Appendix B 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 微小 Lorentz 変換の反対称性
- B-2. 生成子の行列要素の確認
- B-3. ブースト生成子 \(K^2 = M^{[02]}\) の行列表示
- B-4. 回転生成子の交換関係の直接計算
- B-5. Levi-Civita 記号を用いた回転生成子の復元
- B-6. \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) から \(\mathbf{J}\), $\mathbf{K}…
- B-7. 表現の次元の計算
- B-8. \([K^1, K^2] = -iJ^3\) の確認
Medium（標準）
- M-1. \([J^i_+, J^j_-] = 0\) の完全な導出
- M-2. \((1/2, 0)\) 表現におけるブースト生成子の具体形
- M-3. \((1/2, 1/2)\) 表現と 4 元ベクトルの対応
- M-4. スピン \(1/3\) が禁止される理由の定量的証明
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 微小 Lorentz 変換の反対称性¶
微小 Lorentz 変換 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) を計量保存条件
に代入し、\(\omega\) の 1 次まで残して \(\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} = 0\)（反対称性）を導け。
ヒント
\(\Lambda^\mu{}_\alpha = \delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha\) を代入して展開し、\(\omega\) の 2 次の項 \(\omega^\mu{}_\alpha \omega^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta}\) を捨てる。\(\delta^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\beta}\) などの恒等式を使い、\(\omega^{\mu\nu} = \omega^\mu{}_\alpha \eta^{\alpha\nu}\) と添字を下ろして整理する。
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B-2. 生成子の行列要素の確認¶
式 (B.10) の定義
を用いて、\(M^{[23]}\)（\(yz\) 平面の回転生成子）の \(4 \times 4\) 行列を全成分書き下せ。計量は \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, +1, +1, +1)\) を用いよ。
ヒント
\(\rho = 2, \sigma = 3\) として、\(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) の各組み合わせについて \((M^{[23]})^\mu{}_\nu = \eta^{2\mu}\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\delta^2{}_\nu\) を計算する。\(\eta^{2\mu}\) は \(\mu = 2\) のときだけ \(+1\)、それ以外は \(0\) であることに注意。
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B-3. ブースト生成子 \(K^2 = M^{[02]}\) の行列表示¶
\(K^2 = M^{[02]}\) の \(4 \times 4\) 行列表示を式 (B.10) から計算し、\(y\) 方向のブーストの微小変換
が \(t' \approx t - \phi\, y\), \(y' \approx y - \phi\, t\)（\(x, z\) は不変）を与えることを確認せよ。
ヒント
\((M^{[02]})^\mu{}_\nu = \eta^{0\mu}\delta^2{}_\nu - \eta^{2\mu}\delta^0{}_\nu\) を計算する。\(\eta^{00} = -1\) に注意。得られた行列を \(x'^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu)\,x^\nu\) に代入して各成分を読み取る。
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B-4. 回転生成子の交換関係の直接計算¶
\(4 \times 4\) 行列表示 (B.11) を用いて、\(J^3 = M^{[12]}\) と \(J^1 = M^{[23]}\)（D2 で求めたもの）の交換子 \([J^3, J^1]\) を行列の積として直接計算し、\([J^3, J^1] = iJ^2\) が成り立つことを確認せよ。ただし \(J^2 = M^{[31]}\) の行列も式 (B.10) から求めよ。
ヒント
\(4 \times 4\) 行列の積 \(J^3 \cdot J^1 - J^1 \cdot J^3\) を成分ごとに計算する。非ゼロ成分は少ないので、ゼロでない列だけに着目すると効率的。\(M^{[31]}\) は \(\rho = 3, \sigma = 1\) として式 (B.10) から求める（あるいは \(\rho = 1, \sigma = 3\) として \(M^{[13]} = -M^{[31]}\) の関係を使う）。
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B-5. Levi-Civita 記号を用いた回転生成子の復元¶
定義 \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\) を用いて、\(J^1\), \(J^2\), \(J^3\) がそれぞれ \(M^{[23]}\), \(M^{[31]}\), \(M^{[12]}\) に等しいことを確認せよ（和の規約に注意して展開すること）。
ヒント
\(J^1 = \frac{1}{2}\varepsilon^{1jk}M^{[jk]}\) で、\(\varepsilon^{1jk} \neq 0\) となるのは \((j,k) = (2,3)\) と \((3,2)\) のみ。\(M^{[jk]}\) は \(j < k\) で定義されているので \(M^{[32]} = -M^{[23]}\) を使い、\(\varepsilon^{132} = -1\) であることに注意する。
