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第 2 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 添字の上げ下げ

符号規約 \(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(+1, -1, -1, -1)\) のもとで、4 元ベクトル \(V^\mu = (E, p_x, p_y, p_z) = (5, 1, -2, 3)\) に対して、共変成分 \(V_\mu\) をすべて書き下せ。

ヒント

\(V_\mu = \eta_{\mu\nu} V^\nu\) を各成分について計算する。\(\eta_{\mu\nu}\) は対角行列なので、\(V_0 = \eta_{00} V^0\), \(V_1 = \eta_{11} V^1\), ... となる。

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B-2. 4 元ベクトルの内積

4 元ベクトル \(A^\mu = (4, 1, 0, -1)\) と \(B^\mu = (2, 3, 1, 0)\) に対して、Lorentz 不変な内積 \(A^\mu B_\mu\) を計算せよ。

ヒント

\(A^\mu B_\mu = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3\) を使う（本文 式 (2.4) 参照）。まず \(B_\mu\) を求めてから縮約してもよいし、この展開式を直接適用してもよい。

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B-3. Einstein の縮約規則の展開

次の式を Einstein の縮約規則に従って、\(\mu, \nu = 0, 1, 2, 3\) についてすべての項を明示的に書き下せ（ただし \(\eta_{\mu\nu}\) が対角行列であることを用いて、ゼロでない項のみ残せ）。

\[ \eta_{\mu\nu}\, A^\mu\, B^\nu \]
ヒント

\(\eta_{\mu\nu}\) は \(\mu = \nu\) のときのみ非ゼロ。したがって \(\mu \neq \nu\) の項はすべて消える。残る 4 つの項を書き出す。

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B-4. Lorentz ブーストの適用

\(x\) 方向に速度 \(v = 3/5\)（自然単位系）で動く慣性系への Lorentz ブースト \(t' = \gamma(t - vx),\, x' = \gamma(x - vt)\) を用いて、時空点 \((t, x) = (5, 3)\) の変換後の座標 \((t', x')\) を求めよ。

ヒント

まず Lorentz 因子 \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) を計算する。\(v = 3/5\) なので \(v^2 = 9/25\), \(1 - v^2 = 16/25\)。その後 \(t' = \gamma(t - vx)\), \(x' = \gamma(x - vt)\) に代入する。

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B-5. ラピディティの計算

速度 \(v = 4/5\)（自然単位系）に対応するラピディティ \(\beta\) を求めよ。また、\(\cosh\beta\) と \(\sinh\beta\) の値を確認せよ。

ヒント

\(v = \tanh\beta\) より \(\beta = \text{arctanh}(v) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+v}{1-v}\)。\(\cosh\beta = \gamma\), \(\sinh\beta = \gamma v\) の関係も使える。

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B-6. 添字の縮約の練習

Kronecker (クロネッカー) のデルタ \(\delta^\mu{}_\nu\)（\(\mu = \nu\) のとき 1、それ以外は 0）を用いて、次の縮約を計算せよ。

\[ \delta^\mu{}_\nu\, A^\nu = \text{?} \]
\[ \eta_{\mu\nu}\, \eta^{\nu\rho} = \text{?} \]
ヒント

第一式: \(\delta^\mu{}_\nu\) は「添字を置き換える」役割を果たす。第二式: \(\eta_{\mu\nu}\) と \(\eta^{\nu\rho}\) は互いに逆行列の関係にある。行列の積 \((\eta)(\eta^{-1})\) は何になるか？

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B-7. ブースト行列の双曲線関数表示

ラピディティ \(\beta\) を用いた \(x\) 方向のブースト行列

\[ \Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \cosh\beta & -\sinh\beta & 0 & 0 \\ -\sinh\beta & \cosh\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

に対して、4 元ベクトル \(x^\mu = (3, 1, 0, 0)\) を \(\beta = \ln 2\) でブーストした結果 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) を計算せよ。

ヒント

\(\beta = \ln 2\) のとき、\(\cosh\beta = \frac{e^\beta + e^{-\beta}}{2} = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}\), \(\sinh\beta = \frac{e^\beta - e^{-\beta}}{2} = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}\) を使う。

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B-8. 自然単位系での次元解析

自然単位系 (\(c = 1\), \(\hbar = 1\)) において、以下の物理量の次元を「質量の何乗」（\([\text{mass}]^n\)）で表せ。

(a) 長さ　　(b) 時間　　(c) エネルギー　　(d) 運動量　　(e) 力

ヒント

\(c = 1\) より \([\text{長さ}] = [\text{時間}]\)。\(\hbar = 1\) より \([\text{エネルギー}] \times [\text{時間}] = [\text{無次元}]\)。したがって \([\text{時間}] = [\text{エネルギー}]^{-1} = [\text{mass}]^{-1}\)。力 = エネルギー / 長さ。

