Appendix C 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. Klein-Gordon の \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)
- B-2. Klein-Gordon の \(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial\phi)\)
- B-3. 弦の Lagrangian の偏微分
- B-4. \(\phi^4\) 理論の \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)
- B-5. d'Alembert 演算子の陽な書き下し
- B-6. 2 次元スカラー場の Euler–Lagrange 方程式
- B-7. Minkowski 計量の \(\sqrt{-g}\)
- B-8. Schwarzschild 計量の \(\sqrt{-g}\)
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. Klein-Gordon の \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{m^2}{2}\,\phi^2 $$ で与えられている。\(\phi\) による偏微分 \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) を求めよ。
ヒント
\(\phi\) を含む項は質量項 \(-\frac{m^2}{2}\phi^2\) のみ。微分項は \(\partial_\mu\phi\) に依存し、\(\phi\) 自身には依存しない。
→ 解答を見る
B-2. Klein-Gordon の \(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial\phi)\)¶
ヒント
\(\eta^{\alpha\beta}(\partial_\alpha\phi)(\partial_\beta\phi)\) を \(\partial_\mu\phi\) で微分するとき、\(\alpha = \mu\) と \(\beta = \mu\) の両方から寄与がある。\(\eta^{\alpha\beta}\) の対称性を使うこと。
→ 解答を見る
B-3. 弦の Lagrangian の偏微分¶
$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ に対して、\(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}\)、\(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\)、\(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\) をそれぞれ求めよ。
ヒント
\(\psi\) 自身は \(\mathcal{L}\) に陽に現れない。各微分項はそれぞれ独立に扱う。
→ 解答を見る
B-4. \(\phi^4\) 理論の \(\partial \mathcal{L}/\partial \phi\)¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu \phi)(\partial_\nu \phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ に対して、\(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) を求めよ。
ヒント
\(\phi^4\) を \(\phi\) で微分すると \(4\phi^3\)。\(4!\) との組み合わせに注意。
→ 解答を見る
B-5. d'Alembert 演算子の陽な書き下し¶
ヒント
\(\eta^{00} = -1\), \(\eta^{11} = \eta^{22} = \eta^{33} = +1\) を代入して \(\mu, \nu\) の和を展開する。
→ 解答を見る
B-6. 2 次元スカラー場の Euler–Lagrange 方程式¶
$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_t \phi)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x \phi)^2 - V(\phi) $$ の場の Euler–Lagrange 方程式を書き下せ。ここで \(V(\phi)\) は \(\phi\) の任意関数とする。
ヒント
2 次元では \(\partial_\mu\) の和は \(\mu = t\) と \(\mu = x\) の 2 項。\(V(\phi)\) の微分は \(V'(\phi) = dV/d\phi\) と書ける。
→ 解答を見る
B-7. Minkowski 計量の \(\sqrt{-g}\)¶
ヒント
対角行列の行列式は対角成分の積。
→ 解答を見る
B-8. Schwarzschild 計量の \(\sqrt{-g}\)¶
$$ds^2 = -!\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2!\theta\, d\varphi^2 $$ に対して、\(g = \det(g_{\mu\nu})\) を計算し、\(\sqrt{-g}\) を求めよ。
ヒント
対角計量なので \(g = g_{tt}\,g_{rr}\,g_{\theta\theta}\,g_{\varphi\varphi}\)。\(g_{tt}\,g_{rr}\) の積が簡単になることに注目。
→ 解答を見る
Medium（標準）¶
M-1. 弦の波動方程式の Euler–Lagrange 導出¶
$$\mathcal{L} = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)^2 - \frac{\mathcal{T}}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2 $$ に場の Euler–Lagrange 方程式を適用し、波動方程式
$$\rho\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \mathcal{T}\,\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $$ を導出せよ。また、波の伝播速度 \(v\) を \(\mathcal{T}\) と \(\rho\) で表せ。
ヒント
2 次元版の Euler–Lagrange 方程式 \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} - \partial_t\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t \psi)}\right) - \partial_x\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \psi)}\right) = 0\) を使う。波動方程式を \(\partial_t^2 \psi = v^2 \partial_x^2 \psi\) の形に書き直す。
→ 解答を見る
M-2. \(\phi^4\) 理論の運動方程式¶
$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\,\eta^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi) - \frac{\lambda}{4!}\,\phi^4 $$ に対して場の Euler–Lagrange 方程式を適用し、\(\phi\) の運動方程式を導け。得られた方程式が質量ゼロの Klein–Gordon 方程式 \(\Box\phi = 0\) とどのように異なるか、物理的意味も含めて述べよ。
