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第 7 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Minkowski 計量による線素の計算と時空分類

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解法の方針： \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) に座標差を代入する。

計算：

\[ ds^2 = -(3)^2 + (1)^2 + (2)^2 + (0)^2 = -9 + 1 + 4 + 0 = -4 \]

判定： \(ds^2 = -4 < 0\) なので、この間隔は時間的 (timelike) である。

検算： 時間成分 \(dt = 3\) に対して空間成分の大きさは \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \approx 2.24 < 3\) なので、光速以下の移動に対応し、時間的であることと整合する。

B-2. 2 次元球面の計量テンソルと逆計量

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解法の方針： \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\) から各成分を読み取る。対角計量なので逆計量は各成分の逆数。

計量テンソルの成分：

\[ g_{\theta\theta} = a^2, \qquad g_{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta, \qquad g_{\theta\varphi} = g_{\varphi\theta} = 0 \]

逆計量の成分：

\[ g^{\theta\theta} = \frac{1}{g_{\theta\theta}} = \frac{1}{a^2}, \qquad g^{\varphi\varphi} = \frac{1}{g_{\varphi\varphi}} = \frac{1}{a^2\sin^2\theta} \]

検算： \(g_{\theta\theta}\,g^{\theta\theta} = a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 1\)、\(g_{\varphi\varphi}\,g^{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta \cdot \frac{1}{a^2\sin^2\theta} = 1\)。逆行列の条件 \(g_{\alpha\gamma}\,g^{\gamma\beta} = \delta_\alpha^{\ \beta}\) を満たしている。✓

B-3. 極座標での \(\varphi\) 方向の固有長

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解法の方針： 平坦時空の極座標の計量 (6.12) は \(g_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1, 1, r^2, r^2\sin^2\theta)\)。\(dt = dr = d\theta = 0\) として \(dL\) を求める。

計算：

\(r = R\), \(\theta = \pi/4\) に固定し、\(\varphi\) のみ変化させると：

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = R^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)d\varphi^2 = R^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 d\varphi^2 = \frac{R^2}{2}\,d\varphi^2 \]
\[ \boxed{dL = \frac{R}{\sqrt{2}}\,d\varphi} \]

検算： \(\theta = \pi/2\)（赤道）なら \(dL = R\,d\varphi\) で通常の円弧の長さ。\(\theta = \pi/4\) は赤道より極に近いので円周が短くなり、\(R/\sqrt{2} < R\) は妥当。✓

B-4. Schwarzschild 計量での静止観測者の固有時

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解法の方針： 静止（\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)）として \(d\tau^2 = -ds^2 = -g_{00}\,dt^2\) を計算する。

計算：

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 \]

\(r = 10M\) を代入：

\[ d\tau^2 = \left(1 - \frac{2M}{10M}\right)dt^2 = \left(1 - \frac{1}{5}\right)dt^2 = \frac{4}{5}\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \sqrt{\frac{4}{5}}\,dt = \frac{2}{\sqrt{5}}\,dt = \frac{2\sqrt{5}}{5}\,dt} \]

数値的には \(d\tau \approx 0.894\,dt\)。

検算： \(r = 10M \gg 2M\) なので \(d\tau\) は \(dt\) よりわずかに小さいはず。\(0.894 < 1\) で整合。\(r \to \infty\) で \(d\tau \to dt\)、\(r \to 2M\) で \(d\tau \to 0\) という極限も正しい。✓

B-5. Schwarzschild 計量の \(r = 4M\) での成分

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解法の方針： 計量テンソル (6.15) に \(r = 4M\), \(\theta = \pi/2\) を代入する。

計算：

\[ 1 - \frac{2M}{r} = 1 - \frac{2M}{4M} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

