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第 6 章 練習問題

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Einstein 方程式の右辺と左辺

Einstein 方程式 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) について。

(a) 左辺（Einstein テンソル \(G_{\mu\nu}\)）と右辺（エネルギー運動量テンソル \(T_{\mu\nu}\)）の物理的意味をそれぞれ 1 文で述べよ。

(b) 真空 \(T_{\mu\nu} = 0\) のとき、Einstein 方程式は \(R_{\mu\nu} = 0\) に帰着することを示せ（両辺のトレースを取るのがポイント）。

(c) Schwarzschild 計量は \(R_{\mu\nu} = 0\) の解である。これは物理的に何を意味するか？

ヒント

(b) 両辺に \(g^{\mu\nu}\) を縮約すると \(R - 2R = \frac{8\pi G}{c^4}T\)（\(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\)）。\(T_{\mu\nu} = 0\) なら \(R = 0\) で、元の式に戻して \(R_{\mu\nu} = 0\)。 (c) 星の外側（真空）での時空構造。星そのもののエネルギー運動量は \(r < R_{\text{星}}\) にのみ存在する。

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Medium（標準）

M-1. 便利な作用と拘束条件

質量 \(m\) の粒子の「便利な作用」

\[ S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} \]

から、拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) のもとで測地線方程式

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0 \]

が得られることを示せ。

(a) Euler-Lagrange 方程式を \(x^\sigma\) について書き下し、\(g_{\mu\nu}\) の対称性とダミー添字の付け替えを使って整理せよ。

(b) 両辺に逆計量 \(g^{\sigma\mu}\) を掛けて \(\ddot{x}^\mu\) を解き出し、Christoffel 記号 \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) の定義式を得よ。

(c) 拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) は、時間発展の中で自動的に保たれる（\(\tau\) を固有時に選べば成立する）ことを論じよ。

ヒント

(b) Christoffel 記号の定義は \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha\lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\)。本文の導出と 「一般相対論」編 第 8 章 を参照。 (c) Euler-Lagrange 方程式から \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) が \(\tau\) の保存量になることを示せる。

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M-2. 便利な作用から弦の作用へ

粒子の便利な作用 \(S_{\text{useful}} = \frac{1}{2}\int d\tau\,g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu\) は、弦理論での Polyakov 作用

\[ S_{\text{P}} = -\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}\,h^{ab}\,\partial_a X^\mu\,\partial_b X^\nu\,g_{\mu\nu}(X) \]

に自然に一般化される。以下の対応関係を整理せよ。

(a) 粒子の「世界線」（1 次元）と弦の「世界面」（2 次元）の違いを記述する記号を対応づけよ（\(\tau \leftrightarrow \sigma^a\), \(\dot{x}^\mu \leftrightarrow \partial_a X^\mu\) など）。

(b) 粒子の拘束条件 \(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = -c^2\) に対応する弦理論での「拘束条件」が何になるか、\(h_{ab}\) の運動方程式（変分）から議論せよ。

(c) 粒子の作用と弦の作用で共通している構造（計量 \(g_{\mu\nu}(X)\) の役割、パラメータ化不変性、平方根が消えることの利点）を 3 点挙げよ。

ヒント

(a) 粒子：\(\tau\) は 1 パラメータ、世界線は \(x^\mu(\tau)\)。弦：\(\sigma^a = (\tau, \sigma)\) は 2 パラメータ、世界面は \(X^\mu(\tau, \sigma)\)。 (b) \(h_{ab}\) を変分するとエネルギー運動量テンソル \(T_{ab} = 0\) が出てくる。これが拘束条件（Virasoro 拘束の古典版）。 詳細は第 13 章で扱う。

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M-3. 弱い重力場での時計の遅れ

弱い重力場 \(g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)\) の時空で静止する時計が刻む固有時 \(d\tau\) と座標時 \(dt\) の関係は

\[ d\tau = dt\sqrt{-g_{00}} = dt\sqrt{1 + 2\Phi/c^2} \]

である。

(a) \(|\Phi|/c^2 \ll 1\) の近似で \(d\tau/dt \approx 1 + \Phi/c^2\) を示せ。

(b) GPS 衛星（地表から高度 \(h \approx 20000\) km、地球の重力ポテンシャル \(\Phi(r) = -GM_\oplus/r\)）と地表の時計の固有時の比を計算し、1 日あたりのずれ（マイクロ秒単位）を見積もれ（\(M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\) kg、\(R_\oplus = 6.37 \times 10^6\) m）。

(c) 1 日で 1 マイクロ秒の時刻ずれが位置測定に与える影響を、\(c \cdot 10^{-6}\) s 単位で推定せよ。GPS の位置精度に補正が必要な理由を説明せよ。

ヒント

(a) \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) を使う。 (b) 地表の \(\Phi\) と衛星の \(\Phi\) の差を計算する。\(\Phi_{\text{衛星}} - \Phi_{\text{地表}} > 0\)（衛星の方が重力ポテンシャルが高い、つまり絶対値が小さい）。 (c) 光が 1 マイクロ秒で進む距離は約 300 m。つまり補正なしでは 1 日で数百 m ずれ、数日で数 km。

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Advanced（発展）

A-1. 特異点と量子重力の必要性

Schwarzschild 計量で \(r \to 0\) を考える。

(a) 曲率不変量 \(K = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = 48 G^2 M^2/(c^4 r^6)\) を用いて、\(K\) が Planck スケール \(1/\ell_P^4\) と同程度になる \(r\) を見積もれ（\(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 1.6 \times 10^{-35}\) m、\(M\) は太陽質量）。

(b) (a) で求めた \(r\) の値から、太陽質量のブラックホールの場合、Planck スケールに達する領域のサイズを評価し、「量子重力が必要になる領域」が Schwarzschild 半径 \(r_s \approx 3\) km よりずっと内側であることを確認せよ。

(c) 特異点の存在が一般相対論の反証可能性とどう関係するか、短く論じよ（「モデルは仮説」というスタンスを踏まえて）。

ヒント

(a) \(48 G^2 M^2/(c^4 r^6) \sim 1/\ell_P^4\) を \(r\) について解く。 (b) 太陽質量のブラックホールでは、量子重力が必要な領域は \(r \ll r_s\)。 (c) 一般相対論は自らの破綻を予言する——これが「モデルは暫定的」の証拠。

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