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第 5 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 光錐座標の計量

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解法の方針: 光錐座標の定義から \(dx^+ dx^-\) を計算し、\((dx^0)^2 - (dx^1)^2\) との関係を得る。

計算:

光錐座標の定義より

\[ dx^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 + dx^1), \qquad dx^- = \frac{1}{\sqrt{2}}(dx^0 - dx^1) \]

積を計算すると

\[ dx^+ dx^- = \frac{1}{2}(dx^0 + dx^1)(dx^0 - dx^1) = \frac{1}{2}\left[(dx^0)^2 - (dx^1)^2\right] \]

すなわち

\[ (dx^0)^2 - (dx^1)^2 = 2\,dx^+ dx^- \]

これを \(ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2\) に代入：

\[ ds^2 = -[(dx^0)^2 - (dx^1)^2] + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]
\[ \boxed{ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2} \]

検算: \(dx^2 = dx^3 = 0\) かつ \(dx^0 = dx^1\)（\(x^1\) 正方向の光）なら \(dx^- = 0\) なので \(ds^2 = 0\)。✓

B-2. 光錐計量の行列表示

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解法の方針: \((+,-)\) ブロックは \(2 \times 2\) の反対角行列。余因子行列の定義から逆行列を計算すると、元の行列と一致することが分かる。\((2,3)\) ブロックは単位行列なのでそのまま。

計算:

\((+, -)\) の \(2 \times 2\) ブロックを

\[ M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

とおく。\(2 \times 2\) 行列 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) の逆行列は \(\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) だから、

\[ M^{-1} = \frac{1}{(0)(0) - (-1)(-1)}\begin{pmatrix} 0 & -(-1) \\ -(-1) & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = M \]

すなわち \(M\) は自己逆行列（\(M^2 = I\) と同じこと）。\((2, 3)\) ブロックは単位行列なのでそのまま。したがって

\[ \boxed{\hat{\eta}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat{\eta}_{\mu\nu}} \]

成分で書けば \(\hat{\eta}^{+-} = \hat{\eta}^{-+} = -1\), \(\hat{\eta}^{22} = \hat{\eta}^{33} = +1\)、他はゼロ。

\(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\) の確認: 例えば \((\mu, \nu) = (+, +)\)：

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda+} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{-+} = (-1)(-1) = 1 = \delta^+{}_+ \quad \checkmark \]

\((\mu, \nu) = (+, -)\)：

\[ \hat{\eta}^{+\lambda}\hat{\eta}_{\lambda-} = \hat{\eta}^{+-}\hat{\eta}_{--} = (-1)(0) = 0 = \delta^+{}_- \quad \checkmark \]

他の成分も同様に確認できる。

注意: 光錐座標での添字の上げ下げは、通常の座標と違って時間/空間の符号反転ではなく、\(+\) と \(-\) の入れ替えになる：\(A_+ = -A^-\), \(A_- = -A^+\), \(A_i = A^i\)（\(i = 2, 3\)）。

B-3. 光錐座標での 4 元運動量と \(p^-\)

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(a) 不変ノルムの光錐座標表示

計算:

通常の座標で

\[ p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2 \]

問題 5.1 と同じ計算で \((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\) なので、

\[ \boxed{p^\mu p_\mu = -2\,p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2} \]

(b) \(p^-\) の導出

\(p^\mu p_\mu = -m^2\) を (a) に代入：

\[ -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2 = -m^2 \]

\(p^-\) について解く：

\[ 2 p^+ p^- = (p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2 \]
\[ \boxed{p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+}} \]

(c) 符号曖昧性の消失の物理的解釈

通常の座標: \(p^\mu p_\mu = -m^2\) を \(p^0\) について解くと \((p^0)^2 = |\vec{p}|^2 + m^2\) の 2 次方程式になり、\(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\)。正エネルギー解と負エネルギー解の両方が出てくる。QFT では負エネルギー解は反粒子として物理的に解釈されるが、量子化の手続きでは「どちらの符号の解をどう扱うか」を別途規定する必要がある。

光錐座標: 一方、(a) の \(p^\mu p_\mu = -2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\) には \(p^-\) が 1 次しか入っていない。そのため \(p^\mu p_\mu = -m^2\) は \(p^-\) について 1 次式となり、(b) の通り \(p^-\) が \(p^+, p^2, p^3, m\) から一意に決まる。符号曖昧性がない。物理的に意味のある「前方光錐 \(p^0 > 0\)」は \(p^+ > 0\), \(p^- > 0\) の領域に対応し（\(m^2 \geq 0\) のとき \(p^+ > 0\) を選べば (b) から自動的に \(p^- > 0\)）、粒子の伝播方向 \(p^+ > 0\) を指定した時点で、正エネルギー状態だけが自動的に拾われる。

