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Appendix B 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 電子の Compton 波長の SI 計算

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\(\lambda_C = \frac{\hbar}{m_e c}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{9.109 \times 10^{-31} \times 2.998 \times 10^8}\)

\(= \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2.731 \times 10^{-22}}\)

\(= 3.86 \times 10^{-13} \;\text{m} \approx 0.386 \;\text{pm}\)

これは原子のサイズ（\(\sim 10^{-10}\) m）よりはるかに小さく、原子核のサイズ（\(\sim 10^{-15}\) m）より大きい。Compton 波長は「量子力学的効果が重要になるスケール」を表す。

B-2. Planck 質量を GeV で

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\(m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} = 2.176 \times 10^{-8} \;\text{kg}\)

GeV に換算：

\(m_P c^2 = 2.176 \times 10^{-8} \times (2.998 \times 10^8)^2 = 1.956 \times 10^9 \;\text{J}\)

\(= \frac{1.956 \times 10^9}{1.602 \times 10^{-10}} \;\text{GeV} = 1.221 \times 10^{19} \;\text{GeV}\)

陽子質量 \(m_p \approx 0.938\) GeV との比：

\(\frac{m_P}{m_p} = \frac{1.221 \times 10^{19}}{0.938} \approx 1.3 \times 10^{19}\)

Planck 質量は陽子質量の約 \(10^{19}\) 倍。

Medium（標準）

M-1. 自然単位系での \(G\) の次元

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SI 単位系での \(G\) の次元：

\([G] = \frac{[\text{長さ}]^3}{[\text{質量}][\text{時間}]^2} = \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)

自然単位系（\(\hbar = c = 1\)）では： - \(c = 1\) より \([\text{長さ}] = [\text{時間}]\) - \(\hbar = 1\) より \([\text{エネルギー}] \cdot [\text{時間}] = 1\)、つまり \([\text{時間}] = [\text{エネルギー}]^{-1}\) - \(E = mc^2\) より \([\text{質量}] = [\text{エネルギー}]\)

したがって \([\text{長さ}] = [\text{時間}] = [\text{エネルギー}]^{-1}\)、\([\text{質量}] = [\text{エネルギー}]\)。

\([G] = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}][\text{E}]^{-2}} = \frac{[\text{E}]^{-3}}{[\text{E}]^{-1}} = [\text{E}]^{-2}\)

確かに \([G] = [\text{エネルギー}]^{-2}\)。

M-2. 自然単位系での微細構造定数

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SI 単位系での定義：

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}\)

自然単位系では \(\hbar = c = 1\) とし、さらに Gauss 単位系の慣例で \(4\pi\varepsilon_0 = 1\) とおくと：

\(\alpha = \frac{e^2}{4\pi}\)

\(\alpha \approx 1/137\) は無次元量なので、どの単位系でも値は同じ。自然単位系では \(e^2 = 4\pi\alpha \approx 4\pi/137 \approx 0.0917\)。