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第 6 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 場の強さテンソルの反対称性と成分の確認

\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) の定義を用いて、以下を計算せよ。

(a) \(F_{01}\) を \(A_0, A_1\) の偏微分で書き下せ。

(b) \(F_{10}\) を同様に書き下し、\(F_{01} = -F_{10}\) を確認せよ。

(c) \(F_{12}\) を \(A_1, A_2\) の偏微分で書き下し、式 (6.4) の行列と比較して、これが \(-B_z\) に対応することを確認せよ。

ヒント

定義 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) にそのまま添字を代入する。\(\partial_0 = \partial/\partial t\), \(\partial_1 = \partial/\partial x\) などを使い、\(E_x = -\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0\)（符号規約に注意）、\(B_z = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\) と比較する。

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B-2. Lagrangian の展開

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) を電場 \(\mathbf{E}\) と磁場 \(\mathbf{B}\) で表せ。すなわち

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2) \]

となることを、式 (6.4) の成分を用いて添字を全て縮約して示せ。

ヒント

\(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\) を計算する。反対称性から独立な成分は \((\mu,\nu)\) で \(\mu < \nu\) のものだけ。\(F_{0i}F^{0i}\) の部分と \(F_{ij}F^{ij}\) の部分を分けて計算すると見通しが良い。計量 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) に注意。

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B-3. ゲージ変換のもとでの電場・磁場の不変性

ゲージ変換 \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \lambda\) のもとで、式 (6.3) の定義

\[ \mathbf{E} = -\nabla A_0 - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \]

を用いて、\(\mathbf{E}\) および \(\mathbf{B}\) がそれぞれ不変であることを直接計算で示せ。

ヒント

\(A_0 \to A_0 + \partial_0 \lambda\), \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\lambda\) と代入する。\(\mathbf{E}\) については \(-\nabla(\partial_0 \lambda) - \partial_t(\nabla \lambda)\) がゼロになること、\(\mathbf{B}\) については \(\nabla \times (\nabla \lambda) = 0\)（任意のスカラー場の勾配の回転はゼロ）を使う。

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B-4. 共変微分のゲージ変換則

共変微分 \(D_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu\) に対して、\(\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi\), \(A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu \alpha\) の変換を代入し、

\[ D_\mu \psi \to e^{i\alpha(x)} D_\mu \psi \]

が成り立つことを、本文の計算を自分の手で再現して確認せよ。途中の各項を省略せずに書き下すこと。

ヒント

\(D_\mu' \psi' = (\partial_\mu + iq A_\mu - i\partial_\mu\alpha)(e^{i\alpha}\psi)\) を展開する。\(\partial_\mu(e^{i\alpha}\psi)\) に積の微分則を適用し、\(e^{i\alpha}(i\partial_\mu\alpha)\psi\) の項が \(-i(\partial_\mu\alpha)e^{i\alpha}\psi\) と相殺することを確認する。

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B-5. 共役運動量の計算

Lagrangian \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) に対して、共役運動量 \(\pi^\mu = \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_0 A_\mu)\) を \(\mu = 0, 1, 2, 3\) の各成分について計算し、以下を確認せよ。

(a) \(\pi^0 = 0\)

(b) \(\pi^i = F^{0i} = E^i\) （\(i = 1, 2, 3\)）

ヒント

D2 の結果を使って \(\mathcal{L}\) を \(\partial_0 A_\mu\) を含む項と含まない項に分けると見通しが良い。\(F_{0i} = \partial_0 A_i - \partial_i A_0\) に \(\partial_0 A_0\) が含まれないことが \(\pi^0 = 0\) の鍵。

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B-6. 偏極ベクトルの横波条件

波数ベクトル \(\mathbf{k} = k(0, \sin\theta, \cos\theta)\) が \(yz\) 平面内にある場合、Coulomb ゲージの横波条件 \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\) を満たす 2 つの独立な偏極ベクトル \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\) を具体的に書き下せ。ただし正規直交条件 \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'}\) も満たすようにせよ。

ヒント

\(\mathbf{k}\) に垂直な方向を 2 つ見つける。1 つは \(x\) 方向 \((1, 0, 0)\) で明らかに \(\mathbf{k}\) と直交する。もう 1 つは \(yz\) 平面内で \(\mathbf{k}\) に直交する方向を取る。\(\mathbf{k}\) と第一偏極ベクトルの外積を計算すると効率的。

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B-7. Bianchi 恒等式の確認

Bianchi 恒等式

\[ \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0 \]

を、\((\lambda, \mu, \nu) = (0, 1, 2)\) の場合に \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) を代入して各項を書き下し、全体がゼロになることを確認せよ。

ヒント

\(F_{12} = \partial_1 A_2 - \partial_2 A_1\) 等を代入すると 6 つの項が現れる。偏微分の順序の交換可能性 \(\partial_\mu\partial_\nu = \partial_\nu\partial_\mu\) を使って、ペアごとに相殺することを示す。

