第 1 章 練習問題 解答¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 地表での重力加速度の計算
- B-2. 重力ポテンシャルの \(x\) 成分の微分
- B-3. 重力場のベクトル表示
- B-4. 2 つの点質量による重ね合わせ
- B-5. \(\nabla^2(r^n)\) の計算
- B-6. 点質量外部での Laplace 方程式
- B-7. 一様密度球内部のポテンシャル定数
- B-8. 重力場の発散と Poisson 方程式
- B-9. 瞬時伝播と特殊相対論の矛盾
- B-10. 太陽表面での相対論的効果の見積もり
- B-11. 中性子星の相対論判定基準の概算
Medium（標準）
- M-1. Gauss の法則から Poisson 方程式の導出
- M-2. 一様密度球のポテンシャルの完全解
- M-3. 水星の近日点移動のスケール評価
- M-4. 波動方程式と Poisson 方程式の比較
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 地表での重力加速度の計算¶
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方針: \(|\mathbf{g}| = GM_\oplus/R_\oplus^2\) に数値を代入する。
分子：\(6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\)
分母：\((6.37 \times 10^6)^2 = 4.06 \times 10^{13}\)
高校で習った重力加速度 \(g \approx 9.8\ \text{m/s}^2\) と一致する。Newton の万有引力から地表の重力加速度が正しく導かれることが確認できた。
検算: 次元確認：\([GM/R^2] = \text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg} / \text{m}^2 = \text{m/s}^2\)。正しい。✓
B-2. 重力ポテンシャルの \(x\) 成分の微分¶
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方針: \(\Phi = -GM/r\), \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) に対して連鎖律を適用する。
まず各因子を計算する：
よって
したがって重力場の \(x\) 成分は
検算: \(x\) 軸上の点 \((r,0,0)\) では \(g_x = -GM/r^2\) となり、原点に向かう引力として正しい。
B-3. 重力場のベクトル表示¶
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問題 B-2. 重力ポテンシャルの \(x\) 成分の微分 と同様に \(y\), \(z\) 成分を計算する：
ベクトルとしてまとめると
ここで単位ベクトル \(\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r = (x/r,\,y/r,\,z/r)\) を用いれば
これは式 (1.3) と一致する。
検算: \(|\mathbf{g}| = GM/r^2\) であり、方向は \(-\hat{\mathbf{r}}\)（原点に向かう引力）で物理的に正しい。
B-4. 2 つの点質量による重ね合わせ¶
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Poisson 方程式は線形なので、重ね合わせの原理により
重力場は \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) より
検算: \(M_2 = 0\) とすると 1 つの点質量の場合に帰着する。✓ また、\(\mathbf{r} \to \infty\) では \(\Phi \to -G(M_1+M_2)/r\) となり、遠方では全質量が 1 点に集中した場合と同じ振る舞いをする。✓
B-5. \(\nabla^2(r^n)\) の計算¶
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方針: 球対称関数 \(f(r) = r^n\) に対して動径部分のラプラシアンを適用する。
ステップ 1: 1 階微分
ステップ 2: \(r^2\) を掛ける
ステップ 3: もう一度 \(r\) で微分
ステップ 4: \(1/r^2\) を掛ける
\(n\) の値による整理:
| \(n\) | \(\nabla^2(r^n)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(2r^{-1}\) |
| \(2\) | \(6\) |
| \(-1\) | \(0\) |
| \(-2\) | \(6r^{-4}\) |
検算: \(n=2\) のとき \(f = r^2 = x^2+y^2+z^2\) なので \(\nabla^2 f = 2+2+2 = 6\)。一致する。✓
B-6. 点質量外部での Laplace 方程式¶
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\(\Phi = -GM\,r^{-1}\) なので、問題 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) の計算 の結果で \(n = -1\) とすると
