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Appendix C 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 区間 で定義された関数 （定数関数）の Fourier 係数 （）および （）を、式 (C.6)

区間 \([0, L]\) で定義された関数 \(f(x) = 1\)（定数関数）の Fourier 係数 \(a_n\)（\(n = 0, 1, 2, \ldots\)）および \(b_n\)（\(n = 1, 2, 3, \ldots\)）を、式 (C.6), (C.7) を用いて全て求めよ。

ヒント

\(\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)\) を \(0\) から \(L\) まで積分すると、\(n \geq 1\) のとき \(\sin\) の一周期分になる。\(n = 0\) のときは被積分関数が \(1\) になることに注意。

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B-2. 複素指数関数の直交性（式 (C.12)）を用いて、次の積分を計算せよ

複素指数関数の直交性（式 (C.12)）を用いて、次の積分を計算せよ。

\[ \int_0^L e^{i \frac{2\pi \cdot 3}{L} x}\, e^{-i \frac{2\pi \cdot 5}{L} x}\, dx \]
ヒント

被積分関数を \(e^{i\frac{2\pi(m-n)}{L}x}\) の形にまとめよ。\(m = 3\), \(n = 5\) のとき \(m \neq n\) であることを確認する。

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B-3. Euler (オイラー) の公式 を用いて、次を示せ

Euler (オイラー) の公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) を用いて、次を示せ。

\[ \cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right) = \frac{1}{2}\left(e^{i\frac{2\pi n}{L}x} + e^{-i\frac{2\pi n}{L}x}\right) \]

さらに、実数関数 \(f(x)\) の実 Fourier 係数 \(a_n, b_n\) と複素 Fourier 係数 \(c_n\) の間の関係式

\[ c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} \quad (n \geq 1), \qquad c_0 = \frac{a_0}{2} \]

を、式 (C.5) と式 (C.10) を比較して導け。

ヒント

式 (C.5) の \(\cos\) と \(\sin\) を式 (C.9) で複素指数関数に書き換え、\(e^{ik_n x}\) と \(e^{-ik_n x}\) の係数を式 (C.10) の \(c_n\) および \(c_{-n}\) と比較せよ。

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B-4. 区間 で の Fourier 係数 および を全て求めよ

区間 \([0, L]\) で \(f(x) = \sin\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\) の Fourier 係数 \(a_n\) および \(b_n\) を全て求めよ。

ヒント

\(a_n\) の計算では式 (C.4) の直交性がそのまま使える。\(b_n\) の計算では式 (C.3) を用いよ。

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B-5. Gauss (ガウス) 積分の公式

Gauss (ガウス) 積分の公式

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \qquad (\alpha > 0) \]

を用いて、関数 \(f(x) = e^{-3x^2}\) の Fourier 変換 \(\tilde{f}(k)\) を流儀 (b)（式 (C.16)）で計算せよ。

ヒント

\(\tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x^2} e^{-ikx}\,dx\) の指数部分を \(-3\!\left(x + \frac{ik}{6}\right)^2 - \frac{k^2}{12}\) と平方完成せよ。

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B-6. 畳み込みの定義（式 (C.21)）に従って、 と （ は定数）の畳み込み を計算せよ。ここで は D

畳み込みの定義（式 (C.21)）に従って、\(f(x) = e^{-|x|}\) と \(g(x) = \delta(x - a)\)（\(a\) は定数）の畳み込み \((f * g)(x)\) を計算せよ。ここで \(\delta\) は Dirac (ディラック) の δ 関数であり、\(\int_{-\infty}^{\infty} h(x')\,\delta(x' - a)\,dx' = h(a)\) を満たす。

ヒント

\(\delta(x' - a)\) の性質（ふるい分け性質）を用いると、\(x'\) の積分が一瞬で実行できる。

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B-7. 次の積分を、δ 関数の Fourier 積分表示（式 (C.19)）

次の積分を、δ 関数の Fourier 積分表示（式 (C.19)）

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(k - k')x}\,dx = \delta(k - k') \]

を利用して評価せよ。

\[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \cdot 7 x}\,dx \]
ヒント

式 (C.19) で \(k = 7\), \(k' = 0\) と置けばよい。

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B-8. Parseval の等式（式 (C.18)）を用いて以下を確かめよ。 のとき

