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Appendix B 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 微小 Lorentz 変換の反対称性

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解法の方針

微小 Lorentz 変換 \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu\) を計量保存条件に代入し、\(\omega\) の 1 次まで残す。

計算の詳細

計量保存条件は

\[ \Lambda^\mu{}_\alpha\,\Lambda^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \]

左辺に \(\Lambda^\mu{}_\alpha = \delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha\) を代入する：

\[ (\delta^\mu{}_\alpha + \omega^\mu{}_\alpha)(\delta^\nu{}_\beta + \omega^\nu{}_\beta)\,\eta^{\alpha\beta} \]

展開すると

\[ = \delta^\mu{}_\alpha\,\delta^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \omega^\mu{}_\alpha\,\delta^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \delta^\mu{}_\alpha\,\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} + \omega^\mu{}_\alpha\,\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\alpha\beta} \]

\(\omega\) の 2 次の項を捨てる：

\[ \approx \eta^{\mu\nu} + \omega^\mu{}_\alpha\,\eta^{\alpha\nu} + \omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\mu\beta} \]

ここで \(\omega^\mu{}_\alpha\,\eta^{\alpha\nu} = \omega^{\mu\nu}\)（添字を上げる操作）を用いた。同様に \(\omega^\nu{}_\beta\,\eta^{\mu\beta} = \omega^{\nu\mu}\)。

したがって

\[ \eta^{\mu\nu} + \omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu\mu} = \eta^{\mu\nu} \]

最終回答

\[ \boxed{\omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu\mu} = 0} \]

すなわち \(\omega^{\mu\nu}\) は反対称。添字を下ろして \(\omega_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\omega^{\alpha}{}_\nu\) と書いても \(\omega_{\mu\nu} + \omega_{\nu\mu} = 0\) が成り立つ。

検算

\(4 \times 4\) 反対称行列の独立成分数は \(\frac{4 \times 3}{2} = 6\)。これは Lorentz 群のパラメータ数（回転 3 + ブースト 3 = 6）と一致する。✓

B-2. 生成子の行列要素の確認

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解法の方針

\(\rho = 2, \sigma = 3\) として式 (B.10) を各成分について計算する。

計算の詳細

\[ (M^{[23]})^\mu{}_\nu = \eta^{2\mu}\,\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\,\delta^3{}_\nu \quad \text{ではなく} \quad \eta^{2\mu}\,\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\,\delta^2{}_\nu \]

\(\eta^{2\mu}\) は \(\mu = 2\) のとき \(+1\)、それ以外は \(0\)。 \(\eta^{3\mu}\) は \(\mu = 3\) のとき \(+1\)、それ以外は \(0\)。

各成分を計算する：

  • \((M^{[23]})^0{}_\nu = \eta^{20}\delta^3{}_\nu - \eta^{30}\delta^2{}_\nu = 0 - 0 = 0\) （全 \(\nu\)）
  • \((M^{[23]})^1{}_\nu = \eta^{21}\delta^3{}_\nu - \eta^{31}\delta^2{}_\nu = 0 - 0 = 0\) （全 \(\nu\)）
  • \((M^{[23]})^2{}_\nu = \eta^{22}\delta^3{}_\nu - \eta^{32}\delta^2{}_\nu = (+1)\delta^3{}_\nu - 0 = \delta^3{}_\nu\)
  • \(\nu = 3\) のとき \(+1\)、それ以外 \(0\)
  • \((M^{[23]})^3{}_\nu = \eta^{23}\delta^3{}_\nu - \eta^{33}\delta^2{}_\nu = 0 - (+1)\delta^2{}_\nu = -\delta^2{}_\nu\)
  • \(\nu = 2\) のとき \(-1\)、それ以外 \(0\)

最終回答

\[ \boxed{M^{[23]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}} \]

行は \(\mu = 0,1,2,3\)、列は \(\nu = 0,1,2,3\) の順。

検算

これは \(yz\) 平面内の回転生成子であり、\(y\) 成分と \(z\) 成分のみが混合する。\(x^0, x^1\) は不変で、\(x^2, x^3\) の部分が通常の 2 次元回転生成子 \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\) になっている。✓

B-3. ブースト生成子 \(K^2 = M^{[02]}\) の行列表示

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解法の方針

式 (B.10) で \(\rho = 0, \sigma = 2\) として行列を求め、微小変換を確認する。

計算の詳細

\[ (M^{[02]})^\mu{}_\nu = \eta^{0\mu}\,\delta^2{}_\nu - \eta^{2\mu}\,\delta^0{}_\nu \]

\(\eta^{0\mu}\) は \(\mu = 0\) のとき \(-1\)、それ以外 \(0\)。 \(\eta^{2\mu}\) は \(\mu = 2\) のとき \(+1\)、それ以外 \(0\)。

各成分：

  • \((M^{[02]})^0{}_\nu = (-1)\delta^2{}_\nu - 0 = -\delta^2{}_\nu\)
  • \(\nu = 2\) のとき \(-1\)
  • \((M^{[02]})^1{}_\nu = 0 - 0 = 0\) （全 \(\nu\)）
  • \((M^{[02]})^2{}_\nu = 0 - (+1)\delta^0{}_\nu = -\delta^0{}_\nu\)
  • \(\nu = 0\) のとき \(-1\)
  • \((M^{[02]})^3{}_\nu = 0 - 0 = 0\) （全 \(\nu\)）

したがって

\[ M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

微小変換 \(x'^\mu = (\delta^\mu{}_\nu + \phi\,(M^{[02]})^\mu{}_\nu)\,x^\nu\) を成分で書くと：

\[ x'^0 = x^0 + \phi \cdot (-1) \cdot x^2 = t - \phi\, y \]
\[ x'^1 = x^1 \]
\[ x'^2 = x^2 + \phi \cdot (-1) \cdot x^0 = y - \phi\, t \]
\[ x'^3 = x^3 \]

最終回答

\[ \boxed{M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} \]

微小変換は \(t' \approx t - \phi\,y\), \(y' \approx y - \phi\,t\)（\(x, z\) は不変）を与える。✓

検算

有限のブーストでは \(t' = t\cosh\phi - y\sinh\phi\), \(y' = y\cosh\phi - t\sinh\phi\) となる。\(\phi \ll 1\) で \(\cosh\phi \approx 1\), \(\sinh\phi \approx \phi\) とすれば上の微小変換と一致する。✓

B-4. 回転生成子の交換関係の直接計算

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解法の方針

\(J^3 = M^{[12]}\), \(J^1 = M^{[23]}\), \(J^2 = M^{[31]}\) の \(4\times4\) 行列を用いて \([J^3, J^1]\) を直接計算する。

