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Appendix D 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Schwarzschild の \(\Gamma^r_{\ tt}\)

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解法の方針

対角計量では Christoffel 記号の定義式で和をとる添字 \(\alpha\) のうち、\(g^{\mu\alpha} \neq 0\) となるのは \(\alpha = \mu\) のみ。\(\mu = r\) なので \(\alpha = r\) だけが寄与する。

計算の詳細

定義式に \(\mu = r\), \(\nu = \sigma = t\) を代入する：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}g^{r\alpha}\left(\partial_t g_{\alpha t} + \partial_t g_{\alpha t} - \partial_\alpha g_{tt}\right) \]

対角計量なので \(\alpha = r\) のみ寄与：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\underbrace{\partial_t g_{rt}}_{=0} + \underbrace{\partial_t g_{rt}}_{=0} - \partial_r g_{tt}\right) = -\frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{tt} \]

\(g^{rr}\) の計算：

\[ g^{rr} = \frac{1}{g_{rr}} = 1 - \frac{2M}{r} \]

\(\partial_r g_{tt}\) の計算：

\[ g_{tt} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = -1 + \frac{2M}{r} \]
\[ \partial_r g_{tt} = \partial_r\left(-1 + \frac{2M}{r}\right) = -\frac{2M}{r^2} \]

代入：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(-\frac{2M}{r^2}\right) = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} \]

検算

遠方極限 \(r \gg 2M\) で \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\)。これは Newton 重力の加速度 \(GM/r^2\)（\(G=1\)）に一致する。✓

B-2. Schwarzschild の \(\Gamma^r_{\ rr}\)

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解法の方針

\(\mu = \nu = \sigma = r\) を代入する。対角計量なので \(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\) となる。

計算の詳細

定義式に代入：

\[ \Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\partial_r g_{rr} + \partial_r g_{rr} - \partial_r g_{rr}\right) = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr} \]

\(\partial_r g_{rr}\) の計算：

\(g_{rr} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\) に対し、\(u = 1 - \frac{2M}{r}\) とおくと \(g_{rr} = u^{-1}\)。

\[ \frac{du}{dr} = \frac{2M}{r^2} \]
\[ \partial_r g_{rr} = -u^{-2}\frac{du}{dr} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-2}\cdot\frac{2M}{r^2} \]

代入：

\[ \Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot\left[-\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-2}\cdot\frac{2M}{r^2}\right] \]
\[ = -\frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{rr} = -\frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}} \]

検算

\(\Gamma^r{}_{rr}\) と \(\Gamma^r{}_{tt}\) の積を確認：\(\Gamma^r{}_{tt}\cdot\Gamma^r{}_{rr} = \frac{M}{r^2}(1-2M/r)\cdot\left(-\frac{M}{r^2}\right)(1-2M/r)^{-1} = -M^2/r^4\)。これは公式集の値と整合する。✓

B-3. Minkowski 球座標の \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)

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計算の詳細

\(\mu = \theta\), \(\nu = \sigma = \varphi\) を代入。対角計量なので \(\alpha = \theta\) のみ寄与：

\[ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = \frac{1}{2}g^{\theta\theta}\left(\underbrace{\partial_\varphi g_{\theta\varphi}}_{=0} + \underbrace{\partial_\varphi g_{\theta\varphi}}_{=0} - \partial_\theta g_{\varphi\varphi}\right) = -\frac{1}{2}g^{\theta\theta}\,\partial_\theta g_{\varphi\varphi} \]

各量の計算：

\[ g^{\theta\theta} = \frac{1}{r^2} \]
\[ g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta \quad \Longrightarrow \quad \partial_\theta g_{\varphi\varphi} = 2r^2\sin\theta\cos\theta \]

代入：

\[ \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r^2}\cdot 2r^2\sin\theta\cos\theta = -\sin\theta\cos\theta \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta} \]

検算

Schwarzschild 計量の公式集でも \(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi} = -\cos\theta\sin\theta\) であり、この成分は角度部分のみに依存するので一致する。✓

B-4. FRW の \(\Gamma^r_{\ tr}\)

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計算の詳細

\(\mu = r\), \(\nu = t\), \(\sigma = r\) を代入。対角計量で \(\alpha = r\) のみ寄与：

\[ \Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}g^{rr}\left(\partial_t g_{rr} + \partial_r g_{rt} - \partial_r g_{tr}\right) = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_t g_{rr} \]