Parseval の等式（式 (C.18)）を用いて以下を確かめよ。\(f(x) = e^{-|x|}\) のとき、

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

が成り立つことを、左辺を直接計算し、右辺を \(\tilde{f}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{1}{1+k^2}\)（流儀 (b)）を用いて計算し、両者が一致することを示せ。

ヒント

左辺：\(|f(x)|^2 = e^{-2|x|}\) の積分は \(\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx\) の 2 倍。右辺：\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2}\) は \(\frac{\pi}{2}\) であることを利用せよ（部分分数分解、または \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{(1+k^2)^2} = \frac{\pi}{2}\) を公式として用いてよい）。

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Medium（標準）

M-1. 区間 で定義された関数 の Fourier 係数 および を求め、Fourier 級数（式 (C.5

区間 \([0, L]\) で定義された関数 \(f(x) = x\) の Fourier 係数 \(a_n\) および \(b_n\) を求め、Fourier 級数（式 (C.5)）を書き下せ。さらに、\(x = L/2\) を代入して得られる級数の値が \(f(L/2) = L/2\) と一致することを確認せよ。

ヒント

\(a_n\)：\(\int_0^L x\cos\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) は部分積分で計算する。\(a_0\) は平均値の 2 倍になる。\(b_n\)：\(\int_0^L x\sin\!\left(\frac{2\pi n}{L}x\right)dx\) も部分積分。\(x = L/2\) での \(\sin\) と \(\cos\) の値を確認すること。

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M-2. Gauss 関数の Fourier 変換と Parseval の等式

Gauss 関数 \(f(x) = e^{-ax^2}\)（\(a > 0\)）の Fourier 変換を流儀 (b) で求め、結果が再び Gauss 関数になることを示せ。さらに、Parseval の等式（式 (C.18)）を用いて

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2ax^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2a}\,e^{-k^2/(2a)}\,dk \]

が成り立つことを確認せよ。

ヒント

指数部分を \(-a\!\left(x + \frac{ik}{2a}\right)^2 - \frac{k^2}{4a}\) と平方完成する。Gauss 積分の公式 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha t^2}\,dt = \sqrt{\pi/\alpha}\) を用いよ。

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M-3. 畳み込み定理（式 (C.22)）を用いて、次の問題を解け

畳み込み定理（式 (C.22)）を用いて、次の問題を解け。

\(f(x) = e^{-x^2}\), \(g(x) = e^{-x^2}\) のとき、畳み込み \((f * g)(x)\) を直接計算するのではなく、Fourier 変換の空間で積を計算してから逆変換することで求めよ。

ヒント

\(\tilde{f}(k) = \tilde{g}(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}\)（D5 の \(a = 1\) の場合）を用いる。式 (C.22) から \(\widetilde{(f*g)}(k) = \sqrt{2\pi}\,\tilde{f}(k)\,\tilde{g}(k)\) を計算し、逆 Fourier 変換せよ。

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M-4. δ 関数の Fourier 積分表示

δ 関数の Fourier 積分表示

\[ \delta(x - x') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x - x')}\,dk \]

を出発点として、以下を導け。

(a) \(\delta(x)\) が偶関数であること：\(\delta(-x) = \delta(x)\)

(b) スケーリング則：\(\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|}\,\delta(x)\)（\(\alpha \neq 0\)）

(c) \(x\,\delta(x) = 0\)

ヒント

(a) Fourier 積分表示で \(x \to -x\) と置換し、積分変数 \(k \to -k\) と変えよ。(b) \(\delta(\alpha x)\) の Fourier 表示で \(k \to k/\alpha\) と変数変換。(c) 任意のテスト関数 \(\phi(x)\) に対して \(\int x\,\delta(x)\,\phi(x)\,dx\) を計算せよ。

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M-5. Fourier 変換における微分の性質

Fourier 変換における微分の性質を導け。流儀 (b) において、\(f(x)\) の Fourier 変換が \(\tilde{f}(k)\) であるとき、

