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Appendix A 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 偏微分の基本計算

\(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y\) のとき、\(\frac{\partial f}{\partial x}\) と \(\frac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ。

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B-2. \(1/r\) の偏微分

\(\Phi(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\) のとき、\(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\) を求めよ。（ヒント：\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) とおくと \(\Phi = 1/r\)）

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B-3. 混合偏微分の可換性

\(f(x, y) = e^{x}\sin y\) のとき、\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) と \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) を計算し、両者が等しいことを確認せよ。

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B-4. 勾配と等高線

\(\Phi(x, y) = x^2 + y^2\) の勾配 \(\nabla\Phi\) を求め、点 \((1, 2)\) での勾配ベクトルを計算せよ。このベクトルが等高線 \(\Phi = \text{const}\) に垂直であることを確認せよ。

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B-5. 温度分布の勾配

2次元平面上の温度分布が \(T(x, y) = 100 - x^2 - 4y^2\) で与えられている。点 \((1, 1)\) における温度の勾配 \(\nabla T\) を求め、温度が最も急に上昇する方向を答えよ。

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B-6. 線形ベクトル場の発散

\(\mathbf{V} = (x, y, z)\) の発散 \(\nabla \cdot \mathbf{V}\) を計算せよ。

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B-7. 2 乗ベクトル場の発散

\(\mathbf{V} = (x^2, y^2, z^2)\) の発散を計算せよ。

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B-8. 回転場の発散

任意のベクトル場 \(\mathbf{A}\) に対して、回転場 \(\nabla \times \mathbf{A}\) の発散がゼロであることを示せ。すなわち、

\[ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 \]

を証明せよ。

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B-9. 回転場の rot

\(\mathbf{V} = (-y, x, 0)\) の rot \(\nabla \times \mathbf{V}\) を計算せよ。この場は「渦」を持つか？

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B-10. \((yz, xz, xy)\) の rot

\(\mathbf{V} = (yz, xz, xy)\) の rot を計算せよ。

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B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) の確認

\(\mathbf{V} = \nabla\Phi\)（\(\Phi = x^2 + y^2 + z^2\)）の rot を計算し、\(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) を確認せよ。

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B-12. 一様磁場のベクトルポテンシャル

一様磁場 \(\mathbf{B} = B\hat{z}\) に対するベクトルポテンシャル \(\mathbf{A} = \frac{B}{2}(-y,\, x,\, 0)\) について、各成分のラプラシアン \(\nabla^2 A_x\), \(\nabla^2 A_y\), \(\nabla^2 A_z\) を計算せよ。また、\(\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}\) が成り立つことを確認せよ。

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B-13. \(x^2 - y^2\) のラプラシアン

\(\Phi(x, y) = x^2 - y^2\) のラプラシアン \(\nabla^2\Phi\) を計算せよ。この関数は Laplace 方程式 \(\nabla^2\Phi = 0\) を満たすか？

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B-14. \(e^x \cos y\) のラプラシアン

\(\Phi(x, y) = e^x \cos y\) が Laplace 方程式を満たすことを確認せよ。

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B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) のラプラシアン

2次元スカラー場 \(f(x,y) = \sin(kx)\sin(ly)\) に対して、ラプラシアン \(\nabla^2 f\) を計算せよ。

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B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

\(\mathbf{A} = (xy, yz, zx)\) について、\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\) を計算し、ゼロになることを確認せよ。

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B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

\(\Phi = xyz\) について、\(\nabla \times (\nabla\Phi)\) を計算し、ゼロになることを確認せよ。

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B-18. 平面波が波動方程式を満たすこと

\(f(x, t) = A\sin(kx - \omega t)\) が波動方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\) を満たすことを確認し、\(v = \omega/k\) であることを示せ。

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B-19. 複素指数波が波動方程式を満たすこと

\(f(x, t) = e^{i(kx - \omega t)}\) が波動方程式を満たすことを確認せよ。（\(i\) は虚数単位）

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B-20. 偏微分方程式の分類

次の偏微分方程式を双曲型・放物型（拡散型）・楕円型に分類せよ。

  • (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
  • (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)

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Medium（標準）

M-1. 拡散方程式の解の確認

拡散方程式

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

に対して、解の形 \(u(x, t) = e^{ikx - \alpha t}\) を代入し、\(\alpha\) を \(D\) と \(k\) で表せ。

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M-2. 重力ポテンシャルの勾配

\(\Phi(x, y, z) = -\frac{GM}{r}\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)）の勾配を計算し、\(\nabla\Phi = \frac{GM}{r^3}(x, y, z) = \frac{GM}{r^2}\hat{r}\) となることを示せ。（第1章の重力ポテンシャル）

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M-3. Coulomb 電場の発散がゼロ

\(\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3}\)（\(\mathbf{r} = (x, y, z)\), \(r = |\mathbf{r}|\)）について、\(r \neq 0\) の領域で \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) であることを示せ。（ヒント：\(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r^3} = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}\)）

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M-4. \(1/r\) のラプラシアン

\(\Phi(r) = 1/r\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), \(r \neq 0\)）が \(\nabla^2\Phi = 0\) を満たすことを、球座標のラプラシアン \(\nabla^2\Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d\Phi}{dr})\) を使って確認せよ。（第1章の練習問題 1.3 と関連）

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M-5. d'Alembert 解 \(g(x - vt)\)

\(f(x, t) = g(x - vt)\)（\(g\) は任意の2回微分可能な関数）が波動方程式を満たすことを、連鎖律を使って示せ。

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M-6. 定在波の分解

波動方程式の解 \(f(x, t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\) が定在波（standing wave）であることを確認せよ。これは右に進む波と左に進む波の重ね合わせとして書けることを、三角関数の積和公式を使って示せ。

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M-7. 弦の振動モードの境界条件

弦（長さ \(L\)、両端固定）の振動を記述する波動方程式の境界条件 \(f(0, t) = f(L, t) = 0\) を満たす解が \(f_n(x, t) = A_n \sin(n\pi x/L)\cos(\omega_n t)\)（\(\omega_n = n\pi v/L\)）であることを確認せよ。（第14章の弦の振動モードの準備）

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Advanced（発展）

A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) の恒等式

電場が \(\mathbf{E} = (E_x(x,y,z),\, 0,\, 0)\) の形をもつ場合について、ベクトル恒等式

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \]

が成り立つことを、各辺を成分ごとに計算して直接示せ。

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