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第 7 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 平面波 を自由粒子の Schrödinger (シュレーディンガー) 方程式

平面波 \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\) を自由粒子の Schrödinger (シュレーディンガー) 方程式

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\]

に代入し、分散関係 \(\omega = \omega(k)\) を求めよ。

ヒント

左辺では \(\partial\Psi/\partial t = -i\omega\Psi\)、右辺では \(\partial^2\Psi/\partial x^2 = -k^2\Psi\) となることを利用する。両辺を \(\Psi\) で割れば \(\omega\) と \(k\) の関係が得られる。

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B-2. 運動量演算子 を次の各波動関数に作用させ、結果を求めよ。固有関数であれば固有値を答えよ

運動量演算子 \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) を次の各波動関数に作用させ、結果を求めよ。固有関数であれば固有値を答えよ。

(a) \(\psi(x) = e^{5ix/\hbar}\)

(b) \(\psi(x) = \cos(kx)\)

(c) \(\psi(x) = (x^2 + 1)e^{ipx/\hbar}\)

ヒント

(a) は指数関数の微分。(b) は \(\cos(kx) = \frac{1}{2}(e^{ikx} + e^{-ikx})\) と書くと見通しがよい。(c) は積の微分法則を使う。固有関数とは \(\hat{p}\psi = (\text{定数})\cdot\psi\) となるもの。

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B-3. 波動関数 （ は定数）を規格化せよ。すなわち

波動関数 \(\Psi(x) = A e^{-x^2/(2a^2)}\)（\(a > 0\) は定数）を規格化せよ。すなわち、

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x)|^2\,dx = 1\]

を満たす実数の正の定数 \(A\) を求めよ。ガウス積分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\pi/\alpha}\)（\(\alpha > 0\)）を用いてよい。

ヒント

\(|\Psi|^2 = A^2 e^{-x^2/a^2}\) を積分する。\(\alpha = 1/a^2\) とおいてガウス積分の公式を適用する。

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B-4. Dirac (ディラック) のデルタ関数の性質

Dirac (ディラック) のデルタ関数の性質

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\delta(x - x_0)\,dx = f(x_0)\]

を用いて、以下を計算せよ。

(a) \(\int_{-\infty}^{+\infty} (3x^2 + 2)\,\delta(x - 1)\,dx\)

(b) \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx}\,\delta(x)\,dx\)

(c) \(\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x)\,\delta(x - x')\,dx\)（\(\psi(x)\) は任意の波動関数）

ヒント

デルタ関数の「ふるい」の性質をそのまま使う。\(\delta(x - x_0)\) が被積分関数にあるとき、\(f(x)\) の \(x = x_0\) での値が取り出される。

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B-5. 定常状態の波動関数 に対して、確率密度 を計算し、時間に依存しないことを示せ

定常状態の波動関数 \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}\) に対して、確率密度 \(|\Psi(x,t)|^2\) を計算し、時間に依存しないことを示せ。

ヒント

\(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\) を計算する。\(e^{-iEt/\hbar}\) の複素共役は \(e^{+iEt/\hbar}\) であることを使う。

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B-6. ハミルトニアン演算子

ハミルトニアン演算子

\[\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\]

を波動関数 \(\psi(x) = Be^{-\kappa x}\)（\(x > 0\)、\(\kappa > 0\) は定数）に作用させよ。ただし \(V(x) = 0\)（\(x > 0\)）とする。\(\psi\) が \(\hat{H}\) の固有関数であることを示し、対応するエネルギー固有値 \(E\) を \(\kappa, \hbar, m\) で表せ。

ヒント

\(\frac{d^2}{dx^2}e^{-\kappa x} = \kappa^2 e^{-\kappa x}\) を計算し、\(\hat{H}\psi = E\psi\) の形になることを確認する。

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B-7. 2 つのエネルギー固有状態の重ね合わせ

2 つのエネルギー固有状態の重ね合わせ

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2(x)\,e^{-iE_2 t/\hbar}\]