(a) \(f'(x) \equiv \frac{df}{dx}\) の Fourier 変換が \(ik\,\tilde{f}(k)\) であることを示せ。

(b) この結果を用いて、微分方程式 \(f'(x) + \beta f(x) = 0\)（\(\beta > 0\)）を Fourier 変換の空間で解き、\(f(x) = Ce^{-\beta x}\)（\(x > 0\)）を再現せよ。

ヒント

(a) \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\,e^{-ikx}\,dx\) を部分積分し、\(f(x)\) が \(x \to \pm\infty\) でゼロになることを使え。(b) Fourier 変換後の方程式は \((ik + \beta)\tilde{f}(k) = 0\) ではなく、右辺が初期条件に依存する代数方程式になることに注意。あるいは、\(f(x) = C e^{-\beta x}\theta(x)\)（\(\theta\) は Heaviside (ヘヴィサイド) 階段関数）として直接 Fourier 変換を計算する方法でもよい。

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Advanced（発展）

A-1. 不確定性関係の Fourier 解析的証明

不確定性関係の Fourier 解析的証明

関数 \(f(x)\) とその Fourier 変換 \(\tilde{f}(k)\)（流儀 (b)）が共に規格化されている（\(\int |f(x)|^2\,dx = 1\)）とする。位置の「幅」と波数の「幅」をそれぞれ

\[ (\Delta x)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} x^2\,|f(x)|^2\,dx, \qquad (\Delta k)^2 \equiv \int_{-\infty}^{\infty} k^2\,|\tilde{f}(k)|^2\,dk \]

と定義する（簡単のため \(\langle x \rangle = 0\), \(\langle k \rangle = 0\) と仮定する）。

(a) Cauchy–Schwarz (コーシー＝シュワルツ) の不等式

\[ \left|\int_{-\infty}^{\infty} u(x)^*\,v(x)\,dx\right|^2 \leq \int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^2\,dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty}|v(x)|^2\,dx \]

において \(u(x) = x\,f(x)\), \(v(x) = f'(x)\) と置き、\(\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}\) を導け。

(b) 等号が成立する条件を求め、それが Gauss 関数 \(f(x) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{1/4} e^{-x^2/(4\sigma^2)}\) であることを示せ。

(c) \(p = \hbar k\) と置くことで、量子力学の不確定性関係 \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\) が得られることを確認せよ。

ヒント

(a) \(\int x\,f(x)^*\,f'(x)\,dx\) を部分積分して \(\int |f(x)|^2\,dx = 1\) を利用する。また、D5 の S5(a) の結果（\(f'\) の Fourier 変換は \(ik\tilde{f}\)）と Parseval の等式を用いて \(\int |f'(x)|^2\,dx = \int k^2|\tilde{f}(k)|^2\,dk = (\Delta k)^2\) を示せ。(b) Cauchy–Schwarz の等号条件は \(v(x) = \lambda\,u(x)\)（\(\lambda\) は定数）。これは \(f' = \lambda\,x\,f\) という微分方程式になる。(c) \(\Delta p = \hbar\,\Delta k\) を代入するだけ。

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A-2. Fourier 級数から Parseval の等式へ：\(\zeta(2) = \pi^2/6\) の導出

Fourier 級数から Parseval の等式へ：\(\zeta(2) = \pi^2/6\) の導出

(a) 区間 \([0, L]\) で \(f(x) = x\) の Fourier 級数（S1 の結果）を用いて、Fourier 級数版の Parseval の等式

\[ \frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx = \frac{|a_0|^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right) \]

を導け。（ヒント：式 (C.5) の \(|f(x)|^2\) を積分し、直交性を用いよ。）

(b) (a) の結果に \(f(x) = x\) の Fourier 係数を代入して、

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

を証明せよ。これは Riemann (リーマン) ゼータ関数 \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\) における \(\zeta(2)\) の値である（Basel (バーゼル) 問題）。

ヒント

(a) \(\frac{1}{L}\int_0^L |f(x)|^2\,dx\) の左辺に式 (C.5) を 2 回代入し、直交性 (C.2)–(C.4) を使って交差項を消す。(b) \(f(x) = x\) のとき \(\frac{1}{L}\int_0^L x^2\,dx = \frac{L^2}{3}\) であり、S1 で求めた \(a_n, b_n\) を代入して \(L\) を消去すれば \(\sum 1/n^2\) の値が決まる。

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