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Appendix D 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Schwarzschild の \(\Gamma^r_{\ tt}\)

$$\Gamma^\mu{}{\nu\sigma} = \frac{1}{2}g^{\mu\alpha}\left(\partial\nu g_{\alpha\sigma} + \partial_\sigma g_{\alpha\nu} - \partial_\alpha g_{\nu\sigma}\right) $$ を用いて、\(\Gamma^r{}_{tt}\) を導出せよ。途中で \(g^{rr}\) と \(\partial_r g_{tt}\) を明示的に書き下すこと。

ヒント

対角計量では \(g^{rr} = 1/g_{rr}\) であり、\(\Gamma^r{}_{tt}\) の計算では和をとる添字 \(\alpha\) として \(r\) のみが寄与する。\(\partial_r g_{tt}\) を先に計算せよ。

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B-2. Schwarzschild の \(\Gamma^r_{\ rr}\)

ヒント

\(g_{rr} = (1-2M/r)^{-1}\) の \(r\) 微分には合成関数の微分（連鎖律）が必要。\(\Gamma^r{}_{rr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_r g_{rr}\) となる。

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B-3. Minkowski 球座標の \(\Gamma^\theta_{\ \varphi\varphi}\)

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2 $$ から、\(\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\) を定義式に従って計算せよ。

ヒント

\(g_{\varphi\varphi} = r^2\sin^2\theta\) の \(\theta\) 微分が鍵。\(g^{\theta\theta} = 1/r^2\) を使う。

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B-4. FRW の \(\Gamma^r_{\ tr}\)

$$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\left[dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2\right] $$ において、\(\Gamma^r{}_{tr}\) を定義式から計算し、\(\dot{a}/a\) となることを確認せよ。

ヒント

\(g_{rr} = a^2(t)\) なので \(\partial_t g_{rr} = 2a\dot{a}\)。\(\Gamma^r{}_{tr} = \frac{1}{2}g^{rr}\,\partial_t g_{rr}\) を計算せよ。

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B-5. FRW の \(\Gamma^t_{\ \theta\theta}\)

ヒント

\(g_{\theta\theta} = a^2(t)r^2\) の時間微分を求め、\(g^{tt} = -1\) に注意して \(\Gamma^t{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2}g^{tt}\,\partial_t g_{\theta\theta}\) を計算せよ。

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B-6. Schwarzschild 正規直交基底の確認

ヒント

\(g(\mathbf{e}_{\hat{r}},\, \mathbf{e}_{\hat{r}}) = g_{\alpha\beta}\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\alpha\,(\mathbf{e}_{\hat{r}})^\beta\) を計算する。非ゼロ成分は \(\alpha = \beta = r\) のみ。

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B-7. 一般球対称の Christoffel 確認

ヒント

\(\nu = \ln(1-2M/r)\) として \(\nu' = d\nu/dr\) を求め、\(e^{\nu-\lambda} = (1-2M/r)^2\) を使って代入せよ。

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B-8. Riemann テンソルの対称性の適用

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\beta\alpha\gamma\delta}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = -R_{\alpha\beta\delta\gamma}, \quad R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta} $$ を用いて、Schwarzschild 時空の正規直交基底成分 \(R_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}\hat{r}}\) を \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}} = -2M/r^3\) から求めよ。

ヒント

第 1・第 2 添字の反対称性を 2 回適用するか、前半・後半ペアの交換対称性を使えば一手で求まる。

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B-9. Schwarzschild の \(R_{tt} = 0\)

ヒント

\(R_{\hat{t}\hat{t}} = R^{\hat{\rho}}{}_{\hat{t}\hat{\rho}\hat{t}} = R^{\hat{t}}{}_{\hat{t}\hat{t}\hat{t}} + R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}} + R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}} + R^{\hat{\varphi}}{}_{\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\) を展開する。正規直交基底では添字の上げ下げに \(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) を使う。

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B-10. FRW のスカラー曲率

ヒント

\(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\beta}}G_{\hat{\alpha}\hat{\beta}}\) を計算する。\(G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = R_{\hat{\mu}\hat{\nu}} - \frac{1}{2}\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}}R\) のトレースは \(G^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\alpha}} = R - 2R = -R\) を与える。

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Medium（標準）

M-1. Schwarzschild 測地線の Newton 極限

$$\frac{d^2 r}{d\tau^2} + \Gamma^r{}{tt}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{{\theta\theta}\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2 + \Gamma^r{}\right)^2 = 0 $$ に公式集の Christoffel 記号を代入せよ。さらに、低速（}\left(\frac{d\varphi}{d\tau\(dr/d\tau \approx 0\), \(d\theta/d\tau \approx 0\), \(d\varphi/d\tau \approx 0\)）かつ弱重力場（\(r \gg 2M\), \(dt/d\tau \approx 1\)）の極限をとり、Newton (ニュートン) の運動方程式 \(d^2r/dt^2 \approx -M/r^2\) を導出せよ。

ヒント

低速・弱重力場の極限では \(\Gamma^r{}_{tt} \approx M/r^2\) であり、他の Christoffel 記号を含む項は無視できる。\(d\tau \approx dt\) も使う。

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M-2. FRW と Friedmann 方程式・保存則

