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第 1 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Planck 定数の小ささを実感する

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問題:

可視光の代表的な振動数を \(\nu = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) とする。光子 1 個のエネルギー \(E = h\nu\) を SI 単位 (J) で計算し、さらに電子ボルト (eV) に換算せよ。ただし \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)、\(1\;\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}\) とする。

解法の方針： \(E = h\nu\) に数値を代入し、J で求めた後 eV に換算する。

計算：

\[ E = h\nu = (6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}) \times (5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}) \]
\[ E = 6.626 \times 5.0 \times 10^{-34+14}\;\mathrm{J} = 33.13 \times 10^{-20}\;\mathrm{J} \]
\[ \boxed{E = 3.3 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}} \]

eV への換算：

\[ E\;[\mathrm{eV}] = \frac{3.313 \times 10^{-19}\;\mathrm{J}}{1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV}} = 2.07\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{E \simeq 2.1\;\mathrm{eV}} \]

検算： 可視光の光子エネルギーは 1.8〜3.1 eV 程度であり、2.1 eV は緑色付近に対応する。妥当な値である。

B-2. 仕事関数と閾値振動数

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問題:

ナトリウム (Na) の仕事関数は \(W = 2.28\;\mathrm{eV}\) である。光電効果が起こるための閾値振動数 \(\nu_0\) を求めよ。また、対応する閾値波長 \(\lambda_0\) を nm 単位で求めよ。ただし \(c = 3.00 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\) とする。

解法の方針： 閾値条件 \(h\nu_0 = W\) から \(\nu_0\) を求め、\(\lambda_0 = c/\nu_0\) で波長に換算する。

計算：

まず仕事関数を J に換算：

\[ W = 2.28\;\mathrm{eV} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV} = 3.653 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} \]

閾値振動数：

\[ \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{3.653 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz} \]
\[ \boxed{\nu_0 \simeq 5.51 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} \]

閾値波長：

\[ \lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.00 \times 10^8}{5.51 \times 10^{14}} = 5.44 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{\lambda_0 \simeq 544\;\mathrm{nm}} \]

検算： 544 nm は緑色の可視光に対応する。ナトリウムの光電効果の閾値が可視光領域にあることは実験事実と整合する。また \(hc/\lambda_0 = (6.626 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)/(5.44 \times 10^{-7}) = 3.65 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} = 2.28\;\mathrm{eV}\) で \(W\) と一致する。

B-3. 光電効果の運動エネルギー

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問題:

仕事関数 \(W = 4.50\;\mathrm{eV}\) の金属に、波長 \(\lambda = 200\;\mathrm{nm}\) の紫外光を照射した。飛び出す電子の最大運動エネルギー \(K\) を eV 単位で求めよ。

解法の方針： \(hc \simeq 1240\;\mathrm{eV \cdot nm}\) を用いて光子エネルギーを求め、\(K = E - W\) を計算する。

計算：

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\;\mathrm{eV \cdot nm}}{200\;\mathrm{nm}} = 6.20\;\mathrm{eV} \]
\[ K = E - W = 6.20 - 4.50 = 1.70\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{K = 1.70\;\mathrm{eV}} \]

検算： 光子エネルギー 6.20 eV は紫外光として妥当（波長 200 nm は真空紫外領域）。\(K > 0\) なので光電効果は起こる。次元も eV で整合している。

B-4. Rydberg 公式による波長計算

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問題:

Rydberg 公式 (1.6) を用いて、水素原子の Balmer (バルマー) 系列（\(n = 2\)）のうち、\(m = 3\) に対応するスペクトル線の波長 \(\lambda\) を nm 単位で求めよ。\(R_\infty = 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\) とする。

解法の方針： Balmer 系列 \(n=2\), \(m=3\) を Rydberg 公式に代入する。

計算：

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = R_\infty \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) \]
\[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 4}{36} = \frac{5}{36} \]
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.097 \times 10^7 \times 0.1389 = 1.524 \times 10^6\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.524 \times 10^6} = 6.56 \times 10^{-7}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{\lambda \simeq 656\;\mathrm{nm}} \]

検算： これは水素の H\(\alpha\) 線（赤色）として有名な値であり、実験値 656.3 nm とよく一致する。

B-5. Bohr の量子条件と軌道半径

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問題:

