第 2 章 練習問題 解答¶
Basic（基礎）¶
B-1. 光速の数値計算¶
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問題: \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A、\(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) F/m を使って \(c\) を計算せよ。
解答:
\(\mu_0 \varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7})(8.854 \times 10^{-12})\)
\(= 4 \times 3.1416 \times 8.854 \times 10^{-19}\)
\(= 12.566 \times 8.854 \times 10^{-19}\)
\(= 1.113 \times 10^{-17} \;\text{s}^2/\text{m}^2\)
\(c = \frac{1}{\sqrt{1.113 \times 10^{-17}}} = \frac{1}{1.055 \times 10^{-8.5}}\)
\(\boxed{c \approx 2.998 \times 10^8 \;\text{m/s}}\)
光速の実測値 \(c = 2.998 \times 10^8\) m/s と一致する。
ポイント: \(\mu_0\) は磁気の実験から、\(\varepsilon_0\) は電気の実験から独立に測定された定数。それらを組み合わせると光速が出る——これが Maxwell にとって「光は電磁波である」という確信の根拠だった。
B-2. ポテンシャルから Maxwell 方程式へ¶
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問題: \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) から \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) が自動的に成り立つことを示せ。
解答:
ベクトル恒等式（Appendix A.6）より：
\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0\)
これは任意のベクトル場 \(\mathbf{A}\) に対して成り立つ恒等式である。
\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\) を代入すると：
\(\boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0}\)
ポイント: Maxwell の第 2 式 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)（磁気単極子は存在しない）は、磁場をベクトルポテンシャル \(\mathbf{A}\) で表現するだけで自動的に満たされる。つまり、ポテンシャルによる表現は Maxwell 方程式の一部を「組み込んでいる」。これは単なる書き換えではなく、理論の構造を反映している。
恒等式の確認（任意）： 成分で確認したい場合、\(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) として：
\(\nabla \times \mathbf{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)
この発散を取ると：
\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\)
展開すると 6 項が現れ、偏微分の順序交換（\(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}\)）により全てキャンセルしてゼロになる。
Medium（標準）¶
M-1. 電磁波の速度の導出¶
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問題: Maxwell 方程式の第 3 式と第 4 式（真空中）から、電場 \(\mathbf{E}\) に対する波動方程式を導出し、波の速度が \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}\) であることを示せ。
解答:
真空中（\(\rho = 0\), \(\mathbf{j} = 0\)）の Maxwell 方程式：
\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \text{(第3式)}\)
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \qquad \text{(第4式)}\)
第 3 式の両辺に \(\nabla \times\) を作用させる：
\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})\)
左辺にベクトル恒等式（Appendix A.6）を使う：
\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)
真空中では \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)（Gauss の法則、\(\rho = 0\)）なので：
\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla^2 \mathbf{E}\)
右辺に第 4 式を代入：
\(-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)
まとめると：
\(-\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)
\(\boxed{\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}}\)
これは波動方程式 \(\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\) の形をしている。比較すると：
\(\frac{1}{c^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \qquad \therefore \quad \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}}\)
ポイント: Maxwell は電気と磁気の実験定数 \(\mu_0\), \(\varepsilon_0\) だけから光速を導出した。光を研究していたわけではなく、電磁気学の統一の副産物として光の正体が判明した。
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