よって
Poisson 方程式との整合性:
Poisson 方程式は \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) である。点質量の質量密度は
\(r \neq 0\) では \(\delta^3(\mathbf{r}) = 0\) なので \(\rho = 0\) であり、\(\nabla^2\Phi = 0\) は Poisson 方程式と矛盾しない。\(r = 0\) ではデルタ関数の特異性があり、\(\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})\) という分布の意味での等式が成り立つ。
B-7. 一様密度球内部のポテンシャル定数¶
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\(\Phi(r) = Ar^2 + B\) を Poisson 方程式 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho_0\) に代入する。
問題 B-5. \(\nabla^2(r^n)\) の計算 の結果より \(\nabla^2(r^2) = 6\)、\(\nabla^2(B) = 0\) なので
Poisson 方程式から
検算: \(A\) の次元は \([G][\rho_0] = (\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}})(\mathrm{kg\,m^{-3}}) = \mathrm{s^{-2}}\)。\(\Phi = Ar^2\) の次元は \(\mathrm{s^{-2}\cdot m^2} = \mathrm{m^2\,s^{-2}}\)（ポテンシャルの次元）で正しい。✓
B-8. 重力場の発散と Poisson 方程式¶
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Poisson 方程式 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) を代入して
これは重力場に対する Gauss の法則の微分形である。
検算: 質量がある場所 (\(\rho > 0\)) では \(\nabla\cdot\mathbf{g} < 0\) であり、重力場が質量に向かって「収束」することを意味する。物理的に正しい。✓
B-9. 瞬時伝播と特殊相対論の矛盾¶
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解法の方針: 太陽–地球間の光の伝播時間を計算し、Newton の瞬時伝播と比較する。
計算¶
太陽–地球間の平均距離は \(d = 1\;\text{AU} \approx 1.50 \times 10^{11}\;\text{m}\)。光速は \(c = 3.00 \times 10^8\;\text{m/s}\)。
光が太陽から地球に届くまでの時間は、
Newton モデルと特殊相対論の矛盾¶
Newton の重力モデルでは、重力は Poisson 方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) に従い、ソース \(\rho\) の変化はポテンシャル \(\Phi\) に瞬時に反映される（時間微分の項がないため）。したがって、太陽が突然消えた場合、地球が受ける重力はその瞬間にゼロになり、地球は直ちに直線運動（接線方向への等速運動）を始める。
一方、特殊相対論によれば、いかなる物理的な情報・影響も光速 \(c\) を超えて伝わることはできない。太陽の消失という情報が地球に届くには、少なくとも \(\Delta t \approx 500\;\text{s}\)（約 8 分 20 秒）かかるはずである。
この矛盾は具体的に次のように表れる：
- Newton モデル：\(t = 0\) で太陽が消える → \(t = 0\) で地球の軌道が変わる（遅延ゼロ）
- 特殊相対論と整合する理論：\(t = 0\) で太陽が消える → \(t \approx 500\;\text{s}\) まで地球は通常の公転を続ける → \(t \approx 500\;\text{s}\) 以降に軌道が変わる
Newton の重力モデルは瞬間的な遠隔作用 (action at a distance) を含んでおり、これは特殊相対論の因果律（情報伝達速度 \(\leq c\)）と根本的に矛盾する。この矛盾を解消するためには、重力の変化が有限の速度（\(c\)）で伝播する理論——すなわち一般相対論——が必要となる。
検算¶
次元確認：\([d/c] = \text{m}/(\text{m/s}) = \text{s}\)。正しい。✓
数値の妥当性：太陽光が地球に届くまで約 8 分というのは天文学の基本的な事実として広く知られており、計算結果と整合する。✓
B-10. 太陽表面での相対論的効果の見積もり¶
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解法の方針: \(GM_\odot/(R_\odot c^2)\) に数値を代入し、相対論的効果の大きさを評価する。
計算¶
与えられた値：