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B-8. 光子の分散関係

質量ゼロの場の波動方程式 \(\Box A_i = 0\) に平面波解 \(A_i \propto e^{-i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\) を代入し、分散関係 \(\omega = |\mathbf{k}|\) を導け。これを質量 \(m\) の Klein-Gordon 場の分散関係 \(\omega = \sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}\) と比較し、光子の質量がゼロであることとの対応を述べよ。

ヒント

\(\Box = \partial_t^2 - \nabla^2\) を平面波に作用させると \((-\omega^2 + |\mathbf{k}|^2)\) が出てくる。これをゼロと置く。

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Medium（標準）

M-1. Euler-Lagrange 方程式から Maxwell 方程式を導く

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) に対して、場 \(A_\nu\) についての Euler-Lagrange 方程式

\[ \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0 \]

を適用し、運動方程式 \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) を導出せよ。さらに、\(\nu = 0\) の場合と \(\nu = i\) の場合を 3 次元ベクトルの言葉で書き下し、それぞれ Gauss の法則 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) と Ampère-Maxwell の法則 \(\partial_t \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{B}\) に対応することを示せ。

ヒント

\(\mathcal{L}\) は \(A_\nu\) 自身には依存せず \(\partial_\mu A_\nu\) にのみ依存するので \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = 0\)。\(\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu A_\nu)\) の計算では、\(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\) を \(\partial_\mu A_\nu\) で微分する。\(F_{\alpha\beta}\) が \(\partial_\mu A_\nu\) に対して線形であること、反対称性を使って整理する。\(\nu = 0\) では \(F^{i0} = E^i\) を使い、\(\nu = i\) では \(F^{0i}\) と \(F^{ji}\) の成分を電場・磁場で書き換える。

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M-2. Coulomb ゲージの自由度の数え上げ

以下の手順で、電磁場の物理的自由度が 2 であることを論証せよ。

(a) \(A_\mu\) は 4 成分を持つ。\(\pi^0 = 0\) という拘束条件が \(A_0\) を独立な力学変数から除外することを説明せよ。

(b) Coulomb ゲージ条件 \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\) が残りの 3 成分からさらに 1 自由度を除去することを、Fourier 空間で \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{k}) = 0\) として説明せよ。

(c) 真空中で Gauss の法則 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\) と Coulomb ゲージ条件を組み合わせて \(A_0 = 0\) が導かれることを示せ（境界条件：無限遠で \(A_0 \to 0\)）。

(d) 以上をまとめ、残る物理的自由度が 2 つの横偏光に対応することを述べよ。

ヒント

(a) \(\pi^0 = 0\) は \(A_0\) と \(\pi^0\) の間に正準交換関係が立てられないことを意味する。(b) 3 次元ベクトル \(\tilde{\mathbf{A}}\) に対して \(\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{A}} = 0\) は 1 つのスカラー条件。(c) Coulomb ゲージで \(\nabla \cdot \mathbf{E} = -\nabla^2 A_0 - \partial_t(\nabla \cdot \mathbf{A}) = -\nabla^2 A_0 = 0\) となることを使う。

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M-3. 偏極ベクトルの完全性関係

Coulomb ゲージにおける 2 つの偏極ベクトル \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda)\)（\(\lambda = 1, 2\)）は、正規直交条件

\[ \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda') = \delta_{\lambda\lambda'} \]

と横波条件 \(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, \lambda) = 0\) を満たす。

(a) 完全性関係

\[ \sum_{\lambda=1}^{2} \epsilon_i(\mathbf{k}, \lambda)\, \epsilon_j(\mathbf{k}, \lambda) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2} \]

が成り立つことを示せ。

(b) 右辺の \(\delta_{ij} - k_i k_j / |\mathbf{k}|^2\) が \(\mathbf{k}\) 方向への射影を除去する横波射影演算子 (transverse projector) であることを、\(k_j\) を掛けて確認せよ。

ヒント

(a) \(\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k}/|\mathbf{k}|\) と \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1)\), \(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2)\) は 3 次元空間の正規直交基底をなす。3 次元の単位行列の完全性関係 \(\delta_{ij} = \hat{k}_i \hat{k}_j + \sum_\lambda \epsilon_i \epsilon_j\) を使う。(b) \((\delta_{ij} - k_i k_j/|\mathbf{k}|^2) k_j\) を計算する。

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M-4. Coulomb ゲージでの正準交換関係と横波デルタ関数

Coulomb ゲージで \(\mathbf{A}\) の Fourier 展開 (6.20) と生成・消滅演算子の交換関係

\[ [a(\mathbf{k}, \lambda),\, a^\dagger(\mathbf{k}', \lambda')] = (2\pi)^3 \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \delta_{\lambda\lambda'} \]

から、等時刻交換関係

\[ [A_i(\mathbf{x}, t),\, \pi_j(\mathbf{y}, t)] = i\delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \]

を導け。ここで \(\pi_j = E_j = \dot{A}_j\)（Coulomb ゲージ）であり、\(\delta_{ij}^{\perp}\) は横波デルタ関数

\[ \delta_{ij}^{\perp}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \left(\delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{|\mathbf{k}|^2}\right) e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{y})} \]