ヒント
\(\phi^4\) 項からの寄与が非線形な自己相互作用項として現れる。\(\lambda = 0\) の極限で \(\Box\phi = 0\) に帰着することを確認せよ。
→ 解答を見る
M-3. 曲がった時空の質量ゼロスカラー場¶
$$S = \int d^4x\,\sqrt{-g}\left[-\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}(\partial_\mu\phi)(\partial_\nu\phi)\right] $$ について、以下の手順で運動方程式を導出せよ：
(a) \(\phi \to \phi + \delta\phi\) の変分を取り、\(\delta S\) を計算せよ。\(\sqrt{-g}\) が \(\phi\) に依存しないことに注意すること。
(b) 部分積分を行い、\(\delta S = 0\) から \(\phi\) の運動方程式を導け。平坦時空で \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) \to \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi = \Box\phi\) となることを確認せよ。
ヒント
曲がった時空での部分積分では \(\partial_\mu(\sqrt{-g}\,f^\mu)\) の形の全微分項が現れる。運動方程式は \(\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi) = 0\) の形になる。
→ 解答を見る
M-4. エネルギー運動量テンソルの導出¶
$$T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}} $$ を用いて、自由スカラー場の Lagrangian 密度
$$\mathcal{L}m = -\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}(\partial\mu\phi)(\partial_\nu\phi) - \frac{m^2}{2}\,\phi^2 $$ から \(T_{\mu\nu}\) を導出せよ。\(S_m = \int d^4x\,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_m\) を \(g^{\mu\nu}\) で変分する際、\(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\) であることを用いてよい。
ヒント
\(g^{\mu\nu}\) の変分は 2 箇所に作用する：\(\mathcal{L}_m\) 中の \(g^{\mu\nu}\) への直接の寄与と、\(\sqrt{-g}\) を通じた寄与。それぞれを計算して足し合わせる。
→ 解答を見る
Advanced（発展）¶
A-1. 電磁場 Lagrangian からの Maxwell 方程式¶
4 次元 Minkowski 時空における電磁場の Lagrangian 密度は
$$\mathcal{L}{\text{EM}} = -\frac{1}{4}\,\eta^{\mu\alpha}\,\eta^{\nu\beta}\,F $$ で与えられる。ここで }\,F_{\alpha\beta\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) は電磁場テンソル（Faraday テンソル）であり、\(A_\mu\) は 4 元ポテンシャル（electromagnetic four-potential）である。
(a) \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\) を \(F^{\mu\nu} \equiv \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\) を用いて \(\mathcal{L}_{\text{EM}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) と書けることを確認せよ。
(b) 場の Euler–Lagrange 方程式を \(A_\nu\) に対して適用し、真空中の Maxwell 方程式（ソースなし）
$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 $$ を導出せよ。
(c) \(\nu = 0\) 成分と \(\nu = i\)（\(i = 1,2,3\)）成分が、それぞれ Gauss の法則 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) と Ampère–Maxwell の法則 \(\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)（ソースなし）に対応することを示せ。
ヒント
(b) では \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0\)（\(A_\nu\) が陽に現れない）であることと、\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) の計算で \(F_{\alpha\beta}\) の反対称性を活用すること。(c) では \(F^{0i} = -E^i\), \(F^{ij} = -\epsilon^{ijk}B_k\) の対応を用いる。
→ 解答を見る
A-2. 宇宙定数付き Einstein 方程式¶
Einstein–Hilbert 作用（アインシュタイン＝ヒルベルト作用）に宇宙定数（cosmological constant）\(\Lambda\) を加えた作用
$$S = \frac{1}{16\pi G}\int d^4x\,\sqrt{-g}\,(R - 2\Lambda) + \int d^4x\,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_m $$ を考える。
(a) \(\sqrt{-g}\,\Lambda\) の項を \(g^{\mu\nu}\) で変分せよ。\(\dfrac{\delta(\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -\dfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\) を用いてよい。
(b) 上記の全作用を \(g^{\mu\nu}\) で変分して \(\delta S = 0\) とし、宇宙定数を含む Einstein 方程式
$$G_{\mu\nu} + \Lambda\, g_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu} $$ が得られることを示せ。ただし、\(\sqrt{-g}\,R\) の \(g^{\mu\nu}\) 変分が \(\sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right) = \sqrt{-g}\,G_{\mu\nu}\) を与えることは既知として用いてよい。
(c) 真空（\(T_{\mu\nu} = 0\)）の場合に、\(\Lambda > 0\) が時空に与える物理的効果について、Einstein 方程式の構造から考察せよ。
ヒント
(a) \(\Lambda\) は定数なので変分は \(\sqrt{-g}\) にのみ作用する。(b) 各項の変分を足し合わせてゼロとおく。(c) \(\Lambda g_{\mu\nu}\) 項を右辺に移すと、真空でもエネルギー運動量テンソルのような寄与が残ることに注目。
→ 解答を見る
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。