水素原子の Bohr モデルにおいて、電子の円運動の力のつり合い（Coulomb 力 = 向心力）は

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

で与えられる。Bohr の量子条件 \(m_e v r = n\hbar\) と組み合わせて、\(n\) 番目の軌道半径 \(r_n\) を \(n\), \(\hbar\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\) で表せ。

解法の方針： 量子条件から \(v\) を消去し、力のつり合いの式を \(r\) について解く。

計算：

Bohr の量子条件より：

\[ m_e v r = n\hbar \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{n\hbar}{m_e r} \]

力のつり合いに代入：

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]

\(r\) について解く：

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]
\[ r = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2\hbar^2}{m_e e^2} \]
\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2} \]

ここで \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\) は Bohr 半径である。

検算： 次元を確認する。\([4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\), \([\hbar^2] = \mathrm{J^2 \cdot s^2}\), \([m_e] = \mathrm{kg}\), \([e^2] = \mathrm{C^2}\) より、

\[ \frac{\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)} \cdot \mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{C^2}} = \frac{\mathrm{J^2 \cdot s^2}}{\mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg}} \]

\(\mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m}\), \(\mathrm{J \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{N \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2} \cdot m \cdot s^2 / (m \cdot kg)} = \mathrm{m}\)。次元は長さで正しい。

B-6. Bohr 半径の数値計算

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問題:

D5 の結果で \(n = 1\) とした値を Bohr 半径 \(a_0\) と呼ぶ。以下の定数を用いて \(a_0\) の値を有効数字 3 桁で計算せよ。

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\)
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\;\mathrm{kg}\)
  • \(e = 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{C}\)
  • \(4\pi\varepsilon_0 = 1.113 \times 10^{-10}\;\mathrm{C^2/(N \cdot m^2)}\)

解法の方針： \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\) に数値を代入する。

計算：

分子：

\[ 4\pi\varepsilon_0 \cdot \hbar^2 = (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.055 \times 10^{-34})^2 \]
\[ = (1.113 \times 10^{-10}) \times (1.113 \times 10^{-68}) \]
\[ = 1.239 \times 10^{-78}\;\mathrm{C^2 \cdot J \cdot s^2 / (N \cdot m^2)} \]

分母：

\[ m_e e^2 = (9.109 \times 10^{-31}) \times (1.602 \times 10^{-19})^2 \]
\[ = (9.109 \times 10^{-31}) \times (2.566 \times 10^{-38}) \]
\[ = 2.337 \times 10^{-68}\;\mathrm{kg \cdot C^2} \]

よって：

\[ a_0 = \frac{1.239 \times 10^{-78}}{2.337 \times 10^{-68}} = 0.530 \times 10^{-10}\;\mathrm{m} \]
\[ \boxed{a_0 \simeq 5.29 \times 10^{-11}\;\mathrm{m} \simeq 0.529\;\text{Å}} \]

検算： 文献値 \(a_0 = 5.292 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\) と一致する。原子の大きさ \(\sim 10^{-10}\;\mathrm{m}\) のオーダーとも整合する。

B-7. Planck 分布の極限

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問題:

Planck の平均エネルギーの公式

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \]

について、\(h\nu \ll k_B T\) の極限で \(\langle E \rangle \simeq k_B T\) となることを、\(e^x \simeq 1 + x\)（\(x \ll 1\)）の近似を用いて示せ。

解法の方針： \(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\) として指数関数を 1 次まで展開する。

計算：

\(x = h\nu/(k_B T) \ll 1\) とおくと：

\[ e^x \simeq 1 + x \]

よって分母は：

\[ e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq (1 + x) - 1 = x = \frac{h\nu}{k_B T} \]

したがって：

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{h\nu}{h\nu/(k_B T)} = k_B T \]
\[ \boxed{\langle E \rangle \simeq k_B T \quad (h\nu \ll k_B T)} \]

検算： これは古典的等分配則の結果（調和振動子の平均エネルギー \(k_B T\)）と一致する。Planck の公式が低振動数極限で古典論を再現することが確認できた。

B-8. Boltzmann 因子の比較

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問題:

温度 \(T = 6000\;\mathrm{K}\)（太陽表面の温度程度）において、以下の 2 つの振動数に対する Boltzmann 因子 \(e^{-h\nu / k_B T}\) をそれぞれ計算せよ。

(a) 可視光：\(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)

(b) 紫外光：\(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)

