コンテンツにスキップ

第 6 章 練習問題 解答

← 問題に戻る　|　本文に戻る

目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Einstein 方程式の右辺と左辺

→ 問題に戻る

問題:

Einstein 方程式 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) について。

(a) 左辺（Einstein テンソル \(G_{\mu\nu}\)）と右辺（エネルギー運動量テンソル \(T_{\mu\nu}\)）の物理的意味をそれぞれ 1 文で述べよ。

(b) 真空 \(T_{\mu\nu} = 0\) のとき、Einstein 方程式は \(R_{\mu\nu} = 0\) に帰着することを示せ（両辺のトレースを取るのがポイント）。

(c) Schwarzschild 計量は \(R_{\mu\nu} = 0\) の解である。これは物理的に何を意味するか？

(a) 物理的意味:

  • 左辺 \(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\): 時空の曲がり具合を表す幾何学的量。Bianchi 恒等式により \(\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0\) を自動的に満たす。
  • 右辺 \(T_{\mu\nu}\): その場所のエネルギー密度・運動量密度・応力（圧力・ずれ応力）をまとめたテンソル。保存則 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0\) は物質のエネルギー・運動量保存を表す。

一言で：左辺が「時空の幾何」、右辺が「物質・エネルギー」。Wheeler の言葉では「時空は物質にどう動くかを教え、物質は時空にどう曲がるかを教える」。

(b) 真空での \(R_{\mu\nu} = 0\):

計算: Einstein 方程式の両辺に \(g^{\mu\nu}\) を縮約：

\[ g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \]

\(g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R\), \(g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = 4\)（4 次元のトレース）, \(g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} = T\) を使って：

\[ R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T \quad \Longrightarrow \quad R = -\frac{8\pi G}{c^4}T \]

真空 \(T_{\mu\nu} = 0\) なら \(T = 0\) で \(R = 0\)。元の Einstein 方程式に戻して：

\[ R_{\mu\nu} - 0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{R_{\mu\nu} = 0} \]

(c) Schwarzschild 計量の物理的意味:

Schwarzschild 計量は \(R_{\mu\nu} = 0\) の解——星の外側の真空領域での時空構造を記述している。星そのもの（\(r < R_{\text{星}}\)）では \(T_{\mu\nu} \neq 0\) で、別の内部解が必要（Schwarzschild は球対称の場合に一意性あり、Birkhoff の定理）。

応用： 太陽系の惑星運動は太陽の外側なので Schwarzschild で記述可能。水星の近日点移動・光の偏向・GPS の時間補正すべてがこの真空解から出てくる。

Medium（標準）

M-1. 便利な作用と拘束条件

→ 問題に戻る

問題:

質量 \(m\) の粒子の「便利な作用」

\[ S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

から、拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) のもとで測地線方程式

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

が得られることを示せ。

(a) Euler-Lagrange 方程式を \(x^\sigma\) について書き下し、\(g_{\mu\nu}\) の対称性とダミー添字の付け替えを使って整理せよ。

(b) 両辺に逆計量 \(g^{\sigma\mu}\) を掛けて \(\ddot{x}^\mu\) を解き出し、Christoffel 記号 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) の定義式を得よ。

(c) 拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は、時間発展の中で自動的に保たれる（\(\tau\) を固有時に選べば成立する）ことを論じよ。

(a) Euler-Lagrange 方程式:

解法の方針: ラグランジアン \(\mathcal{L} = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu / 2\) を \(x^\sigma\) で変分する。

計算:

\(\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma\) から：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}^\sigma} = \frac{1}{2}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu + g_{\mu\sigma}\dot{x}^\mu\right) = g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu \]

（\(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\) とダミー添字の付け替えを使った。）

時間微分：

\[ \frac{d}{d\tau}\left(g_{\sigma\nu}\dot{x}^\nu\right) = \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu + g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu \]

\(\partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma\) から：

\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^\sigma} = \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

Euler-Lagrange 方程式 \(\frac{d}{d\tau}\partial\mathcal{L}/\partial\dot{x}^\sigma - \partial\mathcal{L}/\partial x^\sigma = 0\) に代入：

\[ g_{\sigma\nu}\ddot{x}^\nu + \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\,\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu - \frac{1}{2}\partial_\sigma g_{\mu\nu}\,\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 0 \]

