第 6 章 練習問題 解答¶
目次
Basic（基礎）
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. Einstein 方程式の右辺と左辺¶
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(a) 物理的意味¶
- 左辺 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\): 時空の曲がり具合を表す幾何学的量。Bianchi 恒等式により \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) を自動的に満たす。
- 右辺 \(T_{\mu\nu}\): その場所のエネルギー密度・運動量密度・応力（圧力・ずれ応力）をまとめたテンソル。保存則 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) は物質のエネルギー・運動量保存を表す。
一言で：左辺が「時空の幾何」、右辺が「物質・エネルギー」。Wheeler の言葉では「時空は物質にどう動くかを教え、物質は時空にどう曲がるかを教える」。
(b) 真空での \(R_{\mu\nu} = 0\)¶
計算: Einstein 方程式の両辺に \(g^{\mu\nu}\) を縮約：
\(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R\), \(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = 4\)（4 次元のトレース）, \(g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = T\) を使って：
真空 \(T_{\mu\nu} = 0\) なら \(T = 0\) で \(R = 0\)。元の Einstein 方程式に戻して：
(c) Schwarzschild 計量の物理的意味¶
Schwarzschild 計量は \(R_{\mu\nu} = 0\) の解——星の外側の真空領域での時空構造を記述している。星そのもの（\(r < R_{\text{星}}\)）では \(T_{\mu\nu} \neq 0\) で、別の内部解が必要（Schwarzschild は球対称の場合に一意性あり、Birkhoff の定理）。
応用： 太陽系の惑星運動は太陽の外側なので Schwarzschild で記述可能。水星の近日点移動・光の偏向・GPS の時間補正すべてがこの真空解から出てくる。
Medium（標準）¶
M-1. 便利な作用と拘束条件¶
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(a) Euler-Lagrange 方程式¶
解法の方針: ラグランジアン \(\mathcal{L} = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu / 2\) を \(x^\sigma\) で変分する。
計算:
\(\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma\) から：
（\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\) とダミー添字の付け替えを使った。）
時間微分：
\(\partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma\) から：
Euler-Lagrange 方程式 \(\frac{d}{d\tau}\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma - \partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma = 0\) に代入：
中央の項で \(\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu\) の対称性から \(\alpha \leftrightarrow \nu\) を対称化：
これを代入（\(\mu, \nu\) → \(\alpha, \beta\) に整理）：
(b) 測地線方程式への変形¶
計算: 両辺に逆計量 \(g^{\mu\sigma}\) を掛け、\(g^{\mu\sigma}g_{\sigma\beta} = \delta^\mu{}_\beta\) を使う：
Christoffel 記号を
と定義すれば、求める測地線方程式
が得られる。
(c) 拘束条件の保存¶
論証: \(Q(\tau) \equiv g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) を \(\tau\) で微分：
測地線方程式 \(\ddot{x}^\mu = -\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta\) を代入し、Christoffel 記号の定義を戻すと、計算を整理すれば \(dQ/d\tau = 0\) が示せる（\(g_{\mu\nu}\) の共変微分がゼロであることと同値）。
したがって初期条件で \(Q(0) = -c^2\) を課せば、\(\tau\) のすべての値で \(Q(\tau) = -c^2\) が保たれる——拘束条件は自動的に保存される。これが「\(\tau\) を固有時に選べる」という主張の数学的内容。
検算: 平坦な時空 \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\) では \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0\) で \(\ddot{x}^\mu = 0\)。等速直線運動。\(\eta_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は 4 元速度の規格化条件そのもの。✓
M-2. 便利な作用から弦の作用へ¶
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(a) 記号の対応¶
| 粒子（世界線、1 次元） | 弦（世界面、2 次元） |
|---|---|
| パラメータ \(\tau\) | パラメータ \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\)（\(a = 0, 1\)） |
| 世界線 \(x^\mu(\tau)\) | 世界面 \(X^\mu(\tau, \sigma)\) |
| 微分 \(\dot{x}^\mu = dx^\mu/d\tau\) | 偏微分 \(\partial_a X^\mu\) |
| 作用 = 世界線の長さ \(\int d\tau\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}\) | 作用 = 世界面の面積 \(\int d^2\sigma\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu)}\) |
| 便利な作用 \(\frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) | Polyakov 作用 \(-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu\) |
| 拘束：\(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) | 拘束：\(T_{ab} = 0\)（Virasoro 拘束、第 14 章） |
(b) 弦理論での拘束条件¶
解法の方針: Polyakov 作用 \(S_{\text{P}}\) を補助計量 \(h^{ab}\) で変分する。
計算: \(h^{ab}\) は Polyakov 作用の中で運動方程式を持たない補助場（Lagrange 乗数の役目）。\(S_{\text{P}}\) を \(h^{ab}\) で変分すると、
という条件が出てくる。これが古典弦の拘束条件で、量子化すると Virasoro 拘束になる。