結果を比較し、高振動数モードが抑制される様子を確認せよ。

解法の方針： まず \(k_B T\) を計算し、各振動数に対して \(h\nu/(k_B T)\) を求め、Boltzmann 因子を評価する。

計算：

\[ k_B T = (1.38 \times 10^{-23})(6000) = 8.28 \times 10^{-20}\;\mathrm{J} \]

(a) 可視光 \(\nu_1 = 5.0 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)：

\[ h\nu_1 = (6.626 \times 10^{-34})(5.0 \times 10^{14}) = 3.31 \times 10^{-19}\;\mathrm{J} \]
\[ \frac{h\nu_1}{k_B T} = \frac{3.31 \times 10^{-19}}{8.28 \times 10^{-20}} = 4.00 \]
\[ e^{-h\nu_1/k_B T} = e^{-4.00} \simeq 0.018 \]
\[ \boxed{e^{-h\nu_1/k_B T} \simeq 1.8 \times 10^{-2}} \]

(b) 紫外光 \(\nu_2 = 3.0 \times 10^{15}\;\mathrm{Hz}\)：

\[ h\nu_2 = (6.626 \times 10^{-34})(3.0 \times 10^{15}) = 1.99 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \]
\[ \frac{h\nu_2}{k_B T} = \frac{1.99 \times 10^{-18}}{8.28 \times 10^{-20}} = 24.0 \]
\[ e^{-h\nu_2/k_B T} = e^{-24.0} \simeq 3.8 \times 10^{-11} \]
\[ \boxed{e^{-h\nu_2/k_B T} \simeq 3.8 \times 10^{-11}} \]

比較： 可視光の Boltzmann 因子は約 \(10^{-2}\)（小さいが無視できない）であるのに対し、紫外光では約 \(10^{-11}\)（事実上ゼロ）。振動数が 6 倍になっただけで、Boltzmann 因子は 9 桁も小さくなる。これが高振動数モードの抑制であり、紫外破綻が解消される物理的理由である。

検算： \(T = 6000\;\mathrm{K}\) は太陽表面温度であり、太陽光のスペクトルが可視光付近にピークを持ち紫外域で急減することと整合する。

Medium（標準）

M-1. Bohr モデルによる水素原子のエネルギー準位の導出

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問題:

水素原子の Bohr モデルにおいて、以下の手順でエネルギー準位 \(E_n\) を導出せよ。

(a) 電子の円運動の力のつり合い（Coulomb 力 = 向心力）と Bohr の量子条件 \(L = n\hbar\) を連立し、\(n\) 番目の軌道の半径 \(r_n\) と速度 \(v_n\) を求めよ。

(b) 電子の全エネルギー（運動エネルギー + Coulomb ポテンシャルエネルギー）を \(r_n\) で表し、

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{*} \]

を導け。

(c) 振動数条件 \(h\nu = E_m - E_n\) と \(c = \lambda\nu\) を用いて、Rydberg 公式 (1.6) を再現し、Rydberg 定数 \(R_\infty\) を基本定数で表せ。

(a) 軌道半径 \(r_n\) と速度 \(v_n\):

力のつり合い：

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \tag{i} \]

Bohr の量子条件：

\[ m_e v r = n\hbar \tag{ii} \]

(ii) より \(v = n\hbar/(m_e r)\) を (i) に代入：

\[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e}{r} \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]

\(r\) について解くと：

\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2} \]

\(r_n\) を (ii) に戻して \(v_n\) を求める：

\[ v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{n\hbar}{m_e \cdot a_0 n^2} = \frac{\hbar}{m_e a_0} \cdot \frac{1}{n} \]

\(a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)\) を代入すると：

\[ \boxed{v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}} \]

(b) エネルギー準位 \(E_n\):

運動エネルギー：

\[ T_n = \frac{1}{2}m_e v_n^2 \]

力のつり合い (i) より \(m_e v^2 = e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\) なので：

\[ T_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} \]

ポテンシャルエネルギー：

\[ V_n = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} \]

全エネルギー：

\[ E_n = T_n + V_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_n} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n} \]

\(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e e^2)\) を代入：

\[ E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
\[ \boxed{E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}} \]

(c) Rydberg 公式の再現:

準位 \(m\) から \(n\)（\(m > n\)）への遷移で放出される光の振動数：

\[ h\nu = E_m - E_n = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

\(c = \lambda\nu\) より \(1/\lambda = \nu/c\)：

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 \cdot hc}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