- \(G = 6.67 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
- \(M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\;\text{kg}\)
- \(R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\;\text{m}\)
- \(c = 3.00 \times 10^{8}\;\text{m/s}\)
分子：
分母：
比：
相対論的効果の大きさの見積もり¶
この無次元量 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) は、太陽の表面近くでの一般相対論的効果の相対的な大きさを示す指標である。
-
重力赤方偏移: 太陽表面から放射された光の振動数は、無限遠で観測すると \(\Delta\nu/\nu \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) だけ赤方偏移する。これは高分解能の分光観測で検出可能な大きさである。
-
光の偏向: 太陽の近傍を通過する光は、一般相対論により \(\delta\theta \sim GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\;\text{rad} \approx 0.4''\)（実際の値は \(4GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.75''\)）のオーダーで曲げられる。1919 年の日食観測で確認された。
-
水星の近日点移動: \(GM_\odot/(ac^2) \sim 10^{-8}\)（\(a\) は水星の軌道長半径）のオーダーの補正が 1 公転ごとに蓄積し、100 年で約 43 秒角のずれとなる。
\(10^{-6}\) という値は、日常的なスケールでは Newton 力学が極めて良い近似であることを意味するが、精密な天文観測や高精度の実験では一般相対論的補正が検出可能であり、実際に検出されている。
検算¶
次元確認：$[GM/(Rc^2)] = (\text{m}^3\text{s}^{-2}\text{kg}^{-1} \cdot \text{kg})/(\text{m} \cdot \text{m}^2\text{s}^{-2}) = $ 無次元。正しい。✓
プロローグの表にある太陽の値 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \sim 10^{-6}\) と一致する。✓
B-11. 中性子星の相対論判定基準の概算¶
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与えられた値:
- \(M = 1.4\,M_\odot\)
- \(R = 10\;\mathrm{km}\)
- \(GM_\odot/c^2 \approx 1.48\;\mathrm{km}\)
これは 1 に近い値であり、中性子星の表面付近では Newton 重力が大きく補正を受け、一般相対論的な効果が無視できないことを意味する。
検算: 比較として、太陽の場合 \(GM_\odot/(R_\odot c^2) \approx 1.48\;\mathrm{km}/7\times10^5\;\mathrm{km} \sim 10^{-6}\) であり、Newton 重力が十分良い近似であることと整合する。✓
Medium（標準）¶
M-1. Gauss の法則から Poisson 方程式の導出¶
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出発点: 重力場に対する Gauss の法則（積分形）
ステップ 1: 左辺に発散定理を適用する。
ステップ 2: 右辺の \(M_{\mathrm{enc}}\) を密度の積分で書く。
ステップ 3: (ii), (iii) を (i) に代入する。
ステップ 4: 式 (iv) は任意の体積 \(V\) に対して成り立つ。被積分関数が連続であれば、これは被積分関数自体がゼロであることを意味する：
ステップ 5: \(\mathbf{g} = -\nabla\Phi\) を代入する。
これが Poisson 方程式である。
検算: \(\rho = 0\) の場合、Laplace 方程式 \(\nabla^2\Phi = 0\) に帰着する。点質量 \(\rho = M\delta^3(\mathbf{r})\) の場合、解 \(\Phi = -GM/r\) が得られることは 問題 B-6. 点質量外部での Laplace 方程式 で確認済み。✓
M-2. 一様密度球のポテンシャルの完全解¶
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半径 \(R\)、一様密度 \(\rho_0\)、全質量 \(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\) の球を考える。
(a) 外部 (\(r > R\))¶
外部では \(\rho = 0\) なので、球対称の Poisson 方程式は Laplace 方程式になる：
\(r^2\,d\Phi/dr = C_1\)（定数）と積分できるので
もう一度積分して
境界条件: \(r\to\infty\) で \(\Phi\to 0\) より \(C_2 = 0\)。