（\(g_{rt} = 0\) なので第 2 項・第 3 項は消える。）

各量の計算：

\(k=0\) では \(g_{rr} = a^2(t)\) なので

\[ g^{rr} = \frac{1}{a^2(t)}, \qquad \partial_t g_{rr} = 2a\dot{a} \]

代入：

\[ \Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a^2}\cdot 2a\dot{a} = \frac{\dot{a}}{a} \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tr} = \frac{\dot{a}}{a} = H(t)} \]

検算

これは Hubble パラメータ \(H(t)\) に等しい。宇宙膨張による共動座標の「引きずり効果」を表しており、物理的に妥当。公式集の値とも一致。✓

B-5. FRW の \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)

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計算の詳細

\(\mu = t\), \(\nu = \sigma = \theta\) を代入。対角計量で \(\alpha = t\) のみ寄与：

\[ \Gamma^t{}_{\theta\theta} = \frac{1}{2}g^{tt}\left(\underbrace{\partial_\theta g_{t\theta}}_{=0} + \underbrace{\partial_\theta g_{t\theta}}_{=0} - \partial_t g_{\theta\theta}\right) = -\frac{1}{2}g^{tt}\,\partial_t g_{\theta\theta} \]

各量の計算：

\[ g^{tt} = -1, \qquad g_{\theta\theta} = a^2(t)\,r^2 \]
\[ \partial_t g_{\theta\theta} = 2a\dot{a}\,r^2 \]

代入：

\[ \Gamma^t{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2}(-1)\cdot 2a\dot{a}\,r^2 = a\dot{a}\,r^2 \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2} \]

検算

公式集の値 \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2\) と完全に一致。✓

B-6. Schwarzschild 正規直交基底の確認

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計算の詳細

公式集より：

\[ (\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha = \left[0,\; \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{1/2},\; 0,\; 0\right] \]

内積を計算する：

\[ g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = g_{\alpha\beta}\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\beta \]

非ゼロ成分は \(\alpha = \beta = r\) のみ：

\[ = g_{rr}\cdot\left[\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{1/2}\right]^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = 1 \]

最終回答

\[ \boxed{g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = +1} \]

検算

同様に \(g(\mathbf{e}_{\hat{t}},\, \mathbf{e}_{\hat{t}}) = g_{tt}\cdot(1-2M/r)^{-1} = -(1-2M/r)\cdot(1-2M/r)^{-1} = -1\) も確認でき、正規直交基底の条件 \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) を満たす。✓

B-7. 一般球対称の Christoffel 確認

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計算の詳細

一般球対称計量の公式集より：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{\nu'}{2}\,e^{\nu - \lambda} \]

Schwarzschild では \(e^{\nu} = 1 - \frac{2M}{r}\), \(e^{-\lambda} = 1 - \frac{2M}{r}\) なので \(e^{\lambda} = (1-2M/r)^{-1}\)。

\(\nu'\) の計算：

\[ \nu = \ln\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]
\[ \nu' = \frac{d\nu}{dr} = \frac{1}{1 - 2M/r}\cdot\frac{2M}{r^2} = \frac{2M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1} \]

\(e^{\nu - \lambda}\) の計算：

\[ e^{\nu - \lambda} = e^{\nu}\cdot e^{-\lambda} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right) = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 \]

代入：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\cdot\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^2 = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right) \]

最終回答

\[ \boxed{\Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} \]

D1 の結果と一致する。✓

検算

一般公式から特殊ケースへの帰着が正しく行われた。中間結果 \(\nu' = \frac{2M}{r^2(1-2M/r)}\) は、\(r \to \infty\) で \(\nu' \to 2M/r^2 \to 0\)（平坦時空に近づく）となり妥当。✓

B-8. Riemann テンソルの対称性の適用

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計算の詳細

公式集より \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\)。

方法 1：前半・後半ペアの交換対称性

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} \]

ペア交換対称性 \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}\) を適用：

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} \]

これでは同じ量に戻るので、別の方法を使う。

方法 2：反対称性の 2 回適用

第 1・第 2 添字の反対称性：

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} \]

第 3・第 4 添字の反対称性：

\[ -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = -(-R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}) = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} \]

よって：

\[ R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -\frac{2M}{r^3} \]

最終回答

\[ \boxed{R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -\frac{2M}{r^3}} \]

