第 4 章 練習問題¶
目次
Basic（基礎）
- B-1. 自然単位系への変換と \(c\) の復元
- B-2. 自然単位系での時間と長さ
- B-3. Minkowski 内積の計算
- B-4. 共変ベクトルの各成分
- B-5. 時空間隔の 16 項の展開
- B-6. ダミー添字の付け替え
- B-7. 4 元速度の規格化条件の確認
- B-8. 相対論的エネルギーの低速極限
Medium（標準）
Advanced（発展）
Basic（基礎）¶
B-1. 自然単位系への変換と \(c\) の復元¶
以下の SI 単位での式を、自然単位系（\(c = 1\)）で書き直せ。逆に、自然単位系の式を SI 単位系に戻せ。
(a) SI 単位の式 \(E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4\) を自然単位系で書け。
(b) 自然単位系の式 \(\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}\) を SI 単位系で書け。
(c) 自然単位系で「エネルギー \(E = 5\)」という記述がある。静止質量 \(m\)（kg）がゼロでないと仮定して、これに対応する SI 単位のエネルギー（ジュール）を、\(m\) を使って表せ。
(d) 電子の静止質量 \(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\) kg の静止エネルギーを、SI 単位（ジュール）と自然単位（kg）の両方で表せ。
ヒント
(a)(b) \(c\) を持つ項と持たない項の次元を揃えるように \(c\) を挿入・除去する。 (c) 自然単位系でのエネルギーには次元上 \(c^2\) をかければ SI のエネルギーになる。 (d) 自然単位系では \(E = m\)。SI では \(E = mc^2\)。
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B-2. 自然単位系での時間と長さ¶
自然単位系（\(c = 1\)）で時間と長さを同じ単位で測る。以下の問に答えよ。
(a) 1 秒を長さの単位（メートル）で表すと何メートルになるか。
(b) 1 メートルを時間の単位（秒）で表すと何秒になるか。
(c) 地球から太陽までの距離は約 \(1.5 \times 10^{11}\) m。これを時間の単位（秒）で表すと何秒になるか。物理的に、この数値は何を意味しているか。
(d) 人の歩く速度を \(v \approx 1\) m/s とする。これを自然単位系（光速を 1 とする）で表すと、どのくらいの数値になるか。
ヒント
(a) 光が 1 秒で進む距離は約 \(3 \times 10^8\) m。だから自然単位系では「1 秒 = \(3 \times 10^8\) m」。 (c) 光が地球から太陽まで到達する時間（約 8 分 20 秒）に対応する。 (d) \(v/c \approx 1 / (3 \times 10^8) \approx 3.3 \times 10^{-9}\)。日常の速度は光速に対して極めて小さい。
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B-3. Minkowski 内積の計算¶
4 元ベクトル \(A^\mu = (5,\, 3,\, 0,\, 0)\) と \(B^\mu = (2,\, 1,\, 0,\, 0)\) に対して、Minkowski (ミンコフスキー) 内積
を Einstein (アインシュタイン) の縮約規則を用いて計算せよ（\(c = 1\) の単位系）。
ヒント
\(\eta_{\mu\nu}\) は対角行列なので、\(\mu = \nu\) の項だけが残る。\(\eta_{00} = -1\) に注意。
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B-4. 共変ベクトルの各成分¶
4 元ベクトル \(A^\mu = (E,\, p_x,\, p_y,\, p_z)\) に対して、添字を下げた共変ベクトル (covariant vector) \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}\,A^\nu\) の各成分 \(A_0,\, A_1,\, A_2,\, A_3\) を \(E,\, p_x,\, p_y,\, p_z\) で表せ。
ヒント
\(\eta_{00} = -1\), \(\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = +1\) を各成分に適用せよ。
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B-5. 時空間隔の 16 項の展開¶
時空間隔 \(ds^2 = \eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\,dx^\nu\) を \(\mu,\, \nu\) について 16 項すべて書き下し、\(\eta_{\mu\nu}\) の非対角成分がゼロであることから \(ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\) が得られることを示せ（\(c = 1\)）。
ヒント
\(\eta_{\mu\nu} = 0\)（\(\mu \neq \nu\)）なので、\(\mu = \nu\) の 4 項のみが生き残る。
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B-6. ダミー添字の付け替え¶
ダミー添字 (dummy index) の付け替えを練習する。次の等式が縮約規則のもとで正しいことを、和を明示的に書き下して確認せよ。
ヒント
両辺をそれぞれ \(\sum\) を使って展開し、同じ 16 項の和になることを示せ。
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B-7. 4 元速度の規格化条件の確認¶
3 次元速度 \(\mathbf{v} = (v,\, 0,\, 0)\) をもつ粒子の 4 元速度 (four-velocity)
に対して、\(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\) が成り立つことを直接計算で確認せよ（\(c = 1\)）。
ヒント
\(\gamma^2(-1 + v^2)\) を \(\gamma\) の定義を用いて整理せよ。
