コンテンツにスキップ

第 2 章 練習問題

← 本文に戻る　|　解答を見る

目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Advanced（発展）

Basic（基礎）

B-1. Compton (コンプトン) 散乱において、入射 X 線の波長が nm であるとする。散乱角 （後

Compton (コンプトン) 散乱において、入射 X 線の波長が \(\lambda = 0.0711\) nm であるとする。散乱角 \(\theta = 180°\)（後方散乱）のとき、散乱後の X 線の波長 \(\lambda'\) を求めよ。Compton 波長 \(h/(m_e c) = 2.43 \times 10^{-12}\) m を用いてよい。

ヒント

式 (2.1) \(\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\) に \(\theta = 180°\) を代入する。\(\cos 180° = -1\) であることに注意。

→ 解答を見る

B-2. Compton 散乱の式 (2.1) において、散乱角 のときの波長変化 を求めよ

Compton 散乱の式 (2.1) において、散乱角 \(\theta = 60°\) のときの波長変化 \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) を求めよ。

ヒント

\(\cos 60° = 0.5\) を代入し、\(\Delta\lambda = \dfrac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°)\) を計算する。

→ 解答を見る

B-3. 質量 kg の陽子が速度 m/s で運動しているとき、de Broglie 波長 を求めよ

質量 \(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg の陽子が速度 \(v = 3.0 \times 10^{4}\) m/s で運動しているとき、de Broglie 波長 \(\lambda = h/(mv)\) を求めよ。

ヒント

\(h = 6.626 \times 10^{-34}\) J·s を分子に、\(mv\) を分母に代入して計算する。単位が m になることを確認せよ。

→ 解答を見る

B-4. 加速電圧 V で加速された電子の de Broglie 波長を、簡便公式

加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) V で加速された電子の de Broglie 波長を、簡便公式

\[\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}}\ \mathrm{nm}\]

を用いて求めよ。また、その値を Å（オングストローム）単位に換算せよ。

ヒント

\(\sqrt{200}\) を計算してから \(1.226\) を割る。1 nm = 10 Å の関係を使う。

→ 解答を見る

B-5. 電子（質量 kg）が加速電圧 V で加速されたとき、電子の速度 を式 (2.9)

電子（質量 \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg）が加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V で加速されたとき、電子の速度 \(v\) を式 (2.9)

\[\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\]

から求めよ。ただし \(e = 1.602 \times 10^{-19}\) C とする。

ヒント

\(v = \sqrt{2eV_{\mathrm{acc}}/m_e}\) を計算する。まず分子 \(2eV_{\mathrm{acc}}\) と分母 \(m_e\) をそれぞれ数値で求め、割り算してから平方根を取る。

→ 解答を見る

B-6. Bragg (ブラッグ) 条件 において、結晶面間隔 Å、入射角 、次数 のとき、回折する波の波長

Bragg (ブラッグ) 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) において、結晶面間隔 \(d = 0.91\) Å、入射角 \(\theta = 65°\)、次数 \(n = 1\) のとき、回折する波の波長 \(\lambda\) を Å 単位で求めよ。

ヒント

\(\lambda = 2d\sin\theta / n\) に数値を代入する。\(\sin 65° \approx 0.906\) を用いよ。

→ 解答を見る

B-7. 運動エネルギー eV の中性子（質量 kg）の de Broglie 波長を求めよ。ただし J とす

運動エネルギー \(K = 1.0\) eV の中性子（質量 \(m_n = 1.675 \times 10^{-27}\) kg）の de Broglie 波長を求めよ。ただし \(1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\) J とする。

ヒント

運動量は \(p = \sqrt{2m_n K}\) で求まる。\(K\) を J 単位に変換してから \(\lambda = h/p\) を計算する。

→ 解答を見る

B-8. de Broglie の関係式を角振動数 (かくしんどうすう) と波数 で表した式 および を用いて

de Broglie の関係式を角振動数 (かくしんどうすう) \(\omega\) と波数 \(k\) で表した式 \(E = \hbar\omega\) および \(p = \hbar k\) を用いて、波長 \(\lambda = 2.0\) Å の電子に対応する波数 \(k\) を SI 単位（m\(^{-1}\)）で求めよ。

