Appendix A 練習問題¶

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Basic（基礎）

B-1. ベクトル積の成分計算
B-2. ベクトル積の直交性
B-3. スカラー三重積
B-4. スカラー場の勾配
B-5. ベクトル場の発散
B-6. ベクトル場の回転
B-7. スカラー場のラプラシアン
B-8. Lagrange 恒等式の確認
B-9. BAC-CAB 公式の確認
B-10. rot(grad) = 0 の確認

Medium（標準）

M-1. BAC-CAB 公式の証明
M-2. div(rot) = 0 の証明
M-3. ベクトル積どうしの内積の公式
M-4. 積の発散の公式
M-5. Gauss の定理とクーロン電場

Advanced（発展）

A-1. Levi-Civita 記号による恒等式
A-2. Stokes の定理の応用

Basic（基礎）¶

B-1. ベクトル積の成分計算¶

ヒント

第 $i$ 成分は $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_i = a_j b_k - a_k b_j$（添字は巡回的）。形式的行列式を第 1 行で余因子展開してもよい。

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B-2. ベクトル積の直交性¶

ヒント

内積の定義 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$ に代入するだけでよい。

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B-3. スカラー三重積¶

ヒント

$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ を Sarrus の方法または余因子展開で求める。

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B-4. スカラー場の勾配¶

ヒント

$\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; \frac{\partial\varphi}{\partial y},\; \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)$ の各成分を偏微分で求める。

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B-5. ベクトル場の発散¶

参考図: 図 A.1: ベクトル積（Appendix A）

ヒント

$\operatorname{div}\boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$ に代入する。

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B-6. ベクトル場の回転¶

参考図: 図 A.1: ベクトル積の幾何学（Appendix A）

ヒント

$(\nabla \times \boldsymbol{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}$ のように各成分を「引き算」で求める。

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B-7. スカラー場のラプラシアン¶

ヒント

$\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}$ を各項ごとに求める。

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B-8. Lagrange 恒等式の確認¶

ヒント

まず $|\boldsymbol{a}|^2$, $|\boldsymbol{b}|^2$, $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ を求め、次に $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ の各成分の 2 乗和を求めて比較する。

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B-9. BAC-CAB 公式の確認¶

ヒント

まず $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ を求め、次に $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$ を計算する。右辺はスカラー $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ と $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ を先に求める。

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B-10. rot(grad) = 0 の確認¶

参考: 回転の恒等式 $\nabla \times (\nabla\varphi) = 0$ は Appendix A の A.5 で解説。

ヒント

まず $\nabla\varphi$ を求め、それをベクトル場とみなして $\nabla \times (\nabla\varphi)$ の各成分を計算する。偏微分の順序交換に注目。

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Medium（標準）¶

M-1. BAC-CAB 公式の証明¶

$$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) $$を、左辺と右辺の $x$ 成分を一般の成分 $a_i, b_i, c_i$ で展開して比較することにより証明せよ。$y$, $z$ 成分についても同様に成り立つことを（対称性の議論を用いて）説明せよ。

ヒント

$\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ の成分を書き下し、$\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$ の $x$ 成分を外積の定義から求める。右辺の $x$ 成分 $b_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_1(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ を展開して比較する。

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M-2. div(rot) = 0 の証明¶

参考: 発散の恒等式 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ は Appendix A の A.5 で解説。 $$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0 $$が成り立つことを、成分表示を用いて証明せよ。また、この恒等式が物理的に「磁気単極子が存在しない」（$\operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0$ かつ $\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}$）という事実とどのように関係するか、簡潔に説明せよ。

ヒント

$\operatorname{rot}\boldsymbol{F}$ の各成分を書き下し、$\operatorname{div}$ をとったとき、$\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_j \partial x_k}$ と $\frac{\partial^2 F_i}{\partial x_k \partial x_j}$ の項がペアになって消えることを示す。

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M-3. ベクトル積どうしの内積の公式¶

$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$において $\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{d} = \boldsymbol{b}$ と置くことで Lagrange の恒等式 $$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 $$を導け。さらに、この結果から $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$（$\theta$ は $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ のなす角）を示せ。