計算の詳細

D2 より \(J^1 = M^{[23]}\)：

\[ J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

本文の式 (B.11) より \(J^3 = M^{[12]}\)：

\[ J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[31]}\) を式 (B.10) で \(\rho = 3, \sigma = 1\) として計算する：

\[ (M^{[31]})^\mu{}_\nu = \eta^{3\mu}\delta^1{}_\nu - \eta^{1\mu}\delta^3{}_\nu \]
  • \(\mu = 1\): \(0 - (+1)\delta^3{}_\nu = -\delta^3{}_\nu\) → \(\nu = 3\) で \(-1\)
  • \(\mu = 3\): \((+1)\delta^1{}_\nu - 0 = \delta^1{}_\nu\) → \(\nu = 1\) で \(+1\)
  • 他は全て \(0\)
\[ J^2 = M^{[31]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

行列の積 \(J^3 \cdot J^1\) を計算する。\(J^1\) の非ゼロ列は \(\nu = 2\) 列 \((0,0,0,-1)^T\) と \(\nu = 3\) 列 \((0,0,1,0)^T\)。

\(J^3 \cdot J^1\): \(J^3\) の行 \(\times\) \(J^1\) の列

  • \((J^3 J^1)^1{}_3 = (J^3)^1{}_2 (J^1)^2{}_3 = (1)(1) = 1\)
  • \((J^3 J^1)^2{}_3 = (J^3)^2{}_1 (J^1)^1{}_3 + (J^3)^2{}_2 (J^1)^2{}_3 = 0\)（\(J^1\) の 3 列目は \((0,0,1,0)^T\) なので \((J^3)^2{}_k (J^1)^k{}_3 = (J^3)^2{}_2 \cdot 1 = 0\) ← \(J^3\) の 2 行目は \((0,-1,0,0)\) なので \((J^3)^2{}_2 = 0\)...

もう少し丁寧にやり直す。行列を明示的に書いて積を計算する。

\[ J^3 \cdot J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

1 行目: \((0,0,0,0) \cdot \text{各列} = (0,0,0,0)\)

2 行目: \((0,0,1,0)\) - 2 行目 \(\times\) 1 列目: \(0\) - 2 行目 \(\times\) 2 列目: \(0\) - 2 行目 \(\times\) 3 列目: \(0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 0\) - 2 行目 \(\times\) 4 列目: \(0 + 0 + 1 \cdot 1 + 0 = 1\)

3 行目: \((0,-1,0,0)\) - 全て \(0\)（\(J^1\) の 1 行目と 2 行目が全てゼロなので）

4 行目: \((0,0,0,0) \cdot \text{各列} = (0,0,0,0)\)

\[ J^3 \cdot J^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ J^1 \cdot J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

1 行目: 全て \(0\)

2 行目: 全て \(0\)（\(J^1\) の 2 行目は全て \(0\)）

3 行目: \((0,0,0,1)\) - 3 行目 \(\times\) 各列: \(J^3\) の 4 行目 = \((0,0,0,0)\) なので全て \(0\)

4 行目: \((0,0,-1,0)\) - 4 行目 \(\times\) 1 列目: \(0\) - 4 行目 \(\times\) 2 列目: \((-1)(-1) = 1\) - 4 行目 \(\times\) 3 列目: \((-1)(0) = 0\) - 4 行目 \(\times\) 4 列目: \(0\)

\[ J^1 \cdot J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

したがって

\[ [J^3, J^1] = J^3 J^1 - J^1 J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

一方、\(iJ^2\) を計算する：

\[ iJ^2 = i\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

注意: ここで問題が生じている。\([J^3, J^1]\) は実数成分の行列だが、\(iJ^2\) は虚数成分を含む。

これは本文の規約の問題である。本文の式 (B.10) で定義された \(M^{[\rho\sigma]}\) は、式 (B.14) \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\) の規約で使われている。4 元ベクトル表現では生成子は純虚数ではなく実行列であり、交換関係は

\[ [J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k \]

の形で成り立つ。実際に確認すると：

\[ [J^3, J^1] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

そして

\[ iJ^2 = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

これは一致しない。実は 4 元ベクトル表現における生成子の交換関係は、\(\Lambda = e^{\omega_{\rho\sigma}\mathcal{J}^{\rho\sigma}/2}\) の規約（\(i\) なし）では

\[ [\mathcal{J}^i, \mathcal{J}^j] = \varepsilon^{ijk}\mathcal{J}^k \]

となる。本文の規約 \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i + i\phi_i K^i}\) では、4 元ベクトル表現の生成子は \(J^i_{\text{vec}} = -iM^{[jk]}_{\text{本文}}\)（適切な対応で）となる。

実際、本文の式 (B.10) の行列をそのまま使うと、交換関係は \(i\) なしの形：

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[31]} \]

を直接確認する。

\[ [J^3, J^1]_{\text{計算結果}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

これと \(M^{[31]}\) を比較：

\[ M^{[31]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\([J^3, J^1] = -M^{[31]}\)？ いや、符号を確認しよう。\([M^{[12]}, M^{[23]}]\) の結果は

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[31]}\) の \((1,3)\) 成分は \(-1\)、\((3,1)\) 成分は \(+1\)。計算結果の \((1,3)\) 成分は \(+1\)、\((3,1)\) 成分は \(-1\)。

したがって \([M^{[12]}, M^{[23]}] = -M^{[31]} = M^{[13]}\)。

本文の規約で \(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\) とすると、\(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\) の規約では、4 元ベクトル表現の \(J^i\) は \(-i\) 倍の行列で表される。つまり本文の (B.10) の行列を \(\mathcal{M}^{[\rho\sigma]}\) と書くと、抽象的な交換関係 \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\) に対応する 4 元ベクトル表現は \(J^i_{\text{rep}} = -i\mathcal{M}^{[jk]}\)（適切な対応）。

しかし問題文は「\(4\times4\) 行列表示 (B.11) を用いて」と言っているので、本文の行列をそのまま使って \([M^{[12]}, M^{[23]}]\) を計算し、結果が \(M^{[13]}\)（= \(-M^{[31]}\)）に等しいことを確認すればよい。

交換関係 \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\) を 4 元ベクトル表現で書くと：

\[ [-i M^{[12]}, -i M^{[23]}] = i\varepsilon^{321}(-iM^{[31]}) \]
\[ -[M^{[12]}, M^{[23]}] = i(-1)(-i)M^{[31]} = -M^{[31]} \]
\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[31]} \]

しかし計算結果は \([M^{[12]}, M^{[23]}] = -M^{[31]}\)。

もう一度丁寧に確認する。\(\varepsilon^{312} = +1\) なので \([J^3, J^1] = i\varepsilon^{312}J^2 = iJ^2\)。

4 元ベクトル表現で \(J^i\) を表す行列を \(\hat{J}^i\) とする。本文の規約 \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\) で、微小変換は \(\Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + i\theta_i (\hat{J}^i)^\mu{}_\nu\)。一方、式 (B.8) と (B.13) から \(\omega^\mu{}_\nu = \theta_i \varepsilon^{ijk}(M^{[jk]})^\mu{}_\nu / 1\)...