ヒント

\(k = 2\pi/\lambda\) の関係を使う。\(\lambda\) を m 単位に変換してから代入する（\(1\ \mathrm{Å} = 10^{-10}\) m）。

→ 解答を見る

Medium（標準）

M-1. 加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出

加速電圧と de Broglie 波長の関係式の導出

電子（質量 \(m_e\)、電荷 \(e\)）が静止状態から電圧 \(V_{\mathrm{acc}}\) で加速されるとき、以下の手順に従って de Broglie 波長が

\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}}}\]

と表されることを導け。

(a) エネルギー保存から、電子の運動量 \(p\) を \(m_e\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表せ。

(b) de Broglie の関係式 \(\lambda = h/p\) に代入して上式を得よ。

(c) 定数を数値代入し、\(\lambda \approx 1.226/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) nm が得られることを確かめよ。

ヒント

(a) \(\frac{1}{2}m_e v^2 = eV_{\mathrm{acc}}\) から \(v\) を求め、\(p = m_e v\) とする。あるいは直接 \(p^2/(2m_e) = eV_{\mathrm{acc}}\) から \(p\) を求めてもよい。(c) では \(h\), \(m_e\), \(e\) の数値をすべて SI 単位で代入する。

→ 解答を見る

M-2. Davisson-Germer 実験の再現計算

Davisson-Germer 実験の再現計算

Davisson-Germer 実験では、加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 54\) V で加速された電子をニッケル単結晶（表面原子間隔 \(d = 2.15\) Å）に当て、散乱角 \(\phi = 50°\) に強い回折ピークを観測した。

(a) 式 (2.12) を用いて、54 V で加速された電子の de Broglie 波長 \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) を求めよ。

(b) 回折条件 \(d\sin\phi = n\lambda\) に \(n = 1\), \(\phi = 50°\) を代入して、実験から得られる波長 \(\lambda_{\mathrm{exp}}\) を求めよ。

(c) \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) と \(\lambda_{\mathrm{exp}}\) を比較し、de Broglie 仮説の妥当性を論ぜよ。

ヒント

(a) \(\lambda \approx 1.226/\sqrt{54}\) nm を計算する。(b) \(\sin 50° \approx 0.766\) を用いる。(c) 両者の値の差がどの程度かを百分率で評価するとよい。

→ 解答を見る

M-3. Compton 散乱の公式の構造分析

Compton 散乱の公式の構造分析

Compton 散乱の公式

\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

について、以下の問いに答えよ。

(a) \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\) の取りうる値の範囲を \(\theta\) の関数として求めよ（\(0 \le \theta \le 180°\)）。

(b) 散乱される相手が電子ではなく陽子（質量 \(m_p = 1.673 \times 10^{-27}\) kg）であった場合の Compton 波長 \(h/(m_p c)\) を計算し、電子の場合と比較せよ。

(c) (b) の結果から、「Compton 散乱の波長変化は軽い粒子ほど大きい」ことを説明せよ。

ヒント

(a) \(1 - \cos\theta\) の最小値と最大値を考える。(b) 電子の Compton 波長 \(2.43 \times 10^{-12}\) m と比を取る。(c) Compton 波長が質量に反比例することに着目する。

→ 解答を見る

M-4. Bragg 条件を用いた電子線回折の解析

Bragg 条件を用いた電子線回折の解析

G. P. Thomson (G. P. トムソン) の実験を模した状況を考える。加速電圧 \(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V で加速された電子を、面間隔 \(d = 2.34\) Å のアルミニウム結晶に入射させる。

(a) 電子の de Broglie 波長を求めよ。

(b) Bragg 条件 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を用いて、\(n = 1\) の回折が起こる入射角 \(\theta\) を求めよ。

(c) 加速電圧を 2 倍（\(20{,}000\) V）にしたとき、\(n = 1\) の回折角 \(\theta\) はどう変わるか。定性的に説明した上で、具体的な値を求めよ。

ヒント

(a) 式 (2.12) を使う。\(V_{\mathrm{acc}} = 10{,}000\) V。(b) \(\sin\theta = \lambda/(2d)\) から \(\theta\) を求める。角度が小さい場合、\(\sin\theta \approx \theta\)（ラジアン）の近似が使えるか検討せよ。(c) \(\lambda \propto 1/\sqrt{V_{\mathrm{acc}}}\) であることを利用する。