に対して、確率密度 \(|\Psi(x,t)|^2\) を計算し、干渉項の振動の角振動数を求めよ。ただし \(\psi_1(x)\), \(\psi_2(x)\) は実数関数とする。

ヒント

\(|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\) を展開する。交差項（クロスターム）に \(e^{\pm i(E_2 - E_1)t/\hbar}\) が現れる。\(\psi_1, \psi_2\) が実数なら \(\psi_n^* = \psi_n\) を使える。

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B-8. 運動量演算子 に対して、 を具体的に書き下せ。さらに、波動関数 に を作用させ、結果を求めよ

運動量演算子 \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) に対して、\(\hat{p}^2\) を具体的に書き下せ。さらに、波動関数 \(\psi(x) = A\sin(3\pi x/L)\) に \(\hat{p}^2\) を作用させ、結果を求めよ。

ヒント

\(\hat{p}^2 = \hat{p}\cdot\hat{p} = \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)。\(\sin\) 関数の 2 階微分を計算する。

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Medium（標準）

M-1. 変数分離法による時間に依存しない Schrödinger 方程式の導出

変数分離法による時間に依存しない Schrödinger 方程式の導出

波動関数を \(\Psi(x,t) = \psi(x)\,T(t)\) と仮定し、一般の Schrödinger 方程式 (7.13)

\[i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi\]

に代入せよ。両辺を \(\psi(x)\,T(t)\) で割り、「\(x\) のみの関数 \(=\) \(t\) のみの関数」の形にすることで、両辺が定数（これを \(E\) とおく）に等しいことを示せ。得られる 2 つの常微分方程式を書き下し、\(T(t)\) の方程式を解いて \(T(t) = e^{-iEt/\hbar}\) を導け。

ヒント

代入後、左辺は \(i\hbar\psi(x)\frac{dT}{dt}\)、右辺は \(\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi\right]T(t)\) となる。両辺を \(\psi T\) で割ると、左辺は \(t\) のみ、右辺は \(x\) のみの関数になる。独立変数が異なる関数が等しいなら、両方とも定数でなければならない（変数分離の論法）。

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M-2. 確率の保存（連続の方程式）の導出

確率の保存（連続の方程式）の導出

確率密度 \(\rho(x,t) = |\Psi(x,t)|^2\) と確率流密度（probability current density）

\[j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\]

に対して、Schrödinger 方程式 (7.13) を用いて連続の方程式

\[\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\]

を導出せよ。さらに、\(\Psi\) が \(x \to \pm\infty\) で十分速く 0 に近づくとき、全確率 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\rho\,dx\) が時間に依存しないことを示せ。

ヒント

本文の式 (7.23)〜(7.27) の導出を参考にする。\(\frac{\partial\rho}{\partial t}\) を計算し、\(V\) の項が打ち消されること、残りが \(-\frac{\partial j}{\partial x}\) と書けることを確認する。全確率の時間微分は \(j\) の境界値 \(j(+\infty) - j(-\infty)\) に等しく、波動関数が無限遠で 0 ならこれは 0。

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M-3. 確率流密度の計算

確率流密度の計算

波動関数 \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}\)（\(A, k, \omega\) は実定数）に対して：

(a) 確率密度 \(\rho = |\Psi|^2\) を求めよ。

(b) 確率流密度 \(j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\) を計算せよ。

(c) 得られた \(j\) を粒子の速度 \(v = p/m = \hbar k/m\) と確率密度 \(\rho\) を用いて \(j = \rho v\) の形に書けることを確認せよ。

(d) 連続の方程式 \(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\) が満たされていることを検証せよ。

ヒント

\(\Psi^* = Ae^{-i(kx-\omega t)}\)（\(A\) が実数の場合）。\(\frac{\partial\Psi}{\partial x} = ik\Psi\)、\(\frac{\partial\Psi^*}{\partial x} = -ik\Psi^*\) を使う。