ヒント

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ を代入し、$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ を用いる。

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M-4. 積の発散の公式¶

参考: 積の公式は Appendix A の A.5 の恒等式一覧を参照。 $$\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \boldsymbol{F} + \varphi\,(\operatorname{div}\boldsymbol{F}) $$を成分表示を用いて証明せよ。

ヒント

$\operatorname{div}(\varphi\,\boldsymbol{F}) = \frac{\partial(\varphi F_x)}{\partial x} + \cdots$ を積の微分法則（Leibniz 則）で展開する。

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M-5. Gauss の定理とクーロン電場¶

ヒント

原点を含む任意の閉曲面と原点を中心とする小球面の間の領域で Gauss の定理を適用し、$\operatorname{div}\boldsymbol{E} = 0$ から面積分が球面上の値に等しいことを示す。球面上では $\boldsymbol{E}$ と $d\boldsymbol{S}$ が平行で大きさが一定。

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Advanced（発展）¶

A-1. Levi-Civita 記号による恒等式¶

$$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})i = \sum\, a_j\, b_k $$と書ける。以下の問いに答えよ。} \varepsilon_{ijk

(a) 縮約公式 $$\sum_k \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} $$を認めて、ベクトル積どうしの内積の公式 $$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}) - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) $$を添字の計算のみで導け。

(b) 同じ縮約公式を用いて、BAC-CAB 公式 $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ を導け。

(c) 本編で登場した 4 次元の Levi-Civita テンソル $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ との対応を念頭に置き、3 次元の $\varepsilon_{ijk}$ を用いて $\operatorname{rot}\boldsymbol{F}$ の第 $i$ 成分を書き下し、恒等式 $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0$ を添字計算で再証明せよ。

ヒント

(a) $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d}) = \sum_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j b_k)(\sum_{l,m}\varepsilon_{ilm} c_l d_m)$ と書き、$\sum_i \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}$ に縮約公式を適用する。(b) では $[\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})]_i = \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} a_j (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k$ をさらに展開し、$\varepsilon$ の積を縮約する。(c) $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \sum_i \partial_i (\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k)$ で $\varepsilon_{ijk}$ の反対称性と $\partial_i \partial_j$ の対称性を対比する。

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A-2. Stokes の定理の応用¶

参考: Stokes の定理は Appendix A の A.6 で解説。 $$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot d\boldsymbol{S} $$を用いて以下を論ぜよ。

(a) ベクトル場 $\boldsymbol{F}$ が $\boldsymbol{F} = \nabla\varphi$（あるスカラー場 $\varphi$ の勾配）と書けるとき、任意の閉曲線 $C$ に沿う線積分 $\oint_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$ となることを Stokes の定理と恒等式 $\nabla \times (\nabla\varphi) = \boldsymbol{0}$ から示せ。

(b) 逆に、単連結な領域で $\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ が成り立つならば、$\boldsymbol{F} = \nabla\varphi$ となるスカラー場 $\varphi$ が存在することを、線積分を用いた $\varphi$ の構成法を示すことで証明せよ。

(c) 本編で扱った一般相対論の文脈では、「閉曲線に沿ってベクトルを平行移動したときのずれ」が曲率テンソルで記述された。Stokes の定理と曲率の関係を、$\operatorname{rot}\boldsymbol{F}$ が「微小閉曲線あたりの循環」を表すという観点から、定性的に論ぜよ（定量的な計算は不要）。

ヒント

(a) は Stokes の定理の右辺に恒等式を代入するだけ。(b) は固定点 $\boldsymbol{r}_0$ から $\boldsymbol{r}$ への線積分 $\varphi(\boldsymbol{r}) = \int_{\boldsymbol{r}_0}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}'$ が経路によらないことを示し、$\nabla\varphi = \boldsymbol{F}$ を確認する。(c) は Stokes の定理で面積分の被積分関数が「面素あたりの循環」であることと、曲率テンソルが「微小平行四辺形に沿った平行移動のずれ」を記述することの類似性を述べる。

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