検算

ペア交換対称性で直接確認：\(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\)（自明）。反対称性を 1 回だけ適用すると \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}} = -R_{\hat{r}\hat{t}\hat{t}\hat{r}} = +R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\)（第 3・4 反対称性）。結果は整合的。✓

B-9. Schwarzschild の \(R_{tt} = 0\)

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解法の方針

Ricci テンソルの定義 \(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}}\) を展開し、正規直交基底では \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) で添字を上げ下げすることに注意する。

計算の詳細

\[ R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} + R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} + R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} + R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} \]

第 1 項： \(R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = \eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = (-1)\cdot 0 = 0\)

（Riemann テンソルの反対称性より \(R_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}\hat{t}} = 0\)）

第 2 項： \(R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3}\)

第 3 項： \(R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)

（公式集より \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = M/r^3\)）

第 4 項： \(R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = \eta^{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}} = (+1)\cdot\frac{M}{r^3} = \frac{M}{r^3}\)

合計：

\[ R_{\hat{t}\hat{t}} = 0 - \frac{2M}{r^3} + \frac{M}{r^3} + \frac{M}{r^3} = 0 \]

最終回答

\[ \boxed{R_{\hat{t}\hat{t}} = 0} \]

検算

Schwarzschild 時空は真空解（\(G_{\mu\nu} = 0\)）なので \(R_{\mu\nu} = 0\)。\(R_{\hat{t}\hat{t}} = 0\) はこれと整合する。✓

B-10. FRW のスカラー曲率

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解法の方針

Einstein テンソルの定義 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) のトレースをとる。

計算の詳細

トレースを計算する：

\[ G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = -G_{\hat{t}\hat{t}} + G_{\hat{r}\hat{r}} + G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} + G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} \]

一方、定義式のトレース：

\[ G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} - \frac{1}{2}\delta^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}}R = R - \frac{1}{2}\cdot 4\cdot R = R - 2R = -R \]

よって：

\[ R = -G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = G_{\hat{t}\hat{t}} - G_{\hat{r}\hat{r}} - G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} - G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} \]

FRW の Einstein テンソル成分（公式集より）：

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]
\[ G_{\hat{r}\hat{r}} = G_{\hat{\theta}\hat{\theta}} = G_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}} = -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]

（等方性により空間成分はすべて等しい。）

代入：

\[ R = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} - 3\left(-\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) \]
\[ = 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \frac{6\ddot{a}}{a} + 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} \]
\[ = 6\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \frac{6\ddot{a}}{a} \]

最終回答

\[ \boxed{R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right)} \]

検算

\(k = 0\), \(a = \text{const}\)（Minkowski）のとき \(R = 0\)。✓

de Sitter 時空（\(a \propto e^{Ht}\), \(k=0\)）では \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\) なので \(R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 4\Lambda\)（\(H^2 = \Lambda/3\) のとき）。これは既知の結果と一致。✓

Medium（標準）

M-1. Schwarzschild 測地線の Newton 極限

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解法の方針

\(r\) 成分の測地線方程式に公式集の Christoffel 記号を代入し、低速・弱重力場の極限をとる。

計算の詳細

Christoffel 記号の代入：

赤道面 \(\theta = \pi/2\) を仮定すると（一般性を失わない）：

\[ \frac{d^2 r}{d\tau^2} + \frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - \frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 - (r-2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

ここで \(\Gamma^r{}_{\theta\theta}(d\theta/d\tau)^2\) の項は赤道面上で \(d\theta/d\tau = 0\) として省略した。

低速・弱重力場の極限：

条件： - \(dr/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)（低速） - \(r \gg 2M\)（弱重力場）なので \(1 - 2M/r \approx 1\) - \(dt/d\tau \approx 1\)（時間の遅れが無視できる） - \(d\tau \approx dt\)

第 2 項以外はすべて無視できる：

\[ \frac{d^2 r}{d\tau^2} + \frac{M}{r^2}\cdot 1\cdot 1^2 \approx 0 \]

\(d\tau \approx dt\) を用いて：

\[ \frac{d^2 r}{dt^2} \approx -\frac{M}{r^2} \]

最終回答

\[ \boxed{\frac{d^2 r}{dt^2} \approx -\frac{M}{r^2}} \]

