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第 7 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Minkowski 計量による線素の計算と時空分類

Minkowski 計量 (ミンコフスキーけいりょう) \(\eta_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)\) を用いて、2 つの事象の座標差 \(dx^\alpha = (dt,\,dx,\,dy,\,dz) = (3,\,1,\,2,\,0)\) に対する線素 \(ds^2 = \eta_{\alpha\beta}\,dx^\alpha\,dx^\beta\) を計算し、この間隔が時間的・空間的・光的のいずれであるか判定せよ。

ヒント

\(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) を展開し、符号で判定する。\(ds^2 < 0\) なら時間的。

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B-2. 2 次元球面の計量テンソルと逆計量

2 次元の計量が \(ds^2 = a^2\,d\theta^2 + a^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\)（\(a\) は定数）で与えられるとき、計量テンソルの成分 \(g_{\theta\theta}\), \(g_{\varphi\varphi}\), \(g_{\theta\varphi}\) をそれぞれ読み取れ。また、逆計量 (ぎゃくけいりょう) の成分 \(g^{\theta\theta}\), \(g^{\varphi\varphi}\) を求めよ。

ヒント

対角計量の逆行列は各対角成分の逆数。\(g^{\theta\theta} = 1/g_{\theta\theta}\)。

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B-3. 極座標での \(\varphi\) 方向の固有長

平坦時空の極座標 (きょくざひょう) の計量 (6.12) において、\(r = R\), \(\theta = \pi/4\) に固定した点で \(\varphi\) を \(d\varphi\) だけ変化させたときの固有長 \(dL\) を求めよ。

ヒント

\(dt = dr = d\theta = 0\) として \(dL^2 = g_{\varphi\varphi}\,d\varphi^2\) を計算する。\(\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) を用いる。

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B-4. Schwarzschild 計量での静止観測者の固有時

Schwarzschild (シュヴァルツシルト) 計量 (6.14) において、\(r = 10M\) に静止している観測者の固有時 \(d\tau\) を座標時 \(dt\) で表せ。

ヒント

静止 (\(dr = d\theta = d\varphi = 0\)) として \(d\tau = \sqrt{1 - 2M/r}\,dt\) に \(r = 10M\) を代入する。

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B-5. Schwarzschild 計量の \(r = 4M\) での成分

Schwarzschild 計量 (6.14) の計量テンソル成分 (6.15) から、\(r = 4M\) における \(g_{00}\), \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\)（\(\theta = \pi/2\)）の値をそれぞれ求めよ。

ヒント

\(g_{00} = -(1-2M/r)\) に \(r = 4M\) を代入する。\(g_{11}\) はその逆数の符号に注意。

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B-6. de Sitter 型計量の成分と逆計量

計量 \(ds^2 = -dt^2 + e^{2Ht}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\)（\(H\) は定数）が与えられたとき、計量テンソルの独立な非ゼロ成分をすべて書き下し、逆計量 \(g^{\alpha\beta}\) の非ゼロ成分もすべて求めよ。

ヒント

対角計量なので \(g^{\alpha\alpha} = 1/g_{\alpha\alpha}\)。\(e^{2Ht}\) の逆数は \(e^{-2Ht}\)。

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B-7. Schwarzschild 計量での \(\varphi\) 方向の固有長

Schwarzschild 計量 (6.14) で、ある瞬間に \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\) の位置から \(\varphi\) 方向に \(d\varphi\) だけ進んだときの固有長 \(dL\) を求めよ。さらに、平坦時空の極座標 (6.11) で同じ \(r = 6M\), \(\theta = \pi/2\), \(d\varphi\) に対する固有長と比較し、両者が一致するか否か述べよ。

ヒント

\(\varphi\) 方向の計量成分 \(g_{33}\) は Schwarzschild でも平坦でも \(r^2\sin^2\theta\) であることに注目。

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B-8. Rindler 計量での固有時

2 次元 Rindler (リンドラー) 計量 \(ds^2 = -\alpha^2 x^2\,dt^2 + dx^2\)（\(\alpha\) は定数、\(x > 0\)）において、\(x = x_0\) に静止している観測者の固有時 \(d\tau\) を座標時 \(dt\) で表せ。

ヒント

\(dx = 0\) として \(d\tau^2 = -ds^2 = \alpha^2 x_0^2\,dt^2\) を使う。

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Medium（標準）

M-1. 球面の面積の計算

平坦時空の極座標 (6.11) で、\(t\) を固定し、\(r = R\)（一定）の球面上の面積を計量から計算せよ。具体的には、\(\theta\) と \(\varphi\) の微小変化に対する面積素 \(dA = \sqrt{\det(g_{ij})}\,d\theta\,d\varphi\)（\(i, j = \theta, \varphi\)）を求め、球面全体で積分して \(4\pi R^2\) が得られることを示せ。

ヒント

\(r = R\) 上の誘導計量は \(ds^2_{(2)} = R^2\,d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\)。2 次元部分の行列式を計算し、\(\theta: 0 \to \pi\), \(\varphi: 0 \to 2\pi\) で積分する。

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M-2. 赤道上の円周の長さ

平坦時空の極座標 (6.11) で、\(t\) を固定し、\(r = R\)（一定）、\(\theta = \pi/2\)（赤道面）上の円周の長さを計算せよ。

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M-3. 重力赤方偏移の導出（Schwarzschild 計量からの完全導出）

