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Appendix A 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 汎関数の値の計算

汎関数 \(H[f] = \int_0^3 [f(x)]^2\,dx\) に \(f(x) = 2x\) を代入して、\(H[f]\) の値を求めよ。

ヒント

\([f(x)]^2 = (2x)^2 = 4x^2\) を代入して定積分を実行するだけ。

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B-2. 汎関数微分の基本計算

汎関数 \(F[f] = \int_0^1 [f(x)]^4\,dx\) の汎関数微分 \(\frac{\delta F}{\delta f(x_0)}\)（\(0 \leq x_0 \leq 1\)）を求めよ。

ヒント

本文の計算例 2 で \(p = 4\)、\(\varphi(y) = 1\) とした場合に対応する。べき乗の微分と同じパターン「\(p\) 乗を \((p-1)\) 乗に下げて係数 \(p\) を前に出す」を使う。

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B-3. 重み付き汎関数微分

汎関数 \(G[f] = \int_{-\infty}^{\infty} [f(y)]^2\,e^{-y^2}\,dy\) の汎関数微分 \(\frac{\delta G}{\delta f(x)}\) を求めよ。

ヒント

計算例 2 の公式で \(p = 2\)、\(\varphi(y) = e^{-y^2}\) とせよ。デルタ関数の「拾い出し」性質を最後に使う。

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B-4. デルタ関数を用いた汎関数微分

汎関数 \(F[f] = f(a)\)（ある固定点 \(a\) での関数値）を積分表示 \(F[f] = \int f(y)\,\delta(y - a)\,dy\) と書き、定義に従って \(\frac{\delta F}{\delta f(x)}\) を計算せよ。

ヒント

\(f(y) \to f(y) + \epsilon\,\delta(y - x)\) と置き換えて、\(\epsilon\) の 1 次の項を拾い出す。最終結果はデルタ関数で表される。

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B-5. Euler-Lagrange 方程式の適用（1 次元調和振動子）

Lagrangian \(L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2\) に対して、以下を順に計算せよ。

  1. \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\)
  2. \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\)
  3. \(\frac{\partial L}{\partial x}\)
  4. Euler-Lagrange 方程式を書き下し、得られる運動方程式を確認せよ。
ヒント

\(\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right) = m\dot{x}\) など、偏微分を 1 つずつ丁寧に実行する。最終的に \(m\ddot{x} = -kx\) が得られるはず。

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B-6. 正準運動量の計算

以下の各 Lagrangian について正準運動量 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) を求めよ。

(a) \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - mg q\)（一様重力場中の自由落下）

(b) \(L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)\)（2 次元極座標）について \(p_r\) と \(p_\theta\) をそれぞれ求めよ。

ヒント

(a) は \(\dot{q}\) で偏微分するだけ。(b) では \(\dot{r}\) で微分して \(p_r\)、\(\dot{\theta}\) で微分して \(p_\theta\) を得る。\(p_\theta = mr^2\dot{\theta}\) は角運動量に対応する。

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B-7. Hamiltonian の構成

1 次元調和振動子の Lagrangian \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) に対して：

  1. 正準運動量 \(p\) を求めよ。
  2. \(\dot{q}\) を \(p\) と \(m\) で表せ。
  3. Hamiltonian \(H = p\dot{q} - L\) を \(q\) と \(p\) の関数として書き下せ。
ヒント

\(p = m\dot{q}\) から \(\dot{q} = p/m\)。これを \(H = p\dot{q} - L\) に代入して \(\dot{q}\) を消去する。結果は \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2\) になるはず。

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B-8. 場の Euler-Lagrange 方程式の適用

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi\) （質量項なし）に対して、場の Euler-Lagrange 方程式を適用し、運動方程式を導け。

ヒント

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0\)（\(\phi\) そのものを含む項がない）、\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi\)。方程式 \(\partial_\mu(\partial^\mu\phi) = 0\) は何と呼ばれるか？

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B-9. \(\phi^3\) 理論の運動方程式

Lagrangian 密度 \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{g}{3!}\phi^3\) に対して、場の Euler-Lagrange 方程式を適用し、運動方程式を導け。

ヒント

\(\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{g}{3!}\phi^3\right) = \frac{g}{3!}\times 3\phi^2 = \frac{g}{2}\phi^2\)。あとは本文の \(\phi^4\) 理論の例と同じ手順。