これは Newton の万有引力の法則 \(F = -GMm/r^2\)（\(G = 1\)）による運動方程式そのものである。

検算

次元解析：\([M/r^2] = \text{(長さ)}/\text{(長さ)}^2 = 1/\text{(長さ)}\)。幾何学単位系（\(G = c = 1\)）では \(M\) の次元は長さなので、\(M/r^2\) は \(1/\text{長さ}\) = 加速度の次元。✓

M-2. FRW と Friedmann 方程式・保存則

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解法の方針

Einstein 方程式 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\) の \((\hat{t},\hat{t})\) 成分と \((\hat{r},\hat{r})\) 成分を用いる。

計算の詳細

第 1 Friedmann 方程式：

\(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}}\) に \(G_{\hat{t}\hat{t}} = 3(\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{t}\hat{t}} = \rho\) を代入：

\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi\rho \]
\[ \boxed{H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{k}{a^2}} \]

第 2 Friedmann 方程式（加速方程式）：

\(G_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}}\) に \(G_{\hat{r}\hat{r}} = -2\ddot{a}/a - (\dot{a}^2 + k)/a^2\), \(T_{\hat{r}\hat{r}} = p\) を代入：

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi p \]

第 1 Friedmann 方程式より \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = 8\pi\rho/3\) を代入：

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{8\pi\rho}{3} = 8\pi p \]
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) \]
\[ \boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)} \]

連続の式の導出：

第 1 Friedmann 方程式を時間微分する：

\[ \frac{d}{dt}\left(\dot{a}^2 + k\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{8\pi\rho}{3}a^2\right) \]
\[ 2\dot{a}\ddot{a} = \frac{8\pi}{3}\left(\dot{\rho}\,a^2 + 2\rho\,a\dot{a}\right) \]

両辺を \(2a\dot{a}\) で割る（\(\dot{a} \neq 0\) を仮定）：

\[ \frac{\ddot{a}}{a} = \frac{8\pi}{3}\left(\frac{\dot{\rho}}{2}\frac{a}{\dot{a}} + \rho\right) = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]

加速方程式 \(\ddot{a}/a = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p)\) を左辺に代入：

\[ -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]
\[ -\frac{4\pi}{3}\rho - 4\pi p = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} + \frac{8\pi\rho}{3} \]
\[ -4\pi p - \frac{4\pi}{3}\rho - \frac{8\pi\rho}{3} = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ -4\pi p - 4\pi\rho = \frac{4\pi}{3}\frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ -3(\rho + p) = \frac{\dot{\rho}\,a}{\dot{a}} \]
\[ \dot{\rho} = -3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) \]

最終回答

\[ \boxed{\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0} \]

検算

ダスト（\(p = 0\)）の場合：\(\dot{\rho}/\rho = -3\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-3}\)。体積が \(a^3\) に比例するので、質量保存 \(\rho \propto 1/\text{体積}\) と整合。✓

放射（\(p = \rho/3\)）の場合：\(\dot{\rho}/\rho = -4\dot{a}/a\) → \(\rho \propto a^{-4}\)。赤方偏移によるエネルギー損失の分だけ余分に減少し、既知の結果と一致。✓

M-3. Schwarzschild の Kretschmann スカラー

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解法の方針

正規直交基底の独立な Riemann テンソル成分を列挙し、各成分が \(K = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\) に寄与する回数を対称性から数え上げる。

計算の詳細

独立な非ゼロ成分（公式集より）：

成分 値
\(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) \(-2M/r^3\)
\(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\) \(M/r^3\)
\(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) \(M/r^3\)
\(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\) \(-M/r^3\)
\(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\) \(-M/r^3\)
\(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) \(2M/r^3\)

添字の上げ下げ：

正規直交基底では \(\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)\) で添字を上げる。

\[ R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}} \]

各独立成分について、4 つの \(\eta\) 因子の積を確認する。Riemann テンソルの反対称性により、各添字対 \((ab)\) と \((cd)\) にはそれぞれ時間添字が 0 個または 1 個含まれる。したがって全体で時間添字は 0 個または 2 個であり、\(\eta\) 因子の積は \((-1)^0 = 1\) または \((-1)^2 = 1\) となる。

例えば \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\) の場合： $$ R^{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{r}\hat{r}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} $$

\(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\) の場合： $$ R^{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = \eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}\eta^{\hat{\theta}\hat{\theta}}\eta^{\hat{t}\hat{t}}R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = (+1)(-1)(+1)(-1)R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} = R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} $$