これが弦の光円錐量子化（第 14 章）で反粒子の扱いや負ノルム状態の処理が簡単になる理由の核心。代償として Lorentz 共変性が明示的には失われる（\(p^+\) を特別扱いしているため）が、物理的結果は不変である。

検算: \(m = 0\)（光子）のとき \(p^- = [(p^2)^2 + (p^3)^2]/(2 p^+)\)。特に横運動量ゼロ（\(p^2 = p^3 = 0\)）の光子なら \(p^- = 0\)、つまり \(p^0 = p^1\) で、光速 \(c = 1\) で \(x^1\) 正方向に進む光の運動と整合する。✓

Medium（標準）

M-1. 光錐座標での内積

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解法の方針: \(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\) を書き換える。定義 \(A^\pm = (A^0 \pm A^1)/\sqrt{2}\) を逆に解くと \(A^0 = (A^+ + A^-)/\sqrt{2}\), \(A^1 = (A^+ - A^-)/\sqrt{2}\)。これを代入する（\(B\) も同様）。

計算:

\(A^0 B^0\) を光錐成分で展開：

\[ A^0 B^0 = \frac{1}{2}(A^+ + A^-)(B^+ + B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ + A^+ B^- + A^- B^+ + A^- B^-) \]

同様に \(A^1 B^1\)：

\[ A^1 B^1 = \frac{1}{2}(A^+ - A^-)(B^+ - B^-) = \frac{1}{2}(A^+ B^+ - A^+ B^- - A^- B^+ + A^- B^-) \]

差を取ると、\(A^+ B^+\) の項と \(A^- B^-\) の項が相殺し、クロス項だけが残る：

\[ -A^0 B^0 + A^1 B^1 = -(A^+ B^- + A^- B^+) \]

したがって

\[ \boxed{A^\mu B_\mu = -(A^+ B^- + A^- B^+) + A^2 B^2 + A^3 B^3} \]

別の書き方: 光錐計量 \(\hat{\eta}_{\mu\nu}\) を用いて \(A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\) を展開すると、非ゼロ成分は \(\hat{\eta}_{+-} = \hat{\eta}_{-+} = -1\), \(\hat{\eta}_{22} = \hat{\eta}_{33} = 1\) だから

\[ A^\mu B_\mu = \hat{\eta}_{+-}A^+ B^- + \hat{\eta}_{-+}A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -A^+ B^- - A^- B^+ + A^2 B^2 + A^3 B^3 \]

同じ結果。

検算: \(A = B\) と置くと \(A^\mu A_\mu = -2 A^+ A^- + (A^2)^2 + (A^3)^2\)、問題 5.1 と一致。✓

M-2. 光錐座標での Lorentz 変換（boost）

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(a) スケール変換になることの証明

計算:

ラピディティ \(\varphi\) での \(x^1\) 方向ブーストは

\[ x^{0'} = \cosh\varphi\cdot x^0 - \sinh\varphi\cdot x^1 \]
\[ x^{1'} = -\sinh\varphi\cdot x^0 + \cosh\varphi\cdot x^1 \]

光錐座標に変換する：

\[ x^{+\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} + x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^0 + (\cosh\varphi - \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi - \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 + x^1}{\sqrt{2}} = e^{-\varphi}\,x^+ \]

ここで \(\cosh\varphi - \sinh\varphi = e^{-\varphi}\) を使った。

同様に

\[ x^{-\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{0'} - x^{1'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[(\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^0 - (\cosh\varphi + \sinh\varphi)x^1\right] \]
\[ = (\cosh\varphi + \sinh\varphi)\cdot\frac{x^0 - x^1}{\sqrt{2}} = e^{\varphi}\,x^- \]
\[ \boxed{x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+, \qquad x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-} \]

(b) \(x^+ x^-\) の不変性

(a) より

\[ x^{+\prime}\,x^{-\prime} = (e^{-\varphi}\,x^+)(e^{\varphi}\,x^-) = e^{-\varphi + \varphi}\,x^+ x^- = x^+ x^- \]

したがって \(x^+ x^-\) は \(x^1\) 方向ブーストで不変。

\(ds^2\) との整合性: 微分形でも同じで \(dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} = dx^+ dx^-\)。また \(x^2, x^3\) は \(x^1\) ブーストで変わらないから \((dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = (dx^2)^2 + (dx^3)^2\)。よって

\[ ds^{\prime 2} = -2\,dx^{+\prime}\,dx^{-\prime} + (dx^{2\prime})^2 + (dx^{3\prime})^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = ds^2 \]

時空間隔の不変性と整合している。✓

幾何学的解釈: 通常の \((x^0, x^1)\) 平面では Lorentz ブーストが双曲線回転（\(\cosh, \sinh\)）として見えたのに対し、\((x^+, x^-)\) 平面ではブーストは軸方向のスケール変換になる。双曲線の定式化より素直で、光錐方向が保たれていることが一目でわかる。これが光錐座標のもう一つの利点。