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第 3 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Lagrangian 密度からの Euler-Lagrange 方程式（Klein-Gordon 場）

実スカラー場 \(\phi(x)\) の Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 \]

で与えられる。Euler-Lagrange 方程式 (3.7) を用いて、以下の各ステップを明示的に計算せよ。

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\) を求めよ。

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\) を求めよ。

(c) (a), (b) の結果を Euler-Lagrange 方程式に代入し、Klein-Gordon 方程式を導け。

ヒント

(b) では \(\mathcal{L}\) を \(\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi\,\partial_\beta\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) と書き直し、\(\partial_\mu\phi\) による偏微分を取る。Kronecker デルタ \(\delta^\mu_\alpha\) が現れ、計量テンソルが添え字を上げる役割を果たす。

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B-2. 運動項の添え字の展開

Lagrangian 密度の運動項 \(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) を、Minkowski 計量 \(\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\) を用いて時間成分と空間成分に明示的に展開し、

\[ \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 \]

を示せ。ここで \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\)、\(\nabla\phi = (\partial_1\phi, \partial_2\phi, \partial_3\phi)\) である。

ヒント

\(\partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\) を使って \(\partial^0\phi = \partial_0\phi\)、\(\partial^i\phi = -\partial_i\phi\)（\(i=1,2,3\)）を確認してから、\(\mu\) について和を取る。

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B-3. 質量項を含まない場の分散関係

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) から得られる運動方程式に、平面波解

\[ \phi(x) = A\,e^{-ik_\mu x^\mu} = A\,e^{-iEt + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} \]

を代入し、分散関係 \(E^2 = |\mathbf{p}|^2\) を導け。ここで \(k^\mu = (E, \mathbf{p})\) である。

ヒント

\(\partial_0\phi = -iE\,\phi\)、\(\partial_i\phi = ip_i\,\phi\) を用いて \(\partial_\mu\partial^\mu\phi\) を計算する。

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B-4. 相互作用項を含む Lagrangian

実スカラー場の Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 \]

で与えられるとき（\(\lambda\) は結合定数）、Euler-Lagrange 方程式を導き、

\[ (\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0 \]

を示せ。

ヒント

\(\phi^4\) の項は \(\partial_\mu\phi\) を含まないので、\(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\) には寄与しない。\(\dfrac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{\lambda}{4!}\phi^4\right) = \frac{\lambda}{3!}\phi^3\) を使う。

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B-5. d'Alembertian の成分表示

d'Alembertian (ダランベルシアン) \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu\) を、時間微分と空間微分で明示的に書き下せ。さらに、Klein-Gordon 方程式 \((\Box + m^2)\phi = 0\) を \((t, x, y, z)\) 成分で書き下せ。

ヒント

\(\partial_\mu\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\) であり、\(\eta^{00} = +1\)、\(\eta^{ii} = -1\) を用いる。

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B-6. 連続の方程式の成分展開

保存カレント \(j^\mu = (j^0, j^1, j^2, j^3)\) が \(\partial_\mu j^\mu = 0\) を満たすとする。

(a) この式を時間成分と空間成分に分けて書き下し、連続の方程式の形にせよ。

(b) 保存電荷 \(Q = \int d^3x\,j^0\) が時間に依存しないことを、Gauss の定理を用いて示せ。ただし \(\mathbf{j}\) は空間の無限遠で十分速く減衰すると仮定する。

ヒント

(a) \(\partial_\mu j^\mu = \partial_0 j^0 + \partial_i j^i = \frac{\partial j^0}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}\) と展開する。(b) \(\frac{dQ}{dt}\) を計算し、(a) の結果と Gauss の定理 \(\int d^3x\,\nabla\cdot\mathbf{j} = \oint_{\partial V} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\) を使う。

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B-7. 複素スカラー場の偏微分

複素スカラー場 \(\phi(x)\) とその複素共役 \(\phi^*(x)\) を独立な変数として扱う。Lagrangian 密度が

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

で与えられるとき、以下を計算せよ。

(a) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi^*}\)

(b) \(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\)

(c) \(\phi^*\) に対する Euler-Lagrange 方程式を書き下せ。

ヒント

\(\phi\) と \(\phi^*\) を独立変数として扱う。\(\phi^*\) で微分するときは \(\phi\) を定数とみなす。(b) では \(\partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi = \eta^{\alpha\beta}\partial_\alpha\phi^*\,\partial_\beta\phi\) と書いてから \(\partial_\mu\phi^*\) で微分する。

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B-8. Noether カレントの構成（公式の適用）

Noether の定理によれば、場 \(\phi\) の微小変換 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) のもとで Lagrangian 密度が不変（\(\delta\mathcal{L} = 0\)）であるとき、保存カレントは

