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Appendix H 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 中心電荷の一般公式

\(bc\) ゴースト系の中心電荷の一般公式

\[ c_\lambda^{bc} = -2(6\lambda^2 - 6\lambda + 1) \]

を用いて、以下の各場合について中心電荷を計算せよ。

(a) ボソン弦のリパラメトリゼーションゴースト \(\lambda = 2\) (b) 超共形対称性の \(\beta\gamma\) 系 \(\lambda = 3/2\) (c) 自由フェルミオン \(\lambda = 1/2\) (d) \(\lambda = 0\)（trivial 例）

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B-2. ゴーストのエネルギー運動量テンソルと OPE の検証

\(bc\) ゴースト系のエネルギー運動量テンソルは

\[ T_{\text{ghost}}(z) = -2\,b(z)\,\partial c(z) - \partial b(z)\,c(z)\]

で与えられる。\(b\) と \(c\) の基本 OPE は $$

b(z)\,c(w) \sim \frac{1}{z - w}$$

である。

(a) \(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\) の OPE を計算し、\(b(w)\) が共形ウェイト \(h_b = 2\) の一次場（primary field）であること、すなわち

\[ T_{\text{ghost}}(z)\,b(w) \sim \frac{2\,b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w}\]

を示せ。

(b) 同様に \(T_{\text{ghost}}(z)\,c(w)\) の OPE を計算し、\(c(w)\) の共形ウェイトが \(h_c = -1\) であることを確認せよ。

(c) \(h_b + h_c = 1\) であることを確認し、この関係がゴースト数カレント \(j(z) = -b(z)c(z)\) の共形ウェイトと整合することを述べよ。

ヒント

Wick の定理を用いる。\(T_{\text{ghost}}(z)\,b(w)\) では \(c(z)\) と \(b(w)\) の縮約 \(\langle c(z)b(w)\rangle = -1/(z-w)\) を使う。\(\partial c(z)\) との縮約は \(1/(z-w)^2\)。

Medium（標準）

M-1. \(T_{\text{ghost}} b\) OPE

\[ T_{\text{ghost}}(z)\, b(w) \sim \frac{\lambda\, b(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial b(w)}{z-w} \]

になるような \(T_{\text{ghost}}\) の係数を決定せよ（\(\lambda\) を一般の値として）。具体的には、\(T_{\text{ghost}} = \alpha\, :bc': + \beta\, :b'c:\) の形を仮定し、この OPE が上の形になる条件から \(\alpha, \beta\) を \(\lambda\) で表せ。

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Advanced（発展）

A-1. 超弦の臨界次元 \(D=10\) の導出

超弦の臨界次元 \(D = 10\) を、物質場とゴーストの中心電荷の合計ゼロ条件から導出せよ。物質場は \(D\) 個の自由ボソン（\(c = D\)）と \(D\) 個のワールドシートフェルミオン（各 \(c = 1/2\)、合計 \(c = D/2\)）、ゴースト場は \(bc\) 系（\(c = -26\)）と \(\beta\gamma\) 系（\(c = +11\)）からなる。

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A-2. 物質場中心電荷の減少

問題 H.3 の結果は「超対称性ゴースト \(\beta\gamma\) の中心電荷が \(+11\) なので、その分だけ物質場が少なくて済む」と解釈できる。物質場の合計中心電荷が、ボソン弦（\(c_{\text{matter}} = 26\)）から超弦（\(c_{\text{matter}} = 15\)）に減ったことを確認せよ。

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