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第 4 章 練習問題 解答

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目次

Basic（基礎）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. 紫外発散の確認

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問題:

古典的な Rayleigh-Jeans の法則 \(u(\nu) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T\) を \(\nu\) について \(0\) から \(\infty\) まで積分し、全エネルギー密度が発散することを確認せよ。

解答:

\[\int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3}\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\]

\(\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\) は発散する（\(\nu^3/3 \to \infty\)）。

\[\boxed{\text{全エネルギー密度} = \infty}\]

ポイント: 古典的な Rayleigh-Jeans の法則は低振動数では実験と合うが、高振動数で発散する。Planck の量子仮説 \(E = h\nu\) がこの発散を解消した。

B-2. 光電効果の閾値振動数

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問題:

仕事関数 \(W = 4.5\) eV の金属に光を当てる。電子が飛び出すための最小振動数 \(\nu_{\min}\) を \(h\nu_{\min} = W\) から計算せよ（\(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s、\(1\) eV \(= 1.602 \times 10^{-19}\) J）。

解答:

\[h\nu_{\min} = W = 4.5 \;\text{eV} = 4.5 \times 1.602 \times 10^{-19} = 7.209 \times 10^{-19} \;\text{J}\]
\[\nu_{\min} = \frac{W}{h} = \frac{7.209 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = \boxed{1.09 \times 10^{15} \;\text{Hz}}\]

これは紫外線の領域。可視光（\(\sim 4\text{--}8 \times 10^{14}\) Hz）では電子は飛び出さない。

Advanced（発展）

A-1. 水星の近日点移動と Newton モデルの限界

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問題:

Newton の万有引力では、太陽の周りの惑星軌道は閉じた楕円になる（軌道が回転しない）。しかし観測では、水星の楕円軌道は 100 年あたり約 5600 秒角回転しており、他の惑星の影響を全て差し引いても 43 秒角のずれが残る。

(a) 「他の惑星の影響」を Newton のモデルで計算できる理由を、第 1 章の海王星の発見と対比して説明せよ。

(b) 43 秒角のずれに対して、「未知の惑星が存在する」という仮説と「Newton のモデルを修正する」という仮説の 2 つが考えられる。それぞれの仮説がどのような予測を出すかを述べ、どちらが実際に正しかったかを第 6 章の予告として述べよ。

注: 一般相対論による定量的な計算（\(\delta\phi\) の導出と数値確認）は第 6 章の練習問題 6.4 で扱う。

解答（レポート形式）:

Newton のモデルで他の惑星の摂動を全て計算すると、水星の近日点移動は 100 年あたり約 532 秒角と予測される。観測値は約 575 秒角。差は 43 秒角/世紀。

43 秒角は角度にして約 0.012 度。極めて小さいが、Newton のモデルの精度（他の惑星の摂動を含めて 532 秒角を正確に計算できる）を考えると、この残差は有意。

Einstein の一般相対論は、追加パラメータなしでこの 43 秒角を正確に説明した。これは一般相対論の最初の実験的検証であり、「小さなずれ」がモデルの革命に繋がった歴史的な例。