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B-6. \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) から \(\mathbf{J}\), $\mathbf{K}…¶
式 (B.18) の定義
を逆に解いて、\(\mathbf{J}\) と \(\mathbf{K}\) を \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) で表せ。
ヒント
2 つの式を足す、または引くだけの線形代数。\(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\) と \(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-\) を計算する。
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B-7. 表現の次元の計算¶
以下の各 Lorentz 群の表現 \((j_+, j_-)\) について、表現空間の次元 \((2j_+ + 1)(2j_- + 1)\) を計算せよ：
(a) \((1, 0)\) (b) \((1, 1)\) (c) \((3/2, 0)\) (d) \((1/2, 1)\)
ヒント
\(\mathrm{SU}(2)\) のスピン \(j\) の表現の次元は \(2j + 1\)。それぞれの \(j_+\) と \(j_-\) に対して計算し、積をとるだけ。
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B-8. \([K^1, K^2] = -iJ^3\) の確認¶
\(4 \times 4\) 行列表示を用いて、\([K^1, K^2]\)（すなわち \([M^{[01]}, M^{[02]}]\)）を直接計算し、結果が \(-iJ^3 = -iM^{[12]}\) に等しいことを確認せよ。
ヒント
\(M^{[01]}\) は式 (B.12) で与えられている。\(M^{[02]}\) は D3 で求めたもの。行列の積 \(M^{[01]}M^{[02]} - M^{[02]}M^{[01]}\) を計算する。ただし本文の生成子 \(M^{[\rho\sigma]}\) はエルミートではないので、\(i\) の因子の取り扱いに注意。Lorentz 変換が \(\Lambda = \exp(i\omega_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}/2)\) と書かれる規約と、\(\Lambda = \exp(\omega_{\rho\sigma}\mathcal{J}^{\rho\sigma}/2)\) と書かれる規約の違いを意識すること。本文では式 (B.14) の形 \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\) を採用しているので、交換関係に \(i\) がつく。
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Medium（標準）¶
M-1. \([J^i_+, J^j_-] = 0\) の完全な導出¶
式 (B.18) の定義を用いて \([J^i_+, J^j_-]\) を展開し、Lorentz 代数の交換関係 (B.15)–(B.17) を代入して、すべての項が相殺してゼロになることを示せ。途中の各項を明示すること。
ヒント
\([J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j])\) を計算する。第 3 項 \([K^i, J^j]\) は \([J^j, K^i]\) の符号を反転させて (B.16) を使う。\(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\) に注意。
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M-2. \((1/2, 0)\) 表現におけるブースト生成子の具体形¶
左巻き Weyl (ワイル) スピノル表現 \((j_+, j_-) = (1/2, 0)\) では、\(\mathbf{J}_+\) がスピン \(1/2\) の表現（\(\boldsymbol{\sigma}/2\)、\(\boldsymbol{\sigma}\) は Pauli (パウリ) 行列）で表され、\(\mathbf{J}_- = 0\) となる。
(a) \(\mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-\) と \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\) を用いて、この表現における回転生成子 \(\mathbf{J}\) とブースト生成子 \(\mathbf{K}\) を Pauli 行列で表せ。
(b) \(z\) 方向にラピディティ \(\phi\) のブーストを行う \(2 \times 2\) 行列 \(\Lambda_L = \exp(i\phi K^3)\) を計算し、結果を双曲線関数で表せ。
(c) 得られた \(\Lambda_L\) がユニタリでないことを確認し、その物理的意味を述べよ。
ヒント
(a) \(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\) に \(\mathbf{J}_+ = \boldsymbol{\sigma}/2\), \(\mathbf{J}_- = 0\) を代入する。(b) \(e^{i\phi K^3} = e^{i\phi \cdot (-i\sigma^3/2)} = e^{\phi\sigma^3/2}\) を \(\sigma^3\) の対角性を使って計算する。(c) エルミート行列の指数関数はユニタリにならない。ブーストは非コンパクト変換であることと関連づける。
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M-3. \((1/2, 1/2)\) 表現と 4 元ベクトルの対応¶
\((1/2, 1/2)\) 表現は \(2 \times 2\) エルミート行列の空間と同一視できる。任意の 4 元ベクトル \(V^\mu\) に対して
と定義する（\(\sigma_\mu = (\mathbf{1}, \boldsymbol{\sigma})\)）。
(a) \(\det \tilde{V} = -(V^\mu V_\mu)\)（Minkowski ノルムの符号反転）を示せ。
(b) Lorentz 変換が \(\tilde{V} \to M\,\tilde{V}\,M^\dagger\)（\(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)）の形で実現されることを説明し、\(\det \tilde{V}\) が不変であることを確認せよ。
