Appendix G 練習問題¶
Medium（標準）¶
M-1. \(\delta\sqrt{-g}\) の導出¶
\(g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu\) の両辺を変分し、\(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) を導出せよ。さらに \(\delta g = g \cdot g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\) と合わせて \(\delta\sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\) を示せ。
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M-2. Einstein-Hilbert の Newton 極限¶
Einstein 方程式の弱い重力場（\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\), \(|h_{\mu\nu}| \ll 1\)）・低速（\(v \ll c\)）・静的（\(\partial_t = 0\)）の極限で、\(R_{00} \approx -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\) となることを認め、\(h_{00} = -2\Phi/c^2\) とおいて Newton のポアソン方程式 \(\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho\) を導出せよ。
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M-3. 宇宙定数項の変分¶
Einstein-Hilbert 作用に宇宙定数項 \(-2\Lambda\) を追加した作用 \(S = \frac{c^4}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x\) を \(g^{\mu\nu}\) で変分し、宇宙定数付きの Einstein 方程式 \(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) を導出せよ。
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