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Appendix C 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 基本ガウス積分の計算

次のガウス積分を式 (C.1) を用いて求めよ。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-3q^2} \]
ヒント

\(e^{-3q^2} = e^{-\frac{a}{2}q^2}\) と比較して \(a = 6\) と読み取る。

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B-2. ソース付きガウス積分の平方完成

次の積分を平方完成の手法を用いて計算せよ。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-2q^2 + 6q} \]
ヒント

指数を \(-\frac{a}{2}q^2 + bq\) の形に整理し、式 (C.3)（\(J \to -b\) の置き換え）を適用する。まず \(a = 4\), \(b = 6\) を特定せよ。

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B-3. \(q^n\) を含むガウス積分（漸化式の適用）

漸化式 (C.7) を繰り返し用いて、次の積分を計算せよ。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^6 \, e^{-\frac{1}{2}q^2} \]
ヒント

\(a = 1\) として \(I_6(1) = \frac{5}{1}\,I_4(1)\) から出発し、\(I_4(1) = 3\,I_2(1)\), \(I_2(1) = I_0(1) = \sqrt{2\pi}\) と順に降りていく。二重階乗 \((2m-1)!! = 15\) （\(m=3\)）を使ってもよい。

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B-4. 奇数次ガウス積分がゼロであることの確認

被積分関数の対称性を用いて、次の積分がゼロになることを説明せよ。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; q^3 \, e^{-\frac{a}{2}q^2} \qquad (\mathrm{Re}(a) > 0) \]
ヒント

\(q \to -q\) の変数変換を行い、被積分関数が奇関数であることを示す。

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B-5. 2 変数ガウス積分

行列

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

に対して、式 (C.8) を用いて次の積分を求めよ。

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 \int_{-\infty}^{\infty} dq_2 \; e^{-\frac{1}{2}(q_1, q_2)\,A\begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix}} \]
ヒント

\(\det A = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5\) を計算し、式 (C.8) に \(n = 2\) を代入する。

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B-6. Grassmann 数の反交換関係の展開

3 つの独立な Grassmann (グラスマン) 数 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) に対して、次の積を簡単にせよ。

\[ (\eta_1 + \eta_2)(\eta_2 + \eta_3) \]
ヒント

分配法則で展開し、\(\eta_i^2 = 0\) および \(\eta_i\eta_j = -\eta_j\eta_i\) を適用する。

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B-7. Berezin 積分の基本計算

Berezin 積分の定義 (C.16) を用いて、次の積分を計算せよ。

\[ \int d\eta \; (3 + 5\eta) \]
ヒント

\(\int d\eta\;1 = 0\) と \(\int d\eta\;\eta = 1\) を各項に適用する。

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B-8. 1 変数 Grassmann ガウス積分

独立な Grassmann 変数 \(\bar{\eta}, \eta\) に対して、式 (C.18) を直接検証する形で次を計算せよ。

\[ \int d\bar{\eta}\,d\eta \; e^{-5\bar{\eta}\eta} \]
ヒント

\(e^{-5\bar{\eta}\eta} = 1 - 5\bar{\eta}\eta\) と展開し（\(\bar{\eta}^2 = \eta^2 = 0\) により 2 次以上は消える）、Berezin 積分の定義を順に適用する。

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B-9. Grassmann 微分の符号

2 つの独立な Grassmann 変数 \(\theta, \phi\) に対して、次を計算せよ。

\[ \frac{\partial}{\partial\phi}\bigl(\theta\,\phi\,\theta\bigr) \]
ヒント

まず \(\theta\,\phi\,\theta\) を反交換関係で整理する。\(\theta^2 = 0\) に注意。

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B-10. ソース付き多変数ガウス積分

式 (C.9) を用いて、\(A = \begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 4\end{pmatrix}\), \(\mathbf{J} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\) のとき

\[ \int d^2 q \; e^{-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \mathbf{J}^T\mathbf{q}} \]

を計算せよ。

ヒント

\(\det A = 16\), \(A^{-1} = \frac{1}{4}\mathbf{1}\)。\(\mathbf{J}^T A^{-1}\mathbf{J} = (2,0)\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} = 1\) を代入する。