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi \]

で与えられる。Klein-Gordon 場 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して、微小な定数シフト \(\delta\phi = \epsilon\)（\(\epsilon\) は微小定数）を考える。

(a) この変換のもとで \(\delta\mathcal{L}\) を計算し、\(m \neq 0\) の場合にこれが対称性とならないことを確認せよ。

(b) \(m = 0\) の場合にはこの変換が対称性となることを確認し、対応する保存カレント \(j^\mu\) を書き下せ。

ヒント

\(\delta\phi = \epsilon\) は定数なので \(\partial_\mu(\delta\phi) = 0\)。したがって \(\delta(\partial_\mu\phi) = 0\)。\(\delta\mathcal{L}\) は \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\,\delta\phi\) のみ。

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Medium（標準）

M-1. 共役運動量と Hamiltonian 密度の導出

実スカラー場の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して、以下を行え。

(a) 場 \(\phi\) に共役な運動量密度 \(\pi(x)\) を

\[ \pi(x) \equiv \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} \]

により定義し、その具体的な表式を求めよ。

(b) Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\) を Legendre 変換

\[ \mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L} \]

により構成し、\(\pi\)、\(\phi\)、\(\nabla\phi\) を用いて書き下せ。

(c) 得られた \(\mathcal{H}\) の各項の物理的意味を、粒子力学の Hamiltonian \(H = T + V\) との類推で説明せよ。

ヒント

(a) \(\dot{\phi} = \partial_0\phi\) であり、\(\mathcal{L}\) を式 (3.9) の形に展開してから \(\dot{\phi}\) で微分する。(b) \(\dot{\phi} = \pi\) を使って \(\mathcal{L}\) 中の \(\dot{\phi}\) を消去する。

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M-2. 複素スカラー場の内部対称性と Noether カレント

複素スカラー場の Lagrangian 密度

\[ \mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\,\partial^\mu\phi - m^2\phi^*\phi \]

は、大域的 \(U(1)\) 変換

\[ \phi(x) \to e^{i\alpha}\phi(x), \qquad \phi^*(x) \to e^{-i\alpha}\phi^*(x) \]

のもとで不変である（\(\alpha\) は実定数）。

(a) 微小変換（\(\alpha \ll 1\)）のもとで \(\delta\phi = i\alpha\phi\)、\(\delta\phi^* = -i\alpha\phi^*\) を用いて、\(\delta\mathcal{L} = 0\) を明示的に確認せよ。

(b) Noether の定理を用いて保存カレント \(j^\mu\) を導出せよ。

(c) 保存電荷 \(Q = \int d^3x\,j^0\) を書き下し、これが「粒子数 \(-\) 反粒子数」に対応するものであることを定性的に説明せよ。

ヒント

(b) 複素スカラー場の場合、Noether カレントは \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi^*)}\delta\phi^*\) の形になる。\(\alpha\) の係数を取り出す。

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M-3. 時空並進不変性とエネルギー・運動量テンソル

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)\) が時空並進 \(x^\mu \to x^\mu + a^\mu\)（\(a^\mu\) は微小定数ベクトル）に対して不変であるとする。この変換のもとで場は \(\delta\phi = -a^\nu\partial_\nu\phi\) と変化する。

(a) Lagrangian 密度自身の変化が \(\delta\mathcal{L} = -a^\nu\partial_\nu\mathcal{L} = \partial_\mu(-a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L})\) と全微分の形に書けることを示せ。

(b) Noether の定理の一般化（\(\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu\) の場合、保存カレントは \(j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi - K^\mu\)）を用いて、正準エネルギー・運動量テンソル (canonical energy-momentum tensor)

\[ T^{\mu}{}_\nu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\partial_\nu\phi - \delta^\mu{}_\nu\,\mathcal{L} \]

を導出せよ。

(c) Klein-Gordon 場の Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\) に対して \(T^{00}\) を計算し、これが Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H}\) に一致することを確認せよ。

ヒント

(a) \(\mathcal{L}\) は \(x^\mu\) に陽に依存しないので、\(\delta\mathcal{L}\) は場の変化を通じてのみ生じる。一方、\(\mathcal{L}\) を \(x\) の関数として見たときの全変化は \(a^\nu\partial_\nu\mathcal{L}\) に等しい。(b) \(K^\mu = -a^\nu\delta^\mu{}_\nu\mathcal{L}\) とおき、\(a^\nu\) は任意なので \(\nu\) ごとに保存カレントが得られる。

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M-4. Dirac 場の Euler-Lagrange 方程式

Dirac 場 \(\psi(x)\)（4 成分スピノル）の Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi \]