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Medium（標準）

M-1. Lorentz 変換行列の条件の導出

Lorentz 変換 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\, x^\nu\) が不変間隔 \(\eta_{\mu\nu}\, x^\mu\, x^\nu\) を保つ条件として

\[ \eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta} \]

が成り立つことを示せ。さらに、この条件の行列表示が \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\) であることを確認し、これから \(\det\Lambda = \pm 1\) を導け。

ヒント

\(\eta_{\mu\nu}\, x'^\mu\, x'^\nu = \eta_{\alpha\beta}\, x^\alpha\, x^\beta\) に \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\alpha\, x^\alpha\) を代入する。任意の \(x^\alpha\) に対して成り立つことから、\(x^\alpha x^\beta\) の係数を比較する。行列式については \(\det(\Lambda^T \eta \Lambda) = \det\eta\) の両辺の行列式を計算する。

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M-2. ラピディティの加法性

2 つの連続した \(x\) 方向ブーストを考える。最初にラピディティ \(\beta_1\) でブーストし、次にラピディティ \(\beta_2\) でブーストする。合成変換のラピディティが \(\beta_1 + \beta_2\) になることを、ブースト行列の積を計算して示せ。さらに、これから速度の合成則

\[ v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2} \]

を導け。

ヒント

2 つのブースト行列の積を計算し、双曲線関数の加法定理 \(\cosh(\beta_1 + \beta_2) = \cosh\beta_1\cosh\beta_2 + \sinh\beta_1\sinh\beta_2\) および \(\sinh(\beta_1 + \beta_2) = \sinh\beta_1\cosh\beta_2 + \cosh\beta_1\sinh\beta_2\) を使う。速度は \(v = \tanh\beta\) で、\(\tanh\) の加法定理を適用する。

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M-3. 4 元運動量と質量殻条件

相対論的粒子の 4 元運動量 (four-momentum) を \(p^\mu = (E, \mathbf{p})\) と定義する。

(a) 質量 \(m\) の粒子に対して、Lorentz 不変量 \(p^\mu p_\mu\) を計算し、質量殻条件 (mass-shell condition, on-shell condition)

\[ p^\mu p_\mu = m^2 \]

が \(E^2 = \mathbf{p}^2 + m^2\)（自然単位系）と等価であることを示せ。

(b) 質量ゼロの粒子（光子）に対して質量殻条件がどうなるか述べ、エネルギーと運動量の関係を導け。

(c) 4 元運動量 \(p^\mu\) が Lorentz ブースト（\(x\) 方向、速度 \(v\)）でどう変換されるか書き下し、静止系 \(\mathbf{p} = 0\) からブーストすることで \(E = \gamma m\), \(p_x = \gamma m v\) を導け。

ヒント

(a) \(p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = (p^0)^2 - (p^1)^2 - (p^2)^2 - (p^3)^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2\) を使う。(b) \(m = 0\) を代入。(c) 4 元運動量も 4 元ベクトルなので、座標と同じ Lorentz 変換則に従う。

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M-4. Lorentz 変換の群構造

Lorentz 変換の全体が群 (group) をなすことを、以下の 4 つの条件を確認することで示せ。

(i) 閉包性: 2 つの Lorentz 変換の合成もまた Lorentz 変換である。 (ii) 結合律: \((\Lambda_1 \Lambda_2)\Lambda_3 = \Lambda_1(\Lambda_2 \Lambda_3)\)。 (iii) 単位元の存在: 恒等変換 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu\) が Lorentz 変換の条件を満たす。 (iv) 逆元の存在: 任意の Lorentz 変換 \(\Lambda\) に対して \(\Lambda^{-1}\) が存在し、それもまた Lorentz 変換である。

さらに、\(\det\Lambda = +1\) かつ \(\Lambda^0{}_0 \geq 1\) を満たす部分群を固有 orthochronous (正時的) Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) と呼ぶことを述べ、これが連続的に恒等変換に繋がる変換（回転とブースト）のみからなることを説明せよ。