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Medium（標準）

M-1. ソース付きガウス積分による相関関数の生成

1 変数ソース付きガウス積分

\[ Z(J) = \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{-\frac{a}{2}q^2 + Jq} \]

を用いて、以下を示せ。

(a) \(\langle q^2 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^2 Z}{\partial J^2}\right|_{J=0} = \dfrac{1}{a}\)

(b) \(\langle q^4 \rangle \equiv \dfrac{1}{Z(0)}\left.\dfrac{\partial^4 Z}{\partial J^4}\right|_{J=0} = \dfrac{3}{a^2}\)

(c) (b) の結果が Wick の定理（第 8 章）の組み合わせ論的構造 \(\langle q^4\rangle = 3\langle q^2\rangle^2\) と一致することを確認し、「3」がどのような対の組み合わせから生じるか説明せよ。

ヒント

\(Z(J) = \sqrt{2\pi/a}\;e^{J^2/(2a)}\) を \(J\) でべき展開し、\(J\) による微分を実行する。(c) では 4 つの \(q\) を 2 つずつ対にする方法が \(4!/(2^2 \cdot 2!) = 3\) 通りであることを使う。

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M-2. 多変数 Grassmann ガウス積分の導出

\(n\) 個の独立な Grassmann 変数の組 \((\bar{\eta}_1, \eta_1), \ldots, (\bar{\eta}_n, \eta_n)\) と \(n \times n\) 行列 \(A\) に対して、

\[ \int \prod_{i=1}^n d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\sum_{i,j}\bar{\eta}_i A_{ij}\eta_j} = \det A \]

を \(n = 2\) の場合に明示的に示せ。すなわち \(A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) として、指数関数を Grassmann 変数の冪で展開し、Berezin 積分を実行して \(\det A = ad - bc\) を得よ。

ヒント

\(\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\boldsymbol{\eta} = a\bar{\eta}_1\eta_1 + b\bar{\eta}_1\eta_2 + c\bar{\eta}_2\eta_1 + d\bar{\eta}_2\eta_2\) と展開する。\(e^{-X}\) を展開するとき、4 つの Grassmann 変数がすべて 1 回ずつ現れる項のみが積分で生き残ることに注意する。

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M-3. Grassmann ガウス積分のソース項と逆行列

ソース項 \(\bar{\boldsymbol{\xi}}, \boldsymbol{\xi}\)（Grassmann 変数）を加えた積分

\[ \int \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; e^{-\bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} + \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi}} = \det A \; e^{\bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi}} \]

を、Grassmann 変数の平方完成

\[ \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T\boldsymbol{\eta} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T\boldsymbol{\xi} = (\bar{\boldsymbol{\eta}}^T - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1})\,A\,(\boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}) - \bar{\boldsymbol{\xi}}^T A^{-1}\boldsymbol{\xi} \]

を用いて導出せよ。変数変換のヤコビアンが 1 であることも確認すること。

ヒント

\(\boldsymbol{\eta}' = \boldsymbol{\eta} - A^{-1}\boldsymbol{\xi}\), \(\bar{\boldsymbol{\eta}}' = \bar{\boldsymbol{\eta}} - (A^{-1})^T\bar{\boldsymbol{\xi}}\) と置き換える。Grassmann 変数の線形変換 \(\eta_i' = \eta_i + c_i\)（\(c_i\) は Grassmann 定数）に対する測度の変換則を確認する。

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M-4. フレネル積分としてのガウス積分

式 (C.2) を用いて、純虚数パラメータの極限 \(a \to -i\alpha\)（\(\alpha > 0\) 実数）における積分

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} \]

を求めよ。結果がフレネル積分 (Fresnel integral) の公式

\[ \int_{-\infty}^{\infty} dq \; e^{\frac{i\alpha}{2}q^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\;e^{i\pi/4} \]

に一致することを示せ。また、この結果が Minkowski 空間の経路積分（第 10 章）で \(e^{iS}\) の重みが収束する条件とどう関係するか論じよ。

ヒント

\(-\frac{a}{2}q^2 = \frac{i\alpha}{2}q^2\) より \(a = -i\alpha\)。\(a = \alpha e^{-i\pi/2}\) と極形式で書き、式 (C.2) を適用する。\(e^{-i(-\pi/2)/2} = e^{i\pi/4}\) に注意。