実は本文の規約を注意深く読むと、式 (B.14) \(\Lambda = \exp(i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J} + i\boldsymbol{\phi}\cdot\mathbf{K})\) において、4 元ベクトル表現での \(J^i\) の行列表現は \((\hat{J}^i)^\mu{}_\nu = -i(M_{\text{matrix}}^{[jk]})^\mu{}_\nu\)（\(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\) の対応で）。

整理し直す。本文の式 (B.10) の行列を直接使って交換子を計算した結果：

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[13]}\) を計算する（\(\rho=1, \sigma=3\)）：

\[ (M^{[13]})^\mu{}_\nu = \eta^{1\mu}\delta^3{}_\nu - \eta^{3\mu}\delta^1{}_\nu \]
  • \(\mu=1\): \((+1)\delta^3{}_\nu - 0 = \delta^3{}_\nu\) → \(\nu=3\) で \(+1\)
  • \(\mu=3\): \(0 - (+1)\delta^1{}_\nu = -\delta^1{}_\nu\) → \(\nu=1\) で \(-1\)
\[ M^{[13]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

最終回答

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} \]

これを \(J^i\) の言葉に翻訳する。\(J^3 = M^{[12]}\), \(J^1 = M^{[23]}\), \(J^2 = M^{[31]} = -M^{[13]}\) なので

\[ [J^3, J^1] = M^{[13]} = -M^{[31]} = -(-J^2) \]

ここで \(J^2 = M^{[31]}\) だから \(M^{[13]} = -M^{[31]} = -J^2\)...

もう一度整理する。\(M^{[31]} = -M^{[13]}\) なので \(J^2 = M^{[31]} = -M^{[13]}\)。

したがって \(M^{[13]} = -J^2\) であり、\([J^3, J^1] = M^{[13]} = -J^2\)？

これは \([J^3, J^1] = iJ^2\) と矛盾する。問題は、4 元ベクトル表現における生成子の行列が \(i\) の因子を含むかどうかにある。

正しい対応: 本文の規約 \(\Lambda = e^{i\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J}}\) において、4 元ベクトル表現での \(\mathbf{J}\) の行列表現は

\[ (J^i)^\mu{}_\nu = -\frac{i}{2}\varepsilon^{ijk}(M^{[jk]})^\mu{}_\nu \]

ではなく、問題文が「\(4\times4\) 行列表示 (B.11) を用いて」と言っている以上、本文の \(M^{[\rho\sigma]}\) 行列そのものを \(J^i\) として使っている（\(J^3 = M^{[12]}\) 等）。

この場合、行列としての交換関係は \(i\) なしの形：

\[ [M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} \]

が成り立つ。\(M^{[13]} = -M^{[31]}\) であり、問題は \([J^3, J^1] = iJ^2\) を確認せよと言っている。

ここで重要なのは、本文の式 (B.10) の行列は実行列であるということ。実行列の交換子は実行列なので、\(i\) が出てくるはずがない。

実は、本文の規約を正しく解釈すると：4 元ベクトル表現では \(\Lambda = e^{i\theta_i J^i}\) の \(J^i\) は純虚数行列 \((-i) \times (\text{実行列})\) で表される。つまり

\[ J^i_{\text{4-vec rep}} = -i \cdot \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}_{\text{(B.10)}} \]

しかし問題文は「\(4\times4\) 行列表示 (B.11) を用いて」\([J^3, J^1] = iJ^2\) を確認せよと言っている。本文の式 (B.11) は実行列として書かれている。

結論: 問題文の意図は、式 (B.10) の実行列を使って交換子を計算し、\([M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} = -M^{[31]}\) を確認することで、抽象的な交換関係 \([J^3, J^1] = iJ^2\) が 4 元ベクトル表現で正しく実現されていることを示すことである。

4 元ベクトル表現での生成子は \(\hat{J}^i = -i \cdot (\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]})\) とすべきだが、本文では \(J^i\) の 4 元ベクトル表現の行列を \(M^{[jk]}\) そのもの（の適切な組み合わせ）として扱っている。

最もシンプルな解釈：本文の (B.11) の行列を \(\mathcal{J}^3\), D2 の行列を \(\mathcal{J}^1\) として、交換関係は

\[ [\mathcal{J}^3, \mathcal{J}^1] = \mathcal{J}^2 \]

（\(i\) なし）の形で成り立つ。ここで \(\mathcal{J}^2 = M^{[13]}\)（\(= -M^{[31]}\)）。

実際に計算結果を見ると：

\[ \boxed{[M^{[12]}, M^{[23]}] = M^{[13]} = -M^{[31]}} \]

これは Lorentz 代数の 4 元ベクトル表現における交換関係 \([J^3, J^1] = iJ^2\) と整合する（4 元ベクトル表現の生成子行列に \(-i\) の因子が含まれることを考慮すれば）。

検算（別の方法）

\(M^{[13]}\) の非ゼロ成分は \((1,3)\) 成分が \(+1\)、\((3,1)\) 成分が \(-1\)。これは \(xz\) 平面の回転を生成する行列であり、\([J^3, J^1]\) が \(J^2\)（\(xz\) 平面の回転）に比例するという物理的期待と一致する。✓

B-5. Levi-Civita 記号を用いた回転生成子の復元

→ 問題に戻る

解法の方針

\(J^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}M^{[jk]}\) を \(i = 1, 2, 3\) について展開する。

計算の詳細

\(J^1\):

\[ J^1 = \frac{1}{2}\varepsilon^{1jk}M^{[jk]} \]

\(\varepsilon^{1jk} \neq 0\) となるのは \((j,k) = (2,3)\) と \((3,2)\)： - \(\varepsilon^{123} = +1\) - \(\varepsilon^{132} = -1\)

\[ J^1 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{123}M^{[23]} + \varepsilon^{132}M^{[32]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[23]} + (-1)(-M^{[23]})\right) = \frac{1}{2}(M^{[23]} + M^{[23]}) = M^{[23]} \]

\(J^2\):

\[ J^2 = \frac{1}{2}\varepsilon^{2jk}M^{[jk]} \]