各成分：

\[ g_{00} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = -\frac{1}{2} \]
\[ g_{11} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \]
\[ g_{22} = r^2 = (4M)^2 = 16M^2 \]
\[ g_{33} = r^2\sin^2\theta = (4M)^2\sin^2\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 16M^2 \]
\[ \boxed{g_{00} = -\frac{1}{2},\quad g_{11} = 2,\quad g_{22} = 16M^2,\quad g_{33} = 16M^2} \]

検算： \(g_{00} \cdot g^{00} = 1\) より \(g^{00} = -2\)。\(g_{11} \cdot g^{11} = 1\) より \(g^{11} = 1/2\)。\(g_{00} \cdot g_{11} = -1/2 \times 2 = -1\) であり、\(g_{00} = -(1-2M/r)\) と \(g_{11} = (1-2M/r)^{-1}\) の関係 \(g_{00} \cdot g_{11} = -1\) を満たす。✓

B-6. de Sitter 型計量の成分と逆計量

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解法の方針： \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\) から対角成分を読み取り、逆数を取る。

計量テンソルの非ゼロ成分：

\[ g_{00} = -1, \qquad g_{11} = e^{2Ht}, \qquad g_{22} = e^{2Ht}, \qquad g_{33} = e^{2Ht} \]

（非対角成分はすべてゼロ）

逆計量の非ゼロ成分：

\[ g^{00} = \frac{1}{g_{00}} = -1, \qquad g^{11} = \frac{1}{g_{11}} = e^{-2Ht}, \qquad g^{22} = e^{-2Ht}, \qquad g^{33} = e^{-2Ht} \]

検算： \(g_{11}\,g^{11} = e^{2Ht} \cdot e^{-2Ht} = 1\)。✓ また \(H = 0\) のとき \(g_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\beta}\) に戻る。✓

B-7. Schwarzschild 計量での \(\varphi\) 方向の固有長

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解法の方針： \(dt = dr = d\theta = 0\) として \(\varphi\) 方向の固有長を計算し、平坦時空の場合と比較する。

Schwarzschild 計量での計算：

\(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\) で \(\varphi\) 方向に \(d\varphi\) だけ進む：

\[ dL^2 = g_{33}\,d\varphi^2 = r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 = (6M)^2 \cdot 1 \cdot d\varphi^2 = 36M^2\,d\varphi^2 \]
\[ dL = 6M\,d\varphi \]

平坦時空の極座標での計算：

平坦時空 (6.12) でも \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\) なので、同じ \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\) に対して：

\[ dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi \]

比較： 両者は一致する。

\[ \boxed{dL = dL_{\text{flat}} = 6M\,d\varphi} \]

これは Schwarzschild 計量の \(g_{33} = r^2\sin^2\theta\) が平坦時空と同じ形であることに起因する。Schwarzschild 計量で平坦時空と異なるのは \(g_{00}\) と \(g_{11}\) のみであり、\(\theta\) 方向・\(\varphi\) 方向の角度成分は変わらない。Schwarzschild 座標における \(r\) は「座標半径 \(r\) の球面の面積が \(4\pi r^2\) になるように定義された座標」（面積半径）であり、\(\varphi\) 方向の円弧の長さは平坦時空と同じになる。

検算： \(r \to \infty\) で Schwarzschild 計量は平坦に近づくので、角度方向が一致するのは自然。また \(r\) が有限でも \(g_{22}\), \(g_{33}\) は平坦と同じ形なので、任意の \(r\) で一致する。✓

B-8. Rindler 計量での固有時

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解法の方針： \(dx = 0\)（静止）として \(d\tau^2 = -ds^2\) を計算する。

計算：

\[ ds^2 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 + 0 = -\alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2 \]
\[ \boxed{d\tau = \alpha x_0\,dt} \]

