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第 1 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Klein-Gordon 方程式に平面波解を代入し、分散関係を導く

\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0 \]

に平面波解 \(\phi(\mathbf{x}, t) = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - Et)}\) を代入し、分散関係 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2\) を導け。各微分の計算を明示すること。

ヒント

\(\partial^2 \phi / \partial t^2\) を計算すると \((-iE)^2 \phi = -E^2 \phi\) となる。\(\nabla^2 \phi\) についても同様に \((i\mathbf{p})\) の 2 乗を考えよ。

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B-2. 負エネルギー解に対する確率密度の計算

\[ \rho = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]

に、負エネルギー解 \(\phi = A\, e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + |E|t)}\)（ただし \(E = -|E|\), \(|E| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}\)）を代入し、\(\rho\) を \(|A|^2\), \(|E|\), \(m\) で表せ。\(\rho < 0\) になることを確認せよ。

ヒント

\(E = -|E|\) を代入した平面波の時間微分は \(\partial\phi/\partial t = i|E|\,\phi\) となる。式 (1.10) の導出と同じ手順で、\(E\) の符号に注意して計算せよ。

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B-3. Dirac 方程式の条件式 (1.12) の反交換関係

\[ \{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}, \qquad \{\alpha^i, \beta\} = 0, \qquad \beta^2 = 1 \]

を用いて以下を示せ：

(a) \((\alpha^1)^2 = 1\)

(b) \(\alpha^1 \beta = -\beta \alpha^1\)

(c) \(\alpha^i\) の固有値は \(\pm 1\) のみである（ヒント：\((\alpha^i)^2 = 1\) を利用）

ヒント

(a) \(\{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}\) で \(i = j\) とせよ。(c) \(A^2 = 1\) かつ \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) なら \(A^2 \mathbf{v} = \lambda^2 \mathbf{v} = \mathbf{v}\) より \(\lambda^2 = 1\)。

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B-4. 連続の方程式の恒等式の証明

\[ \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \phi \frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) \]
ヒント

右辺を時間で微分して展開せよ。\(\frac{\partial}{\partial t}(\phi^* \frac{\partial \phi}{\partial t}) = \frac{\partial \phi^*}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \phi^* \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\) などを使い、キャンセルする項を見つけよ。

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B-5. Compton 波長の計算

  • \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\) J·s
  • \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg
  • \(c = 2.998 \times 10^{8}\) m/s

さらに、陽子（\(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）の Compton 波長も計算し、電子の場合と比較せよ。

ヒント

\(\lambda_C = \hbar/(mc)\) に数値を代入するだけ。陽子の Compton 波長は電子の約 \(m_e/m_p \approx 1/1836\) 倍になるはず。

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B-6. 自然単位系における質量次元

(a) 時間 \(t\)

(b) 長さ \(x\)

(c) 質量 \(m\)

(d) Klein-Gordon 方程式の場 \(\phi(\mathbf{x}, t)\)（3+1 次元、Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) の作用 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) が無次元であることを利用）

ヒント

\(\hbar = c = 1\) では \([E] = [p] = [m] = 1\)（質量次元 1）、\([x] = [t] = -1\)（質量次元 \(-1\)）。作用 \(S\) は \([\hbar] = 0\)（無次元）なので \([d^4x] + [\mathcal{L}] = 0\) から \([\mathcal{L}]\) を求め、\([\phi]\) を決定せよ。

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B-7. 不確定性関係による対生成の時間スケール

(a) 電子・陽電子対（静止エネルギー \(2m_e c^2 \approx 1.022\) MeV）が仮想的に生成されうる最大の時間 \(\Delta t\) を見積もれ。

(b) その時間の間に光が進む距離を計算し、Compton 波長と比較せよ。

ヒント

(a) \(\Delta t \sim \hbar / \Delta E = \hbar / (2m_e c^2)\)。(b) \(c \cdot \Delta t = \hbar/(2m_e c) = \lambda_C / 2\)。

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B-8. d'Alembert 演算子と Klein-Gordon 方程式の共変形式

\[ \Box \equiv \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \partial_\mu \partial^\mu \]