\(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\) の場合： $$ R^{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = (+1)(+1)(+1)(+1)R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} $$

したがって、すべての独立成分について \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\) が成り立つ。

各独立成分の寄与の数え上げ：

Riemann テンソルの対称性 \(R_{abcd} = -R_{bacd} = -R_{abdc} = R_{cdab}\) により、1 つの独立成分 \(R_{abcd}\)（\(a \neq b\), \(c \neq d\)）から生じる非ゼロ成分を数える。

6 つの独立成分はすべて \(R_{\hat{A}\hat{B}\hat{A}\hat{B}}\) の形（添字対 \((ab) = (cd)\)）をしている。この場合：

  • \((AB, AB)\)：元の成分
  • \((BA, AB)\)：第 1 対の反対称性 → \(-R_{ABAB}\)
  • \((AB, BA)\)：第 2 対の反対称性 → \(-R_{ABAB}\)
  • \((BA, BA)\)：両方の反対称性 → \(+R_{ABAB}\)

これで 4 通り。ペア交換 \(R_{ABAB} = R_{ABAB}\) は自明なので新しい成分を生まない。

よって各独立成分は \(K\) の和に 4 回 寄与し、各回の寄与は \((R_{ABAB})^2\)（\(R^{ABAB} = R_{ABAB}\) なので）。

\(K\) の計算：

\[ K = 4\left[\left(-\frac{2M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(-\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(-\frac{M}{r^3}\right)^2 + \left(\frac{2M}{r^3}\right)^2\right] \]
\[ = 4\left[\frac{4M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{M^2}{r^6} + \frac{4M^2}{r^6}\right] \]
\[ = 4\cdot\frac{(4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4)M^2}{r^6} = 4\cdot\frac{12M^2}{r^6} = \frac{48M^2}{r^6} \]

最終回答

\[ \boxed{K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}\,R^{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{48M^2}{r^6}} \]

検算

  • \(r \to \infty\) で \(K \to 0\)：漸近的平坦性と整合。✓
  • \(r = 2M\) で \(K = 48M^2/(2M)^6 = 48/(64M^4) = 3/(4M^4)\)：有限値。座標特異点であり物理的特異点ではない。✓
  • \(r \to 0\) で \(K \to \infty\)：真の特異点。✓
  • 次元解析：\([M^2/r^6] = \text{(長さ)}^2/\text{(長さ)}^6 = 1/\text{(長さ)}^4\)。曲率テンソルの 2 乗なので \(1/\text{(長さ)}^4\) は正しい。✓

M-4. 質量関数の導出

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解法の方針

\(e^{-\lambda} = 1 - 2m(r)/r\) を \(G_{\hat{t}\hat{t}}\) の式に代入して整理する。

計算の詳細

\(e^{-\lambda}\) の微分：

\[ \frac{d}{dr}e^{-\lambda} = -\lambda'\,e^{-\lambda} \]

一方、

\[ \frac{d}{dr}\left(1 - \frac{2m}{r}\right) = -\frac{2m'r - 2m}{r^2} = \frac{2m - 2m'r}{r^2} \]

よって：

\[ -\lambda'\,e^{-\lambda} = \frac{2m - 2m'r}{r^2} \]
\[ \lambda'\,e^{-\lambda} = \frac{2m'r - 2m}{r^2} \]

\(G_{\hat{t}\hat{t}}\) への代入：

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = \frac{1}{r^2}\,e^{-\lambda}\left(\lambda' r - 1 + e^{\lambda}\right) \]

\(\lambda' r\,e^{-\lambda}\) を計算する：

\[ \lambda' r\,e^{-\lambda} = r\cdot\frac{2m'r - 2m}{r^2} = \frac{2m'r - 2m}{r} \]

\(e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda} = 1\) なので、\(G_{\hat{t}\hat{t}}\) の式を整理する：

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = \frac{1}{r^2}\left[\lambda' r\,e^{-\lambda} - e^{-\lambda} + 1\right] \]

各項を代入：

\[ = \frac{1}{r^2}\left[\frac{2m'r - 2m}{r} - \left(1 - \frac{2m}{r}\right) + 1\right] \]
\[ = \frac{1}{r^2}\left[\frac{2m'r - 2m}{r} - 1 + \frac{2m}{r} + 1\right] \]
\[ = \frac{1}{r^2}\cdot\frac{2m'r - 2m + 2m}{r} = \frac{1}{r^2}\cdot\frac{2m'r}{r} = \frac{2m'}{r^2} \]

