第 2 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

• B-1. 物理量のテンソル階数の判別
• B-2. Newton の運動方程式の限界
• B-3. Newton と Einstein の二本柱の対応

Medium（標準）

• M-1. 測地線方程式の理解
• M-2. Einstein 方程式の係数

Advanced（発展）

• A-1. 計量テンソルから派生する量

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Basic（基礎）

B-1. 物理量のテンソル階数の判別

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解答:

量	階数
(a) 温度 \(T\)	0 階（スカラー）
(b) 力 \(\vec{F}\)	1 階（ベクトル）
(c) 質量 \(m\)	0 階（スカラー）
(d) 速度 \(\vec{v}\)	1 階（ベクトル）
(e) 時空間隔 \(ds^2\)	0 階（スカラー）
(f) 計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)	2 階
(g) エネルギー運動量テンソル \(T_{\mu\nu}\)	2 階
(h) 4 元速度 \(U^\mu\)	1 階

ポイント: 階数は添字の数で決まる。添字 0 個なら不変量（座標変換で値が変わらない）、1 個なら矢印的な量、2 個なら行列的な量。

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B-2. Newton の運動方程式の限界

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解答:

Newton の \(\vec{F} = m\vec{a}\) に不足している点：

1. 空間のみの 3 次元ベクトルであること。 特殊相対論では時間と空間が混ざり合う（Lorentz 変換）ので、時間成分を含む 4 次元の「4 元ベクトル」で書き直さなければ、慣性系の間の変換で形が保たれない。

2. 重力を「力」として扱っていること。 Newton の重力 \(F = -GMm/r^2\) は瞬時に伝わる遠隔作用で、これを 4 元ベクトル化しても「重力の瞬時伝播」問題は残る。Einstein の枠組みでは、重力を「力」ではなく「時空の曲がり」として記述することで、この問題を根本的に解消する。

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B-3. Newton と Einstein の二本柱の対応

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解答:

	Newton	Einstein
粒子の運動	\(\vec{F} = m\vec{a}\)（運動方程式）	\(\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dfrac{dx^\alpha}{d\tau}\dfrac{dx^\beta}{d\tau} = 0\)（測地線方程式）
場の方程式	\(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\)（Poisson 方程式）	\(G_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\)（Einstein 方程式）

役割:

• 粒子の運動: 与えられた時空（Newton の場合はポテンシャル \(\Phi\)、Einstein の場合は計量 \(g_{\mu\nu}\) およびそこから決まる \(\Gamma\)）の中で、粒子がどう動くかを決める。
• 場の方程式: 物質（質量密度 \(\rho\) またはエネルギー運動量 \(T_{\mu\nu}\)）が、どうやって時空（\(\Phi\) または \(g_{\mu\nu}\)）を作るかを決める。

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Medium（標準）

M-1. 測地線方程式の理解

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解答:

(a) 右辺がゼロの意味

右辺がゼロ = 粒子に力が働いていないことを意味する。Newton の \(\vec{F} = m\vec{a}\) の右辺にあたる「力」が Einstein の測地線方程式にはない。

Einstein の枠組みでは、重力は力ではなく時空の幾何学に吸収されている。左辺第 2 項の \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)（接続係数）が時空の曲がりの効果を担うため、重力による「力」は式から消える。したがって「測地線」は「重力以外の力が働いていない粒子の世界線」＝「何の力も働いていない粒子の世界線」を意味する。

(b) 接続係数の決定

接続係数 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) は、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) の 1 階微分から決まる。具体的には

\[ \Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \left( \partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta} \right) \]

詳しくは第 6 章以降で学ぶ。

(c) 電磁場中の荷電粒子

電磁場中では、粒子は電磁気力を受けるので、右辺にその力が入る：

\[ m\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = qF^{\mu}{}_{\nu}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

右辺に力がある式は「測地線方程式」ではなく単に「運動方程式」と呼ぶ。力で経路が曲げられた粒子は、もはや測地線には沿わない。

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M-2. Einstein 方程式の係数

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解答:

(a) \(G_{\mu\nu}\) と \(G\) の違い

• \(G_{\mu\nu}\) は Einstein テンソルと呼ばれる 2 階テンソル（添字 2 個）。時空の曲がり具合を表す量で、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) の 2 階微分から作られる。
• \(G\) は Newton の万有引力定数（添字なしのスカラー定数）。\(G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}\)。

同じ記号 \(G\) を使うのは歴史的な偶然。添字の有無で区別する。

(b) 係数 \(8\pi G/c^4\) の決定

この係数は Einstein が自由に選んだ数字ではなく、Newton の Poisson 方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) と整合するように決まる。弱い重力・遅い速度の極限で Einstein 方程式が Poisson 方程式に帰着する条件から、\(8\pi G/c^4\) でなければならない。\(4\pi\) は球の表面積に由来する因子で、\(8\pi\) はテンソル構造から現れる 2 倍の因子。詳細は第 13 章で扱う。

(c) 弱重力極限

弱い重力・遅い速度の極限で Einstein 方程式は Newton の Poisson 方程式 \(\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\) に帰着する。このとき、計量の時間成分 \(g_{00}\) が重力ポテンシャル \(\Phi\) と \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\) の関係で結びつく。

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Advanced（発展）

A-1. 計量テンソルから派生する量

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解答:

計量テンソル \(g_{\mu\nu}\) からの微分の回数と物理的意味：

量	計量の微分	物理的意味
接続係数 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\)	1 階微分	測地線方程式を通じて粒子の軌道を決める
Einstein テンソル \(G_{\mu\nu}\)	2 階微分	時空の曲がりそのものを表す（Riemann テンソルから作られる）

流れ:

g_{μν} (計量)
  ├─ 1 階微分 → Γ^μ_{αβ} (接続) → 測地線方程式 → 粒子の軌道
  └─ 2 階微分 → R^μ_{ναβ} (Riemann) → R_{μν} (Ricci) → G_{μν} (Einstein) → 時空の曲がり

\(\Gamma\) は「この時空の中で粒子がどう動くか」を求めるための量。\(G_{\mu\nu}\) は「この時空がどのくらい曲がっているか」を診断する量（ブラックホール内部の特異点判定など）。どちらも出発点は計量 \(g_{\mu\nu}\) で、この計量こそが Einstein 方程式で決まる主役。

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