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Appendix C 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 添字の上げ下げ

Minkowski 計量 \(\eta_{\mu\nu}\) を使って、4元ベクトル \(A^\mu = (1, 2, 3, 4)\) の下付き成分 \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) を計算せよ。

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B-2. Kronecker デルタの縮約

Einstein の縮約規則を用いて、Kronecker デルタ \(\delta^\mu_\nu\)（\(\mu = \nu\) のとき 1、それ以外は 0）と反変ベクトル \(A^\nu\) の縮約

\[ \delta^\mu_\nu A^\nu \]

を計算せよ。

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B-3. 球面の計量と逆計量

2次元球面（半径 \(R\)）の計量 \(ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\) から、\(g_{\theta\theta}\), \(g_{\phi\phi}\), \(g_{\theta\phi}\) を読み取れ。逆計量 \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\phi\phi}\) も求めよ。

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B-4. Schwarzschild 計量の漸近 Minkowski

共変微分と曲率（C.5-C.6）

Schwarzschild 計量

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2GM/(c^2 r)} + r^2 d\Omega^2 \]

において、\(r \to \infty\) の極限をとると Minkowski 計量に漸近することを示せ。

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B-5. 平坦空間で Christoffel ゼロ

平坦な空間（\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\)）で全ての Christoffel 記号がゼロであることを確認せよ。

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B-6. 平坦空間での測地線が等速直線

測地線方程式 \(\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0\) が、\(\Gamma = 0\) のとき等速直線運動 \(\ddot{x}^\mu = 0\) に帰着することを確認せよ。

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Medium（標準）

M-1. 4 元運動量と質量殻条件

4元運動量 \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\) の内積 \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu\) を計算し、\(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) が相対論的なエネルギー-運動量関係 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) と同値であることを示せ。

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M-2. 極座標の計量と \(r=0\) での挙動

極座標 \((r, \theta)\) での2次元平坦空間の計量 \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) を書き下し、\(g_{rr}\), \(g_{\theta\theta}\) を読み取れ。\(r = 0\) で何が起きるか議論せよ。

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M-3. 球面の \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\)

2次元球面の計量から \(\Gamma^\theta_{\phi\phi}\) を Christoffel 記号の公式で計算せよ。

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Advanced（発展）

A-1. Bianchi 恒等式とエネルギー保存

Einstein 方程式の左辺 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\) が \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\)（Bianchi 恒等式の帰結）を満たすことを認め、これが右辺のエネルギー運動量保存 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) と整合することを説明せよ。

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