（\(x_0 > 0\), \(\alpha > 0\) より \(d\tau > 0\)）

検算： \(x_0\) が大きいほど \(d\tau\) が大きい（時間が速く進む）。Rindler 計量は一様加速度 \(\alpha\) の観測者が見る時空を記述し、\(x_0\) が大きい（加速方向に遠い）ほど重力ポテンシャルが高い位置に対応するので、時間が速く進むのは物理的に正しい。Schwarzschild 計量の \(d\tau = \sqrt{1-2M/r}\,dt\) と類似の構造（\(g_{00}\) の平方根が固有時と座標時の比を与える）を持つ。✓

Medium（標準）

M-1. 球面の面積の計算

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解法の方針： 平坦時空の極座標 (6.11) で \(t\) 一定、\(r = R\) 一定とした誘導計量から面積素を求め、球面全体で積分する。

誘導計量の導出：

\(dt = 0\), \(dr = 0\) とすると、\(r = R\) の球面上の線素は：

\[ ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

2 次元部分の計量行列は：

\[ g_{ij} = \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 & R^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \]

行列式の計算：

\[ \det(g_{ij}) = R^2 \cdot R^2\sin^2\theta = R^4\sin^2\theta \]

面積素：

\[ dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

球面全体の積分：

\[ A = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]

\(\varphi\) 積分：

\[ \int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi \]

\(\theta\) 積分：

\[ \int_0^{\pi} \sin\theta\,d\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]

よって：

\[ \boxed{A = R^2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi R^2} \]

検算： これは半径 \(R\) の球の表面積の公式そのものであり、計量から正しく導かれた。次元的にも \([R^2]\) で面積の次元を持つ。✓

M-2. 赤道上の円周の長さ

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解法の方針： \(r = R\), \(\theta = \pi/2\) に固定し、\(\varphi\) 方向の線素を積分する。

計算：

\(t\) 一定、\(r = R\)、\(\theta = \pi/2\) のとき、\(dt = dr = d\theta = 0\) なので線素は

\[ dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2 = R^2\sin^2(\pi/2)\,d\varphi^2 = R^2\,d\varphi^2 \]

よって \(dL = R\,d\varphi\)。円周の長さは

\[ C = \int_0^{2\pi} R\,d\varphi = 2\pi R \]
\[ \boxed{C = 2\pi R} \]

検算： これは平坦空間の円周の公式そのもの。平坦時空の極座標では空間は曲がっていないので、ユークリッド幾何の結果と一致するのは当然。Schwarzschild 計量の場合は \(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\) で同じ形だが、\(r\) が「中心からの距離」ではなく「面積半径」であるため、解釈が異なる（第 8 章参照）。✓

M-3. 重力赤方偏移の導出（Schwarzschild 計量からの完全導出）

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解法の方針： 光の振動数は固有時の逆数に比例する（\(\nu \propto 1/d\tau\)）ことと、静的時空では座標時間隔 \(dt\) が発信側と受信側で共通であることを用いる。

導出：

ステップ 1：静止観測者の固有時

\(r = r_0\) に静止している観測者（\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)）の固有時は (6.16) より：

\[ d\tau_{\text{em}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}\,dt \]

\(r = \infty\) の観測者の固有時は（\(r \to \infty\) で \(g_{00} \to -1\)）：

\[ d\tau_{\text{obs}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{\infty}}\,dt = 1 \cdot dt = dt \]

ステップ 2：座標時 \(dt\) の共通性

Schwarzschild 計量は静的（\(g_{\alpha\beta}\) が \(t\) に依存しない）なので、光が \(r_0\) から \(\infty\) まで伝搬するのにかかる座標時間は一定である。したがって、発信側で座標時間隔 \(dt\) の間に 1 周期分の光が出れば、受信側でも同じ座標時間隔 \(dt\) の間に 1 周期分の光が届く。

ステップ 3：振動数の比

振動数は固有時の 1 周期の逆数に比例するので：

\[ \nu_{\text{em}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{em}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt} \]
\[ \nu_{\text{obs}} \propto \frac{1}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{1}{dt} \]