Schwarzschild 計量 (6.14) で、\(r = r_0 > 2M\) に静止している観測者が発した光（振動数 \(\nu_\text{em}\)）を、\(r = \infty\) の観測者が受け取る。受信振動数 \(\nu_\text{obs}\) を \(\nu_\text{em}\) と \(r_0\) で表し、重力赤方偏移 (gravitational redshift) の公式

\[ \frac{\nu_\text{obs}}{\nu_\text{em}} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r_0}} \]

を導け。ここで、光の振動数は固有時の逆数に比例する（\(\nu \propto 1/d\tau\)）ことを用いよ。

ヒント

静止観測者の固有時は \(d\tau = \sqrt{-g_{00}}\,dt\)。座標時 \(dt\) は時空の静的性から発信側と受信側で共通。\(r = \infty\) では \(g_{00} = -1\)。

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M-4. Schwarzschild 計量での径方向の固有長

Schwarzschild 計量 (6.14) において、\(r = r_1\) から \(r = r_2\)（\(r_2 > r_1 \gg 2M\)）まで径方向に測った固有長を

\[ \Delta L = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - 2M/r}} \]

と書き下し、\((1 - 2M/r)^{-1/2} \approx 1 + M/r\) の近似を用いて積分を実行せよ。\(\Delta L\) と座標差 \(r_2 - r_1\) の差 \(\delta L = \Delta L - (r_2 - r_1)\) を求め、\(M\), \(r_1\), \(r_2\) で表せ。

ヒント

\(\int_{r_1}^{r_2} \frac{M}{r}\,dr = M\ln(r_2/r_1)\) を使う。

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M-5. 計量テンソルの独立成分の数

一般の対角計量

\[ ds^2 = g_{00}\,dt^2 + g_{11}\,dr^2 + g_{22}\,d\theta^2 + g_{33}\,d\varphi^2 \]

において、\(g_{\alpha\beta}\) が対称テンソルであることと対角であることを用いて、独立成分の数が 4 個であることを確認せよ。次に、一般の（非対角成分も持つ）4 次元計量テンソルの独立成分が \(\frac{4 \times 5}{2} = 10\) 個であることを、対称性 \(g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}\) から示せ。

ヒント

\(n \times n\) 対称行列の独立成分数は \(n(n+1)/2\)。対角行列ではさらに非対角成分がすべてゼロ。

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Advanced（発展）

A-1. 定曲率 2 次元空間の幾何学

次の 2 次元計量を考える：

\[ ds^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{\left(1 + \frac{k}{4}r^2\right)^2} \]

ここで \(k\) は定数、\(r \geq 0\), \(0 \leq \varphi < 2\pi\) とする。

(a) 原点を中心とする座標半径 \(r = r_0\) の「円」の円周の固有長 \(C(r_0)\) を計算せよ。

(b) 原点から座標半径 \(r_0\) までの径方向の固有長（「半径」）\(\mathcal{R}(r_0)\) を積分の形で書き下し、\(k > 0\) の場合に \(C(r_0)\) と \(2\pi \mathcal{R}(r_0)\) を比較せよ。\(C < 2\pi\mathcal{R}\) となるか \(C > 2\pi\mathcal{R}\) となるかを判定し、その幾何学的意味を述べよ。

(c) この計量は定曲率 (ていきょくりつ) 空間を表すことが知られている。\(k > 0\), \(k = 0\), \(k < 0\) がそれぞれ球面・平面・双曲面に対応することを、(b) の結果と直感的な議論から説明せよ。

ヒント

(a) \(r = r_0\) 上で \(dr = 0\) として \(dL = \frac{r_0}{1+kr_0^2/4}\,d\varphi\) を \(0\) から \(2\pi\) まで積分。(b) \(\mathcal{R} = \int_0^{r_0}\frac{dr}{1+kr^2/4}\) は \(k > 0\) のとき逆正接関数で表せる。球面では「円周 < \(2\pi\) × 半径」。

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A-2. GPS と重力赤方偏移

Schwarzschild 計量 (6.13)（\(c\) と \(G\) を明示した形）を用い、地球表面（\(r = R_\oplus\)）に静止した時計と GPS 衛星軌道（\(r = R_\text{GPS}\)）に静止した時計の固有時を比較する。

(a) 遠方の座標時 \(\Delta t = 1\) 日に対し、それぞれの時計が刻む固有時 \(\Delta\tau_\oplus\), \(\Delta\tau_\text{GPS}\) を \(2GM_\oplus/(c^2 r) \ll 1\) の近似のもとで求めよ。

(b) 固有時の差 \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus\) を数値的に見積もれ。以下の数値を用いよ：

\[ \frac{2GM_\oplus}{c^2} \approx 8.87 \times 10^{-3}\;\mathrm{m},\quad R_\oplus \approx 6.37 \times 10^6\;\mathrm{m},\quad R_\text{GPS} \approx 2.66 \times 10^7\;\mathrm{m} \]

(c) この固有時差を補正しなかった場合、1 日あたりの GPS 測位誤差がどの程度になるか、光速 \(c \approx 3 \times 10^8\;\mathrm{m/s}\) を用いて見積もれ。この結果が実用上無視できないことを論ぜよ。

ヒント

(a) \(\sqrt{1-\epsilon} \approx 1 - \epsilon/2\) を使う。(b) \(\Delta\tau_\text{GPS} - \Delta\tau_\oplus \approx \frac{1}{2}\left(\frac{r_s}{R_\oplus} - \frac{r_s}{R_\text{GPS}}\right)\Delta t\) で \(r_s = 2GM_\oplus/c^2\)。(c) 距離誤差 \(\sim c \times (\text{時間差})\)。なお、実際の GPS ではここで求めた重力赤方偏移の効果に加え特殊相対論的な時間の遅れ（衛星の運動による効果）も補正する必要がある。

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