第 1 章 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
Medium（標準）
Basic（基礎）¶
B-1. 海王星の質量の推定¶
天王星の軌道のずれから、未知の惑星（海王星）の質量を推定する問題を考える。天王星の軌道半径を \(r_U\)、海王星の軌道半径を \(r_N\)、観測された加速度のずれを \(\delta a\) とするとき、海王星の質量 \(M_N\) を \(\delta a\), \(r_U\), \(r_N\), \(G\) で表せ。
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B-2. なぜ T-V であって T+V ではないのか¶
質量 \(m\) のボールを鉛直方向に投げ上げる運動を考える。\(y(t)\) を高さとし、\(T = \frac{1}{2}m\dot{y}^2\), \(V = mgy\) とする。
(a) Lagrangian を \(L = T - V\) として Euler-Lagrange 方程式 \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0\) を適用し、Newton の運動方程式 \(m\ddot{y} = -mg\) が得られることを確認せよ。
(b) 代わりに \(L' = T + V = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + mgy\) として同じ Euler-Lagrange 方程式を適用し、\(m\ddot{y} = +mg\)（重力が上向き！）という非物理的な結果が得られることを確認せよ。
ポイント
\(T + V\) を使うと「ボールが上に加速する」という実験と矛盾する結果になる。\(T - V\) でなければならない理由は「そうしないと実験と合わない」——つまり、Lagrangian の形は仮説であり、実験で検証される。
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Medium（標準）¶
M-1. Kepler の第 3 法則の導出¶
万有引力 \(F = GMm/r^2\) と円運動の条件 \(F = mv^2/r\) を使って、円軌道の場合に Kepler の第 3 法則 \(T^2 \propto r^3\) を導出せよ。
ヒント
円運動の周期は \(T = 2\pi r / v\) である。
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M-2. 重力ポテンシャルの計算¶
原点に質量 \(M\) の点粒子が置かれているとき、ポアソン方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho\) を球対称の仮定のもとで解き、\(\Phi = -GM/r\) を導出せよ。
ヒント
球座標でのラプラシアンは \(\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\Phi}{dr}\right)\) である（\(r \neq 0\) の領域で \(\rho = 0\)）。
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