を用いて、式 (1.1) を \((\Box + m^2)\phi = 0\) と書けることを確認せよ。ここで計量テンソル \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)\) を使い、\(\partial_\mu \partial^\mu\) を成分で展開して示すこと。

ヒント

\(\partial_\mu = (\partial/\partial t, \partial/\partial x^1, \partial/\partial x^2, \partial/\partial x^3)\), \(\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu = (\partial/\partial t, -\partial/\partial x^1, -\partial/\partial x^2, -\partial/\partial x^3)\) なので、\(\partial_\mu \partial^\mu = (\partial/\partial t)^2 - (\nabla)^2\)。

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Medium（標準）

M-1. Klein-Gordon 方程式の確率流密度の Lorentz 共変性

本文の式 (1.6), (1.7) で定義された \(\rho\) と \(\mathbf{j}\) を 4 元電流密度

\[ j^\mu = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\right) \]

として統一的に書けることを示せ。具体的に：

(a) \(j^0 = \rho\)（式 (1.6)）であることを確認せよ。

(b) \(j^k\)（\(k = 1, 2, 3\)）が式 (1.7) の \(\mathbf{j}\) の各成分と一致することを確認せよ（計量の符号に注意）。

(c) 連続の方程式 (1.5) が \(\partial_\mu j^\mu = 0\) と書けることを示し、これが Lorentz スカラーの条件であることを論じよ。

ヒント

計量 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) を用いると \(\partial^0 = \partial/\partial t\) だが \(\partial^k = -\partial/\partial x^k\)。(b) では符号の取り扱いに注意。(c) \(\partial_\mu j^\mu = 0\) は Lorentz 変換で形が変わらない（スカラー方程式）ことを述べよ。

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M-2. Dirac 方程式の確率密度の非負性

Dirac 方程式 (1.11) とそのエルミート共役から出発して、確率密度 \(\rho = \psi^\dagger \psi\) と確率流密度 \(\mathbf{j} = \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi\) が連続の方程式

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 \]

を満たすことを導け。導出の各ステップを明示すること。

ヒント

式 (1.11) から \(i\partial_t \psi = H_D \psi\)（\(H_D = -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m\)）。エルミート共役は \(-i\partial_t \psi^\dagger = \psi^\dagger H_D^\dagger\)。\(H_D\) がエルミートであること（\(\alpha^i\), \(\beta\) がエルミート行列）を使い、\(\partial_t(\psi^\dagger\psi)\) を計算せよ。

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M-3. Compton 波長と位置の局在化

質量 \(m\) のスカラー粒子を 1 次元の箱（幅 \(L\)）に閉じ込める思考実験を考える。

(a) 不確定性原理から、箱の中の粒子の運動量の不確定さ \(\Delta p \sim \hbar/L\) を見積もり、対応する相対論的エネルギーの不確定さ \(\Delta E\) を求めよ（\(\Delta p \gg mc\) の極限と \(\Delta p \ll mc\) の極限の両方について議論せよ）。

(b) \(\Delta E \geq 2mc^2\) となる条件から、箱の幅 \(L\) の臨界値を Compton 波長 \(\lambda_C = \hbar/(mc)\) で表せ。

(c) この結果が「Compton 波長より短い距離スケールでは 1 粒子描像が破綻する」という本文の議論と整合することを説明せよ。

ヒント

(a) 相対論的エネルギーは \(E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\) だが、\(\Delta p \gg mc\) の場合は \(\Delta E \approx c\,\Delta p\)。(b) \(c \cdot \hbar / L \geq 2mc^2\) を解けば \(L \lesssim \lambda_C / 2\)。

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M-4. Klein-Gordon 場の一般解と正・負振動数モード

Klein-Gordon 方程式の一般解を Fourier 展開で

\[ \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left[ a(\mathbf{p})\, e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} + b^*(\mathbf{p})\, e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \omega_{\mathbf{p}} t)} \right] \]