比を取ると：

\[ \frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \frac{d\tau_{\text{em}}}{d\tau_{\text{obs}}} = \frac{\sqrt{1 - 2M/r_0}\,dt}{dt} \]
\[ \boxed{\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{em}}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}}} \]

物理的解釈： \(r_0 > 2M\) のとき \(\sqrt{1 - 2M/r_0} < 1\) なので \(\nu_{\text{obs}} < \nu_{\text{em}}\)。すなわち、重力場中から脱出した光は振動数が低下する（波長が長くなる）。これが重力赤方偏移である。

検算：

  • \(r_0 \to \infty\)：\(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 1\)（重力が弱ければ赤方偏移なし）。✓
  • \(r_0 \to 2M\)：\(\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{em}} \to 0\)（事象の地平面からの光は無限に赤方偏移する）。✓
  • 弱い重力場の近似：\(\sqrt{1 - 2M/r_0} \approx 1 - M/r_0 = 1 - GM/(c^2 r_0)\)（\(c = 1\) の単位系）。これは Newton 的な重力ポテンシャル \(\Phi = -GM/r_0\) を用いると \(1 + \Phi/c^2\) に対応し、等価原理からの予想と一致する。✓

M-4. Schwarzschild 計量での径方向の固有長

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解法の方針： \(dt = d\theta = d\varphi = 0\) として径方向の固有長を積分し、弱重力近似で展開する。

固有長の式：

ある瞬間（\(dt = 0\)）に \(r\) 方向のみ変化させると：

\[ dL^2 = g_{11}\,dr^2 = \frac{dr^2}{1 - 2M/r} \]
\[ \Delta L = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - 2M/r}} \]

弱重力近似：

\(r \gg 2M\) のとき：

\[ \frac{1}{\sqrt{1 - 2M/r}} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r} = 1 + \frac{M}{r} \]

積分の実行：

\[ \Delta L \approx \int_{r_1}^{r_2} \left(1 + \frac{M}{r}\right)dr = \int_{r_1}^{r_2} dr + M\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\left[\ln r\right]_{r_1}^{r_2} \]
\[ = (r_2 - r_1) + M\ln\frac{r_2}{r_1} \]

座標差との差：

\[ \boxed{\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1) = M\ln\frac{r_2}{r_1}} \]

物理的解釈： 固有長 \(\Delta L\) は座標差 \(r_2 - r_1\) よりも \(M\ln(r_2/r_1)\) だけ長い。これは Schwarzschild 時空では \(r\) 方向の空間が「引き伸ばされている」ことを定量的に示している。質量 \(M\) が大きいほど、また \(r_1\) が小さいほど（星に近いほど）、この効果は大きくなる。

検算：

  • 次元解析： \(G = c = 1\) の単位系では \(M\) は長さの次元を持つ（\(M \to GM/c^2\)）。\(\ln(r_2/r_1)\) は無次元なので、\(\delta L = M\ln(r_2/r_1)\) は長さの次元を持つ。✓
  • \(M \to 0\) の極限： \(\delta L \to 0\) となり、平坦時空では固有長と座標差が一致する。✓
  • \(r_1 = r_2\) の極限： \(\delta L = M\ln 1 = 0\)。✓
  • 符号： \(r_2 > r_1\) より \(\ln(r_2/r_1) > 0\) なので \(\delta L > 0\)。固有長が座標差より長いことと整合。✓

M-5. 計量テンソルの独立成分の数

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解法の方針： 対称行列の独立成分数の公式を用いる。

対角計量の場合

対角計量では \(g_{\alpha\beta} = 0\)（\(\alpha \neq \beta\)）なので、非ゼロ成分は対角成分 \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\) の4 個のみ。これらはすべて独立である。

\[ \boxed{\text{対角計量の独立成分数} = 4} \]

一般の 4 次元計量テンソルの場合

\(4 \times 4\) の行列 \(g_{\alpha\beta}\) は一般に \(4 \times 4 = 16\) 個の成分を持つ。しかし対称性 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) により、\(\alpha \neq \beta\) の成分は対で等しい。