\(\varepsilon^{2jk} \neq 0\) となるのは \((j,k) = (3,1)\) と \((1,3)\)： - \(\varepsilon^{231} = +1\) - \(\varepsilon^{213} = -1\)

\[ J^2 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{231}M^{[31]} + \varepsilon^{213}M^{[13]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[31]} + (-1)(-M^{[31]})\right) = M^{[31]} \]

\(J^3\):

\[ J^3 = \frac{1}{2}\varepsilon^{3jk}M^{[jk]} \]

\(\varepsilon^{3jk} \neq 0\) となるのは \((j,k) = (1,2)\) と \((2,1)\)： - \(\varepsilon^{312} = +1\) - \(\varepsilon^{321} = -1\)

\[ J^3 = \frac{1}{2}\left(\varepsilon^{312}M^{[12]} + \varepsilon^{321}M^{[21]}\right) = \frac{1}{2}\left(M^{[12]} + (-1)(-M^{[12]})\right) = M^{[12]} \]

最終回答

\[ \boxed{J^1 = M^{[23]}, \quad J^2 = M^{[31]}, \quad J^3 = M^{[12]}} \]

検算

\(J^3 = M^{[12]}\) は \(xy\) 平面の回転生成子であり、\(z\) 軸まわりの回転に対応する。物理的に正しい。✓

B-6. \(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) から \(\mathbf{J}\), $\mathbf{K}…

→ 問題に戻る

計算の詳細

式 (B.18) を再掲：

\[ \mathbf{J}_+ = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2}, \qquad \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} \]

2 式を足す：

\[ \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} + \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} = \mathbf{J} \]

2 式を引く：

\[ \mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_- = \frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} - \frac{\mathbf{J} - i\mathbf{K}}{2} = i\mathbf{K} \]

最終回答

\[ \boxed{\mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-, \qquad \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)} \]

検算

\(\mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)\) を元の定義に代入して確認：\(\frac{\mathbf{J} + i\mathbf{K}}{2} = \frac{(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-) + i(-i)(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)}{2} = \frac{(\mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_-) + (\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-)}{2} = \mathbf{J}_+\)。✓

B-7. 表現の次元の計算

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最終回答

表現 \((j_+, j_-)\) の次元は \((2j_+ + 1)(2j_- + 1)\)。

(a) \((1, 0)\): \((2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 0 + 1) = 3 \times 1 = \boxed{3}\)

(b) \((1, 1)\): \((2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 1) = 3 \times 3 = \boxed{9}\)

(c) \((3/2, 0)\): \((2 \cdot \frac{3}{2} + 1)(2 \cdot 0 + 1) = 4 \times 1 = \boxed{4}\)

(d) \((1/2, 1)\): \((2 \cdot \frac{1}{2} + 1)(2 \cdot 1 + 1) = 2 \times 3 = \boxed{6}\)

検算

(a) は自己双対反対称テンソル（3 成分）に対応。(b) は対称トレースレス 2 階テンソルの一部に対応（9 成分）。(c) は Rarita-Schwinger 場の一部に関連（4 成分）。(d) は 6 成分で、ベクトル-スピノルの一部に対応。次元の数え上げは整合的。✓

B-8. \([K^1, K^2] = -iJ^3\) の確認

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解法の方針

\(K^1 = M^{[01]}\), \(K^2 = M^{[02]}\) の 4×4 行列の積を計算する。

計算の詳細

式 (B.12) より：

\[ M^{[01]} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

D3 より：

\[ M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[01]} \cdot M^{[02]}\):

1 行目 \((0,-1,0,0)\) × 各列： - 1 列: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - 2 列: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - 3 列: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\) - 4 列: \(0\)

→ \((0, 0, 0, 0)\)

2 行目 \((-1,0,0,0)\) × 各列： - 1 列: \((-1)(0) = 0\) - 2 列: \((-1)(0) = 0\) - 3 列: \((-1)(-1) = 1\) - 4 列: \(0\)

→ \((0, 0, 1, 0)\)

3 行目 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

4 行目 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

\[ M^{[01]} \cdot M^{[02]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(M^{[02]} \cdot M^{[01]}\):

1 行目 \((0,0,-1,0)\) × 各列： - 1 列: \(0 + 0 + 0 + 0 = 0\)（\(M^{[01]}\) の 3 行目は全て 0） - 2 列: \((-1)(0) = 0\) - 3 列: \(0\) - 4 列: \(0\)

→ \((0, 0, 0, 0)\)

2 行目 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

3 行目 \((-1,0,0,0)\) × 各列： - 1 列: \((-1)(0) = 0\) - 2 列: \((-1)(-1) = 1\) - 3 列: \(0\) - 4 列: \(0\)

→ \((0, 1, 0, 0)\)

4 行目 \((0,0,0,0)\) → \((0,0,0,0)\)

\[ M^{[02]} \cdot M^{[01]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

交換子：

\[ [M^{[01]}, M^{[02]}] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

これを \(M^{[12]}\)（式 (B.11)）と比較する：

\[ M^{[12]} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

したがって

\[ [M^{[01]}, M^{[02]}] = M^{[12]} \]

最終回答

\[ \boxed{[K^1, K^2] = [M^{[01]}, M^{[02]}] = M^{[12]} = J^3} \]

抽象的な交換関係 \([K^i, K^j] = -i\varepsilon^{ijk}J^k\) との整合性について：\([K^1, K^2] = -i\varepsilon^{123}J^3 = -iJ^3\)。

4 元ベクトル表現では、\(\Lambda = e^{i\phi_i K^i}\) の規約で生成子の行列表現は \(K^i_{\text{rep}} = -iM^{[0i]}\) となる。このとき

\[ [K^1_{\text{rep}}, K^2_{\text{rep}}] = [-iM^{[01]}, -iM^{[02]}] = -[M^{[01]}, M^{[02]}] = -M^{[12]} \]

一方 \(-iJ^3_{\text{rep}} = -i(-iM^{[12]}) = -M^{[12]}\)。✓

したがって \([K^1, K^2] = -iJ^3\) が 4 元ベクトル表現で正しく実現されていることが確認された。

検算

物理的に、\(x\) 方向のブーストと \(y\) 方向のブーストを続けて行うと、\(xy\) 平面内の回転（Thomas 歳差運動 (Thomas precession)）が生じる。\([K^1, K^2] \propto J^3\) はまさにこの効果を反映している。✓

Medium（標準）

M-1. \([J^i_+, J^j_-] = 0\) の完全な導出

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解法の方針

定義 (B.18) を代入して展開し、Lorentz 代数の交換関係を用いて全項が相殺することを示す。

計算の詳細

\[ [J^i_+, J^j_-] = \left[\frac{J^i + iK^i}{2},\, \frac{J^j - iK^j}{2}\right] \]
\[ = \frac{1}{4}\left[J^i + iK^i,\, J^j - iK^j\right] \]

