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Appendix D 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 質量次元の決定（Yukawa 相互作用）

Yukawa (湯川) 相互作用の Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L}_{\text{int}} = -g\,\bar{\psi}\psi\,\phi \]

である。ここで \(\psi\) は Dirac 場、\(\phi\) はスカラー場である。結合定数 \(g\) の質量次元 \([g]\) を求めよ。

ヒント

\([\mathcal{L}] = 4\) であること、\([\psi] = 3/2\)、\([\phi] = 1\) を使う。

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B-2. 質量次元の決定（6 次元時空のスカラー場）

\(d\) 次元時空における実スカラー場の自由 Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

である。\(d = 6\) の場合にスカラー場 \(\phi\) の質量次元 \([\phi]\) を求めよ。さらに、\(\phi^3\) 相互作用 \(\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{g}{3!}\phi^3\) の結合定数 \(g\) の質量次元を求めよ。

ヒント

\(d\) 次元では \([d^d x] = -d\)、\([S] = 0\) より \([\mathcal{L}] = d\)。運動項から \([\phi]\) を決定し、相互作用項に代入する。

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B-3. Feynman パラメータの直接計算

Feynman パラメータの基本公式 (D.24) を用いて、以下の式を Feynman パラメータ表示に書き換えよ：

\[ \frac{1}{(k^2 - m^2)((k+q)^2 - m^2)} \]

さらに、\(\ell = k + (1-x)q\) と変数変換し、分母を \(\ell^2 - \Delta\) の形に整理せよ。\(\Delta\) を \(m\), \(q^2\), \(x\) で表せ。

ヒント

\(A = k^2 - m^2\)、\(B = (k+q)^2 - m^2\) として式 (D.24) を適用する。平方完成のコツは「\(\ell\) の 1 次の項が消えるように」変数変換すること。

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B-4. Wick 回転の符号

以下の Minkowski 空間の量を Wick 回転 \(\ell_0 = i\ell_0^E\) によって Euclid 空間の量に書き換えよ：

(a) \(\ell^2 = \ell_0^2 - \vec{\ell}^{\,2}\)

(b) \(d^4\ell\)

(c) \(\displaystyle\frac{1}{(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)^3}\)

各ステップで符号と \(i\) の因子を明示すること。

ヒント

(a) \(\ell_0 = i\ell_0^E\) を代入する。(b) \(d\ell_0 = i\,d\ell_0^E\) を使う。(c) (a) の結果を代入し、\((-1)^3\) を処理する。\(i\varepsilon\) は Euclid 空間では不要になる。

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B-5. 4 次元球面の立体角

\(d\) 次元 Euclid 空間における単位球面の面積（立体角）は

\[ \Omega_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)} \]

で与えられる。\(d = 2, 3, 4\) の場合にそれぞれ \(\Omega_d\) を計算し、既知の結果（\(2\pi\), \(4\pi\), \(2\pi^2\)）と一致することを確認せよ。

ヒント

\(\Gamma(1) = 1\), \(\Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), \(\Gamma(2) = 1\) を使う。

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B-6. \(2\pi\) の因子の確認

4 次元の Fourier 変換の規約

\[ f(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\;\tilde{f}(p)\,e^{ipx}, \qquad \tilde{f}(p) = \int d^4x\;f(x)\,e^{-ipx} \]

が整合的であることを確かめよ。すなわち、\(\tilde{f}(p)\) の表式を \(f(x)\) の表式に代入し、\(f(x)\) が恒等的に再現されることを示せ。

ヒント

\(\int d^4x'\,e^{i(p-p')\cdot x'} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p - p')\) を使う。

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B-7. Feynman パラメータの一般公式（\(n = 3\)）

3 つの因子 \(A_1, A_2, A_3\) に対する Feynman パラメータの公式 (D.25) を書き下し、デルタ関数を使って \(x_3\) を消去した形に書き直せ。積分領域がどのような形になるか図示（言葉で記述）せよ。

ヒント

\(\delta(1 - x_1 - x_2 - x_3)\) で \(x_3 = 1 - x_1 - x_2\) と置く。\(x_1, x_2 \geq 0\) かつ \(x_1 + x_2 \leq 1\) の領域は三角形。

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B-8. 質量次元による発散の見積もり

4 次元時空において、以下のループ積分の表面的発散次数 (superficial degree of divergence) を質量次元の議論から求めよ：

(a) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{k^2 - m^2}\)

(b) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2)^2}\)

(c) \(\displaystyle\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{k^2}{(k^2 - m^2)^3}\)