独立成分の数え方：

  • 対角成分（\(\alpha = \beta\)）：\(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\) の 4 個
  • 非対角成分（\(\alpha < \beta\)）：\((0,1)\), \((0,2)\), \((0,3)\), \((1,2)\), \((1,3)\), \((2,3)\) の 6 個

合計：\(4 + 6 = 10\) 個。

一般に \(n \times n\) 対称行列の独立成分数は：

\[ \frac{n(n+1)}{2} \]

\(n = 4\) の場合：

\[ \frac{4 \times 5}{2} = 10 \]
\[ \boxed{\text{一般の 4 次元計量テンソルの独立成分数} = 10} \]

検算： 全成分数 16 個から、対称性による拘束条件の数を引いても同じ結果が得られる。\(\alpha \neq \beta\) の組は \(\binom{4}{2} = 6\) 個あり、各組について \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) という 1 つの拘束がある。よって独立成分数は \(16 - 6 = 10\)。✓

Advanced（発展）

A-1. 定曲率 2 次元空間の幾何学

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与えられた計量：

\[ ds^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{\left(1 + \frac{k}{4}r^2\right)^2} \]

(a) 座標半径 \(r_0\) の円の円周の固有長

解法の方針： \(r = r_0\)（一定）とすると \(dr = 0\)。\(\varphi\) を \(0\) から \(2\pi\) まで積分する。

計算：

\(r = r_0\) 上の線素は：

\[ dL = \frac{r_0}{\left(1 + \frac{k}{4}r_0^2\right)}\,d\varphi \]

円周の固有長：

\[ C(r_0) = \int_0^{2\pi} \frac{r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}\,d\varphi = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2} \]
\[ \boxed{C(r_0) = \frac{2\pi r_0}{1 + \frac{k}{4}r_0^2}} \]

(b) 径方向の固有長と円周の比較

固有半径の積分：

\(\varphi\) 一定として \(r = 0\) から \(r = r_0\) まで：

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + \frac{k}{4}r^2} \]

\(k > 0\) の場合の積分：

\(\frac{k}{4} = a^2\)（\(a = \frac{\sqrt{k}}{2}\)）と置くと：

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 + a^2 r^2} = \frac{1}{a}\arctan(a r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right) \]
\[ \boxed{\mathcal{R}(r_0) = \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{k}}{2}r_0\right)} \]

\(C(r_0)\) と \(2\pi\mathcal{R}(r_0)\) の比較：

\(u = \frac{\sqrt{k}}{2}r_0 > 0\) と置くと：

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 + u^2}, \qquad 2\pi\mathcal{R} = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{k}}\arctan u = \frac{2\pi r_0}{u}\arctan u \]

（ここで \(r_0 = \frac{2u}{\sqrt{k}}\) を用いた。）

比を取ると：

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{\frac{2\pi r_0}{1+u^2}}{\frac{2\pi r_0}{u}\arctan u} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} \]

\(u > 0\) のとき、\(\arctan u < u\)（逆正接関数の性質）であるが、ここでは分母に \((1+u^2)\arctan u\) があるので、もう少し丁寧に調べる。

\(f(u) = u - (1+u^2)\arctan u\) の符号を調べる。\(f(0) = 0\) であり、

\[ f'(u) = 1 - 2u\arctan u - (1+u^2)\cdot\frac{1}{1+u^2} = 1 - 2u\arctan u - 1 = -2u\arctan u \]

\(u > 0\) のとき \(f'(u) = -2u\arctan u < 0\) なので、\(f(u) < f(0) = 0\)。

すなわち \(u < (1+u^2)\arctan u\) であり：

\[ \frac{C}{2\pi\mathcal{R}} = \frac{u}{(1+u^2)\arctan u} < 1 \]
\[ \boxed{k > 0 \text{ のとき } C(r_0) < 2\pi\mathcal{R}(r_0)} \]

