コンテンツにスキップ

第 5 章 練習問題

← 本文に戻る　|　解答を見る

目次

Basic（基礎）

Medium（標準）

Basic（基礎）

B-1. 光錐座標の計量

光錐座標 \(x^\pm = (x^0 \pm x^1)/\sqrt{2}\) の定義から、

\[ ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

を書き換えて

\[ ds^2 = -2\,dx^+ dx^- + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 \]

となることを直接計算で示せ（\(c = 1\)）。

ヒント

\(dx^0 = (dx^+ + dx^-)/\sqrt{2}\), \(dx^1 = (dx^+ - dx^-)/\sqrt{2}\) を代入するか、あるいは \(dx^+ dx^- = \frac{1}{2}[(dx^0)^2 - (dx^1)^2]\) を使う。

→ 解答を見る

B-2. 光錐計量の行列表示

光錐計量の行列（行と列の順序 \(+, -, 2, 3\)）

\[ \hat{\eta}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

の逆行列 \(\hat{\eta}^{\mu\nu}\) を求め、\(\hat{\eta}^{\mu\lambda}\hat{\eta}_{\lambda\nu} = \delta^\mu{}_\nu\) を満たすことを確認せよ。

ヒント

\((+,-)\) ブロックだけ \(2 \times 2\) の反対角行列 \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) なので、逆行列も同じ形。

→ 解答を見る

B-3. 光錐座標での 4 元運動量と \(p^-\)

質量 \(m\) の粒子の 4 元運動量 \(p^\mu = (p^0, p^1, p^2, p^3)\) を、光錐座標の成分 \(p^\pm = (p^0 \pm p^1)/\sqrt{2}\), \(p^2, p^3\) で表す。

(a) 4 元運動量の不変ノルム \(p^\mu p_\mu\) を光錐座標で書き下せ。結果が \(-2 p^+ p^- + (p^2)^2 + (p^3)^2\) となることを示せ。

(b) \(p^\mu p_\mu = -m^2\) を用いて \(p^-\) を \(p^+, p^2, p^3, m\) で解き、

\[ p^- = \frac{(p^2)^2 + (p^3)^2 + m^2}{2\,p^+} \]

を導け。

(c) 通常の座標で \(p^\mu p_\mu = -m^2\) を \(p^0\) について解くと \(p^0 = \pm\sqrt{|\vec{p}|^2 + m^2}\) となり、\(\pm\) の符号曖昧性が残る。光錐座標では (b) の通り \(p^-\) が一意に決まる。この違いを物理的に説明せよ。

ヒント

(a) \(\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = -(p^0)^2 + (p^1)^2 + (p^2)^2 + (p^3)^2\) で、\((p^0)^2 - (p^1)^2 = 2 p^+ p^-\) を使う。 (c) 「エネルギーの符号」と「正/負エネルギー解の区別」が光錐座標でどう扱われるか考察せよ。

→ 解答を見る

Medium（標準）

M-1. 光錐座標での内積

2 つの 4 元ベクトル \(A^\mu, B^\mu\) の Minkowski 内積 \(A^\mu B_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\mu B^\nu\) を、光錐座標の成分 \(A^\pm, A^2, A^3\) および \(B^\pm, B^2, B^3\) で表せ。

ヒント

\(A^\mu B_\mu = -A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3\) を書き換える。

→ 解答を見る

M-2. 光錐座標での Lorentz 変換（boost）

\(x^1\) 方向のブースト（\(S'\) 系が \(S\) 系に対して速度 \(v\) で \(x^1\) 方向に動く）は、ラピディティ \(\varphi\)（\(\tanh\varphi = v\)）を使って

\[ \begin{pmatrix} x^{0'} \\ x^{1'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi \\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \end{pmatrix} \]

と書ける（「一般相対論」編 3.3「Lorentz 変換の導出」 参照）。これを光錐座標 \(x^\pm\) で書き換え、以下を示せ。

(a) \(x^{+\prime} = e^{-\varphi}\,x^+\), \(x^{-\prime} = e^{\varphi}\,x^-\) となる（\(x^+\) 方向のブーストは光錐座標のスケール変換として働く）。

(b) したがって積 \(x^+ x^-\) は不変。これが \(ds^2\) の \(-2\,dx^+ dx^-\) 部分の不変性と整合していることを確認せよ。

ヒント

(a) \(\cosh\varphi \pm \sinh\varphi = e^{\pm\varphi}\) を使う。 (b) \((e^{-\varphi}dx^+)(e^\varphi dx^-) = dx^+ dx^-\)。

→ 解答を見る