ヒント

\(k \to \infty\) での被積分関数の振る舞いを調べる。\(d^4k \sim k^3 dk\) であることに注意。被積分関数が \(k^n\) のように振る舞うとき、\(n + 3 \geq -1\)（すなわち \(n \geq -4\)）なら発散する。

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Medium（標準）

M-1. Feynman パラメータを用いた 1 ループ積分の完全な整理

\(\phi^3\) 理論（質量 \(m\) のスカラー場、結合定数 \(g\)）における 1 ループ自己エネルギー図は、外部運動量 \(p\) に対して以下の積分を含む：

\[ \Sigma(p^2) = \frac{g^2}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\;\frac{1}{(k^2 - m^2 + i\varepsilon)((k-p)^2 - m^2 + i\varepsilon)} \]

以下の手順に従って計算を進めよ：

(a) Feynman パラメータ \(x\) を導入し、分母を一つにまとめよ。

(b) 運動量を \(\ell = k - (1-x)p\) に変数変換し、\(\Delta\) を \(m^2\), \(p^2\), \(x\) で表せ。

(c) Wick 回転を実行し、Euclid 空間での積分に書き換えよ。

(d) 4 次元球座標を用いて角度積分を実行し、動径方向の 1 次元積分に帰着させよ。この積分が対数発散することを示せ。

ヒント

(d) で \(\int_0^\Lambda d\ell_E\;\ell_E^3 / (\ell_E^2 + \Delta)^2\) を計算する。\(\ell_E \gg \sqrt{\Delta}\) で被積分関数が \(\sim 1/\ell_E\) となることから対数発散が分かる。

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M-2. Wick 回転の正当性の確認

\(\ell_0\) 複素平面上で、以下を示せ：

(a) Feynman 伝播関数の \(i\varepsilon\) 処方により、\(1/(\ell^2 - \Delta + i\varepsilon)\) の \(\ell_0\) に関する極が第 2 象限と第 4 象限に位置することを示せ（\(\Delta > 0\) と仮定する）。

(b) \(\ell_0\) の積分経路を実軸から虚軸に反時計回りに 90° 回転させるとき、閉じた経路（四分円弧）上で被積分関数が十分速くゼロに減衰し、弧の部分の寄与が消えることを論じよ。

(c) 以上から、Wick 回転が Cauchy (コーシー) の積分定理の帰結として正当化されることを説明せよ。

ヒント

(a) \(\ell_0^2 = \vec{\ell}^{\,2} + \Delta - i\varepsilon\) を解くと \(\ell_0 = \pm(\omega - i\varepsilon')\)（\(\omega > 0\)）。正の極は実軸のわずか下（第 4 象限側）、負の極は実軸のわずか上（第 2 象限側）。(b) 四分円弧上で \(|\ell_0| \to \infty\) のとき分母が \(|\ell_0|^4\) で増大することを使う。

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M-3. 次元正則化の基本公式の導出

\(d\) 次元 Euclid 空間における以下の積分公式を導出せよ：

\[ \int \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(\ell_E^2 + \Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\;\frac{\Gamma(n - d/2)}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{\Delta^{n-d/2}} \]

導出の手順として：

(a) \(d\) 次元球座標を用いて角度積分を実行し、\(\Omega_d = 2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)\) を用いよ。

(b) 動径積分 \(\int_0^\infty d\ell_E\;\ell_E^{d-1}/(\ell_E^2 + \Delta)^n\) を、\(t = \ell_E^2/\Delta\) の変数変換でベータ関数 \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) に帰着させよ。

ヒント

(b) \(t = \ell_E^2 / \Delta\) とすると \(d\ell_E = \frac{\sqrt{\Delta}}{2\sqrt{t}}\,dt\)。被積分関数を \(t\) で書き直すと \(\int_0^\infty dt\;t^{d/2-1}/(1+t)^n\) の形になり、これはベータ関数 \(B(d/2, n - d/2)\) に等しい。

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M-4. 単位の復元と断面積の見積もり

QED において、\(e^+e^- \to \mu^+\mu^-\) の全断面積は重心系エネルギー \(\sqrt{s} \gg m_\mu\) の極限で

\[ \sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s} \]

と与えられる（\(\alpha = e^2/(4\pi) \approx 1/137\)）。

(a) 自然単位系で \(\sigma\) の質量次元が \(-2\) であることを確認せよ。

(b) \(\sqrt{s} = 10\ \text{GeV}\) のとき、式 (D.6) の変換因子を用いて \(\sigma\) を picobarn (pb) 単位で求めよ。