である。通常の \(i\delta_{ij}\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})\) ではなく横波デルタ関数が現れる物理的理由を説明せよ。

ヒント

\(A_i\) と \(\dot{A}_j\) の Fourier 展開を代入し、\([a, a^\dagger]\) の交換関係を使う。偏極ベクトルの和は S3 の完全性関係で処理する。物理的理由としては、Coulomb ゲージ条件 \(\nabla \cdot \mathbf{A} = 0\) が \(A_i\) の縦波成分を排除しているため、交換関係にも横波射影が反映されることを述べる。

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Advanced（発展）

A-1. Proca 場（質量のあるベクトル場）との比較

質量 \(m\) を持つベクトル場の Lagrangian（Proca (プロカ) Lagrangian）は

\[ \mathcal{L}_{\text{Proca}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2 A_\mu A^\mu \]

で与えられる。

(a) Euler-Lagrange 方程式を導き、運動方程式が

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0 \]

であることを示せ。

(b) 上の運動方程式の両辺に \(\partial_\nu\) を作用させ、\(\partial_\nu A^\nu = 0\)（Lorenz 条件）が \(m \neq 0\) の場合に運動方程式の帰結として自動的に成り立つことを示せ。

(c) この結果を用いて、質量のあるベクトル場の物理的自由度が 3 つ（2 つの横偏光 + 1 つの縦偏光）であることを、自由度の数え上げで論じよ。

(d) \(m \to 0\) の極限で縦偏光が消失し、ゲージ対称性が回復する過程を定性的に議論せよ。この議論は、第 17 章以降で学ぶ Higgs 機構 (ヒッグス機構) とどのように関係するか、予想を述べよ。

ヒント

(a) \(\partial\mathcal{L}/\partial A_\nu = m^2 A^\nu\) に注意。(b) \(\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu}\) は \(F^{\mu\nu}\) の反対称性からゼロになる。(c) \(A_\mu\) は 4 成分、\(\partial_\nu A^\nu = 0\) が 1 つの拘束条件で \(4 - 1 = 3\)。ゲージ対称性がないので追加のゲージ固定は不要。(d) \(m = 0\) では質量項がゲージ対称性を破っているため、\(m \to 0\) で対称性が回復し、ゲージ自由度が 1 つ増えて \(3 \to 2\) 自由度になる。Higgs 機構はこの逆過程（ゲージ場が質量を獲得し、自由度が \(2 \to 3\) に増える）に対応する。

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A-2. ゲージ固定項を含む Lagrangian と光子伝播関数

Lorenz ゲージ条件 \(\partial_\mu A^\mu = 0\) を実現するために、ゲージ固定項を加えた Lagrangian

\[ \mathcal{L}_{\text{gf}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2 \]

を考える。ここで \(\xi\) はゲージパラメータ (gauge parameter) である。

(a) この Lagrangian から \(A_\nu\) についての Euler-Lagrange 方程式を導き、

\[ \left[\eta^{\mu\nu}\Box - \left(1 - \frac{1}{\xi}\right)\partial^\mu \partial^\nu\right] A_\nu = 0 \]

を示せ。

(b) 運動量空間で \(A_\nu(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \tilde{A}_\nu(k)\, e^{-ikx}\) と Fourier 変換し、上の方程式を \(\tilde{A}_\nu\) についての代数方程式に書き換えよ。

(c) 光子伝播関数（Feynman 伝播関数）\(D_F^{\mu\nu}(k)\) を、上の微分演算子の逆行列として求め、

\[ D_F^{\mu\nu}(k) = \frac{-1}{k^2 + i\epsilon}\left[\eta^{\mu\nu} - (1 - \xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\right] \]

となることを示せ。特に \(\xi = 1\)（Feynman ゲージ）で伝播関数が最も簡単な形 \(D_F^{\mu\nu} = -\eta^{\mu\nu}/(k^2 + i\epsilon)\) になることを確認せよ。

(d) \(\xi = 0\)（Landau (ランダウ) ゲージ）の場合に伝播関数がどうなるか書き下し、\(k_\mu D_F^{\mu\nu}(k) = 0\) が成り立つことを確認せよ。これが Lorenz 条件 \(\partial_\mu A^\mu = 0\) の運動量空間での表現であることを説明せよ。

ヒント

(a) \(\mathcal{L}\) を \(A_\nu\) で Euler-Lagrange する際、\(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) の寄与は S1 と同じ。ゲージ固定項 \(-\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2\) からの寄与を計算する。(b) \(\partial_\mu \to -ik_\mu\) と置き換える。(c) 逆行列を求めるには、\(\eta^{\mu\nu}\) と \(k^\mu k^\nu / k^2\) の 2 つの独立なテンソル構造の線形結合で \(D_F^{\mu\nu}\) を仮定し、微分演算子との積が \(\eta^\mu{}_\nu\) になる条件から係数を決定する。(d) \(\xi = 0\) を代入し、\(k_\mu\) を掛けて縮約する。

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