中央の項で \(\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu\) の対称性から \(\alpha \leftrightarrow \nu\) を対称化：

\[ \partial_\alpha g_{\sigma\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu = \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\alpha}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\nu \]

これを代入（\(\mu, \nu\) → \(\alpha, \beta\) に整理）：

\[ g_{\sigma\beta}\ddot{x}^\beta + \frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

(b) 測地線方程式への変形:

計算: 両辺に逆計量 \(g^{\mu\sigma}\) を掛け、\(g^{\mu\sigma}g_{\sigma\beta} = \delta^\mu{}_\beta\) を使う：

\[ \ddot{x}^\mu + \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0 \]

Christoffel 記号を

\[ \boxed{\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\partial_\alpha g_{\sigma\beta} + \partial_\beta g_{\sigma\alpha} - \partial_\sigma g_{\alpha\beta}\right)} \]

と定義すれば、求める測地線方程式

\[ \boxed{\ddot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta = 0} \]

が得られる。

(c) 拘束条件の保存:

論証: \(Q(\tau) \equiv g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) を \(\tau\) で微分：

\[ \frac{dQ}{d\tau} = \partial_\alpha g_{\mu\nu}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu + 2g_{\mu\nu}\ddot{x}^\mu\dot{x}^\nu \]

測地線方程式 \(\ddot{x}^\mu = -\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta\) を代入し、Christoffel 記号の定義を戻すと、計算を整理すれば \(dQ/d\tau = 0\) が示せる（\(g_{\mu\nu}\) の共変微分がゼロであることと同値）。

したがって初期条件で \(Q(0) = -c^2\) を課せば、\(\tau\) のすべての値で \(Q(\tau) = -c^2\) が保たれる——拘束条件は自動的に保存される。これが「\(\tau\) を固有時に選べる」という主張の数学的内容。

検算: 平坦な時空 \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\) では \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = 0\) で \(\ddot{x}^\mu = 0\)。等速直線運動。\(\eta_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は 4 元速度の規格化条件そのもの。✓

M-2. 便利な作用から弦の作用へ

→ 問題に戻る

問題:

粒子の便利な作用 \(S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) は、弦理論での Polyakov 作用

\[ S_{\text{P}} = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}\,\partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu}(X) \]

に自然に一般化される。以下の対応関係を整理せよ。

(a) 粒子の「世界線」（1 次元）と弦の「世界面」（2 次元）の違いを記述する記号を対応づけよ（\(\tau \leftrightarrow \sigma^a\), \(\dot{x}^\mu \leftrightarrow \partial_a X^\mu\) など）。

(b) 粒子の拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) に対応する弦理論での「拘束条件」が何になるか、\(h_{ab}\) の運動方程式（変分）から議論せよ。

(c) 粒子の作用と弦の作用で共通している構造（計量 \(g_{\mu\nu}(X)\) の役割、パラメータ化不変性、平方根が消えることの利点）を 3 点挙げよ。

(a) 記号の対応:

粒子（世界線、1 次元） 弦（世界面、2 次元）
パラメータ \(\tau\) パラメータ \(\sigma^a = (\tau, \sigma)\)（\(a = 0, 1\)）
世界線 \(x^\mu(\tau)\) 世界面 \(X^\mu(\tau, \sigma)\)
微分 \(\dot{x}^\mu = dx^\mu/d\tau\) 偏微分 \(\partial_a X^\mu\)
作用 = 世界線の長さ \(\int d\tau\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu}\) 作用 = 世界面の面積 \(\int d^2\sigma\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu)}\)
便利な作用 \(\frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) Polyakov 作用 \(-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu\partial_b X^\nu\)
拘束：\(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) 拘束：\(T_{ab} = 0\)（Virasoro 拘束、第 14 章）

(b) 弦理論での拘束条件:

解法の方針: Polyakov 作用 \(S_{\text{P}}\) を補助計量 \(h^{ab}\) で変分する。

計算: \(h^{ab}\) は Polyakov 作用の中で運動方程式を持たない補助場（Lagrange 乗数の役目）。\(S_{\text{P}}\) を \(h^{ab}\) で変分すると、

\[ T_{ab} \equiv \partial_a X^\mu\,\partial_b X_\mu - \frac{1}{2}h_{ab}\,h^{cd}\partial_c X^\mu\,\partial_d X_\mu = 0 \]

