Appendix B 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. \(\mathbb{C}^2\) のベクトルのノルム計算
- B-2. \(\mathbb{C}^2\) の内積計算
- B-3. 2 次元ベクトルの規格化
- B-4. 直交の判定
- B-5. 行列要素の計算
- B-6. エルミート共役の計算
- B-7. 交換子の計算
- B-8. 線形独立の判定
- B-9. 展開係数の計算
- B-10. 完全性関係の確認
Medium（標準）
- M-1. Gram–Schmidt の直交化法
- M-2. エルミート行列の固有値は実数であることの証明
- M-3. エルミート行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する
- M-4. 交換子の恒等式の導出
- M-5. Schwarz の不等式の証明
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. \(\mathbb{C}^2\) のベクトルのノルム計算¶
ベクトル \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 2i \\ 1 - i \end{pmatrix}\) のノルム \(\||\psi\rangle\|\) を求めよ。
ヒント
ノルムは \(\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}\) で、\(\langle\psi|\psi\rangle = \sum_k |z_k|^2\) です。各成分の絶対値の 2 乗を計算して足しましょう。\(|2i|^2 = 4\)、\(|1-i|^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 2\) です。
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B-2. \(\mathbb{C}^2\) の内積計算¶
次の 2 つのベクトルの内積 \(\langle\phi|\psi\rangle\) を計算せよ。
ヒント
\(\langle\phi|\psi\rangle = \sum_k \phi_k^* \psi_k\) です。第 1 引数（ブラ側）の成分に複素共役がつくことに注意してください。\(\langle\phi| = (3^*,\; i^*) = (3,\; -i)\) です。
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B-3. 2 次元ベクトルの規格化¶
ベクトル \(|v\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}\) を規格化せよ。すなわち、\(\langle u|u\rangle = 1\) を満たすベクトル \(|u\rangle = \frac{|v\rangle}{\||v\rangle\|}\) を求めよ。
ヒント
まず \(\langle v|v\rangle = |1|^2 + |1|^2 + |i|^2\) を計算してノルムを求め、各成分をそのノルムで割ります。
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B-4. 直交の判定¶
次の 2 つのベクトルが直交するかどうか判定せよ。
ヒント
内積 \(\langle a|b\rangle\) を計算して、0 になるかどうか調べます。\(\langle a| = (1^*,\; i^*) = (1,\; -i)\) です。
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B-5. 行列要素の計算¶
正規直交基底 \(|e_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|e_2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) に対して、演算子 \(\hat{A}\) が
と作用するとき、\(\hat{A}\) の行列表現 \((A_{jk}) = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) を求めよ。
ヒント
\(A_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) なので、\(A_{11} = \langle e_1|\hat{A}|e_1\rangle\) は \(\hat{A}|e_1\rangle\) の第 1 成分、\(A_{21} = \langle e_2|\hat{A}|e_1\rangle\) は \(\hat{A}|e_1\rangle\) の第 2 成分です。
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B-6. エルミート共役の計算¶
行列
のエルミート共役 (Hermitian conjugate) \(A^\dagger\) を求めよ。
ヒント
エルミート共役は「転置して各成分の複素共役をとる」操作です。\((A^\dagger)_{jk} = A_{kj}^*\) を使います。
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B-7. 交換子の計算¶
次の \(2 \times 2\) 行列 \(A\), \(B\) の交換子 \([A, B] = AB - BA\) を計算せよ。
ヒント
まず行列の積 \(AB\) と \(BA\) をそれぞれ計算し、差をとります。\(2 \times 2\) 行列の積の公式 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}\) を使いましょう。
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B-8. 線形独立の判定¶
\(\mathbb{C}^2\) の次の 2 つのベクトルが線形独立かどうか判定せよ。
ヒント
\(c_1|v_1\rangle + c_2|v_2\rangle = \mathbf{0}\) を立てて、\(c_1 = c_2 = 0\) しか解がないかどうか調べます。あるいは、一方が他方の定数倍になっているかどうか確認しましょう。\(|v_2\rangle = \alpha |v_1\rangle\) となる \(\alpha\) が存在するか？
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B-9. 展開係数の計算¶