\(\hbar = h/(2\pi)\) なので \(\hbar^2 h = h^3/(4\pi^2)\)：

\[ \frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^3}{4\pi^2} \cdot c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) = \frac{m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

整理すると：

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \]

ここで Rydberg 定数は：

\[ \boxed{R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}} \]

検算： 数値を代入すると \(R_\infty \simeq 1.097 \times 10^7\;\mathrm{m^{-1}}\) となり、実験値と一致する。また \(n=2, m=3\) を代入すると D4 の結果（656 nm）が再現される。

M-2. 光電効果の実験データからの Planck 定数の決定

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問題:

光電効果の実験で、ある金属に様々な振動数 \(\nu\) の光を照射し、飛び出す電子の最大運動エネルギー \(K\) を測定した。以下のデータが得られたとする。

\(\nu\;[10^{14}\;\mathrm{Hz}]\) \(K\;[\mathrm{eV}]\)
6.0 0.21
7.5 0.83
9.0 1.45
10.5 2.07

(a) \(K\) を \(\nu\) の関数としてグラフの概形を描き、直線関係 \(K = h\nu - W\) が成り立つことを確認せよ。

(b) データから Planck 定数 \(h\) の値を eV·s 単位で求めよ。

(c) この金属の仕事関数 \(W\) を eV 単位で求めよ。

(d) 求めた \(h\) の値を SI 単位 (J·s) に換算し、文献値 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) と比較せよ。

(a) グラフの概形:

\(K = h\nu - W\) は \(\nu\) の 1 次関数（直線）であり、傾き \(h\)、\(K\) 切片 \(-W\) を持つ。

データを確認すると： - \(\nu\) が \(1.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\) 増加するごとに \(K\) が約 0.62 eV ずつ増加 - 等間隔の増加であり、直線関係が成立している ✓

(b) Planck 定数の決定:

直線の傾きを 2 点から求める。例えば最初と最後のデータ点を使う：

\[ h = \frac{\Delta K}{\Delta \nu} = \frac{(2.07 - 0.21)\;\mathrm{eV}}{(10.5 - 6.0) \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} = \frac{1.86\;\mathrm{eV}}{4.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}} \]
\[ \boxed{h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s}} \]

確認： 隣接する 2 点でも計算する：

\[ \frac{0.83 - 0.21}{(7.5 - 6.0) \times 10^{14}} = \frac{0.62}{1.5 \times 10^{14}} = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \quad \checkmark \]

(c) 仕事関数の決定:

\(K = h\nu - W\) より：

\[ W = h\nu - K = (4.13 \times 10^{-15})(6.0 \times 10^{14}) - 0.21 = 2.48 - 0.21 = 2.27\;\mathrm{eV} \]
\[ \boxed{W \simeq 2.27\;\mathrm{eV}} \]

別法： 閾値振動数 \(\nu_0\)（\(K = 0\) となる振動数）を求める：

\[ \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{2.27}{4.13 \times 10^{-15}} = 5.50 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz} \]

これは D2 のナトリウムの閾値振動数とほぼ一致し、この金属がナトリウムであることを示唆する。

(d) SI 単位への換算と文献値との比較:

\[ h = 4.13 \times 10^{-15}\;\mathrm{eV \cdot s} \times 1.602 \times 10^{-19}\;\mathrm{J/eV} \]
\[ h = 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \]
\[ \boxed{h \simeq 6.62 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}} \]

文献値 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}\) と比較すると、相対誤差は約 0.1% であり、非常によく一致する。

検算： 全データ点が直線上に乗ることを確認する。\(K = (4.13 \times 10^{-15})\nu - 2.27\) に各 \(\nu\) を代入： - \(\nu = 6.0 \times 10^{14}\): \(K = 2.48 - 2.27 = 0.21\) ✓ - \(\nu = 7.5 \times 10^{14}\): \(K = 3.10 - 2.27 = 0.83\) ✓ - \(\nu = 9.0 \times 10^{14}\): \(K = 3.72 - 2.27 = 1.45\) ✓ - \(\nu = 10.5 \times 10^{14}\): \(K = 4.34 - 2.27 = 2.07\) ✓

M-3. 古典的原子崩壊時間のオーダー見積もり

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問題:

古典電磁気学において、加速度 \(a\) で運動する電荷 \(e\) が単位時間あたりに放射するエネルギー（Larmor の公式）は

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

で与えられる。水素原子の電子が Bohr 半径 \(a_0 \simeq 5.3 \times 10^{-11}\;\mathrm{m}\) の円軌道上にあると仮定して、以下を求めよ。

(a) 電子の向心加速度 \(a\) を、力のつり合いから \(a_0\), \(m_e\), \(e\), \(\varepsilon_0\) で表し、数値を計算せよ。

(b) Larmor の公式を用いて放射パワー \(P\) を計算せよ。

(c) 電子の全エネルギー \(E_1 = -13.6\;\mathrm{eV}\) を用いて、\(|E_1|/P\) のオーダーから古典的崩壊時間 \(\tau\) を見積もり、式 (1.5) の \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\) と整合することを確認せよ。

(a) 向心加速度:

Coulomb 力から：

\[ F = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a_0^2} = m_e a \]
\[ a = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e a_0^2} \]

数値計算：

\[ a = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{(1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(5.3 \times 10^{-11})^2} \]

分子：

\[ (1.602 \times 10^{-19})^2 = 2.566 \times 10^{-38}\;\mathrm{C^2} \]

分母：

\[ (1.113 \times 10^{-10})(9.109 \times 10^{-31})(2.809 \times 10^{-21}) \]
\[ = 1.113 \times 9.109 \times 2.809 \times 10^{-10-31-21} = 28.48 \times 10^{-62} = 2.848 \times 10^{-61} \]
\[ a = \frac{2.566 \times 10^{-38}}{2.848 \times 10^{-61}} = 9.01 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2} \]
\[ \boxed{a \simeq 9.0 \times 10^{22}\;\mathrm{m/s^2}} \]

(b) 放射パワー:

Larmor の公式：

\[ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]
\[ P = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2 \times (9.0 \times 10^{22})^2}{6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3.00 \times 10^8)^3} \]

分子：

\[ (2.566 \times 10^{-38}) \times (8.1 \times 10^{44}) = 2.08 \times 10^{7} \]

分母：

\[ 6\pi \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (2.7 \times 10^{25}) = 6\pi \times 2.39 \times 10^{14} \]
\[ = 18.85 \times 2.39 \times 10^{14} = 4.50 \times 10^{15} \]
\[ P = \frac{2.08 \times 10^{7}}{4.50 \times 10^{15}} = 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W} \]
\[ \boxed{P \simeq 4.6 \times 10^{-9}\;\mathrm{W}} \]

(c) 崩壊時間の見積もり:

\[ |E_1| = 13.6\;\mathrm{eV} = 13.6 \times 1.602 \times 10^{-19} = 2.18 \times 10^{-18}\;\mathrm{J} \]
\[ \tau \sim \frac{|E_1|}{P} = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{4.6 \times 10^{-9}} = 4.7 \times 10^{-10}\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\tau \sim 5 \times 10^{-10}\;\mathrm{s}} \]

検算と考察： この見積もりは式 (1.5) の \(\tau \sim 10^{-11}\;\mathrm{s}\) より 1 桁ほど大きいが、これはオーダー見積もりとして妥当な範囲内である。厳密な計算では、電子が螺旋を描いて落ちる過程で加速度が増大し（\(r\) が小さくなるため）、放射パワーも増大するため、実際の崩壊時間はこの単純な見積もりより短くなる。いずれにせよ \(10^{-11}\)〜\(10^{-10}\;\mathrm{s}\) のオーダーであり、原子が古典的には一瞬で崩壊することが確認された。

M-4. Planck 分布の高振動数極限と Wien の法則

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問題:

Planck の黒体輻射のスペクトル放射輝度（単位振動数あたり）は

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

で与えられる。

(a) \(h\nu \gg k_B T\) の極限で、\(B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T}\) となることを示せ（Wien (ヴィーン) の放射法則）。

(b) \(B(\nu, T)\) が最大となる振動数 \(\nu_{\max}\) が温度 \(T\) に比例すること（Wien の変位則 \(\nu_{\max} \propto T\)）を、\(\partial B / \partial \nu = 0\) を \(x = h\nu/(k_B T)\) で書き換えることで示せ。（超越方程式を解く必要はなく、\(x\) が定数になることを示せば十分。）

(a) Wien の放射法則:

\(h\nu \gg k_B T\) のとき、\(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\) であるから：

\[ e^{h\nu/k_B T} - 1 \simeq e^{h\nu/k_B T} \]

