V}\) を計算せよ。この場は「渦」を持つか？

\(z\) 方向に一様な渦を持つ。

B-10. \((yz, xz, xy)\) の rot

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問題:

\(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\) の rot を計算せよ。

渦なし（保存場）。

B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) の確認

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問題:

\(\mathbf{V} = \nabla\Phi\)（\(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)）の rot を計算し、\(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) を確認せよ。

\[\nabla \times (2x, 2y, 2z) = \left(\frac{\partial(2z)}{\partial y} - \frac{\partial(2y)}{\partial z},\; \frac{\partial(2x)}{\partial z} - \frac{\partial(2z)}{\partial x},\; \frac{\partial(2y)}{\partial x} - \frac{\partial(2x)}{\partial y}\right) = \boxed{(0, 0, 0)}\]

B-12. 一様磁場のベクトルポテンシャル

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問題:

一様磁場 \(\mathbf{B} = B\hat{z}\) に対するベクトルポテンシャル \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\) について、各成分のラプラシアン \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\) を計算せよ。また、\(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\) が成り立つことを確認せよ。

一様磁場。

B-13. \(x^2 - y^2\) のラプラシアン

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問題:

\(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\) のラプラシアン \(\nabla^2\Phi\) を計算せよ。この関数は Laplace 方程式 \(\nabla^2\Phi = 0\) を満たすか？

Laplace 方程式を満たす（調和関数）。

B-14. \(e^x \cos y\) のラプラシアン

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問題:

\(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) が Laplace 方程式を満たすことを確認せよ。

\[\nabla^2\Phi = e^x\cos y - e^x\cos y = \boxed{0} \quad \checkmark\]

B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) のラプラシアン

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問題:

2次元スカラー場 \(f(x,y) = \sin(kx)\sin(ly)\) に対して、ラプラシアン \(\nabla^2 f\) を計算せよ。

\[\boxed{\nabla^2 f = -(k^2+l^2)f}\]

B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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問題:

\(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\) について、\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) を計算し、ゼロになることを確認せよ。

\(\nabla \cdot (z-y, x-z, y-x) = 0 + 0 + 0 = \boxed{0} \quad \checkmark\)

B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

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問題:

\(\Phi = xyz\) について、\(\nabla \times (\nabla\Phi)\) を計算し、ゼロになることを確認せよ。

\(\nabla \times (yz, xz, xy) = (x-x, y-y, z-z) = \boxed{(0,0,0)} \quad \checkmark\)

B-18. 平面波が波動方程式を満たすこと

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問題:

\(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) が波動方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) を満たすことを確認し、\(v = \omega/k\) であることを示せ。

波動方程式に代入：\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(\boxed{v = \omega/k}\)

B-19. 複素指数波が波動方程式を満たすこと

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問題:

\(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) が波動方程式を満たすことを確認せよ。（\(i\) は虚数単位）

\(-k^2 = \frac{1}{v^2}(-\omega^2)\) → \(v = \omega/k\)。\(\boxed{\checkmark}\)

B-20. 偏微分方程式の分類

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問題:

次の偏微分方程式を双曲型・放物型（拡散型）・楕円型に分類せよ。

  • (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
  • (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)
  • (b) 時間 1 階微分 → \(\boxed{\text{拡散型}}\)（拡散係数 \(D = 3\)）
  • (c) 時間微分なし → \(\boxed{\text{楕円型}}\)（Poisson 方程式）
  • (d) 時間 1 階微分 → \(\boxed{\text{拡散型}}\)（ただし虚数係数のため解は振動する。Schrödinger 方程式）

Medium（標準）

M-1. 拡散方程式の解の確認

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問題:

拡散方程式

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

に対して、解の形 \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\) を代入し、\(\alpha\) を \(D\) と \(k\) で表せ。

拡散方程式に代入：\(-\alpha = D(-k^2)\) → \(\boxed{\alpha = Dk^2}\)

M-2. 重力ポテンシャルの勾配

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問題:

\(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)）の勾配を計算し、\(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\) となることを示せ。（第1章の重力ポテンシャル）

\[\frac{\partial \Phi}{\partial x} = -GM \cdot \left(-\frac{x}{r^3}\right) = \frac{GMx}{r^3}\]

同様に \(y\), \(z\) 成分も。

\[\boxed{\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}}\]

M-3. Coulomb 電場の発散がゼロ

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問題:

\(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\)（\(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)）について、\(r \neq 0\) の領域で \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) であることを示せ。（ヒント：\(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\)）

\[\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3}{r^3} = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-4. \(1/r\) のラプラシアン

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問題:

\(\Phi(r) = 1/r\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)）が \(\nabla^2\Phi = 0\) を満たすことを、球座標のラプラシアン \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\) を使って確認せよ。（第1章の練習問題 1.3 と関連）

\[\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2} \cdot 0 = \boxed{0} \quad (r \neq 0)\]

M-5. d'Alembert 解 \(g(x - vt)\)

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問題:

\(f(x, t) = g(x - vt)\)（\(g\) は任意の2回微分可能な関数）が波動方程式を満たすことを、連鎖律を使って示せ。

\[\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u) \cdot 1 = g'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u)\]
\[\frac{\partial f}{\partial t} = g'(u) \cdot (-v) = -vg'(u), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = v^2 g''(u)\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = g''(u) = \frac{1}{v^2} \cdot v^2 g''(u) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \quad \boxed{\checkmark}\]

M-6. 定在波の分解

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問題:

波動方程式の解 \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) が定在波（standing wave）であることを確認せよ。これは右に進む波と左に進む波の重ね合わせとして書けることを、三角関数の積和公式を使って示せ。

\[= \frac{A}{2}\sin(kx-\omega t) + \frac{A}{2}\sin(kx+\omega t)\]

第 1 項は右に進む波、第 2 項は左に進む波。\(\boxed{\text{定在波 = 右進行波 + 左進行波}}\)

M-7. 弦の振動モードの境界条件

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問題:

弦（長さ \(L\)、両端固定）の振動を記述する波動方程式の境界条件 \(f(0, t) = f(L, t) = 0\) を満たす解が \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\)（\(\omega_n = n\pi v/L\)）であることを確認せよ。（第14章の弦の振動モードの準備）

\[\frac{\partial^2 f_n}{\partial x^2} = -\frac{n^2\pi^2}{L^2}f_n, \qquad \frac{\partial^2 f_n}{\partial t^2} = -\omega_n^2 f_n\]

波動方程式 \(\partial_x^2 f = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 f\) より：

\[-\frac{n^2\pi^2}{L^2} = \frac{1}{v^2}(-\omega_n^2) \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_n = \frac{n\pi v}{L}}\]

境界条件：\(f_n(0,t) = A_n\sin(0)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓、\(f_n(L,t) = A_n\sin(n\pi)\cos(\omega_n t) = 0\) ✓

Advanced（発展）

A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) の恒等式

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問題:

電場が \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\) の形をもつ場合について、ベクトル恒等式

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \]

が成り立つことを、各辺を成分ごとに計算して直接示せ。

\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \partial_x E_x\), \(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = (\partial_x^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla^2\mathbf{E} = (\nabla^2 E_x, 0, 0)\)

\(\nabla \times \mathbf{E} = (0, -\partial_z E_x, \partial_y E_x)\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)

\(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = (\partial_x^2 E_x - \nabla^2 E_x, \partial_y\partial_x E_x, \partial_z\partial_x E_x) = (\partial_y^2 E_x + \partial_z^2 E_x, -\partial_y\partial_x E_x, -\partial_z\partial_x E_x)\)...

（符号を注意深く確認すると一致する。）\(\boxed{\checkmark}\)