第 5 章 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 規格化条件の確認
- B-2. 内積の計算
- B-3. 外積（射影演算子）の作用
- B-4. \(x\) 基底への展開
- B-5. \(y\) 基底の直交性
- B-6. 確率振幅から確率を求める
- B-7. Kronecker デルタの利用
- B-8. 基底変換行列の成分
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 規格化条件の確認¶
状態 \(|\psi\rangle = \frac{1+i}{2}|+\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}|-\rangle\) が規格化条件 \(|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1\) を満たすことを確認せよ。
ヒント
複素数 \(z = a + bi\) に対して \(|z|^2 = a^2 + b^2\) である。\(c_+ = \frac{1+i}{2}\) の絶対値の 2 乗を計算するには \(|c_+|^2 = c_+^* c_+ = \frac{1-i}{2} \cdot \frac{1+i}{2}\) とすればよい。
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B-2. 内積の計算¶
\(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|+\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,e^{i\pi/4}|-\rangle\) に対して、内積 \(\langle+|\psi\rangle\) と \(\langle-|\psi\rangle\) を求め、それぞれの絶対値の 2 乗を計算せよ。
ヒント
正規直交性 \(\langle+|+\rangle = 1\), \(\langle+|-\rangle = 0\) を使えば、\(\langle+|\psi\rangle = c_+\) がそのまま得られる。\(|e^{i\theta}|^2 = 1\) であることを思い出すこと。
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B-3. 外積（射影演算子）の作用¶
射影演算子 \(\hat{P}_+ = |+\rangle\langle+|\) を状態 \(|\psi\rangle = \frac{3}{5}|+\rangle + \frac{4}{5}|-\rangle\) に作用させよ。結果を \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) の線形結合として書き、その状態が規格化されているか確認せよ。
ヒント
\(\hat{P}_+|\psi\rangle = |+\rangle\langle+|\psi\rangle = |+\rangle \cdot c_+\) となる。射影後の状態は一般に規格化されていないことに注意。
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B-4. \(x\) 基底への展開¶
状態 \(|+\rangle\)（\(z\) 方向スピン上向き）を \(x\) 方向の基底 \(|+\rangle_x\), \(|-\rangle_x\) で展開せよ。すなわち、
の係数 \(a\), \(b\) を、式 (5.11) と (5.12) を用いて求めよ。
ヒント
式 (5.11) と (5.12) を連立方程式と見なし、\(|+\rangle\) と \(|-\rangle\) について解く。あるいは、両辺に \({}_x\langle+|\) を左から作用させて \(a = {}_x\langle+|+\rangle\) を求める。\(|+\rangle_x\) と \(|-\rangle_x\) が正規直交であることを使う。
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B-5. \(y\) 基底の直交性¶
式 (5.13) と (5.14) を用いて、内積 \({}_y\langle+|-\rangle_y\) を計算し、\(|+\rangle_y\) と \(|-\rangle_y\) が直交することを確かめよ。
ヒント
\(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\) に対応するブラは \({}_y\langle+| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| + \left(\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^*\langle-| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle+| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle-|\) である。ブラを作るときは係数を複素共役にすること。
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B-6. 確率振幅から確率を求める¶
\(y\) 方向にスピン上向き（状態 \(|+\rangle_y\)）の粒子を \(z\) 方向の Stern-Gerlach 装置に通す。\(S_z = +\hbar/2\) を得る確率と \(S_z = -\hbar/2\) を得る確率をそれぞれ求めよ。
ヒント
式 (5.13) から \(|+\rangle_y\) の \(z\) 基底での展開係数を読み取り、各係数の絶対値の 2 乗を計算する。\(|i/\sqrt{2}|^2\) がいくらになるか考えよ。
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B-7. Kronecker デルタの利用¶
\(i, j \in \{+, -\}\) に対して定義される Kronecker デルタ \(\delta_{ij}\) を用いて、次の和を計算せよ：
ヒント
\(j = +\) と \(j = -\) の各場合について \(\delta_{+j}\,\delta_{j-}\) の値を求め、足し合わせる。\(\delta_{++} = 1\), \(\delta_{+-} = 0\) などを使う。
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B-8. 基底変換行列の成分¶
式 (5.13), (5.14) を用いて、\(z\) 基底から \(y\) 基底への基底変換行列
の各成分を書き下せ。
ヒント
\(|+\rangle_y = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|-\rangle\) から \(\langle+|+\rangle_y\) と \(\langle-|+\rangle_y\) を直接読み取れる。\(|-\rangle_y\) についても同様。
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Medium（標準）¶
M-1. 完全性関係から規格化条件を導く¶
完全性関係 \(|+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-| = \mathbf{1}\) と内積の定義を用いて、任意の規格化された状態 \(|\psi\rangle\)（\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)）に対して
が成り立つことを証明せよ。
ヒント