したがって：

\[ B(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}} \]
\[ \boxed{B(\nu, T) \simeq \frac{2h\nu^3}{c^2} e^{-h\nu/k_B T} \quad (h\nu \gg k_B T)} \]

これが Wien の放射法則である。\(\square\)

(b) Wien の変位則:

\(x = h\nu/(k_B T)\) と置くと \(\nu = k_B T x / h\) であり：

\[ B(\nu, T) = \frac{2h}{c^2}\left(\frac{k_B T}{h}\right)^3 x^3 \cdot \frac{1}{e^x - 1} \]

\(B\) が最大となる条件 \(\partial B / \partial \nu = 0\) を考える。\(\nu\) での微分を \(x\) での微分に変換すると（\(T\) を固定すれば \(d\nu \propto dx\)）：

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x^3}{e^x - 1}\right] = 0 \]

これを展開する：

\[ \frac{3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x}{(e^x - 1)^2} = 0 \]

分子 = 0 の条件：

\[ 3x^2(e^x - 1) - x^3 e^x = 0 \]

\(x^2\) で割ると（\(x \neq 0\)）：

\[ 3(e^x - 1) - x e^x = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3 - 3e^{-x} - x = 0 \quad \Longrightarrow \quad (3 - x) = 3e^{-x} \]

これは \(x\) のみの超越方程式であり、その解 \(x_{\max}\) は温度 \(T\) に依存しない定数である（数値的に \(x_{\max} \simeq 2.821\)）。

\(x_{\max} = h\nu_{\max}/(k_B T)\) が定数であるから：

\[ \boxed{\nu_{\max} = \frac{x_{\max} \cdot k_B}{h} \cdot T \propto T} \]

これが Wien の変位則である。\(\square\)

検算： \(T = 6000\;\mathrm{K}\) のとき \(\nu_{\max} = 2.821 \times (1.38 \times 10^{-23})/(6.626 \times 10^{-34}) \times 6000 \simeq 3.5 \times 10^{14}\;\mathrm{Hz}\)。対応する波長は \(\lambda \simeq 860\;\mathrm{nm}\)（近赤外）。波長表示での Wien の変位則 \(\lambda_{\max} T = 2.898 \times 10^{-3}\;\mathrm{m \cdot K}\) からは \(\lambda_{\max} \simeq 483\;\mathrm{nm}\) となり異なるが、これは振動数表示と波長表示でピーク位置が異なることによる既知の効果であり、矛盾ではない。

Advanced（発展）

A-1. 古典的等分配則による Rayleigh–Jeans の法則の導出と紫外破綻

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問題:

一辺 \(L\) の立方体の空洞内に存在する電磁場の定在波モード数を考える。

(a) 波数 \(k\) から \(k + dk\) の範囲にあるモードの数（偏光の 2 自由度を含む）が

\[ g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk \]

であることを示せ。ただし \(V = L^3\) は空洞の体積。（境界条件として、各方向に \(k_x = n_x \pi / L\), \(k_y = n_y \pi / L\), \(k_z = n_z \pi / L\)（\(n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots\)）を用いよ。）

(b) \(k = 2\pi\nu/c\) の関係を用いて、振動数 \(\nu\) から \(\nu + d\nu\) の範囲のモード数を

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]

と書き換えよ。

(c) 古典的等分配則により各モードに平均エネルギー \(k_B T\) を割り当て、単位体積あたりのスペクトルエネルギー密度 \(u(\nu, T)\) が

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \]

（Rayleigh–Jeans (レイリー・ジーンズ) の法則）となることを示せ。

(d) \(u(\nu, T)\) を \(\nu = 0\) から \(\infty\) まで積分すると発散することを示し、これが紫外破綻であることを説明せよ。

(e) 等分配則の代わりに Planck の平均エネルギー \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\) を用いると、全エネルギー密度が有限に収まることを定性的に説明せよ。

(a) モード数の導出:

一辺 \(L\) の立方体空洞内で、境界条件（壁で電場がゼロ）を満たす定在波の波数は：

\[ k_x = \frac{n_x \pi}{L}, \quad k_y = \frac{n_y \pi}{L}, \quad k_z = \frac{n_z \pi}{L} \quad (n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots) \]