Einstein 方程式の適用：

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho \quad \Longrightarrow \quad \frac{2m'}{r^2} = 8\pi\rho \]
\[ m' = \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2\rho \]

最終回答

\[ \boxed{\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho} \]

物理的意味： この式は、半径 \(r\) の球殻の質量増分が \(dm = \rho \cdot 4\pi r^2\,dr\)（エネルギー密度 × 球殻の座標体積要素）であることを表す。すなわち、\(m(r)\) は半径 \(r\) 内に含まれる重力質量（Misner-Sharp 質量）であり、Newton 力学における質量の積分公式

\[ m(r) = \int_0^r 4\pi r'^2\,\rho(r')\,dr' \]

の一般相対論版である。ただし、一般相対論では \(\rho\) は局所的なエネルギー密度であり、重力の束縛エネルギーの効果は \(e^{\lambda}\) を通じて暗黙的に含まれている（固有体積要素は \(4\pi r^2 e^{\lambda/2}dr\) であり、座標体積要素 \(4\pi r^2 dr\) とは異なる）。

検算

外部真空領域（\(\rho = 0\)）では \(dm/dr = 0\) → \(m = \text{const} = M\)。\(e^{-\lambda} = 1 - 2M/r\) となり、Schwarzschild 解に帰着する。✓

Advanced（発展）

A-1. Schwarzschild 円軌道と潮汐力

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(a) Kepler の第 3 法則の導出

解法の方針： 赤道面上の円軌道（\(r = \text{const}\), \(\theta = \pi/2\)）の条件を \(r\) 成分の測地線方程式に代入する。

計算の詳細：

円軌道の条件：\(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\), \(d\theta/d\tau = 0\)。

\(r\) 成分の測地線方程式：

\[ 0 + \Gamma^r{}_{tt}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + 0 + 0 + \Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

公式集より（\(\theta = \pi/2\)）：

\[ \Gamma^r{}_{tt} = \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right), \qquad \Gamma^r{}_{\varphi\varphi} = -(r - 2M)\sin^2\theta = -(r - 2M) \]

代入：

\[ \frac{M}{r^2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - (r - 2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 0 \]

\((1 - 2M/r) = (r - 2M)/r\) を用いると：

\[ \frac{M}{r^2}\cdot\frac{r - 2M}{r}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 = (r - 2M)\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 \]

\(r > 2M\) で \(r - 2M \neq 0\) なので両辺を \((r - 2M)\) で割る：

\[ \frac{M}{r^3}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 = \left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 \]

角速度 \(\Omega = d\varphi/dt = (d\varphi/d\tau)/(dt/d\tau)\) を用いると：

\[ \Omega^2 = \frac{(d\varphi/d\tau)^2}{(dt/d\tau)^2} = \frac{M}{r^3} \]
\[ \boxed{\Omega^2 = \frac{M}{r^3}} \]

これは Newton 力学の Kepler の第 3 法則 \(\omega^2 = GM/r^3\) と同じ形（\(G = 1\)）。一般相対論でも座標角速度に関しては同じ関係が成り立つ。

(b) 潮汐力の評価

解法の方針： 測地偏差方程式を用いる。

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{\alpha}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\,u^{\hat{\beta}}\,u^{\hat{\gamma}}\,\xi^{\hat{\delta}} \]

円軌道上の観測者の 4 元速度は、正規直交基底で近似的に \(u^{\hat{\beta}} \approx (u^{\hat{t}}, 0, 0, u^{\hat{\varphi}})\) だが、\(r \gg M\) の場合や潮汐力の主要項を見る場合は \(u^{\hat{\beta}} \approx (1, 0, 0, 0)\) と近似できる。ここでは一般的に、静止観測者（\(u^{\hat{\beta}} = (1, 0, 0, 0)\)）に対する潮汐力を評価する。

計算の詳細：

動径方向の偏差 \(\xi^{\hat{\delta}} = (0, \delta r, 0, 0)\) に対する動径方向の相対加速度：

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}\,u^{\hat{\beta}}\,u^{\hat{\gamma}}\,\xi^{\hat{\delta}} \]

\(u^{\hat{\beta}} = \delta^{\hat{\beta}}_{\hat{t}}\), \(\xi^{\hat{\delta}} = \delta^{\hat{\delta}}_{\hat{r}}\,\delta r\) とすると：