球殻定理（または Gauss の法則）により、外部では全質量 \(M\) が中心に集中した場合と同じポテンシャルを与えるので \(C_1 = GM\)。
(b) 内部 (\(r < R\))¶
内部では \(\rho = \rho_0\) なので Poisson 方程式は
問題 B-7. 一様密度球内部のポテンシャル定数 の結果から、特解は \(\Phi_p = Ar^2\) で \(A = \frac{2\pi G\rho_0}{3}\) である。
斉次方程式 \(\nabla^2\Phi = 0\) の球対称解は \(\Phi_h = \alpha/r + \beta\) である。\(r = 0\) で正則（有限）であるためには \(\alpha = 0\)。
よって一般解は
境界条件 1: \(r = R\) でポテンシャルが連続
\(M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho_0\) を用いると \(\frac{GM}{R} = \frac{4\pi G\rho_0 R^2}{3}\) なので
境界条件 2: \(r = R\) で \(d\Phi/dr\) が連続
両者は一致する。✓（\(\beta\) は微分に影響しないので、境界条件 1 だけで \(\beta\) が決まり、条件 2 は自動的に満たされる。）
\(\rho_0 = \frac{3M}{4\pi R^3}\) を代入して \(\beta\) を \(M\), \(R\) で書き直す：
同様に \(A = \frac{2\pi G}{3}\cdot\frac{3M}{4\pi R^3} = \frac{GM}{2R^3}\)
(c) \(r = 0\) と \(r = R\) での値の比較¶
中心でのポテンシャルは表面での値の \(3/2\) 倍（絶対値で）深い：
検算: \(r = R\) で \(\Phi_{\mathrm{in}}(R) = \frac{GM}{2R^3}R^2 - \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R} - \frac{3GM}{2R} = -\frac{GM}{R} = \Phi_{\mathrm{out}}(R)\)。✓
M-3. 水星の近日点移動のスケール評価¶
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無次元量の計算:
次元解析的議論:
一般相対論的な補正は、Newton 重力からの相対的なずれとして無次元量 \(GM_\odot/(ac^2)\) のオーダーで現れると期待される。これが 1 公転あたりの近日点移動角（ラジアン）のスケールを与える。
100 年間の公転回数を見積もる。水星の公転周期は約 88 日なので
100 年間の累積ずれのオーダーは
一方、観測値 43 秒角をラジアンに換算すると
両者を比較すると
つまり、次元解析的なオーダー評価 \(\sim GM_\odot/(ac^2)\) は観測値と \(6\pi \approx 19\) という数値因子の範囲内で一致している。次元解析では \(O(1)\) の数値因子（\(2\pi\) や \(6\pi\) など）は決定できないので、これはオーダーとして正しく対応していると言える。
実際、一般相対論の厳密な計算（第 8 章で導出）では、1 公転あたりの近日点移動は
と求まる。\(e \approx 0.206\) として \(1/(1-e^2) \approx 1.04\) であり、
これは観測値と精密に一致する。
M-4. 波動方程式と Poisson 方程式の比較¶
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静電場への帰着:
ソース \(\rho_e\) が時間変化しない場合、\(\varphi\) も時間に依存しないので \(\partial^2\varphi/\partial t^2 = 0\)。波動方程式は
\(\Downarrow \quad \partial/\partial t = 0\)
これは静電場の Poisson 方程式である。
構造的な類似点と相違点の整理:
| Newton 重力の Poisson 方程式 | 静電場の Poisson 方程式 | |
|---|---|---|
| 方程式 | \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) | \(\nabla^2\varphi = -\rho_e/\varepsilon_0\) |
| ソース | 質量密度 \(\rho\)（常に正） | 電荷密度 \(\rho_e\)（正負あり） |
| 力の符号 | 常に引力 | 引力・斥力の両方 |
| 結合定数 | \(4\pi G\)（正） | \(-1/\varepsilon_0\)（負） |
| 点ソースの解 | \(\Phi = -GM/r\) | \(\varphi = q/(4\pi\varepsilon_0 r)\) |
類似点:
- 両方とも \(\nabla^2(\cdot) = (\text{ソース})\) という同じ数学的構造（楕円型偏微分方程式）を持つ
- 点ソースに対して \(1/r\) 型のポテンシャルを与える（逆二乗法則）
- 重ね合わせの原理が成り立つ（線形方程式）
- 時間微分を含まず、ソースの変化が瞬時に伝わる
相違点:
- 符号が逆：重力は常に引力、静電力は同符号で斥力・異符号で引力