(c) ルミノシティ \(\mathcal{L} = 10^{33}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1}\) の加速器で 1 日に期待されるイベント数を見積もれ。

ヒント

(a) \([\alpha] = 0\), \([s] = 2\) より \([\sigma] = -2\)。(b) \(\sigma = \frac{4\pi}{3 \times 137^2 \times 100}\ \text{GeV}^{-2}\) を計算し、\(1\ \text{GeV}^{-2} = 0.3894\ \text{mb} = 3.894 \times 10^8\ \text{pb}\) で変換。(c) \(N = \sigma \mathcal{L} T\)。

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Advanced（発展）

A-1. 次元正則化における \(\gamma_5\) の問題と ABJ アノマリー

4 次元で定義される \(\gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\) は、\(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\)（\(\mu = 0,1,2,3\)）を満たす。しかし次元正則化で \(d = 4 - 2\epsilon\) 次元に解析接続すると、この反交換関係と \(\gamma^\mu\) のトレース公式の間に矛盾が生じる。

(a) 仮に \(d\) 次元でも \(\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0\) が全ての \(\mu\) について成り立つと仮定する。\(\text{Tr}[\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\) を計算する際に、\(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\) と \(\{\gamma_5, \gamma^\alpha\} = 0\) を組み合わせると矛盾が生じることを示せ。

(b) この矛盾を回避する 't Hooft–Veltman の処方（\(\gamma_5\) は 4 次元部分空間でのみ反交換する）の基本的なアイデアを説明し、この処方の下で三角ダイアグラム（AVV 頂点）のトレース計算がどのように修正されるかを定性的に論じよ。

(c) 以上の議論が ABJ (Adler–Bell–Jackiw) アノマリーの計算においてどのような物理的帰結をもたらすか、軸性カレント (axial current) の保存則の破れの観点から述べよ。

ヒント

(a) \(0 = \text{Tr}[\gamma_5\gamma^\alpha\gamma_\alpha\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma]\) を 2 通りで計算する。\(\gamma^\alpha\) を右に移動させて \(\gamma_5\) と反交換させる方法と、先に \(\gamma^\alpha\gamma_\alpha = d\) を使う方法を比較する。(b) 't Hooft–Veltman 処方では \(\gamma^\mu\) を 4 次元成分 \(\hat{\gamma}^\mu\) と \((d-4)\) 次元成分 \(\tilde{\gamma}^\mu\) に分解し、\(\gamma_5\) は \(\hat{\gamma}^\mu\) とのみ反交換する。(c) 正則化の手続きが軸性対称性を破り、有限のアノマリー項が残る。

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A-2. Feynman パラメータと Mellin–Barnes 表示の関係

高次ループ計算では、Feynman パラメータの積分が複雑になりすぎる場合がある。その代替手法として Mellin–Barnes (メリン・バーンズ) 表示 がある。

(a) 以下の恒等式を証明せよ：

\[ \frac{1}{(A + B)^n} = \frac{1}{\Gamma(n)}\;\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\;\Gamma(-s)\Gamma(n+s)\;\frac{A^s}{B^{n+s}} \]

ここで積分経路は \(\Gamma(-s)\) の極（\(s = 0, 1, 2, \ldots\)）を右に、\(\Gamma(n+s)\) の極（\(s = -n, -n-1, \ldots\)）を左に分離するように選ぶ。

(b) この表示を用いて、質量の異なる 2 つの伝播関数を含む 1 ループ積分

\[ I(p^2) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{(k^2 - m_1^2)((k-p)^2 - m_2^2)} \]

を Mellin–Barnes 積分として表現し、Feynman パラメータ表示と同等であることを確認せよ。

(c) \(m_1 = 0\), \(m_2 = m\), \(p^2 = -Q^2\)（\(Q^2 > 0\): 空間的運動量）の場合に、\(Q^2 \gg m^2\) の極限で Mellin–Barnes 表示の留数計算により \(I\) の漸近展開の最初の 2 項を求めよ。

ヒント

(a) 右辺を \(s\) の留数の和として評価し、\(\sum_{k=0}^\infty \binom{-n}{k}(A/B)^k \cdot 1/B^n\) の二項展開に帰着させる。(b) Feynman パラメータで \(\Delta\) を求めた後、\(\Delta\) 中の 2 項を Mellin–Barnes で分離する。(c) \(m^2/Q^2 \to 0\) の極限では \(s = 0, 1\) の留数が支配的。\(\Gamma\) 関数の極の残差と \(\psi\) 関数（ディガンマ関数）が現れる。

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