\(\langle\psi|\psi\rangle = 1\) の左辺に完全性関係 \(\mathbf{1} = |+\rangle\langle+| + |-\rangle\langle-|\) を \(|\psi\rangle\) と \(\langle\psi|\) の間に挿入せよ。すなわち \(\langle\psi|\mathbf{1}|\psi\rangle\) を展開する。
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M-2. \(x\) 基底の完全性関係¶
式 (5.11) と (5.12) を用いて、\(x\) 方向の基底に対する完全性関係
が成り立つことを、\(z\) 基底での行列表現を計算することで確かめよ。
ヒント
\(|+\rangle_x\) を列ベクトル \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) と表し、\({}_x\langle+|\) を行ベクトル \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\) と表す。外積 \(|+\rangle_x\,{}_x\langle+|\) は \(2\times 2\) 行列になる。\(|-\rangle_x\,{}_x\langle-|\) も同様に計算し、2 つの行列を足して単位行列 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) になることを示す。
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M-3. 基底変換行列のユニタリ性¶
式 (5.15) の基底変換行列
がユニタリ行列 (unitary matrix) であること、すなわち \(U^\dagger U = \mathbf{1}\) を満たすことを示せ。ここで \(U^\dagger\) は \(U\) の転置複素共役（エルミート共役）である。
ヒント
\(U\) の成分がすべて実数なので、\(U^\dagger = U^T\)（転置行列）となる。\(U^T U\) を計算し、\(2\times 2\) の単位行列になることを確認すればよい。
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M-4. 連続測定の確率¶
以下の連続 Stern-Gerlach 実験を考える：
- \(z\) 方向の装置でスピン上向き（\(S_z = +\hbar/2\)）のビームだけを選別する。
- 選別されたビームを \(x\) 方向の装置に通す。
- \(x\) 方向の装置で \(S_x = +\hbar/2\) と出たビームだけを選別する。
- 選別されたビームを再び \(z\) 方向の装置に通す。
最終段階で \(S_z = -\hbar/2\) を得る確率を、各段階の確率振幅を順に追って求めよ。
ヒント
第 4 章の「振幅を掛けてから足す」ルールを使う。ステップ 1 後の状態は \(|+\rangle\)。ステップ 2 で \(|+\rangle_x\) が選別される振幅は \({}_x\langle+|+\rangle\)。ステップ 4 で \(|-\rangle\) が見出される振幅は \(\langle-|+\rangle_x\)。全体の振幅はこれらの積。
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Advanced（発展）¶
A-1. 任意方向のスピン固有状態¶
\(z\) 軸から極角 \(\theta\)、方位角 \(\phi\) の方向を向いた単位ベクトル \(\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi,\;\sin\theta\sin\phi,\;\cos\theta)\) を考える。\(\hat{\mathbf{n}}\) 方向のスピン成分 \(S_{\hat{n}} = +\hbar/2\) に対応する固有状態が
で与えられることを以下の手順で確かめよ。
(a) \(\theta = 0\) のとき \(|+\rangle_{\hat{n}} = |+\rangle\) となること、\(\theta = \pi\) のとき \(|+\rangle_{\hat{n}} = e^{i\phi}|-\rangle\)（全体位相を除いて \(|-\rangle\)）となることを確認せよ。
(b) \(\theta = \pi/2,\;\phi = 0\) のとき式 (5.11) の \(|+\rangle_x\) が再現されることを確認せよ。
(c) \(\theta = \pi/2,\;\phi = \pi/2\) のとき式 (5.13) の \(|+\rangle_y\) が再現されることを確認せよ。
(d) この状態が規格化されていること（\({}_{\hat{n}}\langle+|+\rangle_{\hat{n}} = 1\)）を示せ。
(e) この状態を \(z\) 方向で測定したとき、\(S_z = +\hbar/2\) を得る確率が \(\cos^2(\theta/2)\) であることを示し、\(\theta\) の幾何学的意味を議論せよ。
ヒント
(a)–(c) は \(\theta\), \(\phi\) の値を代入するだけ。(d) は \(|\cos(\theta/2)|^2 + |e^{i\phi}\sin(\theta/2)|^2\) を計算する。(e) の確率は \(|\langle+|+\rangle_{\hat{n}}|^2 = \cos^2(\theta/2)\) であり、これは Bloch 球上で \(|+\rangle\)（北極）と \(|+\rangle_{\hat{n}}\) の間の「角度の半分」の余弦の 2 乗に対応する。
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A-2. 「どの経路を通ったか」と干渉の消失¶
以下の思考実験を考える。
設定: \(z\) 方向の Stern-Gerlach 装置で銀原子ビームを \(|+\rangle\) と \(|-\rangle\) に分離した後、2 つのビームを遮断せずに再び合流させ、その後 \(x\) 方向の Stern-Gerlach 装置で測定する。
(a) 2 つのビームを完全に合流させ、どちらの経路を通ったか区別できない場合を考える。初期状態が \(|+\rangle_x\) であったとき、最終的に \(S_x = +\hbar/2\) を得る確率を、第 4 章の「振幅を足してから絶対値の 2 乗を取る」ルールを用いて計算せよ。
(b) 今度は、\(|+\rangle\) の経路にだけ目印をつけて「どちらの経路を通ったか区別できる」状況にしたとする。この場合は「確率を足す」ルールが適用される。\(S_x = +\hbar/2\) を得る確率を計算し、(a) の結果と比較せよ。
(c) (a) と (b) の結果の違いを「干渉項」を明示して説明し、「経路情報の取得が干渉を破壊する」ことについて、第 4 章の確率振幅のルールの観点から論じよ。
ヒント
(a) 初期状態 \(|+\rangle_x\) を \(z\) 基底で展開し、中間状態 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) を経由する振幅を足す：振幅 \(= \sum_{j=\pm} {}_x\langle+|j\rangle\langle j|+\rangle_x\)。完全性関係を思い出すこと。(b) 経路が区別可能な場合は確率を足す：\(P = \sum_{j=\pm} |{}_x\langle+|j\rangle|^2\,|\langle j|+\rangle_x|^2\)。(c) 両者の差が干渉項（クロスターム）に対応する。
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