正規直交基底 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) に対して、ベクトル \(|\psi\rangle = \begin{pmatrix} 3 \\ i \end{pmatrix}\) の展開係数 \(c_+ = \langle +|\psi\rangle\) と \(c_- = \langle -|\psi\rangle\) を求めよ。
ヒント
正規直交基底では展開係数は \(c_k = \langle e_k|\psi\rangle\) で求まります（式 (B.19)）。\(\langle +| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\; 1)\) であることに注意（この基底は実数成分なので複素共役は不要）。
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B-10. 完全性関係の確認¶
D9 の基底 \(|+\rangle\), \(|-\rangle\) を用いて、\(|+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|\) を \(2 \times 2\) 行列として計算し、単位行列 \(\hat{1}\) になることを確認せよ。
ヒント
\(|+\rangle\langle +|\) はケット \(|+\rangle\)（列ベクトル）とブラ \(\langle +|\)（行ベクトル）の積で、\(2\times 2\) 行列になります。\(|+\rangle\langle +| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}(1,\;1) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\) です。同様に \(|-\rangle\langle -|\) を計算して足しましょう。
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Medium（標準）¶
M-1. Gram–Schmidt の直交化法¶
\(\mathbb{C}^2\) で次の 2 つの線形独立なベクトルが与えられている。
Gram–Schmidt の直交化法（式 (B.22)–(B.24)）を適用して、正規直交基底 \(\{|e_1\rangle, |e_2\rangle\}\) を構成せよ。また、得られた \(|e_1\rangle\) と \(|e_2\rangle\) が実際に正規直交であること（\(\langle e_1|e_2\rangle = 0\), \(\langle e_1|e_1\rangle = \langle e_2|e_2\rangle = 1\)）を確認せよ。
ヒント
Step 1: \(|e_1\rangle = |v_1\rangle / \||v_1\rangle\|\) を計算します。\(\||v_1\rangle\| = \sqrt{|1|^2 + |i|^2} = \sqrt{2}\) です。
Step 2: \(|w_2\rangle = |v_2\rangle - \langle e_1|v_2\rangle |e_1\rangle\) を計算し、規格化します。\(\langle e_1|v_2\rangle\) を丁寧に計算してください（第 1 引数の成分に複素共役がつきます）。
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M-2. エルミート行列の固有値は実数であることの証明¶
\(\hat{A}\) をエルミート (Hermite) 行列（\(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\)）とする。\(\hat{A}\) の固有値方程式
において、固有値 \(\lambda\) が必ず実数であることを証明せよ。
ヒント
固有値方程式の両辺に左から \(\langle\lambda|\) をかけて \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda\langle\lambda|\lambda\rangle\) を得ます。次に、\(\hat{A}^\dagger = \hat{A}\) と内積のエルミート性 \(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle = \langle\hat{A}^\dagger\lambda|\lambda\rangle = \langle\hat{A}\lambda|\lambda\rangle\) を使って、\(\langle\lambda|\hat{A}|\lambda\rangle\) が実数であることを示しましょう。
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M-3. エルミート行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する¶
エルミート行列 \(\hat{A}\) の 2 つの固有値 \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) に属する固有ベクトルをそれぞれ \(|\lambda_1\rangle\), \(|\lambda_2\rangle\) とする。\(\langle\lambda_1|\lambda_2\rangle = 0\) であることを証明せよ。
ヒント
\(\hat{A}|\lambda_2\rangle = \lambda_2|\lambda_2\rangle\) の両辺に左から \(\langle\lambda_1|\) をかけた式と、\(\hat{A}|\lambda_1\rangle = \lambda_1|\lambda_1\rangle\) のエルミート共役をとって右から \(|\lambda_2\rangle\) をかけた式を比較します。\(\lambda_1, \lambda_2\) が実数であること（S2 の結果）を使います。
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M-4. 交換子の恒等式の導出¶
任意の線形演算子 \(\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}\) に対して、以下の恒等式（Jacobi (ヤコビ) 恒等式）を証明せよ。
ヒント
交換子の定義 \([\hat{X}, \hat{Y}] = \hat{X}\hat{Y} - \hat{Y}\hat{X}\) を使って、左辺の各項を展開します。\([\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]] = \hat{A}\hat{B}\hat{C} - \hat{A}\hat{C}\hat{B} - \hat{B}\hat{C}\hat{A} + \hat{C}\hat{B}\hat{A}\) のように 4 項ずつ出てくるので、全 12 項を書き出してキャンセルを確認しましょう。