$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}(\rho + p) = 0 $$ を導出せよ。

ヒント

第 1 Friedmann 方程式を時間微分し、第 2 Friedmann 方程式で \(\ddot{a}\) を消去する。

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M-3. Schwarzschild の Kretschmann スカラー

$$K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}\,R^{\alpha\beta\gamma\delta} $$ を計算せよ。正規直交基底では \(R^{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \eta^{\hat{\alpha}\hat{\mu}}\eta^{\hat{\beta}\hat{\nu}}\eta^{\hat{\gamma}\hat{\rho}}\eta^{\hat{\delta}\hat{\sigma}}R_{\hat{\mu}\hat{\nu}\hat{\rho}\hat{\sigma}}\) であることに注意し、Riemann テンソルの対称性を用いて独立成分の寄与を数え上げよ。結果が \(K = 48M^2/r^6\) となることを確認せよ。

ヒント

独立な非ゼロ成分は \(R_{\hat{r}\hat{t}\hat{r}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}\), \(R_{\hat{\varphi}\hat{t}\hat{\varphi}\hat{t}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}}\), \(R_{\hat{r}\hat{\varphi}\hat{r}\hat{\varphi}}\), \(R_{\hat{\theta}\hat{\varphi}\hat{\theta}\hat{\varphi}}\) の 6 つ。各成分が \(K\) に寄与する際、対称性による重複因子に注意せよ。

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M-4. 質量関数の導出

$$e^{-\lambda} = 1 - \frac{2m(r)}{r} $$ で定義する。\(G_{\hat{t}\hat{t}} = 8\pi\rho\) を \(m(r)\) と \(\rho\) の関係式に書き換え、

$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho $$ を導出せよ。この式の物理的意味を述べよ。

ヒント

\(e^{-\lambda} = 1 - 2m/r\) から \(\lambda' e^{-\lambda}\) を直接 \(r\) で微分して求める方が簡潔。\(G_{\hat{t}\hat{t}}\) に代入して整理せよ。

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Advanced（発展）

A-1. Schwarzschild 円軌道と潮汐力

(a) 測地線方程式と公式集の Christoffel 記号を用いて、円軌道の角速度 \(\Omega = d\varphi/dt\) が

$$\Omega^2 = \frac{M}{r^3} $$ を満たすことを示せ（Kepler (ケプラー) の第 3 法則の一般相対論版）。

(b) 円軌道上の観測者が感じる潮汐力を、正規直交基底の Riemann テンソル成分を用いて評価せよ。具体的には、動径方向に距離 \(\delta r\) だけ離れた 2 つの自由粒子が受ける相対加速度の大きさを \(M\), \(r\), \(\delta r\) で表せ。

(c) 最内安定円軌道（ISCO: Innermost Stable Circular Orbit）\(r = 6M\) における潮汐力と、事象の地平面 \(r = 2M\) における潮汐力の比を求めよ。

ヒント

(a) 円軌道では \(dr/d\tau = 0\), \(d^2r/d\tau^2 = 0\), \(\theta = \pi/2\) とし、\(r\) 成分の測地線方程式に \(\Gamma^r{}_{tt}\) と \(\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\) を代入する。(b) 測地偏差方程式（geodesic deviation equation）\(D^2\xi^{\hat{\alpha}}/d\tau^2 = -R^{\hat{\alpha}}{}_{\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}}u^{\hat{\beta}}u^{\hat{\gamma}}\xi^{\hat{\delta}}\) を使う。(c) 各 \(r\) の値を Riemann 成分に代入して比をとる。

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A-2. de Sitter と宇宙定数

$$G_{\hat{\mu}\hat{\nu}} + \Lambda\,\eta_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 8\pi T_{\hat{\mu}\hat{\nu}} $$ と書ける。

(a) 公式集の FRW Einstein テンソル成分を用いて、\(\Lambda\) を含む修正 Friedmann 方程式

$$H^2 = \frac{8\pi\rho}{3} + \frac{\Lambda}{3} - \frac{k}{a^2} $$ $$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} $$ を導出せよ。

(b) 物質もなく空間曲率もない（\(\rho = p = 0\), \(k = 0\)）場合に、\(a(t) \propto e^{Ht}\)（de Sitter (ド・ジッター) 時空）となることを示し、\(H\) を \(\Lambda\) で表せ。

(c) de Sitter 時空の Riemann テンソルが \(R_{\hat{\alpha}\hat{\beta}\hat{\gamma}\hat{\delta}} = \frac{\Lambda}{3}(\eta_{\hat{\alpha}\hat{\gamma}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\delta}} - \eta_{\hat{\alpha}\hat{\delta}}\eta_{\hat{\beta}\hat{\gamma}})\) という最大対称空間の形をとることを、FRW の Einstein テンソル成分から Ricci テンソルとスカラー曲率を求め、4 次元最大対称空間の Riemann テンソルの一般形と比較することで確認せよ。

ヒント

(a) \(\Lambda\,\eta_{\hat{t}\hat{t}} = -\Lambda\) に注意。(b) \(H^2 = \Lambda/3\) の定数解を確認する。(c) 最大対称空間では \(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{n(n-1)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})\)（\(n\) は次元数）であり、de Sitter 時空のスカラー曲率 \(R = 4\Lambda\) を用いる。

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