ヒント
(a) \(2 \times 2\) 行列の行列式を直接計算する。(b) \(\det(M\tilde{V}M^\dagger) = |\det M|^2 \det \tilde{V}\) を使い、\(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\) の条件 \(\det M = 1\) を用いる。
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M-4. スピン \(1/3\) が禁止される理由の定量的証明¶
\(\mathrm{SU}(2)\) の既約表現において、\(J^2 = j(j+1)\mathbf{1}\) かつ \(J_3\) の固有値が \(m = -j, -j+1, \ldots, j-1, j\) であることを、昇降演算子 \(J_\pm = J_1 \pm iJ_2\) の性質
と \(J_+ |j, j\rangle = 0\), \(J_- |j, -j\rangle = 0\) の条件から導け。特に \(2j\) が非負整数でなければならないことを示せ。
ヒント
\(J_+|j,j\rangle = 0\) から \(j(j+1) - j(j+1) = 0\) を確認。\(J_-\) を \(n\) 回作用させた状態のノルムが非負であることから、\(j - n \geq -j\) すなわち \(n \leq 2j\) が必要。\(n\) は非負整数なので \(2j\) も非負整数。
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Advanced（発展）¶
A-1. Lorentz 群の被覆群 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) とスピノルの \(2\pi\) 回転¶
\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) は Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) の普遍被覆群であり、2 対 1 の準同型 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\) が存在する。
(a) S2 で求めた左巻き Weyl スピノルの回転行列 \(U(\theta) = \exp(i\theta J^3)\)（\(J^3 = \sigma^3/2\)）について、\(\theta = 2\pi\) のときスピノルの符号が反転する（\(U(2\pi) = -\mathbf{1}\)）ことを示せ。
(b) 一方、4 元ベクトル表現（S3 の \((1/2, 1/2)\) 表現）では \(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) なので、\(M = -\mathbf{1}\) のとき \(\tilde{V}\) は不変であることを確認し、2 対 1 の対応 \(\pm M \to \Lambda\) を具体的に説明せよ。
(c) この結果が「スピン \(1/2\) の粒子は \(360°\) 回転で位相 \(-1\) を得る」という物理的事実とどのように対応するか、量子力学（第 N 章の角運動量の議論）との関連も含めて論じよ。
ヒント
(a) \(e^{i\cdot 2\pi \cdot \sigma^3/2} = e^{i\pi\sigma^3}\) を計算する。\(\sigma^3\) の固有値は \(\pm 1\) なので \(e^{i\pi\sigma^3} = \cos\pi\,\mathbf{1} + i\sin\pi\,\sigma^3\)……ではなく、対角行列として直接 \(e^{i\pi} = -1\) を使う。(b) \((-\mathbf{1})\tilde{V}(-\mathbf{1})^\dagger = \tilde{V}\) を確認する。(c) 射影表現と普遍被覆群の関係を議論する。
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A-2. \((1, 0) \oplus (0, 1)\) 表現と電磁場テンソル¶
電磁場テンソル \(F^{\mu\nu}\) は反対称 2 階テンソルであり、6 個の独立成分をもつ。
(a) \(F^{\mu\nu}\) の自己双対部分 \(F^+_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} + \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\) と反自己双対部分 \(F^-_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(F_{\mu\nu} - \frac{i}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma})\) がそれぞれ Lorentz 群の \((1, 0)\) 表現と \((0, 1)\) 表現に属することを、\(\mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\) の変換性を調べることで示せ。
(b) \(F^{\mu\nu}\) 全体が \((1, 0) \oplus (0, 1)\) 表現を成すことを次元の数え上げで確認し、この分解が実 Lorentz 変換のもとで \(F^+\) と \(F^-\) が互いの複素共役であるという条件とどのように整合するか説明せよ。
(c) この結果を用いて、Maxwell (マクスウェル) 方程式の真空中での対称性（電磁双対性 (electromagnetic duality)）を Lorentz 表現論の言葉で解釈せよ。
ヒント
(a) 電場と磁場の組 \(\mathbf{F}_\pm = \mathbf{E} \pm i\mathbf{B}\) がブーストのもとでどう変換されるか計算する。\(\mathbf{J}_+\) が \(\mathbf{F}_+\) にのみ作用し \(\mathbf{J}_-\) が \(\mathbf{F}_-\) にのみ作用することを示す。(b) \((1,0)\) は 3 次元、\((0,1)\) も 3 次元で合計 6 次元。実条件 \((F^+)^* = F^-\) が実 6 成分を与える。(c) \(\mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+\) の変換が source-free Maxwell 方程式を保つことと、\((1,0)\) 表現空間上の位相回転が双対回転に対応することを結びつける。
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