という条件が出てくる。これが古典弦の拘束条件で、量子化すると Virasoro 拘束になる。

粒子の場合の \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は単一の拘束、弦の場合は世界面上の各点で \(T_{ab} = 0\) という 3 つの独立成分の拘束（\(T_{00}, T_{01}, T_{11}\) のうち対称性と条件で独立なのは 2 つ）を課す。

検算: 粒子（1 次元）では拘束は 1 条件、弦（2 次元）では拘束は増える——次元が上がると拘束が増えるのは自然。✓

(c) 3 つの共通構造:

  1. 計量 \(g_{\mu\nu}(X)\) の役割: 点粒子でも弦でも、\(g_{\mu\nu}\) は「外部から与えられる背景時空」として同じ役割を果たす（弦が動く標的空間の計量）。
  2. パラメータ化不変性: 世界線の \(\tau\) も世界面の \(\sigma^a\) も、パラメータの取り直し（世界線の再パラメータ化 / 世界面の微分同相）で作用は不変。これが物理的自由度とゲージ自由度の分離を可能にする。
  3. 平方根の除去: どちらも補助場（拘束条件 / \(h_{ab}\)）を導入することで平方根を消し、計算・量子化を可能にする。

M-3. 弱い重力場での時計の遅れ

→ 問題に戻る

問題:

弱い重力場 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\) の時空で静止する時計が刻む固有時 \(d\tau\) と座標時 \(dt\) の関係は

\[ d\tau = dt\sqrt{-g_{00}} = dt\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \]

である。

(a) \(|\Phi|/c^2 \ll 1\) の近似で \(d\tau/dt \approx 1 + \Phi/c^2\) を示せ。

(b) GPS 衛星（地表から高度 \(h \approx 20000\) km、地球の重力ポテンシャル \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\)）と地表の時計の固有時の比を計算し、1 日あたりのずれ（マイクロ秒単位）を見積もれ（\(M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\) kg、\(R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m）。

(c) 1 日で 1 マイクロ秒の時刻ずれが位置測定に与える影響を、\(c \cdot 10^{-6}\) s 単位で推定せよ。GPS の位置精度に補正が必要な理由を説明せよ。

(a) 近似の導出:

\(|\Phi|/c^2 \ll 1\) で \(\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \approx 1 + \Phi/c^2\)（\(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)）。したがって：

\[ \boxed{\frac{d\tau}{dt} \approx 1 + \frac{\Phi}{c^2}} \]

重力ポテンシャルが低い場所（\(|\Phi|\) 大、\(\Phi < 0\)）では \(d\tau/dt < 1\)——時計がゆっくり進む。高い場所（\(\Phi\) 大、つまり \(|\Phi|\) 小）では相対的に速く進む。

(b) GPS 衛星と地表の時計:

地表：\(r_{\text{地}} = R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m

\(\Phi_{\text{地}} = -\frac{GM_\oplus}{R_\oplus} = -\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{6.37 \times 10^6} \approx -6.25 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

衛星（高度 \(h = 20000\) km \(= 2.0 \times 10^7\) m）：\(r_{\text{衛}} = R_\oplus + h \approx 2.637 \times 10^7\) m

\(\Phi_{\text{衛}} = -\frac{GM_\oplus}{r_{\text{衛}}} \approx -1.51 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

ポテンシャル差：

\(\Delta\Phi = \Phi_{\text{衛}} - \Phi_{\text{地}} \approx -1.51 \times 10^7 - (-6.25 \times 10^7) = +4.74 \times 10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\)

固有時の比：

\[ \frac{d\tau_{\text{衛}}}{d\tau_{\text{地}}} - 1 \approx \frac{\Delta\Phi}{c^2} = \frac{4.74 \times 10^7}{8.99 \times 10^{16}} \approx 5.28 \times 10^{-10} \]

衛星の時計は地表の時計より 1 秒あたり約 5.3 × 10⁻¹⁰ 秒速く進む。

1 日あたりのずれ：

\(5.28 \times 10^{-10} \times 86400 \approx 4.6 \times 10^{-5}\ \mathrm{s} = 46\ \mu\mathrm{s}\)

\[ \boxed{\text{1 日あたり約 46 マイクロ秒のずれ}} \]

注: これは一般相対論効果のみ。GPS 衛星は高速で移動しているので、特殊相対論効果（\(v \approx 3.87\) km/s による時間の遅れ、1 日あたり約 \(-7\) μs）もあり、全体では +38 μs/日 程度。