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\,\delta r \]

添字を上げる：

\[ R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = \eta^{\hat{r}\hat{r}}R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = (+1)\cdot\left(-\frac{2M}{r^3}\right) = -\frac{2M}{r^3} \]

よって：

\[ \frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2} = -\left(-\frac{2M}{r^3}\right)\delta r = \frac{2M}{r^3}\,\delta r \]

相対加速度の大きさ：

\[ \boxed{\left|\frac{D^2\xi^{\hat{r}}}{d\tau^2}\right| = \frac{2M}{r^3}\,\delta r} \]

これは Newton の潮汐力 \(2GM\,\delta r/r^3\) と同じ形。

(c) ISCO と事象の地平面での潮汐力の比

潮汐力は \(\propto M/r^3\) なので：

\[ \frac{(\text{潮汐力})_{r=6M}}{(\text{潮汐力})_{r=2M}} = \frac{(2M)^3}{(6M)^3} = \frac{8M^3}{216M^3} = \frac{1}{27} \]
\[ \boxed{\frac{(\text{潮汐力})_{\text{ISCO}}}{(\text{潮汐力})_{\text{horizon}}} = \frac{1}{27}} \]

検算

  • (a) \(r = 6M\) で \(\Omega^2 = M/(216M^3) = 1/(216M^2)\), \(\Omega = 1/(6\sqrt{6}\,M)\)。妥当な値。✓
  • (b) 次元：\([M/r^3] = \text{(長さ)}/\text{(長さ)}^3 = 1/\text{(長さ)}^2\)。\(\delta r\) を掛けると \(1/\text{(長さ)}\) = 加速度の次元。✓
  • (c) \(6^3 = 216\), \(2^3 = 8\), \(8/216 = 1/27\)。✓

A-2. de Sitter と宇宙定数

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(a) 修正 Friedmann 方程式の導出

計算の詳細：

Einstein 方程式は \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\)。

\((\hat{t},\hat{t})\) 成分：

\[ G_{\hat{t}\hat{t}} + \Lambda\,\eta_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi T_{\hat{t}\hat{t}} \]
\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \Lambda(-1) = 8\pi\rho \]
\[ 3\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} = 8\pi\rho + \Lambda \]
\[ \boxed{H^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2}} \]

\((\hat{r},\hat{r})\) 成分：

\[ G_{\hat{r}\hat{r}} + \Lambda\,\eta_{\hat{r}\hat{r}} = 8\pi T_{\hat{r}\hat{r}} \]
\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2} + \Lambda(+1) = 8\pi p \]

第 1 Friedmann 方程式より \((\dot{a}^2 + k)/a^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3}\) を代入：

\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} - \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{\Lambda}{3} + \Lambda = 8\pi p \]
\[ -\frac{2\ddot{a}}{a} = 8\pi p + \frac{8\pi\rho}{3} - \frac{2\Lambda}{3} \]
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} \]
\[ \boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}} \]

(b) de Sitter 時空

条件： \(\rho = p = 0\), \(k = 0\)。

第 1 Friedmann 方程式：

\[ H^2 = \frac{\Lambda}{3} \]

\(H = \dot{a}/a = \text{const}\) なので：

\[ \frac{\dot{a}}{a} = \sqrt{\frac{\Lambda}{3}} \equiv H = \text{const} \]

この微分方程式の解：

\[ a(t) = a_0\,\exp\left(\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\,t\right) \propto e^{Ht} \]

検算（加速方程式）：

\[ \frac{\ddot{a}}{a} = H^2 = \frac{\Lambda}{3} \quad \checkmark \]
\[ \boxed{a(t) \propto e^{Ht}, \qquad H = \sqrt{\frac{\Lambda}{3}}} \]

(c) de Sitter 時空の Riemann テンソルが最大対称空間の形をとることの確認

解法の方針： de Sitter 時空の Ricci テンソルとスカラー曲率を求め、最大対称空間の Riemann テンソルの一般形と比較する。さらに FRW の Riemann テンソル成分を直接計算して確認する。

スカラー曲率の計算：

D10 の結果より：

\[ R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) \]

de Sitter 時空（\(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\)）では：

\[ R = 6(H^2 + H^2) = 12H^2 = 12\cdot\frac{\Lambda}{3} = 4\Lambda \]