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M-5. Schwarz の不等式の証明¶
内積空間の任意のベクトル \(|\psi\rangle\), \(|\phi\rangle\) に対して、Schwarz (シュワルツ) の不等式
を証明せよ。また、等号が成立する条件を述べよ。
ヒント
任意の複素数 \(t\) に対して \(|w\rangle = |\psi\rangle - t|\phi\rangle\) とおき、\(\langle w|w\rangle \geq 0\) を利用します。\(t = \langle\phi|\psi\rangle / \langle\phi|\phi\rangle\) と選ぶと不等式が導かれます（\(|\phi\rangle = \mathbf{0}\) の場合は自明）。
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Advanced（発展）¶
A-1. ユニタリ行列による基底変換と行列表現の変換則¶
\(N\) 次元の内積空間で、2 つの正規直交基底 \(\{|e_k\rangle\}_{k=1}^N\) と \(\{|f_k\rangle\}_{k=1}^N\) が与えられている。基底変換行列 \(U\) を \(U_{jk} = \langle e_j|f_k\rangle\) で定義する。
(a) \(U\) がユニタリ行列（\(U^\dagger U = UU^\dagger = \hat{1}\)）であることを、完全性関係を用いて証明せよ。
(b) 演算子 \(\hat{A}\) の基底 \(\{|e_k\rangle\}\) での行列表現を \(A^{(e)}\)、基底 \(\{|f_k\rangle\}\) での行列表現を \(A^{(f)}\) とするとき、
が成り立つことを示せ。
(c) この結果を用いて、「演算子のトレース \(\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_k A_{kk}\) は基底の取り方によらない」ことを証明せよ。
ヒント
(a) \((U^\dagger U)_{jk} = \sum_l U_{lj}^* U_{lk} = \sum_l \langle f_j|e_l\rangle\langle e_l|f_k\rangle\) を計算し、\(\{|e_l\rangle\}\) に関する完全性関係を挿入します。
(b) \(A^{(e)}_{jk} = \langle e_j|\hat{A}|e_k\rangle\) に \(\hat{1} = \sum_l |f_l\rangle\langle f_l|\) を \(\hat{A}\) の左右に挿入します。
(c) トレースの巡回性 \(\mathrm{Tr}(XYZ) = \mathrm{Tr}(ZXY)\) を使うか、直接 \(\sum_k (UAU^\dagger)_{kk}\) を計算します。
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A-2. テンソル積空間と Bell 基底の構成¶
2 つの \(\mathbb{C}^2\) 空間のテンソル積 \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) を考える。各空間の標準基底を \(\{|0\rangle, |1\rangle\}\) とし、テンソル積空間の標準基底を \(\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}\)（ここで \(|jk\rangle \equiv |j\rangle \otimes |k\rangle\)）とする。
(a) 次の 4 つのベクトル（Bell (ベル) 基底）が \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) の正規直交基底をなすことを示せ。
(b) \(|\Phi^+\rangle\) が「分離不可能 (entangled)」であることを示せ。すなわち、\(|\Phi^+\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle\) と書ける \(|a\rangle \in \mathbb{C}^2\), \(|b\rangle \in \mathbb{C}^2\) が存在しないことを背理法で証明せよ。
(c) 標準基底で書かれた任意の状態 \(|\psi\rangle = \alpha|00\rangle + \beta|01\rangle + \gamma|10\rangle + \delta|11\rangle\)（\(|\alpha|^2 + |\beta|^2 + |\gamma|^2 + |\delta|^2 = 1\)）を Bell 基底で展開せよ。すなわち、展開係数を \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) で表せ。
ヒント
(a) テンソル積空間の内積は \(\langle jk|lm\rangle = \delta_{jl}\delta_{km}\) です。6 つの内積の組み合わせ \(\langle\Phi^+|\Phi^-\rangle\), \(\langle\Phi^+|\Psi^+\rangle\), ... を全て計算して 0 になること、各ベクトルのノルムが 1 であることを確認します。4 次元空間で 4 つの正規直交ベクトルがあれば基底になります。
(b) \(|a\rangle = a_0|0\rangle + a_1|1\rangle\), \(|b\rangle = b_0|0\rangle + b_1|1\rangle\) とおいて \(|a\rangle\otimes|b\rangle\) を展開し、\(|\Phi^+\rangle\) の係数と比較します。\(a_0 b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(a_0 b_1 = 0\), \(a_1 b_0 = 0\), \(a_1 b_1 = 1/\sqrt{2}\) から矛盾を導きます。
(c) 完全性関係 \(\hat{1} = |\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| + |\Phi^-\rangle\langle\Phi^-| + |\Psi^+\rangle\langle\Psi^+| + |\Psi^-\rangle\langle\Psi^-|\) を使い、各展開係数を内積で求めます。
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