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B-8. 相対論的エネルギーの低速極限¶
相対論的エネルギー \(E = \gamma mc^2\) の低速極限について、以下を示せ。
(a) 近似公式 \((1 + x)^n \approx 1 + nx\)（\(|x| \ll 1\)）を用いて、\(v \ll c\) のとき
が成り立つことを示せ。すなわち、低速極限で全エネルギーが静止エネルギーと Newton (ニュートン) 的な運動エネルギーの和になる。
(b) 質量 \(m = 1\) kg、速度 \(v = 100\) m/s（新幹線程度）の物体について、\(v^2/c^2\) の値と、静止エネルギー \(mc^2\) に対する運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) の比を求めよ。この比から「Newton の時代にはなぜ静止エネルギーに気づけなかったか」を説明せよ。
(c) 質量ゼロの粒子について、\(E^2 = |\vec{p}|^2 c^2 + m^2 c^4\) に \(m = 0\) を代入して \(E = |\vec{p}|c\) を得よ。さらに \(E = \gamma mc^2\) の関係と合わせて、質量ゼロで有限のエネルギーを持つ粒子は必ず光速で運動しなければならないことを論じよ。
ヒント
(a) \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\) に \(x = -v^2/c^2\), \(n = -1/2\) を代入。 (b) \(c \approx 3 \times 10^8\) m/s を用いれば \(v^2/c^2 \sim 10^{-13}\)。 (c) \(m = 0\) かつ \(E \neq 0\) を \(E = \gamma mc^2\) で実現するには \(\gamma \to \infty\) が必要。
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Medium（標準）¶
M-1. テンソルの縮約と添字の分類¶
2 階テンソル \(T^{\mu\nu}\) と 4 元ベクトル \(A_\nu\) の縮約 \(T^{\mu\nu}A_\nu\) は何階のテンソルか。自由添字とダミー添字をそれぞれ指摘せよ。
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Advanced（発展）¶
A-1. 4 元速度と 4 元加速度¶
4 元速度 \(U^\mu\) と 4 元加速度 (four-acceleration) \(a^\mu \equiv dU^\mu/d\tau\) について、以下を示せ。
(a) \(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,U^\nu = -1\) の両辺を固有時間 \(\tau\) で微分することにより、\(\eta_{\mu\nu}\,U^\mu\,a^\nu = 0\) を導け。すなわち、4 元速度と 4 元加速度は Minkowski 内積の意味で常に直交する。
(b) 粒子の瞬間静止系（\(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)）において、(a) の結果から \(a^0 = 0\) を示し、4 元加速度が純粋に空間的なベクトル（\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu > 0\)）であることを説明せよ。
(c) 1 次元運動（\(x\) 方向のみ）で一定の固有加速度 \(g\)（\(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2 = \text{const.}\)）をもつ粒子の世界線が双曲線
で記述されることを示せ（初期条件 \(t = 0\) で \(x = 1/g\), \(U^\mu = (1, 0, 0, 0)\)）。
ヒント
(c) では \(U^0 = \cosh(g\tau)\), \(U^1 = \sinh(g\tau)\) と置いて \(\eta_{\mu\nu}\,a^\mu\,a^\nu = g^2\) を確認し、\(\tau\) で積分して世界線を求めよ。
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A-2. 一般方向の Lorentz ブースト¶
二つの慣性系 \(S\) と \(S'\) の間の一般の Lorentz ブーストを考える。\(S'\) が \(S\) に対して速度 \(\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)\)（大きさ \(v = |\mathbf{v}|\)）で運動しているとき、変換は
で与えられる（\(c = 1\)）。以下を示せ。
(a) この変換が時空間隔 \(ds^2 = -dt^2 + d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{x}\) を不変に保つことを確認せよ。
(b) \(\mathbf{v} = (v, 0, 0)\) の場合に、本章で導出した標準的な \(x\) 方向ブーストに帰着することを示せ。
(c) 異なる方向の二つのブースト \(\Lambda(\mathbf{v}_1)\) と \(\Lambda(\mathbf{v}_2)\)（\(\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \neq \mathbf{0}\)）の合成 \(\Lambda(\mathbf{v}_2)\Lambda(\mathbf{v}_1)\) が、一般には純粋なブーストにならず、ブースト＋空間回転になることを議論せよ。この空間回転は Thomas (トマス) 回転 (Wigner rotation) と呼ばれる。\(\mathbf{v}_1\) と \(\mathbf{v}_2\) がともに \(x\)-\(y\) 平面内にある場合に、合成変換が空間回転を含むことを、変換行列の対称性の議論から示せ。
ヒント
(c) 純粋なブーストの行列は対称行列であるが、二つの対称行列の積は一般に対称ではない。非対称部分が回転に対応する。
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