幾何学的意味： ユークリッド平面では円周 \(= 2\pi \times\) 半径が成り立つ。\(C < 2\pi\mathcal{R}\) ということは、「中心から測った実際の距離（固有半径）に比べて、円周が短い」ことを意味する。これは正の曲率を持つ空間の特徴である。

直感的には、球面上で北極から緯線までの大円距離（固有半径）を測ると、その緯線の円周は \(2\pi \times\)（大円距離）より短い。例えば球面上で北極から赤道までの大円距離は \(\pi R/2\) だが、赤道の円周は \(2\pi R\) であり、\(2\pi R < 2\pi \cdot \pi R/2 = \pi^2 R\) である。

(c) \(k\) の符号と幾何学の対応

\(k > 0\)（球面）：

(b) で示したように \(C < 2\pi\mathcal{R}\)。これは球面の幾何学の特徴である。球面上では、中心から離れるにつれて円周の増加率が \(2\pi\) 倍より遅くなる。三角形の内角の和は \(\pi\) より大きい。空間は「閉じて」おり、有限の面積を持つ。

\(k = 0\)（平面）：

計量は \(ds^2 = dr^2 + r^2\,d\varphi^2\) となり、これは通常のユークリッド平面の極座標表示そのもの。\(C = 2\pi r_0 = 2\pi\mathcal{R}\)（\(\mathcal{R} = r_0\)）で、平坦な幾何学。

\(k < 0\)（双曲面）：

\(k < 0\) の場合、\(|k|/4 = b^2\) と置くと：

\[ \mathcal{R}(r_0) = \int_0^{r_0} \frac{dr}{1 - b^2 r^2} = \frac{1}{b}\mathrm{arctanh}(b r_0) = \frac{2}{\sqrt{|k|}}\mathrm{arctanh}\!\left(\frac{\sqrt{|k|}}{2}r_0\right) \]

（ただし \(r_0 < 2/\sqrt{|k|}\) の範囲で。）

\(\mathrm{arctanh}(v) > v\)（\(0 < v < 1\)）なので、\(\mathcal{R} > r_0\) となる一方、

\[ C = \frac{2\pi r_0}{1 - b^2 r_0^2} > 2\pi r_0 \]

同様の解析を行うと \(C > 2\pi\mathcal{R}\) となる。これは負の曲率を持つ空間（双曲面、鞍型の面）の特徴で、中心から離れるにつれて円周の増加率が \(2\pi\) 倍より速い。三角形の内角の和は \(\pi\) より小さい。空間は「開いて」おり、無限の面積を持つ。

\(k\) の符号 幾何学 円周と半径の関係 三角形の内角の和
\(k > 0\) 球面 \(C < 2\pi\mathcal{R}\) \(> \pi\)
\(k = 0\) 平面 \(C = 2\pi\mathcal{R}\) \(= \pi\)
\(k < 0\) 双曲面 \(C > 2\pi\mathcal{R}\) \(< \pi\)

検算： \(k > 0\) で \(r_0 \to 0\) のとき、\(C \to 2\pi r_0\), \(\mathcal{R} \to r_0\) なので \(C \to 2\pi\mathcal{R}\)（局所的には平坦に見える）。✓ また、この計量は宇宙論における FLRW 計量の空間部分として現れ、\(k > 0\), \(k = 0\), \(k < 0\) がそれぞれ閉じた宇宙、平坦な宇宙、開いた宇宙に対応することが知られている。✓

A-2. GPS と重力赤方偏移

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(a) 固有時の近似計算

解法の方針： Schwarzschild 計量 (6.13) で静止観測者の固有時は \(d\tau = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}\,dt\)。\(\frac{2GM}{c^2 r} \ll 1\) なので \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\) を用いる。