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B-10. 汎関数微分の連鎖律

汎関数 \(S[q] = \int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}m[\dot{q}(t)]^2\,dt\) の汎関数微分 \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\)（\(t_1 < t' < t_2\)）を計算せよ。ただし端点条件 \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\) を用いてよい。

ヒント

\(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\) と置き換えると \(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\)。\(\epsilon\) の 1 次の項を拾い出し、部分積分を用いて \(\delta(t - t')\) の前の係数を求める。結果は \(-m\ddot{q}(t')\) となる。

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Medium（標準）

M-1. 作用原理から Newton の重力運動方程式を導出

質量 \(m\) の粒子が一様重力場中で鉛直方向に運動する。Lagrangian は

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{z}^2 - mgz \]

である。以下を示せ。

  1. 作用 \(S[z] = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt\) の変分 \(\delta S\) を計算し、\(\delta z(t)\) を含む積分の形に整理せよ（部分積分を明示すること）。
  2. \(\delta S = 0\) から Euler-Lagrange 方程式を導き、\(m\ddot{z} = -mg\) を得よ。
  3. 得られた方程式が Newton の運動方程式 \(F = ma\) と一致することを確認せよ。
ヒント

本文 A.4.3 節の導出と全く同じ手順。\(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m\dot{z}\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = -mg\) を使う。部分積分で表面項が消えることを端点条件から示す。

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M-2. 場の正準運動量と Hamiltonian 密度

Klein-Gordon 場の Lagrangian 密度

\[ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{m^2}{2}\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2 \]

に対して以下を行え。

  1. 正準運動量密度 \(\pi(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\) を求めよ。
  2. Hamiltonian 密度 \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) を \(\phi\), \(\pi\), \(\nabla\phi\) で書き下せ。
  3. 得られた \(\mathcal{H}\) がエネルギー密度（正定値）であることを確認せよ。
ヒント

\(\pi = \dot{\phi}\)。\(\dot{\phi} = \pi\) を \(\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}\) に代入して整理する。結果は \(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\) で、全ての項が二乗の形なので正定値。

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M-3. Poisson 括弧と Hamilton の運動方程式

1 次元の粒子について、Hamiltonian が \(H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + V(q)\) で与えられるとする。Poisson 括弧 (ポアソン括弧) は

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q} \]

と定義される。以下を示せ。

  1. \(\{q, p\}_{\mathrm{PB}} = 1\) を確認せよ。
  2. Hamilton の運動方程式 \(\dot{q} = \{q, H\}_{\mathrm{PB}}\), \(\dot{p} = \{p, H\}_{\mathrm{PB}}\) を計算し、それぞれ \(\dot{q} = p/m\), \(\dot{p} = -\frac{dV}{dq}\) を得よ。
  3. 正準量子化の処方箋「\(\{A, B\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]\)」を用いて、\([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) が得られることを確認せよ。
ヒント

Poisson 括弧の定義に \(A = q\), \(B = p\) を代入する。\(\frac{\partial q}{\partial q} = 1\), \(\frac{\partial p}{\partial p} = 1\) などを使う。Hamilton の運動方程式では \(\{q, H\}_{\mathrm{PB}} = \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\) を計算する。

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M-4. 多自由度系の Legendre 変換

\(N\) 個の一般化座標 \(q_1, \ldots, q_N\) を持つ系の Lagrangian \(L(q_i, \dot{q}_i)\) に対して：

  1. 正準運動量 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) を定義し、Hamiltonian を
\[ H = \sum_{i=1}^N p_i \dot{q}_i - L \]

と構成する。\(H\) が \(\dot{q}_i\) を含まず \((q_i, p_i)\) のみの関数になることを、\(H\) の全微分 \(dH\) を計算することで示せ。

  1. \(dH\) の表式から Hamilton の正準方程式
\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

を導け。

ヒント

\(dH = \sum_i(\dot{q}_i\,dp_i + p_i\,d\dot{q}_i) - \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\) を計算する。\(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) の定義と Euler-Lagrange 方程式 \(\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\) を使うと \(d\dot{q}_i\) の項が消える。

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M-5. 汎関数微分と Euler-Lagrange 方程式の関係

作用

\[ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t))\,dt \]