- 静電場の Poisson 方程式は、より基本的な波動方程式の静的極限として得られる。一方、Newton の Poisson 方程式には対応する「親」の波動方程式が Newton 理論の枠内には存在しない（一般相対論が必要）
- 電磁気学では動的な場合に波動方程式に拡張され、電磁波が光速で伝播する。Newton 重力にはこの自然な拡張がない
Advanced（発展）¶
A-1. スカラー重力理論の試み¶
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(a) 分散関係の導出¶
\(c_g = c\) とし、ソースなし (\(\rho = 0\)) の方程式
に平面波解 \(\Phi = \Phi_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\) を代入する。
各微分を計算すると：
代入して
\(\Phi \neq 0\) より
これは質量ゼロの場（光子と同じ）の分散関係であり、位相速度・群速度ともに \(c\) である。重力の変化は光速で伝播する。
検算: 電磁波の分散関係 \(\omega = c|\mathbf{k}|\) と同じ形であり、波動方程式の構造が同じなので当然一致する。✓
(b) スカラー重力理論の限界¶
この修正により瞬時伝播の問題は解消されるが、スカラーポテンシャル \(\Phi\) だけで重力を記述する理論には以下の深刻な問題がある。
1. ソースの問題:
特殊相対論では、エネルギーと運動量は 4 元運動量 \(p^\mu = (E/c,\,\mathbf{p})\) として統一される。さらに、連続体の場合、ソースはエネルギー密度だけでなく、運動量密度、圧力、応力を含むエネルギー・運動量テンソル \(T^{\mu\nu}\)（2 階対称テンソル、独立成分 10 個）で記述される。
Newton 重力の \((\ast)\) 式では、ソースが質量密度 \(\rho\)（スカラー量）のみである。特殊相対論では \(\rho c^2\) はエネルギー密度に対応し、\(T^{00}\) 成分に過ぎない。\(T^{\mu\nu}\) の残りの成分（運動量フラックス、圧力、剪断応力）が重力のソースとして寄与しないことになり、Lorentz 変換に対して整合的でない。
2. 場の自由度の問題:
電磁気学では、場はベクトルポテンシャル \(A^\mu\)（4 成分）で記述され、ソースである電流密度 \(J^\mu\)（4 成分）と整合する。一般相対論では、場は計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)（対称 2 階テンソル、独立成分 10 個）で記述され、ソース \(T^{\mu\nu}\)（10 成分）と整合する。スカラー \(\Phi\)（1 成分）では \(T^{\mu\nu}\) の情報を十分に受け取れない。
3. 具体的な物理的帰結:
- スカラー理論では光の偏向が正しく予測できない（一般相対論の予測の半分しか得られない）
- 圧力が重力のソースにならないため、中性子星の構造や宇宙論的膨張の記述が不正確になる
- 重力波の偏極モードが正しく記述できない（スカラー波はスカラーモードのみ、一般相対論ではテンソルモード）
(c) \(c_g \to \infty\) の極限¶
\((\ast)\) 式において \(c_g \to \infty\) とすると
よって
これは「Newton 重力は重力の伝播速度が無限大の極限、すなわち \(c \to \infty\) の近似である」という主張と整合する。特殊相対論の効果が無視できる（\(v \ll c\)、\(GM/(Rc^2) \ll 1\)）状況では、\(c\) が事実上無限大とみなせるため、Poisson 方程式が良い近似となる。
検算: 次元解析で確認する。\((\ast)\) 式の各項の次元は \([\nabla^2\Phi] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/m^2} = \mathrm{s^{-2}}\)、\([\partial^2\Phi/(c_g^2\partial t^2)] = \mathrm{m^2\,s^{-2}/(m^2\,s^{-2}\cdot s^2)} = \mathrm{s^{-2}}\) で整合する。✓
A-2. 球殻定理と潮汐力¶
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球殻内部でポテンシャルが定数であることの導出¶
一様密度の球殻（内径 \(R_1\)、外径 \(R_2\)）を考える。内部空洞 (\(r < R_1\)) では \(\rho = 0\) なので
球対称性を仮定すると、動径方向のみの Laplace 方程式は
一般解は
境界条件: \(r = 0\) でポテンシャルが正則（有限）であるためには \(\alpha = 0\)。
定数 \(\beta\) の値は、\(r = R_1\) での球殻内面との接続条件から決まるが、空洞内部ではポテンシャルは一定である。
（具体的には、球殻の外部 (\(r > R_2\)) で \(\Phi = -GM_{\mathrm{shell}}/r\)、球殻内部 (\(R_1 < r < R_2\)) で Poisson 方程式を解き、\(r = R_1\) と \(r = R_2\) での接続条件を用いて \(\beta\) が決まる。結果は \(\beta = -GM_{\mathrm{shell}}/R_1\) ではなく、球殻の質量分布に応じた値になる。）
