第 4 章 練習問題 解答¶
Basic（基礎）¶
B-1. 紫外発散の確認¶
→ 問題に戻る
解答:
\[\int_0^\infty u(\nu)\,d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \,d\nu = \frac{8\pi k_B T}{c^3}\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\]
\(\int_0^\infty \nu^2 \,d\nu\) は発散する（\(\nu^3/3 \to \infty\)）。
\[\boxed{\text{全エネルギー密度} = \infty}\]
ポイント: 古典的な Rayleigh-Jeans の法則は低振動数では実験と合うが、高振動数で発散する。Planck の量子仮説 \(E = h\nu\) がこの発散を解消した。
B-2. 光電効果の閾値振動数¶
→ 問題に戻る
解答:
\[h\nu_{\min} = W = 4.5 \;\text{eV} = 4.5 \times 1.602 \times 10^{-19} = 7.209 \times 10^{-19} \;\text{J}\]
\[\nu_{\min} = \frac{W}{h} = \frac{7.209 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = \boxed{1.09 \times 10^{15} \;\text{Hz}}\]
これは紫外線の領域。可視光（\(\sim 4\text{--}8 \times 10^{14}\) Hz）では電子は飛び出さない。
Advanced（発展）¶
A-1. 水星の近日点移動と Newton モデルの限界¶
→ 問題に戻る
解答（レポート形式）:
Newton のモデルで他の惑星の摂動を全て計算すると、水星の近日点移動は 100 年あたり約 532 秒角と予測される。観測値は約 575 秒角。差は 43 秒角/世紀。
43 秒角は角度にして約 0.012 度。極めて小さいが、Newton のモデルの精度（他の惑星の摂動を含めて 532 秒角を正確に計算できる）を考えると、この残差は有意。
Einstein の一般相対論は、追加パラメータなしでこの 43 秒角を正確に説明した。これは一般相対論の最初の実験的検証であり、「小さなずれ」がモデルの革命に繋がった歴史的な例。
このページについてフィードバック
分からなかった箇所、誤りの指摘、改善提案などをお寄せください。