に対して、汎関数微分 \(\frac{\delta S}{\delta q(t')}\) を計算し、結果が

\[ \frac{\delta S}{\delta q(t')} = \frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{t=t'} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\bigg|_{t=t'} \]

となることを示せ。これにより、\(\delta S = 0\) が Euler-Lagrange 方程式と等価であることを汎関数微分の言葉で再確認せよ。

ヒント

\(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\delta(t - t')\) と置き換え、\(L\) を \(\epsilon\) の 1 次まで展開する。\(\dot{q}(t) \to \dot{q}(t) + \epsilon\,\frac{d}{dt}\delta(t - t')\) となることに注意し、\(\frac{d}{dt}\delta(t - t')\) を含む項を部分積分で処理する。

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Advanced（発展）

A-1. 電磁場中の荷電粒子と正準運動量のゲージ依存性

電磁場 \((V, \mathbf{A})\) 中の荷電粒子（電荷 \(e\), 質量 \(m\)）の Lagrangian は

\[ L = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 - eV(\mathbf{r}, t) + e\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) \]

で与えられる。以下を行え。

  1. 正準運動量 \(\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\) を求め、これが力学的運動量 \(m\dot{\mathbf{r}}\) と異なることを示せ。
  2. Hamiltonian \(H = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{r}} - L\) を \((\mathbf{r}, \mathbf{p})\) で書き下せ。
  3. ゲージ変換 \(\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\chi\), \(V \to V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) のもとで正準運動量がどう変化するか示し、Hamiltonian（したがって運動方程式）がゲージ不変であることを確認せよ。
  4. この結果が本編第 6 章（QED の量子化）で「正準運動量を \(\hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{A}}\) に置き換える」処方箋（最小結合）の古典的起源であることを議論せよ。
ヒント

\(\mathbf{p} = m\dot{\mathbf{r}} + e\mathbf{A}\) となる。\(\dot{\mathbf{r}} = (\mathbf{p} - e\mathbf{A})/m\) を代入して \(H\) を構成する。ゲージ変換で \(\mathbf{p} \to \mathbf{p} + e\nabla\chi\) だが、\(H\) 中の \((\mathbf{p} - e\mathbf{A})\) の組み合わせはゲージ不変。

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A-2. 場の Poisson 括弧から正準量子化へ

スカラー場 \(\phi(\mathbf{x}, t)\) と正準運動量密度 \(\pi(\mathbf{x}, t) = \dot{\phi}(\mathbf{x}, t)\) に対して、場の Poisson 括弧は

\[ \{A, B\}_{\mathrm{PB}} = \int d^3x\left(\frac{\delta A}{\delta\phi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\pi(\mathbf{x})} - \frac{\delta A}{\delta\pi(\mathbf{x})}\frac{\delta B}{\delta\phi(\mathbf{x})}\right) \]

と定義される。以下を示せ。

  1. \(\{\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) を確認せよ。
  2. \(\{\phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\), \(\{\pi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})\}_{\mathrm{PB}} = 0\) を確認せよ。
  3. Hamiltonian \(H = \int d^3x\,\mathcal{H}\)（\(\mathcal{H} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{m^2}{2}\phi^2\)）に対して Hamilton の運動方程式 \(\dot{\phi}(\mathbf{x}) = \{\phi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\) を計算し、\(\dot{\phi} = \pi\) を得よ。
  4. 同様に \(\dot{\pi}(\mathbf{x}) = \{\pi(\mathbf{x}), H\}_{\mathrm{PB}}\) を計算し、\(\dot{\pi} = \nabla^2\phi - m^2\phi\) を得よ。これらを組み合わせて Klein-Gordon 方程式が再現されることを確認せよ。
  5. 正準量子化の処方箋 \(\{\cdot, \cdot\}_{\mathrm{PB}} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot, \cdot]\) を適用して、本編第 4 章の等時刻交換関係 \([\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = i\hbar\,\delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\) が得られることを確認せよ。
ヒント

1 では \(A = \phi(\mathbf{x})\), \(B = \pi(\mathbf{y})\) として汎関数微分を計算する。\(\frac{\delta\phi(\mathbf{x})}{\delta\phi(\mathbf{z})} = \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{z})\) を使う。4 では \(\frac{\delta H}{\delta\phi(\mathbf{x})}\) を計算する際に \((\nabla\phi)^2\) の項に注意：部分積分を使うと \(-\nabla^2\phi\) が出る。

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