第 3 章 練習問題¶
Basic（基礎）¶
B-1. Carnot 効率の計算¶
高温源 \(T_{\text{hot}} = 500\) K、低温源 \(T_{\text{cold}} = 300\) K の Carnot サイクルの最大効率を計算せよ。また、低温源を \(T_{\text{cold}} = 200\) K に下げた場合の効率も計算し、比較せよ。
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Medium（標準）¶
M-1. コインのエントロピー¶
コインを \(N\) 枚投げたとき、「ちょうど半分が表」になるミクロ状態の数 \(\Omega\) は二項係数 \(\binom{N}{N/2}\) で与えられる。\(N = 4\) と \(N = 100\) の場合について \(\Omega\) を計算し、\(N\) が大きくなると「ちょうど半分が表」の状態がいかに圧倒的に多いかを確認せよ。
ヒント
\(N = 100\) の場合は Stirling の近似 \(\ln N! \approx N \ln N - N\) を使うとよい。
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M-2. 温度の統計力学的定義¶
2 つの系（エネルギー \(E_1\), \(E_2\)、全エネルギー \(E = E_1 + E_2\) が一定）が熱平衡にあるとき、全エントロピー \(S_{\text{total}} = S_1(E_1) + S_2(E_2)\) が最大になる条件から、\(\frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2}\)、すなわち \(T_1 = T_2\) を導出せよ。
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