\(k\) 空間では、格子点の間隔は \(\pi/L\) であり、1 格子点あたりの体積は \((\pi/L)^3\) である。

\(n_x, n_y, n_z > 0\) の第一象限のみを考える。波数の大きさ \(k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}\) が \(k\) から \(k + dk\) の範囲にある格子点の数は、半径 \(k\) の球殻の第一象限部分の体積を格子点密度で割ったものである：

\[ \text{格子点数} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{1}{(\pi/L)^3} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi k^2 dk \cdot \frac{L^3}{\pi^3} \]
\[ = \frac{V k^2 dk}{2\pi^2} \]

電磁波には 2 つの独立な偏光があるので、2 倍して：

\[ g(k)\,dk = 2 \cdot \frac{V k^2 dk}{2\pi^2} = \frac{V k^2}{\pi^2}\,dk \]
\[ \boxed{g(k)\,dk = \frac{V}{\pi^2} k^2\,dk} \]

(b) 振動数表示への変換:

\(k = 2\pi\nu/c\) より \(dk = 2\pi\,d\nu/c\)。代入すると：

\[ g(\nu)\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2 \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu = \frac{V}{\pi^2} \cdot \frac{4\pi^2\nu^2}{c^2} \cdot \frac{2\pi}{c}\,d\nu \]
\[ = \frac{8\pi^3 V \nu^2}{\pi^2 c^3}\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu \]
\[ \boxed{g(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi V \nu^2}{c^3}\,d\nu} \]

(c) Rayleigh–Jeans の法則:

古典的等分配則により、各モードの平均エネルギーは \(k_B T\)（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーそれぞれ \(\frac{1}{2}k_B T\) ずつ）。

単位体積あたりのスペクトルエネルギー密度：

\[ u(\nu, T) = \frac{1}{V} \cdot g(\nu) \cdot k_B T = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T \]
\[ \boxed{u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} k_B T} \]

(d) 紫外破綻:

全エネルギー密度を求めるために \(\nu\) で積分する：

\[ u_{\text{total}} = \int_0^\infty u(\nu, T)\,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3} \int_0^\infty \nu^2\,d\nu \]
\[ \int_0^\infty \nu^2\,d\nu = \left[\frac{\nu^3}{3}\right]_0^\infty = \infty \]

全エネルギー密度が発散する。これは物理的に不合理であり、高振動数（紫外線以上）のモードが際限なくエネルギーを持つことを意味する。これが紫外破綻 (ultraviolet catastrophe) である。\(\square\)

(e) Planck の平均エネルギーによる解決:

等分配則の \(k_B T\) を Planck の平均エネルギー \(\langle E \rangle = h\nu/(e^{h\nu/k_B T} - 1)\) で置き換えると：

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \cdot \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

高振動数（\(h\nu \gg k_B T\)）では：

\[ \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \simeq h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T} \]

これは指数関数的に減衰するため、\(\nu^2 \cdot h\nu \cdot e^{-h\nu/k_B T} = h\nu^3 e^{-h\nu/k_B T}\) は \(\nu \to \infty\) でゼロに収束する。したがって：

\[ u_{\text{total}} = \int_0^\infty \frac{8\pi h\nu^3}{c^3(e^{h\nu/k_B T} - 1)}\,d\nu < \infty \]

積分は有限に収まる（実際に計算すると Stefan–Boltzmann の法則 \(u_{\text{total}} \propto T^4\) が得られる）。

物理的理由： エネルギーの量子化により、高振動数モードは 1 量子 \(h\nu\) のエネルギーが熱エネルギー \(k_B T\) を大きく超えるため、Boltzmann 因子 \(e^{-h\nu/k_B T}\) によって励起確率が指数的に抑制される。これにより紫外破綻は解消される。\(\square\)

A-2. Bohr モデルの一般化：水素様イオンと対応原理

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問題:

水素様イオン（原子番号 \(Z\)、電子 1 個）に Bohr モデルを適用する。

(a) 原子核の電荷が \(Ze\) であることを考慮し、\(n\) 番目の軌道半径 \(r_n\) とエネルギー準位 \(E_n\) を \(Z\) を含む形で導出せよ。

(b) \(\mathrm{He^+}\)（\(Z = 2\)）の基底状態（\(n = 1\)）のエネルギーと軌道半径を計算し、水素原子と比較せよ。

(c) Bohr の対応原理 (correspondence principle)：量子数 \(n\) が十分大きいとき、隣接準位間の遷移で放出される光の振動数 \(\nu_{n \to n-1}\) が、\(n\) 番目の軌道を回る電子の古典的な回転周波数 \(f_n\) に一致することを示せ。すなわち、\(n \gg 1\) の極限で