交換子の線形性を使って展開：

\[ = \frac{1}{4}\left([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] - i^2[K^i, K^j]\right) \]
\[ = \frac{1}{4}\left([J^i, J^j] - i[J^i, K^j] + i[K^i, J^j] + [K^i, K^j]\right) \]

各項に交換関係 (B.15)–(B.17) を代入する：

第 1 項: \([J^i, J^j] = i\varepsilon^{ijk}J^k\)

第 2 項: \(-i[J^i, K^j] = -i \cdot i\varepsilon^{ijk}K^k = \varepsilon^{ijk}K^k\)

第 3 項: \(i[K^i, J^j]\)

\([K^i, J^j] = -[J^j, K^i]\)。式 (B.16) で \(i \to j, j \to i\) とすると \([J^j, K^i] = i\varepsilon^{jik}K^k\)。

\(\varepsilon^{jik} = -\varepsilon^{ijk}\) なので \([J^j, K^i] = -i\varepsilon^{ijk}K^k\)。

よって \([K^i, J^j] = -[J^j, K^i] = i\varepsilon^{ijk}K^k\)。

したがって \(i[K^i, J^j] = i \cdot i\varepsilon^{ijk}K^k = -\varepsilon^{ijk}K^k\)。

第 4 項: \([K^i, K^j] = -i\varepsilon^{ijk}J^k\)

すべてまとめる：

\[ [J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}\left(i\varepsilon^{ijk}J^k + \varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k - i\varepsilon^{ijk}J^k\right) \]
\[ = \frac{1}{4}\left(i\varepsilon^{ijk}J^k - i\varepsilon^{ijk}J^k + \varepsilon^{ijk}K^k - \varepsilon^{ijk}K^k\right) \]

最終回答

\[ \boxed{[J^i_+, J^j_-] = \frac{1}{4}(0 + 0) = 0} \]

第 1 項と第 4 項が相殺し、第 2 項と第 3 項が相殺する。

検算

この結果は Lorentz 代数が \(\mathfrak{su}(2)_+ \oplus \mathfrak{su}(2)_-\) に分解されることの核心的な条件である。\(\mathbf{J}_+\) と \(\mathbf{J}_-\) が互いに可換であることは、2 つの \(\mathfrak{su}(2)\) が独立に作用することを意味し、表現を \((j_+, j_-)\) のペアで分類できることの根拠となる。✓

M-2. \((1/2, 0)\) 表現におけるブースト生成子の具体形

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(a) 回転生成子とブースト生成子

\((1/2, 0)\) 表現では \(\mathbf{J}_+ = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\), \(\mathbf{J}_- = 0\)。

D6 の結果を使う：

\[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} + 0 = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} \]
\[ \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-) = -i\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} - 0\right) = -\frac{i\boldsymbol{\sigma}}{2} \]

最終回答 (a)

\[ \boxed{\mathbf{J} = \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}, \qquad \mathbf{K} = -\frac{i\boldsymbol{\sigma}}{2}} \]

(b) \(z\) 方向ブーストの \(2\times2\) 行列

\(z\) 方向にラピディティ \(\phi\) のブーストは \(\Lambda_L = \exp(i\phi K^3)\)：

\[ \Lambda_L = \exp\left(i\phi \cdot \left(-\frac{i\sigma^3}{2}\right)\right) = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) \]

\(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) は対角行列なので：

\[ \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0 \\ 0 & e^{-\phi/2} \end{pmatrix} \]

双曲線関数で書くと：

\[ e^{\pm\phi/2} = \cosh\frac{\phi}{2} \pm \sinh\frac{\phi}{2} \]

したがって

\[ \Lambda_L = \cosh\frac{\phi}{2}\,\mathbf{1} + \sinh\frac{\phi}{2}\,\sigma^3 \]

最終回答 (b)

\[ \boxed{\Lambda_L = \begin{pmatrix} e^{\phi/2} & 0 \\ 0 & e^{-\phi/2} \end{pmatrix} = \cosh\frac{\phi}{2}\,\mathbf{1} + \sinh\frac{\phi}{2}\,\sigma^3} \]

(c) ユニタリ性の確認と物理的意味

\(\Lambda_L^\dagger\) を計算する。\(\sigma^3\) はエルミートで \(\phi\) は実数なので：

\[ \Lambda_L^\dagger = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right)^\dagger = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^{3\dagger}}{2}\right) = \exp\left(\frac{\phi\,\sigma^3}{2}\right) = \Lambda_L \]

したがって \(\Lambda_L^\dagger \Lambda_L = \Lambda_L^2 = \begin{pmatrix} e^{\phi} & 0 \\ 0 & e^{-\phi} \end{pmatrix} \neq \mathbf{1}\)（\(\phi \neq 0\) のとき）。

最終回答 (c)

\(\Lambda_L\) はユニタリではない。

物理的意味: ブーストは Lorentz 群の非コンパクト部分に属する変換である。コンパクトな変換（回転）の生成子はエルミート（\(J^i = \sigma^i/2\)）で、対応する変換行列 \(e^{i\theta J^i}\) はユニタリになる。一方、ブースト生成子 \(K^i = -i\sigma^i/2\) は反エルミートではなく、\(iK^i = \sigma^i/2\) がエルミートであるため、\(e^{i\phi K^i} = e^{\phi\sigma^i/2}\) はエルミート行列の指数関数となり、ユニタリではなく正定値エルミート行列になる。

これは物理的には、ブーストがスピノルの成分の「大きさ」を変える（一方のヘリシティ成分を増幅し、他方を減衰させる）ことに対応する。Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) は非コンパクト群であり、有限次元のユニタリ表現を持たない。

検算

\(\det \Lambda_L = e^{\phi/2} \cdot e^{-\phi/2} = 1\) なので \(\Lambda_L \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)。✓

\(\phi = 0\) のとき \(\Lambda_L = \mathbf{1}\)（恒等変換）。✓

M-3. \((1/2, 1/2)\) 表現と 4 元ベクトルの対応

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(a) \(\det \tilde{V} = -(V^\mu V_\mu)\) の証明

\[ \tilde{V} = V^\mu \sigma_\mu = V^0 \mathbf{1} + V^i \sigma_i = \begin{pmatrix} V^0 + V^3 & V^1 - iV^2 \\ V^1 + iV^2 & V^0 - V^3 \end{pmatrix} \]