ヒント

(i) \(\Lambda_1^T \eta \Lambda_1 = \eta\) かつ \(\Lambda_2^T \eta \Lambda_2 = \eta\) から \((\Lambda_1\Lambda_2)^T \eta (\Lambda_1\Lambda_2) = \eta\) を示す。(iv) \(\det\Lambda = \pm 1 \neq 0\) から逆行列が存在する。逆行列が Lorentz 条件を満たすことも示す。\(\det\Lambda = -1\) や \(\Lambda^0{}_0 \leq -1\) の場合は空間反転 (parity) や時間反転 (time reversal) に対応する。

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Advanced（発展）

A-1. 反変テンソルと共変テンソルの変換則、および電磁場テンソルへの応用

(a) 2 階の反変テンソル \(T^{\mu\nu}\) の Lorentz 変換則が

\[ T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, T^{\alpha\beta} \]

であることを、4 元ベクトルの変換則 \(V'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu V^\nu\) からの自然な拡張として説明せよ。

(b) 電磁場テンソル (electromagnetic field tensor) \(F^{\mu\nu}\) は反対称テンソルで、その成分が

\[ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

で与えられる（自然単位系）。\(x\) 方向に速度 \(v\) でブーストしたとき、電場と磁場がどのように混合するかを、\(F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta\, F^{\alpha\beta}\) を具体的に計算して求めよ。特に、\(E_y' = \gamma(E_y - vB_z)\) および \(B_z' = \gamma(B_z - vE_y)\) を導け。

(c) Lorentz 不変量 \(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\) を電場 \(\mathbf{E}\) と磁場 \(\mathbf{B}\) で表せ。この不変量の物理的意味を述べよ。

ヒント

(a) テンソル積 \(A^\mu B^\nu\) の変換から一般の 2 階テンソルの変換則が導かれる。(b) \(4 \times 4\) の行列積を全部計算する必要はなく、\(\mu, \nu\) の特定の値（例えば \(\mu=0, \nu=2\) で \(E_y'\) が得られる）について計算すればよい。(c) \(F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}\) で添字を下げてから縮約する。結果は \(2(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2)\) になる。

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A-2. Lorentz 群の生成子と Lie 代数

無限小 Lorentz 変換を \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\)（\(\omega^\mu{}_\nu\) は微小パラメータ）と書く。

(a) Lorentz 条件 \(\eta_{\mu\nu}\, \Lambda^\mu{}_\alpha\, \Lambda^\nu{}_\beta = \eta_{\alpha\beta}\) から、\(\omega_{\mu\nu} \equiv \eta_{\mu\alpha}\omega^\alpha{}_\nu\) が反対称（\(\omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu}\)）であることを示せ。独立なパラメータは何個あるか？ それぞれどの物理的変換（回転・ブースト）に対応するか述べよ。

(b) Lorentz 群の生成子 (generator) \(M^{\mu\nu}\) を導入し、有限の Lorentz 変換が

\[ \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu} M^{\mu\nu}\right) \]

と書けることを述べよ。\(M^{\mu\nu}\) の 4 元ベクトル表現（4×4 行列）

\[ (M^{\mu\nu})^\alpha{}_\beta = i(\eta^{\mu\alpha}\delta^\nu{}_\beta - \eta^{\nu\alpha}\delta^\mu{}_\beta) \]

が正しいことを、\(x\) 方向ブースト（\(\omega_{01} = -\omega_{10} = \beta\), 他はゼロ）の場合に確かめよ。

(c) 生成子が満たす Lie (リー) 代数の交換関係

\[ [M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = i(\eta^{\nu\rho}M^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}M^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma}M^{\mu\rho} + \eta^{\mu\sigma}M^{\nu\rho}) \]

を、(b) の 4 元ベクトル表現を用いて具体的な成分（例えば \([M^{01}, M^{02}]\)）について検証せよ。この代数構造が、場の量子論においてスピンの分類（スカラー場、ベクトル場、スピノル場）を決定する出発点となることを説明せよ。

ヒント

(a) Lorentz 条件に \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) を代入し、\(\omega\) の 2 次以上を無視する。\(4\times 4\) の反対称行列の独立成分数は \(4 \times 3/2 = 6\)。(b) \(\omega_{01}\) のみ非ゼロの場合、\(\Lambda = I - \frac{i}{2}(\omega_{01}M^{01} + \omega_{10}M^{10}) = I - i\omega_{01}M^{01}\) となる。これが微小ブースト \(\Lambda^0{}_1 = -\beta\) 等を再現するか確認する。(c) 行列の積を直接計算する。場の量子論では、Lorentz 群の異なる表現（スカラー: 自明表現、ベクトル: 4 次元表現、スピノル: 2 次元表現）が異なるスピンの場に対応する。

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