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Appendix A 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 偏微分の基本計算

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B-2. \(1/r\) の偏微分

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B-3. 混合偏微分の可換性

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B-4. 勾配と等高線

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B-5. 温度分布の勾配

発散（A.3）

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B-6. 線形ベクトル場の発散

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B-7. 2 乗ベクトル場の発散

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B-8. 回転場の発散

rot（A.4）

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B-9. 回転場の rot

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B-10. \((yz, xz, xy)\) の rot

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B-11. \(\nabla \times (\nabla\Phi) = 0\) の確認

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B-12. 一様磁場のベクトルポテンシャル

ラプラシアン（A.5）

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B-13. \(x^2 - y^2\) のラプラシアン

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B-14. \(e^x \cos y\) のラプラシアン

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B-15. \(\sin(kx)\sin(ly)\) のラプラシアン

ベクトル恒等式（A.6）

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B-16. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0\)

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B-17. \(\nabla\times(\nabla\Phi) = 0\)（\(\Phi = xyz\)）

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B-18. 平面波が波動方程式を満たすこと

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B-19. 複素指数波が波動方程式を満たすこと

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B-20. 偏微分方程式の分類

  • (a) \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (b) \(\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
  • (c) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\rho(x,y)\)
  • (d) \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\)

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Medium（標準）

M-1. 拡散方程式の解の確認

勾配（A.2）

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M-2. 重力ポテンシャルの勾配

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M-3. Coulomb 電場の発散がゼロ

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M-4. \(1/r\) のラプラシアン

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M-5. d'Alembert 解 \(g(x - vt)\)

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M-6. 定在波の分解

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M-7. 弦の振動モードの境界条件

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Advanced（発展）

A-1. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})\) の恒等式

波動方程式と 2 階偏微分方程式（A.7）

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