行列式を計算する：

\[ \det \tilde{V} = (V^0 + V^3)(V^0 - V^3) - (V^1 - iV^2)(V^1 + iV^2) \]
\[ = (V^0)^2 - (V^3)^2 - \left[(V^1)^2 + (V^2)^2\right] \]
\[ = (V^0)^2 - (V^1)^2 - (V^2)^2 - (V^3)^2 \]

一方、Minkowski ノルムは

\[ V^\mu V_\mu = \eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu = -(V^0)^2 + (V^1)^2 + (V^2)^2 + (V^3)^2 \]

したがって

\[ \boxed{\det \tilde{V} = (V^0)^2 - (V^1)^2 - (V^2)^2 - (V^3)^2 = -(V^\mu V_\mu)} \]

(b) Lorentz 変換の \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) による実現

\(\tilde{V}\) はエルミート行列（\(V^\mu\) が実のとき）であり、\(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\)（\(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)）の変換でエルミート性が保たれる：

\[ (M\tilde{V}M^\dagger)^\dagger = M^{\dagger\dagger}\tilde{V}^\dagger M^\dagger = M\tilde{V}M^\dagger \quad \checkmark \]

行列式の不変性：

\[ \det(M\tilde{V}M^\dagger) = \det M \cdot \det \tilde{V} \cdot \det M^\dagger = |\det M|^2 \det \tilde{V} \]

\(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) なので \(\det M = 1\)、したがって

\[ \boxed{\det(M\tilde{V}M^\dagger) = \det \tilde{V}} \]

これは \(V^\mu V_\mu\) が不変であることを意味し、\(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) が Lorentz 変換を実現していることを示す。

変換後の \(\tilde{V}' = M\tilde{V}M^\dagger\) もエルミートで trace-free 部分と trace 部分を持つ \(2\times2\) 行列なので、新しい 4 元ベクトル \(V'^\mu\) に対応する。この対応 \(M \mapsto \Lambda(M)\) が \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\) の準同型を与える。

検算

\(\tilde{V}\) のパラメータ空間の次元：\(2\times2\) エルミート行列は 4 つの実パラメータを持ち、4 元ベクトルの 4 成分と一致する。✓

\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) の次元：\(2\times2\) 複素行列（8 実パラメータ）に \(\det M = 1\)（2 つの実条件）を課して \(8 - 2 = 6\) 次元。これは Lorentz 群の次元 6 と一致する。✓

M-4. スピン \(1/3\) が禁止される理由の定量的証明

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解法の方針

\(\mathrm{SU}(2)\) の既約表現において、昇降演算子の性質と状態のノルムの非負性から \(2j\) が非負整数であることを導く。

計算の詳細

Step 1: 基本的な代数関係

\(J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2\) とし、\(J_\pm = J_1 \pm iJ_2\) を定義する。交換関係 \([J_3, J_\pm] = \pm J_\pm\) と \([J_+, J_-] = 2J_3\) が成り立つ。

\(J^2\) は全ての生成子と可換なので、既約表現では \(J^2 = \lambda\,\mathbf{1}\)（定数）。\(J_3\) の固有状態 \(|m\rangle\)（\(J_3|m\rangle = m|m\rangle\)）を考える。

Step 2: \(J_3\) の固有値に上限と下限が存在すること

\[ J^2 - J_3^2 = J_1^2 + J_2^2 = \frac{1}{2}(J_+ J_- + J_- J_+) \]

任意の状態 \(|m\rangle\) に対して

\[ \langle m|(J_1^2 + J_2^2)|m\rangle = \langle m|J_1^2|m\rangle + \langle m|J_2^2|m\rangle \geq 0 \]

（\(J_1, J_2\) がエルミートなので各項は非負）。したがって

\[ \lambda - m^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m^2 \leq \lambda \]

\(J_3\) の固有値は有界であり、最大値 \(m_{\max}\) と最小値 \(m_{\min}\) が存在する。

Step 3: 最大重み状態の条件

\(J_+|m_{\max}\rangle = 0\) でなければならない（さもなくば \(m_{\max} + 1\) の固有値を持つ状態が存在してしまう）。

\(J_- J_+ = J^2 - J_3^2 - J_3 = J^2 - J_3(J_3 + 1)\) を用いると：

\[ 0 = \|J_+|m_{\max}\rangle\|^2 = \langle m_{\max}|J_- J_+|m_{\max}\rangle = \lambda - m_{\max}(m_{\max} + 1) \]
\[ \therefore \quad \lambda = m_{\max}(m_{\max} + 1) \]

\(j \equiv m_{\max}\) と定義すると \(\lambda = j(j+1)\)。

Step 4: 最小重み状態の条件

同様に \(J_-|m_{\min}\rangle = 0\) から、\(J_+ J_- = J^2 - J_3^2 + J_3\) を用いて：

\[ 0 = \lambda - m_{\min}(m_{\min} - 1) = j(j+1) - m_{\min}(m_{\min} - 1) \]
\[ j(j+1) = m_{\min}(m_{\min} - 1) \]
\[ j^2 + j = m_{\min}^2 - m_{\min} \]
\[ j^2 - m_{\min}^2 + j + m_{\min} = 0 \]
\[ (j - m_{\min})(j + m_{\min}) + (j + m_{\min}) = 0 \]
\[ (j + m_{\min})(j - m_{\min} + 1) = 0 \]

\(j - m_{\min} + 1 > 0\)（\(m_{\min} \leq j\) かつ少なくとも \(m_{\min} < j + 1\)）なので、\(j + m_{\min} = 0\)、すなわち

\[ m_{\min} = -j \]

Step 5: \(2j\) が非負整数であること

\(|j\rangle\)（最大重み状態）に \(J_-\) を繰り返し作用させると、\(J_3\) の固有値が \(j, j-1, j-2, \ldots\) と 1 ずつ減少する状態が得られる。この列は \(m_{\min} = -j\) で終わらなければならない。

\(J_-\) を \(n\) 回作用させた状態の \(J_3\) 固有値は \(j - n\)。これが \(-j\) に到達するためには：

\[ j - n = -j \quad \Rightarrow \quad n = 2j \]

\(n\) は \(J_-\) を作用させた回数なので非負整数でなければならない。

最終回答

\[ \boxed{2j \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \quad \Rightarrow \quad j \in \left\{0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\right\}} \]

\(j = 1/3\) の場合、\(2j = 2/3\) は整数ではないので、対応する既約表現は存在しない。

検算

\(j = 1/2\) のとき \(2j = 1\)（整数）→ 許される。\(m = +1/2, -1/2\) の 2 状態。✓

\(j = 1\) のとき \(2j = 2\)（整数）→ 許される。\(m = +1, 0, -1\) の 3 状態。✓

\(j = 1/3\) のとき \(2j = 2/3\)（整数でない）→ \(J_-\) を有限回作用させても \(m = -1/3\) に到達できない。禁止される。✓

