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Appendix D 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Lagrangian からの正準運動量の計算

次の Lagrangian に対して、正準運動量 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) を求めよ。

(a)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}k q^2 \]

(b)

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

について、\(p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\) と \(p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\) をそれぞれ求めよ。

(c)

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + e\dot{q}A(q) - e\phi(q) \]

ここで \(A(q)\) はベクトルポテンシャル (vector potential)、\(\phi(q)\) はスカラーポテンシャル (scalar potential)、\(e\) は電荷である。

ヒント

正準運動量の定義式 (D.12) \(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\) をそのまま適用する。\(\dot{q}\) について偏微分するとき、\(q\) は定数として扱うこと。(c) では \(A(q)\) は \(\dot{q}\) に依存しないことに注意。

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B-2. Legendre 変換による Hamiltonian の構成

ドリル D1 の各 Lagrangian に対して、Hamiltonian \(H(q, p) = p\dot{q} - L\) を \(q\) と \(p\) の関数として求めよ。ただし \(\dot{q}\) は \(p\) の定義式を逆に解いて消去すること。

(a) D1(a) の場合

(b) D1(b) の場合（\(H(r, \theta, p_r, p_\theta)\) を求めよ）

(c) D1(c) の場合

ヒント

D1 で求めた \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) を \(\dot{q}\) について解き、\(H = p\dot{q} - L\) に代入する。(b) では \(H = p_r\dot{r} + p_\theta\dot{\theta} - L\) であることに注意。

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B-3. Hamilton の正準方程式の適用

1 次元調和振動子の Hamiltonian

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 \]

に対して、Hamilton の正準方程式 (D.21) を書き下し、\(\dot{q}\) と \(\dot{p}\) を求めよ。さらに、\(\dot{q}\) の式を時間微分して \(\dot{p}\) の式と組み合わせることで、\(q\) に関する 2 階微分方程式を導き、それが調和振動子の運動方程式 \(m\ddot{q} = -m\omega^2 q\) と一致することを確認せよ。

ヒント

\(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\), \(\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}\) をそれぞれ計算する。\(\dot{q} = p/m\) を時間微分すると \(\ddot{q} = \dot{p}/m\) となるので、\(\dot{p}\) を代入する。

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B-4. Euler-Lagrange 方程式の直接適用

次の Lagrangian に対して、Euler-Lagrange 方程式 (D.9) を書き下し、運動方程式を求めよ。

(a) 自由粒子：\(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2\)

(b) 重力場中の粒子：\(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mgq\)（\(g\) は重力加速度）

(c) 一般の 1 次元ポテンシャル：\(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\)

ヒント

\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) と \(\frac{\partial L}{\partial q}\) をそれぞれ計算し、\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\) に代入する。(b) では \(\frac{\partial}{\partial q}(mgq) = mg\) であることに注意。

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B-5. エネルギー保存の直接確認

1 次元調和振動子の Hamiltonian（D3 と同じ）に対して、\(\frac{dH}{dt}\) を連鎖律（チェインルール）で展開し、Hamilton の正準方程式を代入して \(\frac{dH}{dt} = 0\) を示せ。本文の式 (D.25) の計算を自分の手で再現すること。

ヒント

\(\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}\) と書き、D3 で求めた \(\dot{q}\), \(\dot{p}\) および \(\frac{\partial H}{\partial q}\), \(\frac{\partial H}{\partial p}\) を代入する。

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B-6. 作用の具体的計算

自由粒子（\(V = 0\)）が時刻 \(t_1 = 0\) に位置 \(q_A = 0\)、時刻 \(t_2 = T\) に位置 \(q_B = d\) に到達する場合を考える。経路として等速直線運動 \(q(t) = \frac{d}{T}t\) を仮定し、作用

\[ S[q] = \int_0^T \frac{1}{2}m\dot{q}^2\, dt \]

を計算せよ。

ヒント

等速直線運動では \(\dot{q} = d/T\) が定数であることを利用する。定数の積分は簡単に実行できる。

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B-7. 変分の計算練習

自由粒子の作用（D6 と同じ設定）に対して、等速直線運動の経路 \(q_0(t) = \frac{d}{T}t\) からの微小なずれ \(\delta q(t) = \epsilon \sin\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\)（\(\epsilon\) は微小パラメータ）を加えた経路 \(q(t) = q_0(t) + \delta q(t)\) を考える。

(a) \(\delta q(t)\) が端点条件 \(\delta q(0) = \delta q(T) = 0\) を満たすことを確認せよ。

(b) \(S[q_0 + \delta q]\) を \(\epsilon\) の 2 次まで計算し、\(S[q_0 + \delta q] - S[q_0]\) が \(\epsilon\) の 1 次の項を持たないことを確認せよ。

ヒント

\(\dot{q} = \dot{q}_0 + \epsilon\frac{\pi}{T}\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\) を \(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\) に代入して展開する。\(\int_0^T \cos^2\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)dt = T/2\) を使うとよい。\(\epsilon\) の 1 次の項が消えることが「停留」の意味である。