(c) 位置精度への影響:

1 マイクロ秒のずれで光が進む距離：

\(c \cdot 10^{-6}\ \mathrm{s} = 3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 300\ \mathrm{m}\)

GPS の測位は衛星からの信号伝達時間の精密測定に基づくので、時計のずれがそのまま距離の誤差になる。(b) の 46 μs/日 ≈ 14 km/日 の誤差が生じる——補正なしでは 1 日で 10 km 以上のずれ。

物理的意義: 一般相対論は日常技術（スマホの GPS、カーナビ、測量、航空管制）に不可欠。補正アルゴリズムには \(d\tau/dt = 1 + \Phi/c^2\) が直接組み込まれている。

検算: 地球の \(GM/R \sim c^2 \cdot 10^{-9}\) で重力ポテンシャルは光速の 2 乗より 9 桁小さい。弱い場の近似が妥当。✓

Advanced（発展）

A-1. 特異点と量子重力の必要性

→ 問題に戻る

問題:

Schwarzschild 計量で \(r \to 0\) を考える。

(a) 曲率不変量 \(K = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6)\) を用いて、\(K\) が Planck スケール \(1/\ell_P^4\) と同程度になる \(r\) を見積もれ（\(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 1.6 \times 10^{-35}\) m、\(M\) は太陽質量）。

(b) (a) で求めた \(r\) の値から、太陽質量のブラックホールの場合、Planck スケールに達する領域のサイズを評価し、「量子重力が必要になる領域」が Schwarzschild 半径 \(r_s \approx 3\) km よりずっと内側であることを確認せよ。

(c) 特異点の存在が一般相対論の反証可能性とどう関係するか、短く論じよ（「モデルは仮説」というスタンスを踏まえて）。

(a) 量子重力が効くスケール:

計算: \(K = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) を \(r\) について解く：

\[ r^6 \sim 48 G^2 M^2 \ell_P^4/c^4 \]

\(r\) の 6 乗根を取る。太陽質量 \(M = M_\odot \approx 2.0 \times 10^{30}\) kg で数値を入れると：

\(G M_\odot / c^2 \approx 1477\) m（Schwarzschild 半径の半分に対応）

\(48 \cdot (G M_\odot)^2 / c^4 \approx 48 \cdot 1477^2 \approx 1.05 \times 10^8\ \mathrm{m^2}\)

\(\ell_P^4 \approx (1.6 \times 10^{-35})^4 \approx 6.6 \times 10^{-140}\ \mathrm{m^4}\)

\(r^6 \sim 1.05 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-140} \approx 6.9 \times 10^{-132}\ \mathrm{m^6}\)

\[ r \sim (6.9 \times 10^{-132})^{1/6} \approx 10^{-22}\ \mathrm{m} \]

(b) Schwarzschild 半径との比較:

太陽質量ブラックホールの Schwarzschild 半径 \(r_s = 2GM_\odot/c^2 \approx 3\) km \(= 3 \times 10^3\) m。

(a) で求めた \(r \sim 10^{-22}\) m は、\(r_s\) に対して \(10^{-22}/(3 \times 10^3) \sim 3 \times 10^{-26}\) の比率——Schwarzschild 半径の内側の極めて深い領域でのみ量子重力が効く。事象の地平面から中心まで、ほとんどの領域では古典一般相対論で十分な精度で記述できる。

ただし：量子重力が必要な領域のサイズ自体は \(10^{-22}\) m で、Planck 長 \(\ell_P \sim 10^{-35}\) m よりはずっと大きい。ここは「重力の量子効果が無視できなくなり始める境界」で、真の Planck スケールまで行くとさらに量子重力の全貌が問われる。

(c) 反証可能性との関係:

一般相対論は自らの適用限界（特異点）を内部から予言する。これは：

  1. モデルは完璧ではない：無限大が出ることは、現在のモデルの破綻を意味する。「法則」ではなく「仮説」であることの明確な証拠。
  2. より良いモデルが必要: 量子重力理論（弦理論、ループ量子重力など）の探求が物理の最先端課題である理由。
  3. 反証可能性の真骨頂: 一般相対論が「どこで破綻するか」まで明示的に示すことで、次のモデルが何を満たすべきかが具体化される（例：Planck スケールで特異点が解消される、ブラックホール情報パラドックスが解かれる、等）。

プロローグで強調した「モデルは仮説」というスタンスの具体例が、ここにある。