→ 解答を見る

Advanced（発展）

A-1. Compton 散乱の公式の導出

Compton 散乱の公式の導出

波長 \(\lambda\) の X 線光子が、静止している電子（質量 \(m_e\)）に衝突する場合を考える。散乱後の光子の波長を \(\lambda'\)、散乱角を \(\theta\)、反跳電子の運動量の大きさを \(p_e\)、反跳角（入射方向と電子の運動方向のなす角）を \(\varphi\) とする。

以下の手順に従い、Compton 散乱の公式

\[\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)\]

を導出せよ。光子のエネルギーは \(E = pc\)（質量ゼロの粒子の相対論的関係）、電子のエネルギーは相対論的に \(E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}\) で与えられる。

(a) エネルギー保存則を書き下せ。入射光子のエネルギーを \(h c/\lambda\)、散乱後の光子のエネルギーを \(h c/\lambda'\)、反跳電子の静止エネルギーを \(m_e c^2\) として表せ。

(b) 運動量保存則を入射方向（\(x\) 方向）と垂直方向（\(y\) 方向）の 2 成分に分けて書き下せ。

(c) (b) の 2 式から反跳角 \(\varphi\) を消去し、\(p_e^2\) を \(\lambda\), \(\lambda'\), \(\theta\) で表せ。

(d) (a) のエネルギー保存から \(p_e^2 c^2\) を \(\lambda\), \(\lambda'\) で表し、(c) の結果と等置することで Compton 散乱の公式を導け。

ヒント

(b) \(x\) 成分：\(h/\lambda = (h/\lambda')\cos\theta + p_e \cos\varphi\)、\(y\) 成分：\(0 = (h/\lambda')\sin\theta - p_e \sin\varphi\)。(c) 各成分を移項して 2 乗し、\(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1\) を使う。(d) エネルギー保存の式を \((E_e)^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2\) の形にして \(p_e^2 c^2\) を求める。\(1/\lambda - 1/\lambda'\) と \(1/\lambda^2 + 1/\lambda'^2 - 2\cos\theta/(\lambda\lambda')\) が現れる。最終的に \(\lambda'\lambda\) の積の項が残り、\(\lambda' - \lambda\) の形にまとまる。

→ 解答を見る

A-2. 相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用

相対論的電子の de Broglie 波長と電子顕微鏡への応用

本章の式 (2.11) は非相対論的近似（\(v \ll c\)）に基づいている。加速電圧が非常に高い場合（例えば電子顕微鏡で使われる \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV）、電子の運動エネルギーが静止エネルギー \(m_e c^2 \approx 511\) keV と比較して無視できなくなり、相対論的補正が必要になる。

(a) 相対論的なエネルギーと運動量の関係

\[E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\]

において、全エネルギーが \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\)（静止エネルギー＋運動エネルギー）であることを用いて、運動量 \(p\) を \(m_e\), \(c\), \(e\), \(V_{\mathrm{acc}}\) で表せ。

(b) 相対論的な de Broglie 波長が

\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV_{\mathrm{acc}}\left(1 + \dfrac{eV_{\mathrm{acc}}}{2m_e c^2}\right)}}\]

と書けることを示せ。

(c) \(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV のとき、非相対論的な式 (2.11) による波長と、(b) の相対論的な波長をそれぞれ数値で求め、両者の差を百分率で評価せよ。

(d) 電子顕微鏡の分解能は概ね使用する波長程度であるとする。\(V_{\mathrm{acc}} = 200\) kV の電子顕微鏡で原子レベルの構造（\(\sim 1\) Å）を観察できるか論ぜよ。

ヒント

(a) \(E = m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}}\) を \(E^2 = (pc)^2 + (m_e c^2)^2\) に代入して \(p\) について解く。\((m_e c^2 + eV_{\mathrm{acc}})^2 - (m_e c^2)^2\) を展開すると \(2m_e c^2 \cdot eV_{\mathrm{acc}} + (eV_{\mathrm{acc}})^2\) が得られる。(b) (a) の結果から \(\lambda = h/p\) を計算し、因子をくくり出す。(c) \(eV_{\mathrm{acc}} = 200\) keV, \(m_e c^2 = 511\) keV として補正因子 \(eV_{\mathrm{acc}}/(2m_e c^2)\) の大きさを評価する。

→ 解答を見る