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Advanced（発展）

A-1. ボソン・フェルミオン行列式の比と超対称性

\(n\) 個のボソン変数 \(q_i\) と \(n\) 組の Grassmann 変数 \((\bar{\eta}_i, \eta_i)\) が同じ \(n \times n\) 正定値行列 \(A\) で結合している系を考える。

\[ Z = \int d^n q \prod_i d\bar{\eta}_i\,d\eta_i \; \exp\!\left[-\frac{1}{2}\mathbf{q}^T A\,\mathbf{q} - \bar{\boldsymbol{\eta}}^T A\,\boldsymbol{\eta}\right] \]

(a) ボソン部分とフェルミオン部分の積分をそれぞれ実行し、\(Z\) を \(\det A\) と \((2\pi)^{n/2}\) で表せ。

(b) \(A\) が単位行列の定数倍 \(A = m^2 \mathbf{1}\) のとき、\(Z\) が \(m\) に依存しないことを示せ。

(c) この「ボソンとフェルミオンの行列式が相殺する」性質が、超対称性 (supersymmetry, SUSY) の存在下で真空エネルギーのゼロ点振動が消える機構と対応していることを、1 ループ有効ポテンシャル（第 14 章の議論）の観点から論じよ。

ヒント

(a) ボソン部分は \((2\pi)^{n/2}/(\det A)^{1/2}\)、フェルミオン部分は \(\det A\)。(b) \((\det A)^{1/2} = m^n\) を代入。(c) 1 ループ有効ポテンシャルは \(V_{\text{1-loop}} \propto \mathrm{STr}\,M^4\ln(M^2/\mu^2)\) の形をとり、SUSY が成り立つとき超トレース (supertrace) がゼロになることを利用する。

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A-2. Grassmann 積分による行列式の Faddeev–Popov ゴースト表現

非 Abel ゲージ理論（第 16 章）の経路積分において、ゲージ固定に伴う Faddeev–Popov (ファデエフ・ポポフ) 行列式

\[ \det\!\left(\frac{\delta G^a}{\delta\alpha^b}\right) \]

（\(G^a\) はゲージ固定条件、\(\alpha^b\) はゲージ変換パラメータ）を、Grassmann 変数（ゴースト場 \(c^a, \bar{c}^a\)）の積分で表す手続きを以下のステップで実行せよ。

(a) 式 (C.19) を引用し、\(\det M = \int \prod_a d\bar{c}^a\,dc^a\;e^{-\bar{c}^a M_{ab}\,c^b}\) が成り立つことを確認せよ。

(b) Lorenz ゲージ \(G^a = \partial_\mu A^{a\mu}\) を採用した \(SU(N)\) Yang–Mills 理論において、Faddeev–Popov 演算子 \(M_{ab}(x,y) = -\partial_\mu D^\mu_{ab}\,\delta^4(x-y)\) を導出せよ。ここで \(D^\mu_{ab} = \delta_{ab}\partial^\mu + g f_{abc}A^{c\mu}\) は随伴表現の共変微分である。

(c) 得られたゴースト作用

\[ S_{\text{ghost}} = \int d^4x \; \bar{c}^a(-\partial_\mu D^\mu_{ab})c^b \]

から、ゴースト場の Feynman 規則（伝播関数と頂点）を読み取り、ゴーストがスカラー場と同じ伝播関数を持ちながら Fermi 統計に従う理由を Grassmann 積分の性質から説明せよ。

ヒント

(a) は式 (C.19) そのもの。(b) ではゲージ変換 \(\delta A^a_\mu = D_\mu^{ab}\alpha^b\) から \(\delta G^a / \delta\alpha^b\) を計算する。(c) 伝播関数は \(\langle c^a(k)\bar{c}^b(-k)\rangle = \delta^{ab}/k^2\) の形になる。ゴーストがループで \(\det M\)（分子）を与えることと、Grassmann 積分が行列式を分子に出す性質 (C.19) を結びつける。

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