Advanced（発展）

A-1. Lorentz 群の被覆群 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) とスピノルの \(2\pi\) 回転

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(a) \(U(2\pi) = -\mathbf{1}\) の証明

S2(a) より、\((1/2, 0)\) 表現での回転生成子は \(J^i = \sigma^i/2\)。\(z\) 軸まわりの角度 \(\theta\) の回転は

\[ U(\theta) = \exp(i\theta J^3) = \exp\left(\frac{i\theta\,\sigma^3}{2}\right) \]

\(\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) は対角行列なので：

\[ U(\theta) = \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} \]

\(\theta = 2\pi\) を代入：

\[ U(2\pi) = \begin{pmatrix} e^{i\pi} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -\mathbf{1} \]

最終回答 (a)

\[ \boxed{U(2\pi) = -\mathbf{1}} \]

スピノルは \(2\pi\) 回転で符号が反転する。\(4\pi\) 回転で初めて元に戻る：\(U(4\pi) = +\mathbf{1}\)。

(b) 2 対 1 の対応

\(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) において \(M = -\mathbf{1}\) とすると：

\[ (-\mathbf{1})\tilde{V}(-\mathbf{1})^\dagger = (-1)(-1)\tilde{V} = \tilde{V} \]

したがって \(M = +\mathbf{1}\) と \(M = -\mathbf{1}\) は同じ Lorentz 変換（恒等変換 \(\Lambda = \mathbf{1}\)）に対応する。

一般に、任意の \(M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) に対して \(M\) と \(-M\) は同じ Lorentz 変換を与える：

\[ (-M)\tilde{V}(-M)^\dagger = M\tilde{V}M^\dagger \]

これが 2 対 1 の準同型 \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \to SO^+(1,3)\) の具体的な表れである。

最終回答 (b)

\[ \boxed{\pm M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \quad \longrightarrow \quad \text{同一の } \Lambda \in SO^+(1,3)} \]

核 (kernel) は \(\{+\mathbf{1}, -\mathbf{1}\} \cong \mathbb{Z}_2\) であり、\(SO^+(1,3) \cong \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2\)。

(c) 物理的意味と量子力学との関連

\(2\pi\) 回転での符号反転の物理的意味:

(a) で示したように、左巻き Weyl スピノル \(\psi_L\) は \(2\pi\) 回転で \(\psi_L \to -\psi_L\) となる。しかし (b) で示したように、4 元ベクトル（観測可能量）は \(M\) と \(-M\) を区別しないため、\(\tilde{V} \to M\tilde{V}M^\dagger\) は不変。

量子力学との関連:

量子力学（角運動量の議論）では、スピン \(1/2\) の状態 \(|\psi\rangle\) に \(2\pi\) 回転を施すと \(|\psi\rangle \to -|\psi\rangle\) となる。しかし物理的な観測量は \(|\langle\phi|\psi\rangle|^2\) の形であり、全体の位相 \((-1)\) は観測にかからない。

より正確には、量子力学の状態空間は射影 Hilbert 空間 \(\mathbb{P}\mathcal{H}\)（全体の位相を同一視した空間）であり、対称性は射影表現 (projective representation) として実現される。Wigner の定理により、射影表現は普遍被覆群の通常の表現に持ち上げることができる。

  • 回転群 \(SO(3)\) の普遍被覆群は \(\mathrm{SU}(2)\)（2 対 1: \(\pm U \to R\)）
  • Lorentz 群 \(SO^+(1,3)\) の普遍被覆群は \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\)（2 対 1: \(\pm M \to \Lambda\)）

スピン \(1/2\) の粒子は \(SO(3)\) の射影表現（= \(\mathrm{SU}(2)\) の真の表現）を担い、\(2\pi\) 回転で位相 \(-1\) を獲得する。この位相は干渉実験（中性子干渉計実験など）で実際に観測されている。

最終回答 (c)

スピノル表現が \(2\pi\) 回転で \(-1\) を得ることは、\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})\) が \(SO^+(1,3)\) の二重被覆であることの直接的な帰結である。物理的には：

  1. 量子力学の状態は射影空間に住むため、\(\pm 1\) の位相の不定性が許される
  2. この不定性を利用して、\(SO(3)\) の射影表現（= \(\mathrm{SU}(2)\) の表現）としてスピン \(1/2\) が実現される
  3. 干渉実験では相対位相が観測可能であり、\(4\pi\) 回転で元に戻る（\(2\pi\) では戻らない）ことが実験的に確認されている

A-2. \((1, 0) \oplus (0, 1)\) 表現と電磁場テンソル

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(a) 自己双対・反自己双対部分の変換性

電場と磁場の定義:

\[ E^i = F^{0i}, \qquad B^i = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}F^{jk} \]

双対テンソル:

\[ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma} \]

の成分は \(\tilde{F}^{0i} = B^i\), \(\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}\tilde{F}^{jk} = -E^i\)（計量の符号規約に注意）。

自己双対・反自己双対の 3 次元ベクトル表示:

\[ \mathbf{F}_+ = \mathbf{E} + i\mathbf{B}, \qquad \mathbf{F}_- = \mathbf{E} - i\mathbf{B} \]

回転のもとでの変換:

回転は \(\mathbf{E}\) と \(\mathbf{B}\) をそれぞれ 3 次元ベクトルとして変換する（\(\mathbf{E} \to R\mathbf{E}\), \(\mathbf{B} \to R\mathbf{B}\)）。したがって

\[ \mathbf{F}_\pm \to R\mathbf{E} \pm iR\mathbf{B} = R(\mathbf{E} \pm i\mathbf{B}) = R\mathbf{F}_\pm \]

\(\mathbf{F}_+\) と \(\mathbf{F}_-\) はどちらも回転のもとでスピン 1 のベクトルとして変換される。

ブーストのもとでの変換:

\(x\) 方向の微小ブースト（ラピディティ \(\delta\phi\)）のもとで：

\[ E'^1 = E^1, \quad E'^2 = E^2 + \delta\phi\, B^3, \quad E'^3 = E^3 - \delta\phi\, B^2 \]
\[ B'^1 = B^1, \quad B'^2 = B^2 - \delta\phi\, E^3, \quad B'^3 = B^3 + \delta\phi\, E^2 \]

（これは \(\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \delta\phi\,(\hat{x} \times \mathbf{B})\) 等から得られる。）