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B-8. Poisson (ポアソン) 括弧の計算

本文 D.6 節（本文抜粋の範囲外だが定義を以下に示す）で導入される Poisson 括弧は次のように定義される：

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \sum_j \left(\frac{\partial A}{\partial q_j}\frac{\partial B}{\partial p_j} - \frac{\partial A}{\partial p_j}\frac{\partial B}{\partial q_j}\right) \]

1 自由度の場合について、以下を計算せよ。

(a) \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(b) \(\{q, q\}_{\mathrm{PB}}\) および \(\{p, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(c) \(\{q^2, p\}_{\mathrm{PB}}\)

(d) \(\{q, p^2\}_{\mathrm{PB}}\)

ヒント

定義式に \(A\), \(B\) を代入して偏微分を計算する。例えば (a) では \(A = q\), \(B = p\) として \(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial q}{\partial p} = 0\) 等を使う。

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Medium（標準）

M-1. 2 次元極座標における Euler-Lagrange 方程式の導出

質量 \(m\) の粒子が 2 次元平面内で中心力ポテンシャル \(V(r)\) のもとで運動する場合を考える。極座標 \((r, \theta)\) での Lagrangian は

\[ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) \]

である。

(a) \(r\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出し、その物理的意味（動径方向の運動方程式）を説明せよ。

(b) \(\theta\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出し、\(\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0\) が角運動量の保存を意味することを説明せよ。

(c) この結果を Newton の運動方程式の極座標表示と比較し、Lagrangian 形式の利点を述べよ。

ヒント

(a) \(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}\), \(\frac{\partial L}{\partial r} = mr\dot{\theta}^2 - V'(r)\) を計算する。(b) \(L\) が \(\theta\) に陽に依存しないことに注目する——\(\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\) のとき Euler-Lagrange 方程式は何を意味するか？ (c) Newton 形式では極座標の加速度成分（遠心力項やコリオリ力項）を個別に導入する必要があることと比較する。

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M-2. Legendre 変換の逆変換

Legendre 変換が「情報を保存する」ことを以下の手順で確認せよ。

(a) 1 自由度の Hamiltonian \(H(q, p)\) から出発して、\(\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}\) を \(p\) について逆に解くことで \(p = p(q, \dot{q})\) を得る手続きを説明せよ。

(b) 逆 Legendre 変換 \(L(q, \dot{q}) = p\dot{q} - H(q, p)\)（\(p\) を \(q, \dot{q}\) で表したもの）を定義し、1 次元調和振動子の Hamiltonian \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) から出発して \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) を復元せよ。

(c) 一般に、Legendre 変換を 2 回適用すると元の関数に戻ることを示せ（対合性の証明）。

ヒント

(a) \(\dot{q} = \partial H/\partial p\) は \(p\) の陰関数方程式である。(b) \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) から \(\dot{q} = p/m\)、よって \(p = m\dot{q}\) を代入する。(c) \(L \xrightarrow{\text{Legendre}} H \xrightarrow{\text{Legendre}} L'\) として \(L' = L\) を示す。\(\frac{\partial H}{\partial p}\) の定義に戻って計算する。

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M-3. 位相空間における調和振動子の軌道

1 次元調和振動子の Hamilton の正準方程式

\[ \dot{q} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -m\omega^2 q \]

を考える。

(a) この連立微分方程式を解き、一般解 \(q(t)\), \(p(t)\) を初期条件 \(q(0) = q_0\), \(p(0) = p_0\) で表せ。

(b) 解から \(t\) を消去し、位相空間 (phase space) \((q, p)\) 上の軌道が楕円

\[ \frac{q^2}{q_0^2 + p_0^2/(m\omega)^2} + \frac{p^2}{(m\omega)^2 q_0^2 + p_0^2} = 1 \]

の形になることを示せ（ただし適切にエネルギー \(E\) を用いて整理してよい）。

(c) エネルギー \(E = H(q_0, p_0)\) を用いて楕円の方程式を

\[ \frac{m\omega^2 q^2}{2E} + \frac{p^2}{2mE} = 1 \]

と書き直し、楕円の長軸・短軸の長さをそれぞれ \(E\), \(m\), \(\omega\) で表せ。

ヒント

(a) \(\ddot{q} = \dot{p}/m = -\omega^2 q\) より \(q(t) = q_0\cos\omega t + \frac{p_0}{m\omega}\sin\omega t\)。\(p(t) = m\dot{q}(t)\) で求まる。(b) \(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t = 1\) を利用する。(c) \(E = \frac{p_0^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q_0^2\) を代入する。

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M-4. Poisson 括弧と Hamilton の運動方程式

任意の力学変数 \(A(q, p, t)\) の時間発展が Poisson 括弧を用いて

\[ \frac{dA}{dt} = \{A, H\}_{\mathrm{PB}} + \frac{\partial A}{\partial t} \]

と書けることを示せ。さらに、\(A = q_j\) および \(A = p_j\) を代入して Hamilton の正準方程式 (D.21) が再現されることを確認せよ。