Ricci テンソルの計算：

Einstein テンソルの定義 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) より：

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R \]

de Sitter 時空では Einstein 方程式 \(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\)（\(T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 0\)）なので：

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\cdot 4\Lambda = -\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + 2\Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} \]

すなわち de Sitter 時空は Einstein 空間（\(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{n}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\), \(n = 4\)）である：

\[ R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \frac{R}{4}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} \]

最大対称空間の Riemann テンソル：

\(n\) 次元の最大対称空間では：

\[ R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{n(n-1)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}) \]

\(n = 4\), \(R = 4\Lambda\) を代入：

\[ R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{4\Lambda}{4\cdot 3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}) = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}) \]

FRW の Riemann テンソルからの直接確認：

de Sitter 時空（\(k = 0\), \(\dot{a}/a = H\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\)）の FRW Riemann テンソル成分を計算する。

FRW 時空の正規直交基底における Riemann テンソル成分は、一般に以下の 2 種類の独立成分を持つ（FRW の対称性から）：

$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\ddot{a}}{a}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ ここで \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}, \hat{l}\) は空間的な正規直交基底の添字（\(1, 2, 3\)）である。

de Sitter 時空の値の代入：

de Sitter 時空では \(k = 0\), \(\ddot{a}/a = H^2\), \(\dot{a}^2/a^2 = H^2\), \(H^2 = \Lambda/3\) なので：

$$R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -H^2\,\delta_{ij} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ $$R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = H^2\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) = \frac{\Lambda}{3}\,(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ 最大対称空間の形との比較：

最大対称空間の Riemann テンソル \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\) の各成分を展開する。

\((\hat{t},\hat{i},\hat{t},\hat{j})\) 成分：

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{t}}\eta_{\hat{i}\hat{j}} - \eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{t}}) = \frac{\Lambda}{3}((-1)\delta_{ij} - 0) = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij} $$ これは上で計算した \(R_{\hat{t}\hat{i}\hat{t}\hat{j}} = -\frac{\Lambda}{3}\,\delta_{ij}\) と一致する。✓

\((\hat{i},\hat{j},\hat{k},\hat{l})\) 成分（空間-空間）：

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{i}\hat{k}}\eta_{\hat{j}\hat{l}} - \eta_{\hat{i}\hat{l}}\eta_{\hat{j}\hat{k}}) = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}) $$ これは上で計算した \(R_{\hat{i}\hat{j}\hat{k}\hat{l}} = \frac{\Lambda}{3}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\) と一致する。✓

\((\hat{t},\hat{i},\hat{j},\hat{k})\) 成分（時間 1 つ＋空間 3 つ）：

$$\frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{t}\hat{j}}\eta_{\hat{i}\hat{k}} - \eta_{\hat{t}\hat{k}}\eta_{\hat{i}\hat{j}}) = \frac{\Lambda}{3}(0 - 0) = 0 $$ FRW の対称性からもこの成分はゼロである。✓

結論：

de Sitter 時空の Riemann テンソルの全成分が最大対称空間の一般形と一致することが、FRW の Riemann テンソル成分の直接計算により確認された：

$$\boxed{R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}\left(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}}\right)} $$ これは de Sitter 時空が 4 次元の最大対称空間（Killing ベクトルの数が \(4\times 5/2 = 10\) 個で最大）であることを意味する。de Sitter 時空は正の定曲率を持つ Lorentz 多様体であり、5 次元 Minkowski 空間内の 1 葉双曲面 \(-T^2 + X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = 3/\Lambda\) として埋め込むことができる。

検算

  1. Ricci テンソルの整合： 最大対称空間の Riemann テンソルから Ricci テンソルを計算する。\(R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}R_{\hat{\alpha}\hat{\mu}\hat{\beta}\hat{\nu}} = \frac{\Lambda}{3}\eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\beta}}) = \frac{\Lambda}{3}(4\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}) = \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}\)。先に求めた結果と一致する。✓

  2. スカラー曲率の整合： \(R = \eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda\,\eta^{\hat{\mu}\hat{\nu}}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = \Lambda \cdot 4 = 4\Lambda\)。先に求めた結果と一致する。✓

  3. Schwarzschild 極限： \(\Lambda \to 0\) で \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} \to 0\)（Minkowski 時空）。de Sitter 時空は \(\Lambda > 0\) の「空っぽの宇宙」であり、\(\Lambda = 0\) で平坦時空に帰着する。✓