で与えられる。ここで \(\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0\) は Dirac 共役、\(\gamma^\mu\) はガンマ行列である。

(a) \(\bar{\psi}\) を独立な変数として扱い、\(\bar{\psi}\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出して、Dirac 方程式

\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 \]

を得よ。

(b) \(\psi\) に関する Euler-Lagrange 方程式を導出し、\(\bar{\psi}\) に対する随伴 Dirac 方程式

\[ \bar{\psi}(i\overleftarrow{\partial}_\mu\gamma^\mu + m) = 0 \]

を得よ。ここで \(\overleftarrow{\partial}_\mu\) は左に作用する微分を表す。

ヒント

(a) \(\mathcal{L}\) を \(\bar{\psi}\) と \(\partial_\mu\bar{\psi}\) の関数として見る。\(\partial_\mu\bar{\psi}\) を含む項がないことに注目すれば、Euler-Lagrange 方程式は \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar{\psi}} = 0\) に帰着する。(b) \(\psi\) で微分する場合は部分積分が必要。

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Advanced（発展）

A-1. Noether の定理の一般化

場の変換 \(\phi \to \phi + \delta\phi\) のもとで、Lagrangian 密度が不変ではなく、ある 4 元ベクトル \(K^\mu\) を用いて

\[ \delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu \]

と全微分（4 次元の発散）の形で変化する場合を考える。

(a) 作用 \(S = \int d^4x\,\mathcal{L}\) の変分 \(\delta S\) がこの場合にも（適切な境界条件のもとで）ゼロになることを示し、運動方程式が変わらないことを確認せよ。

(b) 修正された Noether カレント

\[ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\,\delta\phi - K^\mu \]

が、運動方程式が成り立つとき \(\partial_\mu j^\mu = 0\) を満たすことを証明せよ。

(c) 応用として、実スカラー場 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - V(\phi)\) に対する Lorentz ブースト変換（\(x\) 方向に微小ラピディティ \(\delta\omega\)）

\[ \delta\phi = -\delta\omega\,(t\,\partial_x\phi + x\,\partial_t\phi) \]

を考え、対応する保存カレントを構成せよ。この保存電荷の物理的意味を論じよ。

ヒント

(a) \(\delta S = \int d^4x\,\partial_\mu K^\mu\) は Gauss の定理で境界面上の積分になり、境界条件で消える。(b) Euler-Lagrange 方程式の導出と同じ手順で \(\delta\mathcal{L}\) を整理し、\(\partial_\mu K^\mu\) と比較する。(c) Lorentz ブーストのもとで \(\delta x^0 = -\delta\omega\,x^1\)、\(\delta x^1 = -\delta\omega\,x^0\) であり、スカラー場の変換則 \(\delta\phi = -\delta x^\nu\partial_\nu\phi\) を使う。保存電荷はブースト生成子（重心運動に関わる量）に対応する。

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A-2. Maxwell 場の Lagrangian とゲージ不変性

電磁場の Lagrangian 密度は

\[ \mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \]

で与えられる。ここで場の強度テンソルは \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)、\(A_\mu(x)\) は 4 元ポテンシャルである。

(a) \(A_\nu\) に対する Euler-Lagrange 方程式を導出し、真空中の Maxwell 方程式（ソースなし）

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \]

を得よ。途中で \(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\) の計算を明示すること。

(b) ゲージ変換 \(A_\mu(x) \to A_\mu(x) + \partial_\mu\Lambda(x)\)（\(\Lambda(x)\) は任意のスカラー関数）のもとで \(F_{\mu\nu}\) が不変であることを示し、したがって \(\mathcal{L}_{\mathrm{Maxwell}}\) もゲージ不変であることを確認せよ。

(c) Noether の定理を直接ゲージ変換に適用しようとすると何が起こるか議論せよ。特に、ゲージ変換のパラメータ \(\Lambda(x)\) が時空の関数（局所変換）であることが、大域的対称性を前提とする Noether の定理とどのように関わるかを説明し、第 2 種 Noether の定理 (Noether's second theorem) の存在に言及せよ。

ヒント

(a) \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)\) を展開し、\(\partial_\mu A_\nu\) で微分する。反対称性 \(F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}\) を活用すると \(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -F^{\mu\nu}\) が得られる。(b) \(\partial_\mu(\partial_\nu\Lambda) - \partial_\nu(\partial_\mu\Lambda) = 0\)（偏微分の交換可能性）を使う。(c) 局所的なパラメータ \(\Lambda(x)\) に対する Noether カレントは恒等的に保存する（運動方程式を使わなくても成り立つ恒等式になる）。これが第 2 種 Noether の定理の内容であり、ゲージ理論の冗長な自由度と関連している。

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