(a) 球殻内部の任意の位置での重力¶
空洞内部でポテンシャルが定数であるから
したがって、球殻の中心からわずかにずれた位置 \(\mathbf{r}_0\) に質量 \(m\) の物体を置いても、物体に働く重力はゼロである。
これは Newton の球殻定理の帰結である。物理的には、ずれた位置から見ると近い側の殻は近いが面積（立体角）が小さく、遠い側の殻は遠いが面積が大きい。\(1/r^2\) の法則と立体角の効果が正確に打ち消し合い、正味の力がゼロになる。
(b) 楕円体変形した場合の空洞内部の重力場と潮汐力¶
球殻が完全な球対称からわずかに楕円体に変形している場合、球殻定理の前提（球対称性）が崩れる。
空洞内部のポテンシャル:
変形が小さい場合、ポテンシャルを球対称部分と摂動に分解できる：
ここで \(\Phi_0\) は定数（球対称部分）、\(\delta\Phi(\mathbf{r})\) は変形による補正で、空間的に一様ではない。楕円体変形の場合、\(\delta\Phi\) は典型的に \(r^2\) に比例する 2 次の項（球面調和関数 \(Y_2^m\) の形）を含む。具体的には、空洞内部で \(\nabla^2(\delta\Phi) = 0\) を満たし、かつ \(r = 0\) で正則な解は
の形をとる。楕円体変形（\(\ell = 2\) モード）が支配的な場合、
となる。
空洞内部の重力場:
ポテンシャルが一定でなくなるため、空洞内部に非ゼロの重力場が生じる。\(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\) の場合、\(\mathbf{g} = -\nabla(\delta\Phi)\) は位置 \(\mathbf{r}\) に線形に依存する。すなわち、空洞内の異なる点で重力場の方向・大きさが異なる。
潮汐力との関係:
潮汐力とは、重力場の空間的な不均一性——すなわち重力場が場所によって異なること——に起因する力である。2 つの近接した質点が異なる重力加速度を受けるとき、その差が潮汐力として観測される。
Newton 重力において、潮汐力は重力ポテンシャルの 2 階微分で特徴づけられる。潮汐テンソル (tidal tensor) を
と定義する。これは重力場の空間変化率（重力場の勾配）を表す。
- 完全球対称の球殻: 空洞内で \(\Phi = \text{const}\) なので \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j = 0\)。潮汐テンソルはゼロであり、潮汐力は存在しない。
- 楕円体変形した球殻: \(\delta\Phi \propto r^2 Y_2^m\) のような項が現れると、\(\partial^2(\delta\Phi)/\partial x^i\partial x^j \neq 0\)（定数テンソル）となる。空洞内に一様な潮汐力が生じる。
具体的には、楕円体の長軸方向には引き伸ばし（\(T_{ij}\) の固有値が正）、短軸方向には圧縮する力（\(T_{ij}\) の固有値が負）が働く。これは地球上で月の重力が引き起こす海洋潮汐と本質的に同じメカニズムである。
潮汐テンソルのトレースに関する制約:
空洞内で \(\rho = 0\) なので Poisson 方程式 \(\nabla^2\Phi = 0\) が成り立つ。これは
を意味する。すなわち、潮汐テンソルはトレースレス（traceless）であり、潮汐力は体積を保存する変形（引き伸ばしと圧縮が釣り合う）のみを引き起こす。
一般相対論との対応:
一般相対論では、潮汐力は時空の曲率として記述される。具体的には、Riemann 曲率テンソル \(R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\) が測地線偏差方程式（geodesic deviation equation）
を通じて、近接する 2 本の測地線の相対加速度（= 潮汐力）を与える。ここで \(\xi^\alpha\) は測地線間の偏差ベクトル、\(u^\beta\) は 4 元速度である。
Newton 極限（弱い重力場、低速）では、この方程式は
に帰着する。したがって、Newton 重力における潮汐テンソル \(\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j\) は、Riemann テンソルの特定の成分 \(R^0{}_{i0j}\)（の Newton 極限）に対応する。
また、真空中のトレースレス条件 \(\nabla^2\Phi = 0\)（\(\Leftrightarrow T_{ii} = 0\)）は、一般相対論における真空の Einstein 方程式 \(R_{\mu\nu} = 0\)（Ricci テンソルがゼロ）に対応する。Riemann テンソル自体はゼロでなくても（潮汐力は存在しても）、そのトレース部分（Ricci テンソル）がゼロであるという条件が、真空中の重力場の性質を規定している。
検算: 空洞内で \(\rho = 0\) なので \(\nabla^2\Phi = 0\)、すなわち \(T_{ii} = 0\)。潮汐力は体積を保存する（引き伸ばしと圧縮が釣り合う）。これは一般相対論で真空中の Ricci テンソル \(R_{\mu\nu} = 0\) に対応し、整合的である。✓
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