と書く。ここで \(\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} > 0\)。

(a) この \(\phi\) が Klein-Gordon 方程式を満たすことを直接代入して確認せよ。

(b) \(\phi\) が実スカラー場（\(\phi = \phi^*\)）の場合、\(a(\mathbf{p})\) と \(b(\mathbf{p})\) の間にどのような関係が成り立つか。

(c) \(\phi\) が複素スカラー場の場合、\(a(\mathbf{p})\) と \(b(\mathbf{p})\) は独立であることを述べ、後者が「反粒子」に対応するという本文の議論との関連を論じよ。

ヒント

(a) 各 Fourier モードに \(\Box + m^2\) を作用させると \((-\omega_{\mathbf{p}}^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2) = 0\) が出る。(b) \(\phi^* = \phi\) の条件を Fourier 成分ごとに比較せよ。

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Advanced（発展）

A-1. 因果律と Klein-Gordon 伝播関数

自由 Klein-Gordon 場に対し、retarded Green 関数（伝播関数）\(G_R(x - y)\) を

\[ (\Box_x + m^2)\, G_R(x - y) = -\delta^4(x - y) \]

で定義する。

(a) \(G_R\) の Fourier 表示を求めよ。極の処理（\(i\varepsilon\) 処方）を明示し、retarded 境界条件（\(x^0 < y^0\) で \(G_R = 0\)）がどのように実現されるかを複素 \(p^0\) 平面の積分路の議論で示せ。

(b) 空間的間隔 \((x - y)^2 < 0\) において \(G_R(x - y) = 0\) であることを示し（あるいは議論し）、これが因果律の表現であることを説明せよ。

(c) この結果を踏まえ、「力が仮想粒子の交換で光速以下で伝わる」という本文の議論を数学的にどう正当化できるか論じよ。

ヒント

(a) Fourier 変換で \((\Box + m^2) \to (-p^2 + m^2)\) となり \(\tilde{G}_R(p) = 1/(p^2 - m^2)\)。retarded 条件は両方の極を実軸の下に置く（\(p^0 \to p^0 + i\varepsilon\)）。(b) 空間的間隔では \(x^0 - y^0\) の符号を Lorentz 変換で反転できること、および \(G_R\) の \(\theta(x^0 - y^0)\) 因子を利用せよ。

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A-2. Dirac の海と場の量子論の等価性

本文では、Dirac の海の描像がボソンに適用できないことが指摘された。この問題をさらに掘り下げる。

(a) Dirac の海の描像において、真空状態のエネルギーが形式的に \(E_{\text{vac}} = -\sum_{\mathbf{p}, s} \omega_{\mathbf{p}}\)（負エネルギー状態すべてを占有）と発散することを示せ。ここで和は全運動量 \(\mathbf{p}\) とスピン \(s\) にわたる。

(b) 場の量子論（第二量子化）の枠組みでは、反粒子は「海の穴」ではなく「反粒子の生成演算子で作られる正エネルギーの励起」として記述される。この 2 つの描像が、観測可能な物理量（エネルギー差、電荷差）について同じ結果を与えることを、1 つの具体的な物理過程（例：電子・陽電子対の生成）について示せ。

(c) スカラー場（スピン 0、ボース統計）に対して Dirac の海の描像が構成できない理由を、Pauli の排他原理の観点から明確に説明せよ。さらに、場の量子論ではこの問題がどのように回避されるかを述べよ。

ヒント

(a) 負エネルギー状態 \(E = -\omega_{\mathbf{p}}\) をすべて占有するので、エネルギーは \(\sum_{\mathbf{p},s}(-\omega_{\mathbf{p}})\)。(b) Dirac の海で「穴」を作るエネルギーコスト \(+\omega_{\mathbf{p}}\) と、場の量子論で反粒子を生成するエネルギー \(+\omega_{\mathbf{p}}\) を比較せよ。(c) ボソンは同じ状態にいくらでも入れるため、「すべて埋める」ことが不可能。場の量子論では交換関係（ボソン）or 反交換関係（フェルミオン）の選択で統計性が自動的に組み込まれる。

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