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M-4. 演算子の交換関係 の計算

演算子の交換関係 \([\hat{x}, \hat{p}]\) の計算

位置表示において \(\hat{x} = x\)（掛け算）、\(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) である。交換子 (commutator)

\[[\hat{x}, \hat{p}] \equiv \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x}\]

を任意のテスト関数 \(f(x)\) に作用させることで計算し、

\[[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\]

を示せ。

ヒント

\(\hat{x}\hat{p}f(x) = x\left(-i\hbar\frac{df}{dx}\right)\) と \(\hat{p}\hat{x}f(x) = -i\hbar\frac{d}{dx}(xf)\) をそれぞれ計算し、差を取る。積の微分法則 \(\frac{d}{dx}(xf) = f + x\frac{df}{dx}\) を使う。

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Advanced（発展）

A-1. ガウス波束の時間発展と波束の広がり

ガウス波束の時間発展と波束の広がり

自由粒子（\(V = 0\)）の初期波動関数が

\[\Psi(x, 0) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma_0^2}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{x^2}{4\sigma_0^2}\right)\]

で与えられる（\(\sigma_0 > 0\) は初期の位置の広がりを特徴づけるパラメータ）。

(a) この波動関数を Fourier (フーリエ) 変換して運動量空間の振幅 \(\phi(k)\) を求めよ：

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x,0)\,e^{-ikx}\,dx\]

(b) 自由粒子の分散関係 \(\omega = \hbar k^2/(2m)\) を用いて、時刻 \(t\) での波動関数

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k)\,e^{i(kx - \omega t)}\,dk\]

を計算し、\(|\Psi(x,t)|^2\) がガウス分布のままであることを示せ。

(c) 確率密度の幅（標準偏差）\(\sigma(t)\) を求め、

\[\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}\]

となることを示せ。波束が時間とともに広がることの物理的意味を、不確定性原理の観点から議論せよ。

ヒント

(a) ガウス関数の Fourier 変換はガウス関数になる。\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2 + bx}dx = \sqrt{\pi/a}\,e^{b^2/(4a)}\)（\(\text{Re}(a) > 0\)）を使う。(b) 再びガウス積分を実行する。\(k\) の積分で指数部を平方完成する。複素数のパラメータに注意。(c) \(|\Psi(x,t)|^2\) のガウス分布の分散を読み取る。初期の運動量の不確定さ \(\Delta p \sim \hbar/(2\sigma_0)\) が位置の広がりを生むことと対応づける。

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A-2. Ehrenfest (エーレンフェスト) の定理

Ehrenfest (エーレンフェスト) の定理

一般のポテンシャル \(V(x)\) 中の粒子に対して、位置と運動量の期待値

\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^* x\,\Psi\,dx, \quad \langle p \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx\]

の時間微分を Schrödinger 方程式を用いて計算し、以下の Ehrenfest の定理を導出せよ：

\[\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{\langle p\rangle}{m} \tag{i}\]
\[\frac{d\langle p\rangle}{dt} = -\left\langle\frac{dV}{dx}\right\rangle \tag{ii}\]

さらに、これらの結果がニュートンの運動方程式 \(F = ma\) の量子力学的な対応物であることを議論せよ。特に、\(V(x)\) が \(x\) の 2 次以下の多項式の場合に、期待値が古典的な軌道と完全に一致する理由を説明せよ。

ヒント

(i) \(\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^* x \Psi)\,dx\) を計算する。Schrödinger 方程式で \(\partial\Psi/\partial t\) と \(\partial\Psi^*/\partial t\) を置き換え、部分積分を行う。(ii) 同様に \(\frac{d\langle p\rangle}{dt}\) を計算する。\(\hat{p}\) と \(V(x)\) の交換関係 \([\hat{p}, V(x)] = -i\hbar\frac{dV}{dx}\) が鍵になる。\(V\) が 2 次以下なら \(\langle dV/dx \rangle = \frac{dV}{dx}\big|_{x=\langle x\rangle}\) が成り立つことを確認する。

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