Schwarzschild 半径の定義：

\[ r_s = \frac{2GM_\oplus}{c^2} \approx 8.87 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]

地球表面の観測者（\(r = R_\oplus\)）：

\[ \Delta\tau_\oplus = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\oplus}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t \]

GPS 衛星軌道の観測者（\(r = R_\text{GPS}\)）：

\[ \Delta\tau_\text{GPS} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\oplus \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\oplus}\right)\Delta t, \qquad \Delta\tau_\text{GPS} \approx \left(1 - \frac{r_s}{2R_\text{GPS}}\right)\Delta t} \]

(b) 固有時の差の数値的見積もり

計算：

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t \]

各数値を代入：

\[ \frac{r_s}{2} = \frac{8.87 \times 10^{-3}}{2} = 4.435 \times 10^{-3}\;\mathrm{m} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} = \frac{1}{6.37 \times 10^6} = 1.570 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\text{GPS}} = \frac{1}{2.66 \times 10^7} = 3.759 \times 10^{-8}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}} = 1.570 \times 10^{-7} - 3.759 \times 10^{-8} = 1.194 \times 10^{-7}\;\mathrm{m^{-1}} \]
\[ \frac{r_s}{2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{R_\text{GPS}}\right) = 4.435 \times 10^{-3} \times 1.194 \times 10^{-7} = 5.295 \times 10^{-10} \]

\(\Delta t = 1\) 日 \(= 86400\;\mathrm{s}\) に対して：

\[ \Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 5.295 \times 10^{-10} \times 86400\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \approx 45.7\;\mu\mathrm{s/日}} \]

物理的解釈： GPS 衛星は地球表面より重力ポテンシャルが高い位置にあるため、衛星の時計は地上の時計より 1 日あたり約 \(45.7\;\mu\mathrm{s}\) 速く進む。

(c) GPS 測位誤差の見積もり

計算：

時間差を補正しなかった場合、光速で伝搬する信号の距離誤差は：

\[ \delta x \approx c \times (\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus) = 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s} \times 4.57 \times 10^{-5}\;\mathrm{s} \]
\[ \boxed{\delta x \approx 1.37 \times 10^4\;\mathrm{m} \approx 13.7\;\mathrm{km/日}} \]

実用上の議論：

GPS の民生用測位精度は数メートル程度であるのに対し、重力赤方偏移を補正しなければ1 日あたり約 14 km もの誤差が蓄積する。これは実用上まったく無視できない巨大な誤差であり、一般相対論的な時間補正が GPS の正常な動作に不可欠であることを示している。

なお、実際の GPS ではここで求めた重力赤方偏移の効果（衛星の時計が速く進む：\(+45.7\;\mu\mathrm{s/日}\)）に加え、特殊相対論的な時間の遅れ（衛星の軌道運動による効果で衛星の時計が遅く進む：約 \(-7.2\;\mu\mathrm{s/日}\)）も補正する必要がある。両者を合わせた正味の効果は約 \(+38.5\;\mu\mathrm{s/日}\) であり、重力赤方偏移が支配的である。

検算：

  • 次元解析： \([c] \times [t] = \mathrm{m/s} \times \mathrm{s} = \mathrm{m}\)。✓
  • オーダー見積もり： \(r_s/R_\oplus \sim 10^{-3}/10^{7} \sim 10^{-10}\)。1 日 \(\sim 10^5\;\mathrm{s}\) なので時間差 \(\sim 10^{-10} \times 10^5 = 10^{-5}\;\mathrm{s}\)。距離誤差 \(\sim 3 \times 10^8 \times 10^{-5} = 3 \times 10^3\;\mathrm{m}\)。オーダーとして \(\sim 10\;\mathrm{km}\) で整合。✓
  • 文献値との比較： 重力赤方偏移による効果は約 \(45\;\mu\mathrm{s/日}\)、距離誤差は約 \(10\;\mathrm{km/日}\) というのは標準的な教科書の値と一致する。✓