ヒント

\(\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial A}{\partial p_j}\dot{p}_j + \frac{\partial A}{\partial t}\) に Hamilton の正準方程式を代入する。Poisson 括弧の定義と比較せよ。

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M-5. 正準量子化：交換関係の確認

正準量子化のレシピでは、古典的な Poisson 括弧を次のように交換関係に置き換える：

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}] \]

(a) \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\)（D8(a) の結果）から、正準交換関係 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) を導け。

(b) 1 次元調和振動子の Hamiltonian \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{q}^2\) に対して、Heisenberg (ハイゼンベルク) の運動方程式

\[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}] \]

を \(\hat{A} = \hat{q}\) および \(\hat{A} = \hat{p}\) に適用し、Hamilton の正準方程式の演算子版

\[ \frac{d\hat{q}}{dt} = \frac{\hat{p}}{m}, \qquad \frac{d\hat{p}}{dt} = -m\omega^2\hat{q} \]

が得られることを示せ。

ヒント

(a) 置き換えルールを \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\) に直接適用する。(b) \([\hat{q}, \hat{p}^2] = [\hat{q}, \hat{p}]\hat{p} + \hat{p}[\hat{q}, \hat{p}] = 2i\hbar\hat{p}\) という交換関係の公式を使う。同様に \([\hat{p}, \hat{q}^2]\) も計算する。

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Advanced（発展）

A-1. 電磁場中の荷電粒子の正準量子化

電磁場中の荷電粒子（電荷 \(e\)、質量 \(m\)）の Lagrangian は

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) - e\phi(\mathbf{r}, t) \]

で与えられる。ここで \(\mathbf{A}\) はベクトルポテンシャル、\(\phi\) はスカラーポテンシャルである。

(a) 正準運動量 \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\) を求め、それが通常の力学的運動量 \(m\dot{\mathbf{r}}\) と異なることを示せ。

(b) Hamiltonian \(H(\mathbf{r}, \mathbf{p})\) を導出し、

\[ H = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} + e\phi \]

となることを示せ。

(c) 正準量子化のレシピ \(\mathbf{r} \to \hat{\mathbf{r}}\), \(\mathbf{p} \to \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\) を適用して、電磁場中の Schrödinger (シュレーディンガー) 方程式

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla - e\mathbf{A})^2\Psi + e\phi\,\Psi \]

を書き下せ。

(d) ゲージ変換 \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(\phi \to \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) のもとで、波動関数が \(\Psi \to \Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\) と変換されることを示し、物理的な観測量（確率密度 \(|\Psi|^2\) など）がゲージ不変であることを確認せよ。

ヒント

(a) \(\frac{\partial}{\partial \dot{r}_i}\left(e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\right) = eA_i\) に注意。(b) \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\) で \(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\) を代入する。(c) \(\hat{\mathbf{p}}\) を位置表示 \(-i\hbar\nabla\) に置き換える。(d) \(\Psi' = e^{ie\chi/\hbar}\Psi\) を Schrödinger 方程式に代入し、\(\nabla\Psi'\) を計算するとき \(\nabla(e^{ie\chi/\hbar}) = \frac{ie}{\hbar}(\nabla\chi)e^{ie\chi/\hbar}\) を使う。

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A-2. Noether (ネーター) の定理：対称性から保存則へ

Lagrangian \(L(q_j, \dot{q}_j)\) が無限小変換 \(q_j \to q_j + \epsilon\, \eta_j(q, \dot{q}, t)\)（\(\epsilon\) は微小パラメータ）のもとで不変である（\(\delta L = 0\)）とき、以下を示せ。

(a) 作用の変分 \(\delta S = 0\) の条件から、保存量（Noether (ネーター) チャージ）

\[ Q = \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\,\eta_j \]

が \(\frac{dQ}{dt} = 0\) を満たすことを導け。

(b) \(L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - V(r)\)（\(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)）に対して、\(z\) 軸まわりの回転の不変性（\(x \to x - \epsilon y\), \(y \to y + \epsilon x\), \(z \to z\)）から角運動量の \(z\) 成分 \(L_z = m(x\dot{y} - y\dot{x})\) が保存することを示せ。

(c) Lagrangian が時間並進 \(t \to t + \epsilon\) に対して不変である場合（\(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)）、対応する保存量がエネルギー（Hamiltonian）\(H = \sum_j p_j\dot{q}_j - L\) であることを示せ。

ヒント

(a) \(\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_j}\epsilon\eta_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\epsilon\dot{\eta}_j = 0\) に Euler-Lagrange 方程式を代入して \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\eta_j\right)\) の形にまとめる。(b) \(\eta_x = -y\), \(\eta_y = x\), \(\eta_z = 0\) を (a) の結果に代入する。(c) 時間並進の場合は端点の変分も考慮する必要がある。\(\delta q_j = \dot{q}_j\epsilon\) として計算するか、\(\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j\) を Euler-Lagrange 方程式で書き換える方法もある。

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