\(\mathbf{F}_+\) の変換を計算する：

\[ F'^2_+ = E'^2 + iB'^2 = (E^2 + \delta\phi\, B^3) + i(B^2 - \delta\phi\, E^3) \]
\[ = (E^2 + iB^2) + \delta\phi(B^3 - iE^3) = F^2_+ + \delta\phi(-i)(E^3 + iB^3) \]
\[ = F^2_+ - i\delta\phi\, F^3_+ \]

同様に \(F'^3_+ = F^3_+ + i\delta\phi\, F^2_+\)。

これは \(\mathbf{F}_+\) が \(K^1\) のもとで \(\delta F^i_+ = -i\delta\phi\,\varepsilon^{1ij}F^j_+\) と変換されることを意味する。つまりブースト生成子は \(\mathbf{F}_+\) に対して \(K^i_{\text{eff}} = -iJ^i_{\text{rot}}\)（回転生成子の \(-i\) 倍）として作用する。

\((1,0)\) 表現では \(\mathbf{J}_+ = \boldsymbol{\sigma}/2\)（スピン 1 の場合は 3 次元表現）, \(\mathbf{J}_- = 0\) なので：

\[ \mathbf{J} = \mathbf{J}_+ + \mathbf{J}_- = \mathbf{J}_+, \qquad \mathbf{K} = -i(\mathbf{J}_+ - \mathbf{J}_-) = -i\mathbf{J}_+ \]

すなわち \(\mathbf{K} = -i\mathbf{J}\)。これはまさに \(\mathbf{F}_+\) に対するブースト生成子が回転生成子の \(-i\) 倍であることと一致する。

同様に \(\mathbf{F}_-\) に対しては \(\mathbf{K} = +i\mathbf{J}\) として作用し、これは \((0,1)\) 表現（\(\mathbf{J}_+ = 0\), $\mathbf{J}_- = $ スピン 1）に対応する。

最終回答 (a)

\[ \boxed{\mathbf{F}_+ = \mathbf{E} + i\mathbf{B} \text{ は } (1,0) \text{ 表現に属し、} \quad \mathbf{F}_- = \mathbf{E} - i\mathbf{B} \text{ は } (0,1) \text{ 表現に属する}} \]

(b) \((1,0) \oplus (0,1)\) の次元と実条件

次元の数え上げ:

  • \((1,0)\): \((2\cdot1+1)(2\cdot0+1) = 3\) 次元（複素）
  • \((0,1)\): \((2\cdot0+1)(2\cdot1+1) = 3\) 次元（複素）
  • 合計: \(3 + 3 = 6\) 次元（複素）

反対称テンソル \(F^{\mu\nu}\) の独立成分数は \(\frac{4\times3}{2} = 6\)。✓

実条件との整合性:

実 Lorentz 変換のもとでは \(\mathbf{E}\) と \(\mathbf{B}\) はともに実ベクトルなので：

\[ (\mathbf{F}_+)^* = (\mathbf{E} + i\mathbf{B})^* = \mathbf{E} - i\mathbf{B} = \mathbf{F}_- \]

すなわち \((1,0)\) 部分と \((0,1)\) 部分は互いの複素共役である。6 つの複素成分に \((\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_-\) という 3 つの複素条件（= 6 つの実条件）を課すと、独立な実パラメータは \(12 - 6 = 6\) 個となり、\(F^{\mu\nu}\) の 6 つの実独立成分と一致する。

最終回答 (b)

\[ \boxed{F^{\mu\nu} \text{ は } (1,0) \oplus (0,1) \text{ 表現を成す。実条件 } (\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_- \text{ が実6成分を与える。}} \]

(c) 電磁双対性の表現論的解釈

真空中の Maxwell 方程式:

ソースなしの Maxwell 方程式は \(\mathbf{F}_+\) と \(\mathbf{F}_-\) に対して独立に書ける：

\[ \partial_\mu F^{+\mu\nu} = 0, \qquad \partial_\mu F^{-\mu\nu} = 0 \]

（これは \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) と \(\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0\) を組み合わせたもの。）

電磁双対性 (electromagnetic duality):

\((1,0)\) 表現空間上の位相回転

\[ \mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+, \qquad \mathbf{F}_- \to e^{-i\alpha}\mathbf{F}_- \]

（実条件 \((\mathbf{F}_+)^* = \mathbf{F}_-\) を保つために \(\mathbf{F}_-\) は逆位相で回転）は、実ベクトルの言葉では

\[ \mathbf{E} \to \mathbf{E}\cos\alpha + \mathbf{B}\sin\alpha, \qquad \mathbf{B} \to -\mathbf{E}\sin\alpha + \mathbf{B}\cos\alpha \]

という \(\mathbf{E}\)-\(\mathbf{B}\) の回転に対応する。これが電磁双対回転 (duality rotation) である。

表現論的解釈:

  • \((1,0)\) と \((0,1)\) は Lorentz 群の異なる既約表現であり、Lorentz 変換のもとでは混合しない
  • しかし真空 Maxwell 方程式は、\((1,0)\) 空間上の内部対称性（\(U(1)\) 位相回転）を追加で持つ
  • この内部 \(U(1)\) 対称性が電磁双対性であり、\(\alpha = \pi/2\) のとき \(\mathbf{E} \to \mathbf{B}\), \(\mathbf{B} \to -\mathbf{E}\) となる
  • 電荷・電流が存在すると \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \neq 0\) となり、\(\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0\) は保たれるが \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0\) は破れるため、双対対称性は破れる（磁荷が存在しない限り）

最終回答 (c)

\[ \boxed{\text{電磁双対性は } (1,0) \text{ 表現空間上の } U(1) \text{ 位相回転 } \mathbf{F}_+ \to e^{i\alpha}\mathbf{F}_+ \text{ として理解される}} \]

真空 Maxwell 方程式がこの \(U(1)\) 対称性を持つことは、\((1,0)\) と \((0,1)\) が独立な既約表現であり、方程式がそれぞれに対して同じ形をとることの帰結である。ソースの存在は \(F^+\) と \(F^-\) に対する方程式の対称性を破り、双対対称性を破る。

検算

  • 次元の整合性: \(F^{\mu\nu}\) は 6 成分、\((1,0)\oplus(0,1)\) も \(3+3=6\) 成分。✓
  • \(\alpha = 0\) で恒等変換。✓
  • \(\alpha = \pi/2\) で \(\mathbf{E} \to \mathbf{B}\), \(\mathbf{B} \to -\mathbf{E}\): Maxwell 方程式 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \to \nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) ✓, \(\nabla \times \mathbf{B} = \partial_t \mathbf{E} \to \nabla \times (-\mathbf{E}) = \partial_t \mathbf{B}\)、すなわち \(-\nabla \times \mathbf{E} = \partial_t \mathbf{B}\) ✓（Faraday の法則）。