粒子の場合の \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は単一の拘束、弦の場合は世界面上の各点で \(T_{ab} = 0\) という 3 つの独立成分の拘束（\(T_{00}, T_{01}, T_{11}\) のうち対称性と条件で独立なのは 2 つ）を課す。
検算: 粒子（1 次元）では拘束は 1 条件、弦（2 次元）では拘束は増える——次元が上がると拘束が増えるのは自然。✓
(c) 3 つの共通構造¶
- 計量 \(g_{\mu\nu}(X)\) の役割: 点粒子でも弦でも、\(g_{\mu\nu}\) は「外部から与えられる背景時空」として同じ役割を果たす（弦が動く標的空間の計量）。
- パラメータ化不変性: 世界線の \(\tau\) も世界面の \(\sigma^a\) も、パラメータの取り直し（世界線の再パラメータ化 / 世界面の微分同相）で作用は不変。これが物理的自由度とゲージ自由度の分離を可能にする。
- 平方根の除去: どちらも補助場（拘束条件 / \(h_{ab}\)）を導入することで平方根を消し、計算・量子化を可能にする。
M-3. 弱い重力場での時計の遅れ¶
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(a) 近似の導出¶
\(|\Phi|/c^2 \ll 1\) で \(\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \approx 1 + \Phi/c^2\)（\(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)）。したがって：
重力ポテンシャルが低い場所（\(|\Phi|\) 大、\(\Phi < 0\)）では \(d\tau/dt < 1\)——時計がゆっくり進む。高い場所（\(\Phi\) 大、つまり \(|\Phi|\) 小）では相対的に速く進む。
(b) GPS 衛星と地表の時計¶
地表：\(r_{\text{地}} = R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m
\(\Phi_{\text{地}} = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus} = -\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{6.37 \times 10^6} \approx -6.25 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)
衛星（高度 \(h = 20000\) km \(= 2.0 \times 10^7\) m）：\(r_{\text{衛}} = R_\oplus + h \approx 2.637 \times 10^7\) m
\(\Phi_{\text{衛}} = -\frac{GM_\oplus}{r_{\text{衛}}} \approx -1.51 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)
ポテンシャル差：
\(\Delta\Phi = \Phi_{\text{衛}} - \Phi_{\text{地}} \approx -1.51 \times 10^7 - (-6.25 \times 10^7) = +4.74 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)
固有時の比：
衛星の時計は地表の時計より 1 秒あたり約 5.3 × 10⁻¹⁰ 秒速く進む。
1 日あたりのずれ：
\(5.28 \times 10^{-10} \times 86400 \approx 4.6 \times 10^{-5}\ \mathrm{s} = 46\ \mu\mathrm{s}\)
注: これは一般相対論効果のみ。GPS 衛星は高速で移動しているので、特殊相対論効果（\(v \approx 3.87\) km/s による時間の遅れ、1 日あたり約 \(-7\) μs）もあり、全体では +38 μs/日 程度。
(c) 位置精度への影響¶
1 マイクロ秒のずれで光が進む距離：
\(c \cdot 10^{-6}\ \mathrm{s} = 3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 300\ \mathrm{m}\)
GPS の測位は衛星からの信号伝達時間の精密測定に基づくので、時計のずれがそのまま距離の誤差になる。(b) の 46 μs/日 ≈ 14 km/日 の誤差が生じる——補正なしでは 1 日で 10 km 以上のずれ。
物理的意義: 一般相対論は日常技術（スマホの GPS、カーナビ、測量、航空管制）に不可欠。補正アルゴリズムには \(d\tau/dt = 1 + \Phi/c^2\) が直接組み込まれている。
検算: 地球の \(GM/R \sim c^2 \cdot 10^{-9}\) で重力ポテンシャルは光速の 2 乗より 9 桁小さい。弱い場の近似が妥当。✓
Advanced（発展）¶
A-1. 特異点と量子重力の必要性¶
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(a) 量子重力が効くスケール¶
計算: \(K = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) を \(r\) について解く：
\(r\) の 6 乗根を取る。太陽質量 \(M = M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg で数値を入れると：
\(G M_\odot / c^2 \approx 1477\) m（Schwarzschild 半径の半分に対応）
\(48 \cdot (G M_\odot)^2 / c^4 \approx 48 \cdot 1477^2 \approx 1.05 \times 10^8\ \mathrm{m^2}\)
\(\ell_P^4 \approx (1.6 \times 10^{-35})^4 \approx 6.6 \times 10^{-140}\ \mathrm{m^4}\)
\(r^6 \sim 1.05 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-140} \approx 6.9 \times 10^{-132}\ \mathrm{m^6}\)
(b) Schwarzschild 半径との比較¶
太陽質量ブラックホールの Schwarzschild 半径 \(r_s = 2GM_\odot/c^2 \approx 3\) km \(= 3 \times 10^3\) m。
(a) で求めた \(r \sim 10^{-22}\) m は、\(r_s\) に対して \(10^{-22}/(3 \times 10^3) \sim 3 \times 10^{-26}\) の比率——Schwarzschild 半径の内側の極めて深い領域でのみ量子重力が効く。事象の地平面から中心まで、ほとんどの領域では古典一般相対論で十分な精度で記述できる。
ただし：量子重力が必要な領域のサイズ自体は \(10^{-22}\) m で、Planck 長 \(\ell_P \sim 10^{-35}\) m よりはずっと大きい。ここは「重力の量子効果が無視できなくなり始める境界」で、真の Planck スケールまで行くとさらに量子重力の全貌が問われる。
(c) 反証可能性との関係¶
一般相対論は自らの適用限界（特異点）を内部から予言する。これは：
- モデルは完璧ではない：無限大が出ることは、現在のモデルの破綻を意味する。「法則」ではなく「仮説」であることの明確な証拠。
- より良いモデルが必要: 量子重力理論（弦理論、ループ量子重力など）の探求が物理の最先端課題である理由。
- 反証可能性の真骨頂: 一般相対論が「どこで破綻するか」まで明示的に示すことで、次のモデルが何を満たすべきかが具体化される（例：Planck スケールで特異点が解消される、ブラックホール情報パラドックスが解かれる、等）。
プロローグで強調した「モデルは仮説」というスタンスの具体例が、ここにある。
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