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq f_n \]

となることを確認せよ。

(a) 水素様イオンの軌道半径とエネルギー準位:

原子核の電荷が \(Ze\) なので、Coulomb 力は：

\[ \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \]

量子条件 \(m_e v r = n\hbar\) と組み合わせる。D5 と同様の手順で \(v = n\hbar/(m_e r)\) を代入：

\[ \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} \]
\[ \boxed{r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e Z e^2} \cdot n^2 = \frac{a_0}{Z} \cdot n^2} \]

速度：

\[ v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n} = \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n} \]

全エネルギー（S1(b) と同様に \(E_n = -Ze^2/(8\pi\varepsilon_0 r_n)\)）：

\[ E_n = -\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} = -\frac{m_e Z^2 e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} \]
\[ \boxed{E_n = -\frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -Z^2 \cdot \frac{13.6\;\mathrm{eV}}{n^2}} \]

(b) He\(^+\) (\(Z = 2\)) の基底状態:

軌道半径：

\[ r_1 = \frac{a_0}{Z} = \frac{0.529\;\text{Å}}{2} = 0.265\;\text{Å} = 2.65 \times 10^{-11}\;\mathrm{m} \]

エネルギー：

\[ E_1 = -Z^2 \times 13.6\;\mathrm{eV} = -4 \times 13.6 = -54.4\;\mathrm{eV} \]

水素原子との比較：

水素 (\(Z=1\)) He\(^+\) (\(Z=2\))
\(r_1\) \(0.529\;\text{Å}\) \(0.265\;\text{Å}\)（半分）
\(E_1\) \(-13.6\;\mathrm{eV}\) \(-54.4\;\mathrm{eV}\)（4 倍深い）

He\(^+\) は水素より軌道が小さく（核電荷が強いため電子がより強く引きつけられ）、束縛エネルギーが 4 倍大きい。

(c) 対応原理の確認:

量子的な遷移振動数：

\[ \nu_{n \to n-1} = \frac{E_n - E_{n-1}}{h} = \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h}\left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) \]

括弧内を計算する：

\[ \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} = \frac{2n - 1}{n^2(n-1)^2} \]

\(n \gg 1\) のとき \(2n - 1 \simeq 2n\)、\((n-1)^2 \simeq n^2\) なので：

\[ \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \simeq \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} = \frac{2}{n^3} \]

したがって：

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h} \cdot \frac{2}{n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2 h \cdot n^3} \tag{★} \]

古典的回転周波数：

\[ f_n = \frac{v_n}{2\pi r_n} \]

\(v_n = Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 \hbar n)\) と \(r_n = 4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2/(m_e Ze^2)\) を代入：

\[ f_n = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar n} \cdot \frac{m_e Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2} \]
\[ = \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^3 n^3} \]

\(\hbar = h/(2\pi)\) より \(\hbar^3 = h^3/(8\pi^3)\)：

\[ f_n = \frac{Z^2 m_e e^4}{2\pi (4\pi\varepsilon_0)^2 n^3} \cdot \frac{8\pi^3}{h^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3} \]

一方、(★) を \(\hbar = h/(2\pi)\) で書き換える：

\[ \nu_{n \to n-1} \simeq \frac{Z^2 m_e e^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2} \cdot h \cdot n^3} = \frac{Z^2 m_e e^4 \cdot 4\pi^2}{(4\pi\varepsilon_0)^2 h^3 n^3} \]

これは \(f_n\) と完全に一致する：

\[ \boxed{\nu_{n \to n-1} \simeq f_n \quad (n \gg 1)} \]

対応原理の意味： 量子数が大きい極限（\(n \gg 1\)）では、量子論の予言する遷移振動数が古典論の予言する軌道回転周波数と一致する。これは量子論が古典論の「正しい一般化」であることの証拠であり、Bohr が自身のモデルの妥当性を確認するために用いた重要な原理である。\(\square\)

検算： \(Z = 1\), \(n = 1000\) の場合を考えると、\(r_{1000} = 10^6 a_0 \simeq 0.05\;\mathrm{mm}\) という巨視的なスケールになり、古典的な描像が適用できることが直感的にも理解できる。